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Teil B1

Aufgaben
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Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Es gilt: $A(2,8\mid 0,0),$ $B(10,0 \mid 5,4),$ $C(13,0 \mid 6,9),$ $D(13,0 \mid 10,0)$ und $E (0,0 \mid 14,0)$.
Im Punkt $F (0,0 \mid 3,0)$ befindet sich die Ladestation des Rasenroboters.
1.1
Gib die Koordinaten des Maximumpuktes des Graphen von $f$ an.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
#extrempunkt
1.2
Die Strecke $\overline{BC}$ liegt auf einer Geraden $g$.
Weise nach, dass $g$ durch die Gleichung $y=0,5\cdot x+0,4 (x\in\mathbb{R})$ beschrieben werden kann.
Die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $P (x_p \mid f(x_p))$ verläuft parallel zu $g$.
Ermittle die $x$-Koordinate von $P$.
Erreichbare BE-Anzahl: 05
#tangente
1.3
Ein Rasenroboter kann unter optimalen Bedingungen in einer Minute eine Fläche von $2,5\,\text{m}^2$ mähen. Dieser Rasenroboter soll die durch das Begrenzungskabel eingeschlossene Rasenfläche vollständig mähen.
Berechne die Zeit, die dieser Rasenroboter unter optimalen Bedingungen dafür benötigen würde.
Erreichbare BE-Anzahl: 05
1.4
Der Rasenroboter startet den Mähvorgang an der Ladestation im Punkt $F$. Er fährt geradlinig in Richtung des Punktes $Q (x_Q \mid f(x_Q))$, für den die Länge der Strecke $\overline{FQ}$ minimal ist.
Ermittle diese minimale Länge.
Erreichbare BE-Anzahl: 03
1.5
Zum Auffinden der Ladestation wird für den Rasenroboter ein Suchkabel verlegt.
Das Suchkabel verläuft ab der Ladestation zunächst $3,0 \, \text {m}$ geradlinig und orthogonal zur Strecke $\overline{EO}$ bis zu einem Punkt $G$.
Der weitere Verlauf des Suchkabels wird im Intervall $3,0 \leq x\leq 10,4$ näherungsweise durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $h$ zweiten Grades beschrieben. Die Punkte $G,H(7,5\mid 9,0)$ und $M(10,4 \mid y_M)$ liegen auf dem Graphen von $h$.
Der Punkt $M$ hat, parallel zur $y$-Achse gemessen, zu $\overline {BC}$ die gleiche Entfernung wie zu $ \overline {DE}$.
Weise nach, dass gilt: $y_M=8,2$.
Bestimme eine Gleichung von $h$.
Erreichbare BE-Anzahl: 04
Aus Sicherheitsgründen sollte der Rasenroboter reagieren, wenn er auf Hindernisse trifft. Die Sensoren des Rasenroboters erkennen ein Hidnernis mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,98$.
Wenn das Hindernis erkannt wird, setzt der Rasenroboter entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,92$ seine Arbeit fort oder er bleibt stehen.
Wenn das Hindernis nicht erkannt wird, setzt der Rasenroboter entweder seine Arbeit fort oder bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,18$ stehen.
1.6
Der Rasenroboter trifft auf ein Hindernis.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rasenroboter nach dem Hindernis seine Arbeit fortsetzt.
Erreichbare BE-Anzahl: 03
1.7
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:
Der Rasenroboter trifft auf vier Hindernisse, setzt bei den ersten drei Hindernissen seine Arbeit fort und bleibt beim vierten Hindernis stehen.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Maximumpunktes angebenTeil B1
Mit deinem GTR kannst du die Koordinaten des Hochpunkts wie folgt bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst $H(7,9\mid 6,5).$
1.2
$\blacktriangleright$  Geradengleichung nachweisen
Die Steigung $m$ der Geraden durch $B$ und $C$ kann über den Differenzenquotienten der Koordinaten von $B$ und $C$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\[5pt] &=& \dfrac{6,9 - 5,4}{13,0- 10,0} \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Gerade, die durch die beiden Punkte $B$ und $C$ verläuft, besitzt also die Steigung $m = 0,5.$ Den zugehörigen $y$-Achsenabschnitt kannst du mithilfe einer Punktprobe bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} BC:& y &=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; m =0,5 \\[5pt] & y &=& 0,5x +b &\quad \scriptsize \mid\; B(10,0\mid 5,4) \\[5pt] & 5,4 &=& 0,5 \cdot 10,0 + b \\[5pt] & 5,4 &=& 5+b &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] &0,4 &=& b \end{array}$
$ b = 0,4 $
Die Gerade $g,$ die durch $B$ und $C$ festgelegt wird, kann also durch die Gleichung $y = 0,5\cdot x +0,4$ beschrieben werden.
$\blacktriangleright$  $x$-Koordinate ermitteln
Die beschriebene Tangente verläuft parallel zur Geraden $g.$ Sie hat also ebenfalls die Steigung $m=0,5.$
Die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_P\mid f(x_P))$ hat die Steigung $f'(x_P).$ Gesucht ist also $x_P$ mit $f'(x_P)= 0,5.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &= -0,25x^2 +3,95x -9,10 \\[5pt] f'(x) &= -0,50x +3,95 \end{array}$
$ f'(x) = -0,50x +3,95 $
Die Gleichung $f'(x)= 0,5$ kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f'$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $-27,0$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Du erhältst $x_P=6,9.$
1.3
$\blacktriangleright$  Benötigte Zeit berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Die Fläche lässt sich als Trapez auffassen, aus dem zwei Teilfächen mit den Flächeninhalten $A_1$ und $A_2$ herausgetrennt werden:
Teil B1
Abb. 1: Flächenskizze
Teil B1
Abb. 1: Flächenskizze
  • $A_1:$ Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Bereich $2,8\leq x \leq 10,0.$
  • $A_2:$ Der Inhalt des kleineren Trapezes, das $\overline{BC}$ mit der $x$-Achse bildet.
Das größere Trapez ist rechtwinklig und besitzt die $x$-Koordinate von $D$ als Höhe. Die Seitenlängen der beiden parallelen Seiten erhältst du aus den $y$-Koordinaten der Punkte $E$ und $D.$ Es ergibt sich also für den Flächeninhalt $A_T$ des größeren Trapezes:
$\begin{array}[t]{rll} A_T &=& \frac{1}{2}\cdot (y_D + y_E)\cdot x_D \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (10,0 + 14,0)\cdot 13,0 \\[5pt] &=& 156,00\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ A_T=156,00\,[\text{m}^2] $
Den Flächeninhalt $A_1$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse kannst du mithilfe eines Integrals berechnen. Das Integral kannst du wiederum mit deinem GTR berechnen, indem du dir den Graphen von $f$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{2,8}^{10,0}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2,8}^{10,0}\left(-0,25x^2+3,95x-9,10\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 34,992 \,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ A_1 \approx 34,992 \,[\text{m}^2] $
Das kleinere Trapez ist ebenfalls rechtwinklig. Seine Höhe entspricht der Differenz der $x$-Koordinaten von $B$ und $C.$ Die Längen der beiden parallelen Seiten entsprechen den $y$-Koordinaten von $B$ und $C.$
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& \frac{1}{2}\cdot (y_c + y_b)\cdot \left(x_C-x_B \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (6,9 + 5,4)\cdot (13,0 - 10,0) \\[5pt] &=& 18,45\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ A_2 = 18,45\,[\text{m}^2] $
Der Flächeninhalt $A$ der begrenzten Fläche ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& A_T - (A_1 + A_2) \\[5pt] &\approx& 156,00\,[\text{m}^2] - \left(34,992 \,[\text{m}^2] + 18,45\,[\text{m}^2] \right) \\[5pt] &\approx& 102,6\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ A \approx 102,6\,[\text{m}^2] $
Der Rasenroboter muss also ca. $102,6\,\text{m}^2$ Rasenfläche mähen.
2. Schritt: Benötigte Zeit berechnen
Der Rasenroboter kann unter optimalen Bedingungen $2,5\,\text{m}^2$ pro Minute mähen.
$102,6\,\text{m}^2 : 2,5\,\text{m}^2 \approx 41,04$
Der Rasenroboter benötigt ca. $41,0$ Minuten zum Mähen der gesamten begrenzten Fläche.
#trapez#integral
1.4
$\blacktriangleright$  Minimale Länge ermitteln
Der Punkt $F$ hat die Koordinaten $F(0,0\mid 3,0).$ Die Koordinaten von $Q$ sind $Q(x_Q\mid f(x_Q)).$ Der Abstand von $F$ und $Q$ kann mit folgender Funktion $d$ beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(x_Q) &=&\sqrt{\left(x_Q - x_F \right)^2 + \left(y_Q -y_F \right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(x_Q - 0,0 \right)^2 + \left(-0,25x_Q^2+3,95x_Q -9,10 -3,0 \right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{x_Q^2 + \left(-0,25x_Q^2+3,95x_Q -12,10 \right)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ d(x_Q)= … $
Lasse dir nun den Graphen von $d$ in deinem GTR anzeigen und bestimme die Tiefpunkte.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
Du erhältst $T(3,4 \mid 3,7).$ Die minimale Länge der Strecke $\overline{FQ}$ beträgt also ca. $3,7\,\text{m}.$
#abstand
1.5
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{y}$-Koordinate nachweisen
Die beiden Punkte $P_1$ und $P_2,$ die auf $\overline{DE}$ bzw. $\overline{BC}$ liegen und den gleichen Abstand gemessen parallel zur $y$-Achse zu $M$ haben, haben die gleiche $x$-Koordinate wie $M.$
Bestimme die Koordinaten dieser beiden Punkte.
1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{P_2}$ bestimmen
Die Strecke $\overline{BC}$ liegt auf der Geraden $g.$ Für die $y$-Koordinate von $P_2$ gilt daher:
$\begin{array}[t]{rll} y_{P_2} &=& 0,5\cdot 10,4 + 0,4 \\[5pt] &=& 5,6 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Geradengleichung für $\overline{DE}$ bestimmen
Die Steigung der Geraden, auf der die Strecke $\overline{DE}$ liegt kannst du wie in Aufgabenteil 1.2 berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m_{DE} &=& \dfrac{y_D - y_E}{ x_D- x_E} \\[5pt] &=& \dfrac{10,0 - 14,0}{13,0-0,0} \\[5pt] &=& - \frac{4}{13} \\[5pt] \end{array}$
Da $E$ auf der $y$-Achse liegt, entspricht der $y$-Achsenabschnitt der Geraden der $y$-Koordinate von $E.$
Eine Gleichung der Geraden, auf der $\overline{DE}$ liegt, lautet also:
$DE:\, y = -\frac{4}{13}x +14,0$
3. Schritt: Koordinaten von $P_1$ bestimmen
$P_1$ hat die $x$-Koordinate $10,4$ wie $M$ und liegt auf der Geraden $DE.$
$\begin{array}[t]{rll} y_{P_1} &=& -\frac{4}{13}\cdot 10,4 +14,0 \\[5pt] &=& 10,8 \end{array}$
4. Schritt: Lage von $M$ begründen
$M$ liegt genau in der Mitte zwischen $P_1(10,4\mid 10,8)$ und $P_2(10,4\mid 5,6)$ und ist damit der Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_1P_2}.$ Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM} &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{10,4\\ 10,8} + \pmatrix{10,4\\5,6}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{10,4\\8,2} \end{array}$
$ \overrightarrow{OM} = \pmatrix{10,4\\8,2} $
Die Koordinaten von $M$ lauten also $M(10,4\mid 8,2).$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
1. Schritt: Koordinaten von $G$ bestimmen
Objekt rechts
Die Strecke $\overline{EO}$ liegt auf der $y$-Achse. Das Suchkabel verläuft orthogonal dazu von der Ladestation drei Meter lang zum Punkt $G.$ Der Punkt $G$ besitzt also die $x$-Koordinate $x_G=3,0$ und die gleiche $y$-Koordinate wie $F,$ $y_G = 3,0.$
$G(3,0\mid 3,0).$
2. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Da $h$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist, kann sie durch eine Gleichung der folgenden Form beschrieben werden.
$h(x)= ax^2 +bx +c.$
Die folgenden drei Punkte sollen auf dem Graphen von $h$ liegen:
$G(3,0 \mid 3,0),$ $H(7,5\mid 9,0)$ und $M(10,4\mid 8,2).$
Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3,0 &=& h(3,0) \\[5pt] & 3,0 &=& a\cdot 3,0^2 +b\cdot 3,0 +c \\[5pt] & 3,0 &=& 9a + 3b +c \\[10pt] \text{II}\quad& 9,0 &=& h(7,5) \\[5pt] & 9,0 &=& a\cdot 7,5^2 +b\cdot 7,5 +c \\[5pt] & 9,0 &=& 56,25a +7,5b +c \\[10pt] \text{III}\quad& 8,2 &=& h(10,4) \\[5pt] & 8,2 &=& a\cdot 10,4^2 +b\cdot 10,4 +c \\[5pt] & 8,2 &=& 108,16a +10,4b +c \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3,0 &= …\\[10pt] \text{II}\quad& 9,0 &= … \\[10pt] \text{III}\quad& 8,2 &= … \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt also folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad & 3,0 &= 9a + 3b +c \\ \text{II}\quad & 9,0 &= 56,25a +7,5b +c \\ \text{III}\quad & 8,2 &= 108,16a +10,4b +c \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad & 3,0 &= … \\ \text{II}\quad & 9,0 &= … \\ \text{III}\quad & 8,2 &= … \\ \end{array}$
Du kannst es mit deinem GTR lösen.
$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS
2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ $3x4$
2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ $3x4$
In das Fenster gibst du die Zahlen aus dem linearen Gleichungssystem ein. Gib dabei zuerst die Koeffizienten vor den Unbekannten und in der Zeile jeweils zu letzt die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen ein:
$\pmatrix{9& 3& 1 & 3 \\ 56,25 & 7,5 & 1 & 9 \\ 108,16 & 10,4 & 1 & 8,2}$
Anschließend kannst du es wie folgt lösen:
2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ $B$ $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ MATRIX $\rightarrow$ NAMES $\rightarrow$ 1 $:[A]$
2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ $B$ $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ MATRIX $\rightarrow$ NAMES $\rightarrow$ $1 :[A]$
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Im Gleichungs-Menü:
F1: Lin. Gleichungss. $\to$ F2: 3 (Unbekannte)
F1: Lin. Gleichungss. $\to$ F2: 3 (Unbekannte)
Du erhältst folgende Lösung:
$\begin{array}{lrll} a&\approx& -0,2175\\ b&\approx& 3,6167 \\ c&\approx& -5,8928 \\ \end{array}$
Eine Gleichung von $h$ lautet also ca.
$h(x)=-0,2175x^2 + 3,6167x -5,8928.$
$ h(x)=… $
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Du kannst dir zum Sachverhalt ein Baumdiagramm zeichnen. Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
Teil B1
Abb. 3: Baumdiagramm
Teil B1
Abb. 3: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:
$\begin{array}[t]{rll} P(F) &=& 0,98\cdot 0,92 + 0,02 \cdot 0,82 \\[5pt] &=& 0,918 \\[5pt] &=& 91,8\,\% \end{array}$
$ P(F)=91,8\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $91,8\,\%$ setzt der Rasenroboter nach dem Hindernis seine Arbeit fort.
#baumdiagramm#pfadregeln
1.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Trifft der Roboter auf ein Hindernis, dann setzt er seine Arbeit laut Aufgabe 1.6 mit einer Wahrscheinlichkeit von $91,8\,\%$ fort. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $8,2\,\%$ bleibt er also stehen. Diese Wahrscheinlichkeiten sind bei jedem Hindernis gleich und unabhängig von anderen Hindernissen. Mit der Pfadmultiplikationsregel erhältst du:
$0,918 \cdot 0,918 \cdot 0,918 \cdot 0,082 \approx 0,0634 = 6,34\,\%$
$ … \approx 6,34\,\% $
Trifft der Rasenroboter auf vier Hindernisse, so setzt er mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,34\,\%$ bei den ersten drei Hindernissen seine Arbeit fort und bleibt beim vierten Hindernis stehen.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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