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Teil B1

Aufgaben
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In einem Skigebiet wird eine Kabinenseilbahn betrieben. Der Verlauf des Tragseils der Kabinenseilbahn und die Profillinie des Geländes unterhalb der Kabinenseilbahn können in einem kartesischen Koordinatensystem ($1$ Längeneinheit entspricht $100\,\text{m}$) dargestellt werden. Für die Höhe des Meeresspiegels gilt: $y=0$.
Das Tragseil verläuft zwischen zwei Befestigungspunkten. In der Abbildung werden der linke Befestigungspunkt mit $A$ und der rechte Befestigungspunkt mit $B$ bezeichnet. Diese Punkte besitzen die Koordinaten $A(-9,00\mid y_A)$ und $B(5,80\mid y_B)$.
Der Verlauf des Tragseils kann durch den Graphen der Funktion $s$ mit
$y=s(x)=8,227\cdot10^{-3}\cdot x^2+1,955\cdot10^{-2}\cdot x+8,360\quad(x\in\mathbb{R};-9,00\leq x\leq5,80)$ beschrieben werden.
Der Verlauf der Profillinie des Geländes unterhalb der Kabinenseilbahn kann durch den Graphen der Funktion $g$ mit
$y=g(x)=1,504\cdot10^{-3}\cdot x^3+3,125\cdot 10^{-2}\cdot x^2+7,300\quad(x\in\mathbb{R};-9,00\leq x\leq5,80)$ beschrieben werden.
Teil B1
Teil B1
1.1  Begründe, dass die $y$-Koordinate des Punktes $A$ näherungsweise $8,85$ beträgt.
Zeige, dass der Höhenunterschied zwischen den beiden Befestigungspunkten des Tragseils etwa $10\,\text{m}$ beträgt.
Gib die kleinste Höhe des Tragseils über dem Meeresspiegel an.
(4P)
1.2  Die Kabinen bewegen sich mit der Durchschnittsgeschwindigkeit $7,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Berechne die Fahrzeit einer Kabine zwischen den beiden Befestigungspunkten des Tragseils.
Hinweis: Für die Länge $\ell$ des Graphen einer Funktion $f$ im Intervall $a\leq x\leq b$ gilt:
$\ell=\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx$.
(4P)
1.3  Jeder Punkt des Tragseils besitzt eine Höhe über der Profillinie des Geländes. Diese Höhen werden jeweils parallel zur $y$-Achse gemessen.
Ermittle den größten Wert dieser Höhen
Aus Sicherheitsgründen muss die Höhe jedes Punktes des Tragseils über der Profillinie des Geländes mindestens $9\,\text{m}$ betragen.
Zeige, dass diese Bedingung für die Befestigungspunkte $A$ und $B$ erfüllt ist.
(4P)
Entlang der Profillinie des Geländes verläuft eine Skipiste zwischen zwei Punkten. In der Abbildung werden der Anfangspunkt der Skipiste mit $C$ und der Endpunkt mit $D$ bezeichnet.
Diese Punkte besitzen die Koordinaten $C(-9,00\mid g(-9,00))$ und $D(0,00\mid g(0,00))$.
1.4  Skipisten werden nach dem Schwierigkeitsgrad in blaue, rote und schwarze Skipisten unterteilt. Bei blauen Skipisten darf das maximale Gefälle höchstens $25\,\%$, bei roten Skipisten höchstens $40\,\%$ betragen. Schwarze Pisten besitzen ein maximales Gefälle von mehr als $40\,\%$.
Bestimme den Schwierigkeitsgrad der Skipiste.
(3P)
1.5  Untersuche, ob die Profillinie des Geländes den Blick vom Endpunkt der Skipiste zum linken Befestigungspunkt des Tragseils behindert.
(2P)
1.6  Erfahrungsgemäß betreiben $72\,\%$ der Wintertouristen des Skigebietes alpinen Skisport. $95\,\%$ der Wintertouristen des Skigebietes, die alpinen Skisport betreiben, nutzen auch diese Kabinenseilbahn. $50\,\%$ der Wintertouristen des Skigebietes, welche keinen alpinen Skisport betreiben, nutzen ebenfalls diese Kabinenseilbahn.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist des Skigebietes alpinen Skisport betreibt und diese Kabinenseilbahn nutzt.
Ermittle, wie viele von $1.000$ Wintertouristen des Skigebietes diese Kabinenseilbahn erfahrungsgemäß nutzen werden.
(4P)
1.7  Für die Kabinenseilbahn können auch ermäßigte Tickets erworben werden.
Erfahrungsgemäß beträgt der Anteil der erworbenen ermäßigten Tickets $10\,\%$.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind.
Bestimme, wie viele Tickets mindestens erworben werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens ein ermäßigtes Ticket erworben wird.
(4P)
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Tipps
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1.
1.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Punktes $A$ berechnen
Der Punkt $A$ ist der linke Befestigungspunkt des Tragseils und befindet sich somit auf der Funktion $s$. Setze also die $x$-Koordinate des Punktes $A$ in die Gleichung der Funktion $s$ ein, berechne also den Wert $s(-9)$.
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Der Höhenunterschied ist der Betrag der Differenz der $y$-Koordinaten. Berechne also $\left|y_A - y_B \right|$. Dafür benötigst du die $y$-Koordinate des Punktes $B$, die du analog zur ersten Teilaufgabe berechnen kannst.
$\blacktriangleright$  Kleinste Höhe des Tragseils bestimmen
Deine Aufgabe ist es die kleinste Höhe des Tragseils zu bestimmen. Die Höhe des Tragseils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion $s$ beschrieben. Die geringste Höhe des Tragseils ist somit der Minimalwert der Funktion $s$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$. Bestimme also den Minimalwert der Funktion $s$. Diesen kannst du mit deinem GTR berechnen.
1.2
$\blacktriangleright$  Fahrzeit einer Kabine berechnen
Hier ist die Fahrzeit einer Kabine zwischen den beiden Befestigungspunkten gesucht. Dazu hast du die Durchschnittsgeschwindigkeit und einen Hinweis zur Berechnung der Länge des Graphen einer Funktion gegeben.
Berechne zuerst die Länge des Tragseils, dann kannst du mit Hilfe der Durchschnittsgeschwindigkeit die Fahrzeit berechnen.
1. Schritt: Länge des Tragseils berechnen
Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion $s$ beschrieben, die Länge des Tragseils ist somit die Länge des Graphen der Funktion $s$. Mit dem Hinweis kannst du die Länge $l$ des Graphen von $s$ bestimmen. Die Länge $l$ ist durch folgende Formel gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}\left(\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}\right)\;\mathrm dx \end{array}$
Definierst du dir die Funktion $f(x)=\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}$, so musst du das folgende Integral berechen:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}f(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Berechne zuerst die erste Ableitung der Funktion $s$, um den Funktionsterm der Funktion $f$ zu bestimmen. Das Integral kannst du dann mit deinem GTR berechnen.
2. Schritt: Fahrzeit berechnen
Für Fahrzeit, Geschwindigkeit und Strecke gilt nun folgende Gleichung:
$\text{Fahrzeit} \cdot \text{Geschwindigkeit}=\text{zurückgelegte Strecke}$
1.3
$\blacktriangleright$  Größte Höhe des Tragseils über der Profillinie bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe die größte Höhe des Tragseils über der Profillinie zu bestimmen. Stelle dazu zuerst eine Funktion auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt, und berechne dann das Maximum dieser Funktion. Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Stelle die Funktion $d$ auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt.
  2. Berechne das Maximum der Funktion $d$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Mindesthöhe erfüllt ist
Nun sollst du zeigen, dass die Höhe zwischen dem Tragseil und dem Gelände an den Befestigungspunkten mindestens $9 \text{ m}$ ist. Berechne dazu die Höhen an den Stellen $x_A=-9$ und $x_B=5,8$ mit der Funktion $d$ und überprüfe die Bedingung.
1.4
$\blacktriangleright$  Schwierigkeitsgrad der Skipiste bestimmen
Hier sollst du den Schwierigkeitsgrad der beschriebenen Skipiste bestimmen. Eine Skipiste wird nach ihrem maximalen Gefälle bewertet. Berechne also das maximale Gefälle der Skipiste.
Die Skipiste wird durch die Funktion $g$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ beschrieben. Das Gefälle der Skipiste ist dementsprechend die Steigung der Funktion $g$, die durch die erste Ableitung $g'$ beschrieben wird. Um das maximale Gefälle zu bestimmen, musst du somit die betragsmäßig größte negative Steigung der Funktion $g$, also das Minimum der Funktion $g'$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ bestimmen. Hast du dieses gegeben, so kannst du die Schwierigkeit der Skipiste bewerten.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die erste Ableitung $g'$.
  2. Bestimme das Minimum von $g'$.
  3. Bestimme den Schwierigkeitsgrad der Skipiste.
1.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Deine Aufgabe ist es zu untersuchen ob die Profillinie des Geländes den Blick vom Endpunkt $D$ der Skipiste zum linken Befestigungspunkt $A$ des Tragseils behindert. Den Blick vom Punkt $D$ zum Punkt $A$ kannst du mit der Gerade $h$ durch die Punkte $D$ und $A$ beschreiben. Der Blick wird nun von der Profillinie behindert, wenn sich die Gerade $h$ und die Funktion $g$ im Intervall $\left(x_A; x_D\right)=\left(-9;0\right)$, also dem Bereich zwischen den Punkten $A$ und $D$, schneiden.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $D$.
  2. Überprüfe, ob die Gerade $h$ und die Funktion $g$ sich im Intervall $\left(-9;0\right)$ schneiden.
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Seilbahnnutzung bestimmen
Zuerst sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist des Skigebiets alpinen Skisport betreibt und diese Kabinenseilbahn benutzt, also die Wahrscheinlichkeit:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right)$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen.
$\blacktriangleright$  Erwartete Seilbahnnutzer bestimmen
Hier ist nach der Anzahl Touristen gefragt, die unter $1.000$ Wintertouristen erfahrungsgemäß die Seilbahn benutzen. Berechne dazu mit den dir gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Tourist die Seilbahn benutzt. Damit kannst du dann die erwarteten Besucher ausrechnen. Es ist also zuerst nach folgender Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)$.
Diese ist dir nicht direkt gegeben und du musst sie mit Hilfe der angegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dir sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten gegeben, dass ein Tourist der Skisport betreibt oder kein Skisport betreibt mit der Seilbahn fährt. Da die Touristen entweder Skisport betreiben oder nicht, kannst du mit den jeweils bedingten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit der Seilbahnnutzung bestimmen:
$\begin{array}{rll} &&P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)\\[5pt] &=&P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right) + P\left(\text{„Seilbahnnutzung und kein Skisport“}\right) \end{array}$
Die erste Wahrscheinlichkeit hast du bereits berechnet. Die zweite kannst du genauso mit der Pfadmultiplikationsregel und dem Gegenereignis bestimmen.
1.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Tickets bestimmen
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter $n=30$ erworbenen Tickets beschreibt. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „ermäßigt“ und „nicht ermäßigt“ gibt und mit einem Anteil von $10\,\%$ ermäßigte Tickets erworben werden. Es gilt dementsprechend $p=0,1$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als
$P\left(X > 3\right)=1-P\left(X \leq 3\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Tickets bestimmen
Betrachte hier wieder die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter der gesuchten Anzahl von $n$ erworbenen Tickets beschreibt. $X$ ist binomialverteilt mit $p=0,1$. Die Bedingung an $X$ lautet hier nun:
$P\left(X \geq 1\right) \geq 0,98$
Diese Bedingung können wir nun in eine Bedingung an $n$ umformen und die Mindestanzahl an Tickets bestimmen.
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Lösungen TI
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1.
1.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Punktes $A$ berechnen
Der Punkt $A$ ist der linke Befestigungspunkt des Tragseils und befindet sich somit auf der Funktion $s$. Setze also die $x$-Koordinate des Punktes $A$ in die Gleichung der Funktion $s$ ein, berechne also den Wert $s(-9)$.
$y_A=s(-9)= 8,227 \cdot 10^{-3} \cdot (-9)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot (-9) + 8,360 \approx 8,85$
Die $y$-Koordinate beträgt deshalb näherungsweise $8,85$.
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Der Höhenunterschied ist der Betrag der Differenz der $y$-Koordinaten. Berechne also $\left|y_A - y_B \right|$. Dafür benötigst du die $y$-Koordinate des Punktes $B$, die du analog zur ersten Teilaufgabe berechnen kannst.
$y_B=s(5,8)=8,227 \cdot 10^{-3} \cdot (5,8)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot (5,8) + 8,360 \approx 8,75$
Damit kannst du nun den Höhenunterschied berechnen:
$\left|y_A - y_B \right| \approx \left| 8,85 - 8,75\right| = \left|0,1\right| = 0,1$
Die Differenz der beiden $y$-Werte beträgt ca. $0,1$. $1$ Längeneinheit entspricht $100$ Metern, somit ist die Höhendifferenz etwa $0,1 \cdot 100 \text{ m}=10 \text{ m}$.
$\blacktriangleright$  Kleinste Höhe des Tragseils bestimmen
Deine Aufgabe ist es die kleinste Höhe des Tragseils zu bestimmen. Die Höhe des Tragseils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion $s$ beschrieben. Die geringste Höhe des Tragseils ist somit der Minimalwert der Funktion $s$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$. Bestimme also den Minimalwert der Funktion $s$. Diesen kannst du mit deinem GTR berechnen.
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $s$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 3:minimum
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $x=-9$ und $x=5,8$ ein.
Teil B1
Teil B1
Die minimale Höhe des Tragseils ist somit ca. $8,35 \cdot 100 \text{ m} =835 \text{ m}$.
1.2
$\blacktriangleright$  Fahrzeit einer Kabine berechnen
Hier ist die Fahrzeit einer Kabine zwischen den beiden Befestigungspunkten gesucht. Dazu hast du die Durchschnittsgeschwindigkeit und einen Hinweis zur Berechnung der Länge des Graphen einer Funktion gegeben.
Berechne zuerst die Länge des Tragseils, dann kannst du mit Hilfe der Durchschnittsgeschwindigkeit die Fahrzeit berechnen.
1. Schritt: Länge des Tragseils berechnen
Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion $s$ beschrieben, die Länge des Tragseils ist somit die Länge des Graphen der Funktion $s$. Mit dem Hinweis kannst du die Länge $l$ des Graphen von $s$ bestimmen. Die Länge $l$ ist durch folgende Formel gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}\left(\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}\right)\;\mathrm dx \end{array}$
Definierst du dir die Funktion $f(x)=\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}$, so musst du das folgende Integral berechen:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}f(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Berechne zuerst die erste Ableitung der Funktion $s$, um den Funktionsterm der Funktion $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} s(x)&=&8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 8,360 \\[10pt] s'(x)&=&2 \cdot \left(8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x \right)+ 1,955 \cdot 10^{-2} \\[5pt] &=&16,454 \cdot 10^{-3} \cdot x + 1,955 \cdot 10^{-2} \\[10pt] \end{array}$
Damit lautet die Funktionsgleichung von $f$ folgendermaßen:
$f(x)=\sqrt{1+\left(16,454 \cdot 10^{-3} \cdot x + 1,955 \cdot 10^{-2}\right)^2}$
Das Integral kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 7: $\displaystyle\int_{}^{}f(x)\;\mathrm dx$
den Befehl zum Bestimmen des Integrals aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend die untere Grenze $x=-9$ und die obere Grenze $x=5,8$ ein.
Teil B1
Teil B1
Das Tragseil hat somit ca. die Länge $14,837 \cdot 100 \text{ m}=1.483,7 \text{ m}$.
2. Schritt: Fahrzeit berechnen
Für Fahrzeit, Geschwindigkeit und Strecke gilt nun folgende Gleichung:
$\text{Fahrzeit} \cdot \text{Geschwindigkeit}=\text{zurückgelegte Strecke}$
Die zurückgelegte Strecke ist hier gerade die Länge $l=1.483,7 \text{ m}$, die Geschwindigkeit ist durch $7,5 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ gegeben. Nun kannst du die Gleichung nach der Fahrzeit umstellen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Fahrzeit} \cdot \text{Geschwindigkeit}&=&\text{zurückgelegte Strecke} \quad \scriptsize \mid\; : \text{Geschwindigkeit}\\[5pt] \text{Fahrzeit}&=& \dfrac{\text{zurückgelegte Strecke}}{ \text{Geschwindigkeit}} \\[5pt] &=& \dfrac{1.483,7 \text{ m}}{7,5\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] &\approx& 198 \text{ s} \end{array}$
Damit ist die Fahrzeit einer Kabine zwischen den zwei Befestigungspunkten $198 \text{ s}$.
1.3
$\blacktriangleright$  Größte Höhe des Tragseils über der Profillinie bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe die größte Höhe des Tragseils über der Profillinie zu bestimmen. Stelle dazu zuerst eine Funktion auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt, und berechne dann das Maximum dieser Funktion. Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Stelle die Funktion $d$ auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt.
  2. Berechne das Maximum der Funktion $d$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$.
1. Schritt: Funktion $\boldsymbol{d}$ aufstellen
Die Höhe des Tragseils über der Profillinie ist gerade die Differenz der Höhe des Tragseils und der Höhe der Profillinie des Geländes. Die Höhe des Tragseils wird durch die Funktion $s$ beschrieben, die Höhe der Profillinie des Geländes durch die Funktion $g$. Dementsprechend gilt für die Funktion $d$, die die Höhe des Tragseils über dem Gelände beschreibt:
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& s(x) - g(x) \\[5pt] &=& \left(8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 8,360\right) \\[5pt] &&- \left(1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + 3,125 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 +7,300\right)\\[5pt] &=& -1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + \left(8,227 \cdot 10^{-3} - 3,125 \cdot 10^{-2} \right) \cdot x^2 \\[5pt] &&+ 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + \left(8,36-7,3\right) \\[5pt] &=& -1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 1,06 \end{array}$
2. Schritt: Maximum der Funktion $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Nun musst du das Maximum der Funktion $d$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR.
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $d$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 4:maximum
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus und bestätige mit Enter. Gib anschließend deine Intervallgrenzen $x=-9$ und $x=5,8$ ein.
Teil B1
Teil B1
Die maximale Höhe des Tragseils über der Profillinie des Geländes ist somit ca. $1,06 \cdot 100 \text{ m} =106 \text{ m}$.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Mindesthöhe erfüllt ist
Nun sollst du zeigen, dass die Höhe zwischen dem Tragseil und dem Gelände an den Befestigungspunkten mindestens $9 \text{ m}$ ist. Berechne dazu die Höhen an den Stellen $x_A=-9$ und $x_B=5,8$ mit der Funktion $d$ und überprüfe die Bedingung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Befestigungspunkt $A$:
Berechne den Funktionswert $d(x_A)$:
$d(x_A)=d(-9)=-1,504 \cdot 10^{-3} \cdot\left( -9\right)^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot \left(-9\right)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot\left( -9\right) + 1,06 \approx 0,116$
Die Höhendifferenz beträgt an der Stelle $x_A$ ca. $0,116 \cdot 100 \text{ m}=11,6 \text{ m} > 9 \text{ m}$ und erfüllt somit die Bedingung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Befestigungspunkt $B$:
Berechne den Funktionswert $d(x_B)$:
$d(x_B)=d(5,8)=-1,504 \cdot 10^{-3} \cdot\left( 5,8\right)^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot \left(5,8\right)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot 5,8 + 1,06 \approx 0,105$
Die Höhendifferenz beträgt an der Stelle $x_B$ ca. $0,105 \cdot 100 \text{ m}=10,5 \text{ m} > 9 \text{ m}$ und erfüllt somit die Bedingung.
1.4
$\blacktriangleright$  Schwierigkeitsgrad der Skipiste bestimmen
Hier sollst du den Schwierigkeitsgrad der beschriebenen Skipiste bestimmen. Eine Skipiste wird nach ihrem maximalen Gefälle bewertet. Berechne also das maximale Gefälle der Skipiste.
Die Skipiste wird durch die Funktion $g$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ beschrieben. Das Gefälle der Skipiste ist dementsprechend die Steigung der Funktion $g$, die durch die erste Ableitung $g'$ beschrieben wird. Um das maximale Gefälle zu bestimmen, musst du somit die betragsmäßig größte negative Steigung der Funktion $g$, also das Minimum der Funktion $g'$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ bestimmen. Hast du dieses gegeben, so kannst du die Schwierigkeit der Skipiste bewerten.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die erste Ableitung $g'$.
  2. Bestimme das Minimum von $g'$.
  3. Bestimme den Schwierigkeitsgrad der Skipiste.
1. Schritt: Erste Ableitung von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Leite hierzu die Funktion $g$ ab:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + 3,125 \cdot 10^{-2}\cdot x^2 + 7,3 \\[10pt] g'(x)&=&3 \cdot \left(1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^2\right) + 2 \cdot \left(3,125 \cdot 10^{-2}\cdot x\right) \\[5pt] &=&4,512 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 6,25 \cdot 10^{-2}\cdot x \end{array}$
2. Schritt: Minimum von $\boldsymbol{g'}$ bestimmen
Bestimme nun den Minimalwert der Funktion $g'$. Dies kannst du mit deinem GTR wie bereits in 1.1. Du erhältst:
Teil B1
Teil B1
Der Minimalwert der Funktion $g'$ ist somit ca. $-0,216$. Das maximale Gefälle der Skipiste ist somit ca. $21,6\,\%$.
3. Schritt: Schwierigkeitsgrad der Skipiste bestimmen
Das Gefälle der Skipiste beträgt $21,6\,\%$. Es gilt: $21,6\,\% < 25\,\%$. Somit handelt es sich bei der Skipiste um eine blaue Piste.
1.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Deine Aufgabe ist es zu untersuchen ob die Profillinie des Geländes den Blick vom Endpunkt $D$ der Skipiste zum linken Befestigungspunkt $A$ des Tragseils behindert. Den Blick vom Punkt $D$ zum Punkt $A$ kannst du mit der Gerade $h$ durch die Punkte $D$ und $A$ beschreiben. Der Blick wird nun von der Profillinie behindert, wenn sich die Gerade $h$ und die Funktion $g$ im Intervall $\left(x_A; x_D\right)=\left(-9;0\right)$, also dem Bereich zwischen den Punkten $A$ und $D$, schneiden.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $D$.
  2. Überprüfe, ob die Gerade $h$ und die Funktion $g$ sich im Intervall $\left(-9;0\right)$ schneiden.
1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Die allgemeine Form einer Gerade lautet: $y=a\cdot x +b$. Setze also die beiden gegebenen Punkte $A(-9 \mid 8,85)$ und $D(0 \mid g(0))$ ein und du erhältst ein lineares Gleichungssystem. Berechne dazu zuerst die $x$-Koordinate des Punktes $D$:
$g(0)= 1,504 \cdot 10^{-3} \cdot 0^3 + 3,125 \cdot 10^{-2}\cdot 0^2 + 7,3=7,3$
Damit erhältst du folgendes LGS:
$\begin{array}{lrclll} \text{I}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& b&\quad \\ \text{II}\quad&7,3&=& a \cdot 0& +& b&\quad\\ \hline \text{I}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& b&\quad\scriptsize \mid\; \text{II einsetzen} \\ \text{II}\quad&7,3&=& & & b&\quad\\ \hline \text{Ia}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& 7,3&\quad\scriptsize \mid\; -7,3 \\ &1,55&=&a \cdot (-9)&&&\quad\scriptsize \mid\; :(-9)\\ &-0,172&=&a&&&\quad \\ \text{II}\quad&7,3&=& & +& b&\quad\\ \end{array}$
Es gilt somit $a=-0,172$ und $b=7,3$. Die Gerade $h$ ist damit durch folgende Geradengleichung gegeben:
$h:\, h(x)=y=\left(-0,172\right) \cdot x + 7,3$
2. Schritt: $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ auf Schnittpunke überprüfen
Überprüfe nun mit deinem GTR, ob die Funktion $g$ und die Gerade $h$ einen Schnittpunkt im Intervall $\left(-9;0\right)$ besitzen.
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $h$. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen.
Wähle dann unter
2nd $\to$ CALC (TRACE) $\to$ 5:intersect
den Befehl zum Bestimmen der Schnittpunkte aus und bestätige mit Enter.
Teil B1
Teil B1
Der einzige Schnittpunkt ist $x=0$ und somit außerhalb des Intervalls $\left(0;9\right)$. Insgesamt existieren somit keine Schnittstellen im Intervall $\left(-9;0\right)$ und damit ist der Blick nicht behindert.
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Seilbahnnutzung bestimmen
Zuerst sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist des Skigebiets alpinen Skisport betreibt und diese Kabinenseilbahn benutzt, also die Wahrscheinlichkeit:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right)$.
Dir ist zum einen gegeben, dass $72\,\%$ der Wintertouristen alpinen Skisport betreiben, zum anderen ist dir gegeben, dass $95\,\%$ der Touristen, die alpinen Skisport betreiben, die Seilbahn benutzen:
$P\left(\text{„Skisport“}\right)=0,72$,
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„Skisport“}\right)=0,95$.
Nun kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}{rll} P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right) &=& P\left(\text{„Skisport“}\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„Skisport“}\right) \\[5pt] &=& 0,72 \cdot 0,95 = 0,684 =68,4\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist alpinen Skisport betreibt und die Seilbahn benutzt, liegt bei $68,4\,\%$.
$\blacktriangleright$  Erwartete Seilbahnnutzer bestimmen
Hier ist nach der Anzahl Touristen gefragt, die unter $1.000$ Wintertouristen erfahrungsgemäß die Seilbahn benutzen. Berechne dazu mit den dir gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Tourist die Seilbahn benutzt. Damit kannst du dann die erwarteten Besucher ausrechnen. Es ist also zuerst nach folgender Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)$.
Diese ist dir nicht direkt gegeben und du musst sie mit Hilfe der angegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dir sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten gegeben, dass ein Tourist der Skisport betreibt oder kein Skisport betreibt mit der Seilbahn fährt. Da die Touristen entweder Skisport betreiben oder nicht, kannst du mit den jeweils bedingten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit der Seilbahnnutzung bestimmen:
$\begin{array}{rll} &&P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)\\[5pt] &=&P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right) + P\left(\text{„Seilbahnnutzung und kein Skisport“}\right) \end{array}$
Die erste Wahrscheinlichkeit hast du bereits berechnet. Die zweite kannst du genauso mit der Pfadmultiplikationsregel und dem Gegenereignis bestimmen:
$\begin{array}{rll} &&P\left(\text{„Seilbahnnutzung und kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& P\left(\text{„kein Skisport“}\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& \left(1- P\left(\text{„Skisport“}\right)\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& \left(1- 0,72\right) \cdot 0,50 = 0,28 \cdot 0,5 = 0,14 =14\,\% \end{array}$
Also gilt für die Wahrscheinlichkeit der Seilbahnnutzung:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)= 0,684 + 0,14 =0,824=82,4\,\%$
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit $1.000$, um die erwartete Anzahl an Seilbahnnutzern zu bestimmen:
$1.000 \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right) = 1.000 \cdot 0,824 = 824$
Damit benutzen erfahrungsgemäß $824$ von $1.000$ Wintertouristen die Kabinenseilbahn.
1.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Tickets bestimmen
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter $n=30$ erworbenen Tickets beschreibt. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „ermäßigt“ und „nicht ermäßigt“ gibt und mit einem Anteil von $10\,\%$ ermäßigte Tickets erworben werden. Es gilt dementsprechend $p=0,1$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als
$P\left(X > 3\right)=1-P\left(X \leq 3\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen. Verwende dazu den binomcdf-Befehl deines GTR. Diesen findest du unter
2ND $\to$ VARS(DISTR) $\to$ B: binomcdf
Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =30$, $p =0,1$ und $x = 3$ eingeben.
Teil B1
Teil B1
Du erhältst dann das Ergebnis $P(X \leq 3) \approx 0,6474 = 64,74\,\%$. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P\left(X > 3\right)=1-P\left(X \leq 3\right) \approx 1-0,6474= 0,3526 = 35,26 \,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind, liegt bei ca. $35,26\,\%$.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Tickets bestimmen
Betrachte hier wieder die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter der gesuchten Anzahl von $n$ erworbenen Tickets beschreibt. $X$ ist binomialverteilt mit $p=0,1$. Die Bedingung an $X$ lautet hier nun:
$P\left(X \geq 1\right) \geq 0,98$
Diese Bedingung können wir nun in eine Bedingung an $n$ umformen und die Mindestanzahl an Tickets bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(X \geq 1\right) &\geq& 0,98 \\[5pt] 1- P\left(X < 1\right) &\geq& 0,98 \\[5pt] 1- P\left(X =0 \right) &\geq& 0,98 &\quad \mid\; -1\\[5pt] - P\left(X =0 \right) &\geq& -0,02 &\quad \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P\left(X =0 \right) &\leq& 0,02\\[5pt] \binom{n}{0} \cdot \left(0,1\right)^0 \cdot \left(0,9\right)^n &\leq& 0,02\\[5pt] \left(0,9\right)^n &\leq& 0,02&\quad \mid\; ln\\[5pt] \ln\left(\left(0,9\right)^n\right) &\leq& \ln\left(0,02\right)\\[5pt] n \cdot \ln\left(0,9\right) &\leq& \ln\left(0,02\right)&\quad\mid\; :\ln\left(0,9\right)\, \left(< 0\right)\\[5pt] n &\geq& \dfrac{\ln\left(0,02\right)}{\ln\left(0,9\right)}\\[5pt] &\approx& 37,13 \end{array}$
Da $n$ nur ganze Zahlen annehmen kann, ist die Mindestanzahl $n=38$. Es müssen somit $38$ Tickets erworben werden, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens ein ermäßigtes Ticket erworben wird.
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1.
1.1
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{y}$-Koordinate des Punktes $A$ berechnen
Der Punkt $A$ ist der linke Befestigungspunkt des Tragseils und befindet sich somit auf der Funktion $s$. Setze also die $x$-Koordinate des Punktes $A$ in die Gleichung der Funktion $s$ ein, berechne also den Wert $s(-9)$.
$y_A=s(-9)= 8,227 \cdot 10^{-3} \cdot (-9)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot (-9) + 8,360 \approx 8,85$
Die $y$-Koordinate beträgt deshalb näherungsweise $8,85$.
$\blacktriangleright$  Höhenunterschied berechnen
Der Höhenunterschied ist der Betrag der Differenz der $y$-Koordinaten. Berechne also $\left|y_A - y_B \right|$. Dafür benötigst du die $y$-Koordinate des Punktes $B$, die du analog zur ersten Teilaufgabe berechnen kannst.
$y_B=s(5,8)=8,227 \cdot 10^{-3} \cdot (5,8)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot (5,8) + 8,360 \approx 8,75$
Damit kannst du nun den Höhenunterschied berechnen:
$\left|y_A - y_B \right| \approx \left| 8,85 - 8,75\right| = \left|0,1\right| = 0,1$
Die Differenz der beiden $y$-Werte beträgt ca. $0,1$. $1$ Längeneinheit entspricht $100$ Metern, somit ist die Höhendifferenz etwa $0,1 \cdot 100 \text{ m}=10 \text{ m}$.
$\blacktriangleright$  Kleinste Höhe des Tragseils bestimmen
Deine Aufgabe ist es die kleinste Höhe des Tragseils zu bestimmen. Die Höhe des Tragseils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion $s$ beschrieben. Die geringste Höhe des Tragseils ist somit der Minimalwert der Funktion $s$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$. Bestimme also den Minimalwert der Funktion $s$. Diesen kannst du mit deinem GTR berechnen.
Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $s$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $x=-9$ und $x=5,8$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F3 (MIN)
den Befehl zum Bestimmen des Minimums aus.
Teil B1
Teil B1
Die minimale Höhe des Tragseils ist somit ca. $8,35 \cdot 100 \text{ m} =835 \text{ m}$.
1.2
$\blacktriangleright$  Fahrzeit einer Kabine berechnen
Hier ist die Fahrzeit einer Kabine zwischen den beiden Befestigungspunkten gesucht. Dazu hast du die Durchschnittsgeschwindigkeit und einen Hinweis zur Berechnung der Länge des Graphen einer Funktion gegeben.
Berechne zuerst die Länge des Tragseils, dann kannst du mit Hilfe der Durchschnittsgeschwindigkeit die Fahrzeit berechnen.
1. Schritt: Länge des Tragseils berechnen
Der Verlauf des Tragseils wird durch die Funktion $s$ beschrieben, die Länge des Tragseils ist somit die Länge des Graphen der Funktion $s$. Mit dem Hinweis kannst du die Länge $l$ des Graphen von $s$ bestimmen. Die Länge $l$ ist durch folgende Formel gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}\left(\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}\right)\;\mathrm dx \end{array}$
Definierst du dir die Funktion $f(x)=\sqrt{1+\left(s'(x)\right)^2}$, so musst du das folgende Integral berechen:
$\begin{array}[t]{rll} l&=&\displaystyle\int_{-9}^{5,8}f(x)\;\mathrm dx \end{array}$
Berechne zuerst die erste Ableitung der Funktion $s$, um den Funktionsterm der Funktion $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} s(x)&=&8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 8,360 \\[10pt] s'(x)&=&2 \cdot \left(8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x \right)+ 1,955 \cdot 10^{-2} \\[5pt] &=&16,454 \cdot 10^{-3} \cdot x + 1,955 \cdot 10^{-2} \\[10pt] \end{array}$
Damit lautet die Funktionsgleichung von $f$ folgendermaßen:
$f(x)=\sqrt{1+\left(16,454 \cdot 10^{-3} \cdot x + 1,955 \cdot 10^{-2}\right)^2}$
Das Integral kannst du nun mit deinem GTR berechnen. Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $f$. Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Bestimme dann über
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3 ($\displaystyle\int$dx) $\to$ F1 ($\displaystyle\int$dx)
das Integral über $f$ in den Grenzen des Intervalls $\left[-9;5,8\right]$.
Teil B1
Teil B1
Das Tragseil hat somit ca. die Länge $14,837 \cdot 100 \text{ m}=1.483,7 \text{ m}$.
2. Schritt: Fahrzeit berechnen
Für Fahrzeit, Geschwindigkeit und Strecke gilt nun folgende Gleichung:
$\text{Fahrzeit} \cdot \text{Geschwindigkeit}=\text{zurückgelegte Strecke}$
Die zurückgelegte Strecke ist hier gerade die Länge $l=1.483,7 \text{ m}$, die Geschwindigkeit ist durch $7,5 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ gegeben. Nun kannst du die Gleichung nach der Fahrzeit umstellen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Fahrzeit} \cdot \text{Geschwindigkeit}&=&\text{zurückgelegte Strecke} \quad \scriptsize \mid\; : \text{Geschwindigkeit}\\[5pt] \text{Fahrzeit}&=& \dfrac{\text{zurückgelegte Strecke}}{ \text{Geschwindigkeit}} \\[5pt] &=& \dfrac{1.483,7 \text{ m}}{7,5\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] &\approx& 198 \text{ s} \end{array}$
Damit ist die Fahrzeit einer Kabine zwischen den zwei Befestigungspunkten $198 \text{ s}$.
1.3
$\blacktriangleright$  Größte Höhe des Tragseils über der Profillinie bestimmen
Hier ist es deine Aufgabe die größte Höhe des Tragseils über der Profillinie zu bestimmen. Stelle dazu zuerst eine Funktion auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt, und berechne dann das Maximum dieser Funktion. Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Stelle die Funktion $d$ auf, die die Höhe des Tragseils über der Profillinie beschreibt.
  2. Berechne das Maximum der Funktion $d$ im Intervall $\left[-9;5,8\right]$.
1. Schritt: Funktion $\boldsymbol{d}$ aufstellen
Die Höhe des Tragseils über der Profillinie ist gerade die Differenz der Höhe des Tragseils und der Höhe der Profillinie des Geländes. Die Höhe des Tragseils wird durch die Funktion $s$ beschrieben, die Höhe der Profillinie des Geländes durch die Funktion $g$. Dementsprechend gilt für die Funktion $d$, die die Höhe des Tragseils über dem Gelände beschreibt:
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& s(x) - g(x) \\[5pt] &=& \left(8,227 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 8,360\right) \\[5pt] &&- \left(1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + 3,125 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 +7,300\right)\\[5pt] &=& -1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + \left(8,227 \cdot 10^{-3} - 3,125 \cdot 10^{-2} \right) \cdot x^2 \\[5pt] &&+ 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + \left(8,36-7,3\right) \\[5pt] &=& -1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot x^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot x + 1,06 \end{array}$
2. Schritt: Maximum der Funktion $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Nun musst du das Maximum der Funktion $d$ bestimmen. Dies kannst du mit deinem GTR.
Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $d$. Hast du diesen dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $x=-9$ und $x=5,8$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir den zugehörigen Graph über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F2 (MAX)
den Befehl zum Bestimmen des Maximums aus.
Teil B1
Teil B1
Die maximale Höhe des Tragseils über der Profillinie des Geländes ist somit ca. $1,06 \cdot 100 \text{ m} =106 \text{ m}$.
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass Mindesthöhe erfüllt ist
Nun sollst du zeigen, dass die Höhe zwischen dem Tragseil und dem Gelände an den Befestigungspunkten mindestens $9 \text{ m}$ ist. Berechne dazu die Höhen an den Stellen $x_A=-9$ und $x_B=5,8$ mit der Funktion $d$ und überprüfe die Bedingung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Befestigungspunkt $A$:
Berechne den Funktionswert $d(x_A)$:
$d(x_A)=d(-9)=-1,504 \cdot 10^{-3} \cdot\left( -9\right)^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot \left(-9\right)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot\left( -9\right) + 1,06 \approx 0,116$
Die Höhendifferenz beträgt an der Stelle $x_A$ ca. $0,116 \cdot 100 \text{ m}=11,6 \text{ m} > 9 \text{ m}$ und erfüllt somit die Bedingung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$  Befestigungspunkt $B$:
Berechne den Funktionswert $d(x_B)$:
$d(x_B)=d(5,8)=-1,504 \cdot 10^{-3} \cdot\left( 5,8\right)^3 - 2,302 \cdot 10^{-2}\cdot \left(5,8\right)^2 + 1,955 \cdot 10^{-2} \cdot 5,8 + 1,06 \approx 0,105$
Die Höhendifferenz beträgt an der Stelle $x_B$ ca. $0,105 \cdot 100 \text{ m}=10,5 \text{ m} > 9 \text{ m}$ und erfüllt somit die Bedingung.
1.4
$\blacktriangleright$  Schwierigkeitsgrad der Skipiste bestimmen
Hier sollst du den Schwierigkeitsgrad der beschriebenen Skipiste bestimmen. Eine Skipiste wird nach ihrem maximalen Gefälle bewertet. Berechne also das maximale Gefälle der Skipiste.
Die Skipiste wird durch die Funktion $g$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ beschrieben. Das Gefälle der Skipiste ist dementsprechend die Steigung der Funktion $g$, die durch die erste Ableitung $g'$ beschrieben wird. Um das maximale Gefälle zu bestimmen, musst du somit die betragsmäßig größte negative Steigung der Funktion $g$, also das Minimum der Funktion $g'$ auf dem Intervall $\left[-9;0\right]$ bestimmen. Hast du dieses gegeben, so kannst du die Schwierigkeit der Skipiste bewerten.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die erste Ableitung $g'$.
  2. Bestimme das Minimum von $g'$.
  3. Bestimme den Schwierigkeitsgrad der Skipiste.
1. Schritt: Erste Ableitung von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Leite hierzu die Funktion $g$ ab:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^3 + 3,125 \cdot 10^{-2}\cdot x^2 + 7,3 \\[10pt] g'(x)&=&3 \cdot \left(1,504 \cdot 10^{-3} \cdot x^2\right) + 2 \cdot \left(3,125 \cdot 10^{-2}\cdot x\right) \\[5pt] &=&4,512 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 + 6,25 \cdot 10^{-2}\cdot x \end{array}$
2. Schritt: Minimum von $\boldsymbol{g'}$ bestimmen
Bestimme nun den Minimalwert der Funktion $g'$. Dies kannst du mit deinem GTR wie bereits in 1.1. Du erhältst:
Teil B1
Teil B1
Der Minimalwert der Funktion $g'$ ist somit ca. $-0,216$. Das maximale Gefälle der Skipiste ist somit ca. $21,6\,\%$.
3. Schritt: Schwierigkeitsgrad der Skipiste bestimmen
Das Gefälle der Skipiste beträgt $21,6\,\%$. Es gilt: $21,6\,\% < 25\,\%$. Somit handelt es sich bei der Skipiste um eine blaue Piste.
1.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Deine Aufgabe ist es zu untersuchen ob die Profillinie des Geländes den Blick vom Endpunkt $D$ der Skipiste zum linken Befestigungspunkt $A$ des Tragseils behindert. Den Blick vom Punkt $D$ zum Punkt $A$ kannst du mit der Gerade $h$ durch die Punkte $D$ und $A$ beschreiben. Der Blick wird nun von der Profillinie behindert, wenn sich die Gerade $h$ und die Funktion $g$ im Intervall $\left(x_A; x_D\right)=\left(-9;0\right)$, also dem Bereich zwischen den Punkten $A$ und $D$, schneiden.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $D$.
  2. Überprüfe, ob die Gerade $h$ und die Funktion $g$ sich im Intervall $\left(-9;0\right)$ schneiden.
1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Die allgemeine Form einer Gerade lautet: $y=a\cdot x +b$. Setze also die beiden gegebenen Punkte $A(-9 \mid 8,85)$ und $D(0 \mid g(0))$ ein und du erhältst ein lineares Gleichungssystem. Berechne dazu zuerst die $x$-Koordinate des Punktes $D$:
$g(0)= 1,504 \cdot 10^{-3} \cdot 0^3 + 3,125 \cdot 10^{-2}\cdot 0^2 + 7,3=7,3$
Damit erhältst du folgendes LGS:
$\begin{array}{lrclll} \text{I}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& b&\quad \\ \text{II}\quad&7,3&=& a \cdot 0& +& b&\quad\\ \hline \text{I}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& b&\quad\scriptsize \mid\; \text{II einsetzen} \\ \text{II}\quad&7,3&=& & & b&\quad\\ \hline \text{Ia}\quad&8,85&=&a \cdot (-9)& +& 7,3&\quad\scriptsize \mid\; -7,3 \\ &1,55&=&a \cdot (-9)&&&\quad\scriptsize \mid\; :(-9)\\ &-0,172&=&a&&&\quad \\ \text{II}\quad&7,3&=& & +& b&\quad\\ \end{array}$
Es gilt somit $a=-0,172$ und $b=7,3$. Die Gerade $h$ ist damit durch folgende Geradengleichung gegeben:
$h:\, h(x)=y=\left(-0,172\right) \cdot x + 7,3$
2. Schritt: $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ auf Schnittpunke überprüfen
Überprüfe nun mit deinem GTR, ob die Funktion $g$ und die Gerade $h$ einen Schnittpunkt im Intervall $\left(-9;0\right)$ besitzen.
Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $h$. Hast du diese dort gespeichert, gib unter
SHIFT $\to$ F3 (V-Window)
die Intervallgrenzen $x=-9$ und $x=0$ ein. Wechsle wieder in das Y=-Menü und lass dir die zugehörigen Graphen über DRAW anzeigen.
Wähle dann unter
SHIFT $\to$ F5 (G-Solv) $\to$ F5 (INTSECT)
den Befehl zum Bestimmen der Schnittpunkte aus.
Teil B1
Teil B1
Der einzige Schnittpunkt ist $x=0$ und somit außerhalb des Intervalls $\left(0;9\right)$. Insgesamt existieren somit keine Schnittstellen im Intervall $\left(-9;0\right)$ und damit ist der Blick nicht behindert.
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Seilbahnnutzung bestimmen
Zuerst sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist des Skigebiets alpinen Skisport betreibt und diese Kabinenseilbahn benutzt, also die Wahrscheinlichkeit:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right)$.
Dir ist zum einen gegeben, dass $72\,\%$ der Wintertouristen alpinen Skisport betreiben, zum anderen ist dir gegeben, dass $95\,\%$ der Touristen, die alpinen Skisport betreiben, die Seilbahn benutzen:
$P\left(\text{„Skisport“}\right)=0,72$,
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„Skisport“}\right)=0,95$.
Nun kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{array}{rll} P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right) &=& P\left(\text{„Skisport“}\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„Skisport“}\right) \\[5pt] &=& 0,72 \cdot 0,95 = 0,684 =68,4\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Wintertourist alpinen Skisport betreibt und die Seilbahn benutzt, liegt bei $68,4\,\%$.
$\blacktriangleright$  Erwartete Seilbahnnutzer bestimmen
Hier ist nach der Anzahl Touristen gefragt, die unter $1.000$ Wintertouristen erfahrungsgemäß die Seilbahn benutzen. Berechne dazu mit den dir gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Tourist die Seilbahn benutzt. Damit kannst du dann die erwarteten Besucher ausrechnen. Es ist also zuerst nach folgender Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)$.
Diese ist dir nicht direkt gegeben und du musst sie mit Hilfe der angegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dir sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten gegeben, dass ein Tourist der Skisport betreibt oder kein Skisport betreibt mit der Seilbahn fährt. Da die Touristen entweder Skisport betreiben oder nicht, kannst du mit den jeweils bedingten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit der Seilbahnnutzung bestimmen:
$\begin{array}{rll} &&P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)\\[5pt] &=&P\left(\text{„Seilbahnnutzung und Skisport“}\right) + P\left(\text{„Seilbahnnutzung und kein Skisport“}\right) \end{array}$
Die erste Wahrscheinlichkeit hast du bereits berechnet. Die zweite kannst du genauso mit der Pfadmultiplikationsregel und dem Gegenereignis bestimmen:
$\begin{array}{rll} &&P\left(\text{„Seilbahnnutzung und kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& P\left(\text{„kein Skisport“}\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& \left(1- P\left(\text{„Skisport“}\right)\right) \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“} \mid \text{„kein Skisport“}\right) \\[5pt] &=& \left(1- 0,72\right) \cdot 0,50 = 0,28 \cdot 0,5 = 0,14 =14\,\% \end{array}$
Also gilt für die Wahrscheinlichkeit der Seilbahnnutzung:
$P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right)= 0,684 + 0,14 =0,824=82,4\,\%$
Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit $1.000$, um die erwartete Anzahl an Seilbahnnutzern zu bestimmen:
$1.000 \cdot P\left(\text{„Seilbahnnutzung“}\right) = 1.000 \cdot 0,824 = 824$
Damit benutzen erfahrungsgemäß $824$ von $1.000$ Wintertouristen die Kabinenseilbahn.
1.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für Tickets bestimmen
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter $n=30$ erworbenen Tickets beschreibt. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „ermäßigt“ und „nicht ermäßigt“ gibt und mit einem Anteil von $10\,\%$ ermäßigte Tickets erworben werden. Es gilt dementsprechend $p=0,1$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als
$P\left(X > 3\right)=1-P\left(X \leq 3\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen. Du kannst den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter
F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F2: Bcd $\to$ F2: Var
Du musst dann die entsprechenden Parameter $x=3$, $n=30$ und $p=0,1$ eingeben:
Teil B1
Teil B1
Du erhältst dann das Ergebnis $P(X \leq 3) \approx 0,6474 = 64,74\,\%$. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P\left(X > 3\right)=1-P\left(X \leq 3\right) \approx 1-0,6474= 0,3526 = 35,26 \,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass von $30$ erworbenen Tickets mehr als drei Tickets ermäßigt sind, liegt bei ca. $35,26\,\%$.
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl an Tickets bestimmen
Betrachte hier wieder die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an erworbenen ermäßigten Tickets unter der gesuchten Anzahl von $n$ erworbenen Tickets beschreibt. $X$ ist binomialverteilt mit $p=0,1$. Die Bedingung an $X$ lautet hier nun:
$P\left(X \geq 1\right) \geq 0,98$
Diese Bedingung können wir nun in eine Bedingung an $n$ umformen und die Mindestanzahl an Tickets bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(X \geq 1\right) &\geq& 0,98 \\[5pt] 1- P\left(X < 1\right) &\geq& 0,98 \\[5pt] 1- P\left(X =0 \right) &\geq& 0,98 &\quad \mid\; -1\\[5pt] - P\left(X =0 \right) &\geq& -0,02 &\quad \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P\left(X =0 \right) &\leq& 0,02\\[5pt] \binom{n}{0} \cdot \left(0,1\right)^0 \cdot \left(0,9\right)^n &\leq& 0,02\\[5pt] \left(0,9\right)^n &\leq& 0,02&\quad \mid\; ln\\[5pt] \ln\left(\left(0,9\right)^n\right) &\leq& \ln\left(0,02\right)\\[5pt] n \cdot \ln\left(0,9\right) &\leq& \ln\left(0,02\right)&\quad\mid\; :\ln\left(0,9\right)\, \left(< 0\right)\\[5pt] n &\geq& \dfrac{\ln\left(0,02\right)}{\ln\left(0,9\right)}\\[5pt] &\approx& 37,13 \end{array}$
Da $n$ nur ganze Zahlen annehmen kann, ist die Mindestanzahl $n=38$. Es müssen somit $38$ Tickets erworben werden, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens ein ermäßigtes Ticket erworben wird.
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