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Teil B1

Aufgaben
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Im Jahr 1882 wurde im Odenwald der Krähbergtunnel eröffnet.
Die Frontfläche des Tunnelportals des Krähbergtunnels mit der Portalöffnung kann in einem kartesischen Koordinatensystem ($1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter) dargestellt werden (siehe Abbildung 1).
In den Punkten $S_1$ und $S_2$ gehen die linke bzw. die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung in die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung über. In den Punkten $F_1$ und $F_2$ gehen die linke bzw. die rechte Begrnzungslinie der Portalöffnung in die jweilige untere Begrenzungslinie der Frontfläche des Tunnelportals über.
Die Frontfläche des Tunnelportals ist achsensymmetrisch.
1.1
Ermittle die Länge der Strecke $\overline{F_1F_2}.$
Zeige, dass der Punkt $S_2(1,80\mid 2,40)$ auf den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ liegt.
Gib eine Gleichung der Geraden an, auf der die Punkte $F_1$ und $S_1$ liegen.
(5 BE)
1.2
Berechne die Größe des Winkels, unter dem die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung in die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung übergeht. r
(3 BE)
1.3
Der Krähbergtunnel ist $3.100$ Meter langund verläuft geradlinig sowie senkrecht zur Portalöffnung. Die Deckenfläche und die Seitenflächen im Inneren des Tunnels sollen saniert werden.
Die Deckenfläche schließt sich an die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung an. Die Seitenflächen schließen sich an die rechte und linke Begrenzungslinie der Portalöffnung an.
An jeder Stelle des Tunnels ist die Querschnittsfläche des Tunnels kongruent zur Fläche der Portalöffnung.
Die Länge der oberen Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen den Punkten $S_1$ und $S_2$ beträgt $5,09$ Meter.
Bestimme den Inhalt der zu sanierenden Fläche im Inneren des Krähbergtunnels.
(3 BE)
1.4
Die Frontfläche des Tunnelportals soll ebenfalls saniert werden. Berechne den Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals.
(4 BE)
1.5
(3 BE)
Für die Sanierung des Tunnelportals werden von einer Firma Sandsteinplatten geliefert. Erfahrungsgemäß ist eine gelieferte Sandsteinplatte zu $95\,\%$ für die Sanierung geeignet.
1.6
Die Firma liefert zunächst $130$ Sandsteinplatten für die Sanierung des Tunnelportals.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis $A:$ Es sind mindestens $96$ Sandstandplatten, jedoch höchstens $120$ Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet.
Ereignis $B:$ Es sind mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet als zu erwarten ist.
(4 BE)
1.7
Für die Sanierung des Tunnelportals werden $125$ Sandsteinplatten benötigt.
Ermittle die Anzahl der zu liefernden Sandsteinplatten, damit mit eienr Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ die Anzahl der gelieferten Sandsteinplatten für die Sanierung ausreicht.
(3 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke ermitteln
Da die untere Begrenzungslinie der Portalöffnung auf der $x$-Achse liegt und die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung auf dem Graphen von $g$ liegt, ist $F_2$ der Schnittpunkt des Graphen von $g$ mit der $x$-Achse.
$F_1$ entspricht der Spiegelung von $F_2$ an der $y$-Achse und liegt daher ebenfalls auf der $x$-Achse. Die Länge der Strecke ergibt sich daher über den doppelten Betrag der $x$-Koordinate von $F_2.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x_{F_2})&=& 0 \\[5pt] 10,0\cdot x-15,6&=&0&\quad \scriptsize\mid\;+15,6 \\[5pt] 10,0\cdot x&=& 15,6 &\quad \scriptsize\mid\;:10 \\[5pt] x_{F_2}&=& 1,56 \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten der Punkte lauten also $F_1(-1,56\mid 0)$ und $F_2(1,56\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{F_1F_2}\right|&=& 2\cdot 1,56 \\[5pt] &=& 3,12\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Strecke $\overline{F_1F_2}$ beträgt $3,12.$
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt
Der Punkt $S_2$ liegt auf beiden Graphen, wenn seine Koordinaten die beiden Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ erfüllt. Einsetzen der Koordinaten von $S_2$ in die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(1,8)&=& -0,1128\cdot 1,80^4 -0,0789\cdot 1,80^2 +3,8400\\[5pt] &\approx&2,40 \\[10pt] g(1,8)&=& 10,0\cdot 1,8-15,6 \\[5pt] &=& 2,4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1,8)&\approx&2,40 \\[10pt] g(1,8)&=& 2,4 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $S_2$ liegt damit auf den Graphen beider Funktionen $f$ und $g.$
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Die beiden Punkte $F_2$ und $S_2$ liegen auf dem Graphen der Funktion $g.$ Da die Frontfläche des Tunnelportals achsensymmetrisch ist, entsteht die gesuchte Gerade $h$ durch die Punkte $F_1$ und $S_1$ durch Spiegelung des Graphen von $g$ an der $y$-Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&g(-x) \\[5pt] &=& 10,0\cdot (-x)-15,6 \\[5pt] &=& -10,0\cdot x-15,6 \end{array}$
$ h(x)=-10,0\cdot x-15,6 $
Die Punkte $F_1$ und $S_1$ liegen auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $h(x)= -10,0\cdot x -15,6.$
1.2
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels angeben
Die entsprechenden Begrenzungslinien liegen auf den Graphen von $f$ und $g$. Gesucht ist also der größere der beiden Winkel, die von diesen beiden Graphen gebildet werden.
Es wurde bereits gezeigt, dass der Punkt $S_2(1,80\mid 2,40)$ auf beiden Graphen liegt, also der Schnittpunkt dieser ist.
Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ kann daher anhand der Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Graphen in diesem Punkt mit dem Tangens berechnet werden. Diese Steigungswerte ergeben sich durch die zugehörige Ableitungsfunktion $f'$ bzw. $g'.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-0,1128\cdot x^4 -0,0789\cdot x^2 +3,8400\\[10pt] f'(x)&=&-4\cdot0,1128\cdot x^3-2\cdot 0,0789\cdot x \\[5pt] &=& -0,4512x^3-0,1578x \\[10pt] f'(1,80)&=& -0,4512\cdot 1,80^3-0,1578\cdot 1,80 \\[5pt] &\approx&-2,92 \\[10pt] g'(x)&=&10 \\[10pt] g'(1,80)&=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \\[5pt] \tan \alpha&=& \dfrac{f'(1,80)-g'(1,80)}{1+g'(1,80)\cdot f'(1,80)} \\[5pt] \tan \alpha&=& \dfrac{-2,92-10}{1+10\cdot (-2,92)} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 24,62^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 24,64^{\circ} $
Der gesuchte Winkel ist der Gegenwinkel $\beta$ von $\alpha:$
$\beta= 1-\alpha \approx 155,38^{\circ}$
Die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung trifft in einem Winkel der Größe $\approx 155^{\circ}$ auf die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung.
#schnittwinkel
1.3
$\blacktriangleright$  Inhalt der zu sanierenden Fläche berechnen
Die zu sanierende Fläche setzt sich zusammen aus den beiden Seitenwänden, also den beiden Rechtecken mit den Seitenlängen $l = 3.100$ und $\left|\overline{F_2S_2} \right|$, und der Deckenfläche, bei der es sich um ein gewölbtes Rechteck mit den Seitenlängen $l = 3.100$ und der Länge der Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen $S_1$ und $S_2$ mit $b = 5,09$ handelt.
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{F_2S_2}\right|&=& \sqrt{(1,80-1,56)^2+(2,40-0)^2 } \\[5pt] &\approx& 2,41 \end{array}$
$ \left| \overline{F_2S_2}\right| \approx 2,41$
Für den Inhalt der beiden Seitenflächen ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&\approx& 2,41\,\text{m}\cdot 3.100\,\text{m} \\[5pt] &=& 7.471 \,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Für die Deckenfläche folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 5,09\,\text{m} \cdot 3.100\,\text{m} \\[5pt] &=& 15.779\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
Die gesamte zu sanierende Fläche besitzt also einen Inhalt der Größe:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_1+A_2 \\[5pt] &\approx& 30.721\,\text{m}^2 \end{array}$
1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Frontfläche berechnen
Teil B1
Abb. 1: Skizze
Teil B1
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen
Die beiden Rechtecke bilden gemeinsam ein Rechteck, mit der Höhe der Frontfläche als einer Seitenlänge $a = 6,24\,\text{m}$. Die zweite Seitenlänge ergibt sich über die Breite der Frontfläche wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 6,48\,\text{m}- 2\cdot x_{S_2}\,\text{m}&=& 6,48\,\text{m}-2\cdot 1,80\,\text{m} \\[5pt] &=& 2,88\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$ 6,48\,\text{m}- 2\cdot x_{S_2}\,\text{m} =… $
Für den Flächeninhalt ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot A_R&=& 6,24\,\text{m} \cdot 2,88\,\text{m} \\[5pt] &=& 17,9712\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen
Das rechte Dreieck wird beispielsweise von den Punkten $S_2,$ $F_2$ und $P(x_{S_2}\mid 0)$ gebildet. Bei $P$ besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overline{F_2P} \right|\cdot \left| \overline{S_2P}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|x_{S_2}- x_{F_2} \right|\cdot y_{S_2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 0,24\,\text{m}\cdot 2,40\,\text{m}\\[5pt] &=& 0,288\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A_D=0,288\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Inhalt der Fläche oberhalb der oberen Begrenzungslinie berechnen
Die Frontfläche ist $6,24$ Meter hoch. Die Frontfläche wird nach oben hin also durch die Gerade $k$ mit der Gleichung $y = 6,24$ begrenzt. Der noch fehlende Flächeninhalt entspricht also dem Inhalt der Fläche zwischen dieser Gerade und dem Graphen von $f$ für $x_{S_1} \leq x \leq x_{S_2}, $ also $-1,80\leq x \leq 1,80.$
Teil B1
Abb. 2: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7
Teil B1
Abb. 2: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7
4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_R+2\cdot A_D +A_O \\[5pt] &\approx& 17,9712\,\text{m}^2 + 2\cdot 0,288\,\text{m}^2 + 9,80\,\text{m}^2\\[5pt] &=&28,35\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 28,35\,\text{m}^2 $
Der Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals beträgt ca. $28,35\,\text{m}^2.$
#integral
1.5
$\blacktriangleright$  Verkehrsraum ermitteln
Da die gesamte Portalöffnung achsensymmetrisch ist, ist auch das zum Verkehrsraum gehörende Rechteck achsensymmetrisch. Die unteren beiden Eckpunkte des Rechtecks liegen auf der $x$-Achse und sind nach links und rechts durch die seitlichen Begrenzungslinien der Portalöffnungen, also durch die Punkte $F_1$ und $F_2$ begrenzt. Sie haben daher die Koordinaten
$Q\left(x_Q\mid 0\right)$ und $R\left(-x_Q\mid 0\right)$ mit $0\leq x_Q \leq 1,56.$
Für die Koordinaten der oberen beiden Punkte, die auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen sollen, gilt daher:
$S\left(x_Q\mid f\left(x_Q\right)\right)$ und $T\left(-x_Q\mid f\left(x_Q\right)\right).$
Die Höhe des Rechtecks ist $f\left(x_Q\right),$ die Breite $2\cdot x_Q.$ In Abhängigkeit von $x_Q$ ergibt sich für den Flächeninhalt des Rechtecks daher:
$A\left(x_Q\right) = f(x_Q)\cdot 2\cdot x_Q$
Gesucht ist nun das Maximum von $A\left(x_Q\right)$ für $0\leq x_Q\leq 1,56.$
Teil B1
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
Teil B1
Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum
Der Verkehrsraum besitzt eine Größe von ca. $9,30\,\text{m}^2.$
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, unter $130$ gelieferten Sandsteinplatten beschreibt.
Unabhängig von den übrigen Sandsteinplatten ist eine zufällig ausgewählte Sandsteinplatte mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ für die Sanierung geeignet.
Teil B1
Abb. 4: 2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf
Teil B1
Abb. 4: 2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A,$ also dafür, dass von den $130$ gelieferten Sandsteinplatten mindestens $96$ aber höchstens $120$ für die Sanierung geeignet sind, beträgt ca. $11,71\,\%.$
Die erwartete Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, entspricht dem Erwartungswert $\mu$ von $X:$
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p\\[5pt] &=& 130\cdot 0,95 \\[5pt] &=& 123,5 \end{array}$
Für Ereignis $B$ ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(X\geq 124) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &=& 0,5245 \\[5pt] &=& 52,45\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 52,45\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B,$ also dafür, dass von den $130$ gelieferten Sandsteinplatten mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind als zu erwarten ist, beträgt ca. $52,45\,\%.$
#erwartungswert#binomialverteilung
1.7
$\blacktriangleright$  Anzahl der Sandsteinplatten ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der für die Sanierung geeigneten Sandsteinplatten in einer Lieferung von $n$ Sandsteinplatten beschreibt. Diese kann wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,95$ angenommen werden.
Gesucht ist $n,$ sodass $P(125\leq X_n \leq n)\geq 0,99.$
Durch Ausprobieren mit dem Statistik-Menü des GTRs folgt:
$\begin{array}[t]{lrl} n=150:\quad& P(125\leq X_n\leq 150) &\approx 1,0000 \\[5pt] n=140:\quad& P(125\leq X_n \leq 140) &\approx 0,9982 \\[5pt] n=139:\quad& P(125\leq X_n\leq 139) &\approx 0,9957 \\[5pt] n=138:\quad& P(125\leq X_n \leq 138) &\approx 0,9905 \\[5pt] n=137:\quad& P(125\leq X_n \leq 137) &\approx 0,9798 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrl} n=150:\quad& … \\[5pt] n=140:\quad& … \\[5pt] n=139:\quad& … \\[5pt] n=138:\quad& … \\[5pt] n=137:\quad& … \\[5pt] \end{array}$
Es müssen mindestens $n= 138$ Sandsteinplatten geliefert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindesteens $99\,\%$ genug Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke ermitteln
Da die untere Begrenzungslinie der Portalöffnung auf der $x$-Achse liegt und die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung auf dem Graphen von $g$ liegt, ist $F_2$ der Schnittpunkt des Graphen von $g$ mit der $x$-Achse.
$F_1$ entspricht der Spiegelung von $F_2$ an der $y$-Achse und liegt daher ebenfalls auf der $x$-Achse. Die Länge der Strecke ergibt sich daher über den doppelten Betrag der $x$-Koordinate von $F_2.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x_{F_2})&=& 0 \\[5pt] 10,0\cdot x-15,6&=&0&\quad \scriptsize\mid\;+15,6 \\[5pt] 10,0\cdot x&=& 15,6 &\quad \scriptsize\mid\;:10 \\[5pt] x_{F_2}&=& 1,56 \\[5pt] \end{array}$
$x_{F_2}= 1,56 $
Die Koordinaten der Punkte lauten also $F_1(-1,56\mid 0)$ und $F_2(1,56\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{F_1F_2}\right|&=& 2\cdot 1,56 \\[5pt] &=& 3,12\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Strecke $\overline{F_1F_2}$ beträgt $3,12.$
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass der Punkt auf beiden Graphen liegt
Der Punkt $S_2$ liegt auf beiden Graphen, wenn seine Koordinaten die beiden Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ erfüllt. Einsetzen der Koordinaten von $S_2$ in die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(1,8)&=& -0,1128\cdot 1,80^4 -0,0789\cdot 1,80^2 +3,8400\\[5pt] &\approx&2,40 \\[10pt] g(1,8)&=& 10,0\cdot 1,8-15,6 \\[5pt] &=& 2,4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(1,8)&\approx&2,40 \\[10pt] g(1,8)&=& 2,4 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $S_2$ liegt damit auf den Graphen beider Funktionen $f$ und $g.$
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Die beiden Punkte $F_2$ und $S_2$ liegen auf dem Graphen der Funktion $g.$ Da die Frontfläche des Tunnelportals achsensymmetrisch ist, entsteht die gesuchte Gerade $h$ durch die Punkte $F_1$ und $S_1$ durch Spiegelung des Graphen von $g$ an der $y$-Achse. Für den Funktionsterm bedeutet dies:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&g(-x) \\[5pt] &=& 10,0\cdot (-x)-15,6 \\[5pt] &=& -10,0\cdot x-15,6 \end{array}$
$ h(x)=-10,0\cdot x-15,6 $
Die Punkte $F_1$ und $S_1$ liegen auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $h(x)= -10,0\cdot x -15,6.$
1.2
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels angeben
Die entsprechenden Begrenzungslinien liegen auf den Graphen von $f$ und $g$. Gesucht ist also der größere der beiden Winkel, die von diesen beiden Graphen gebildet werden.
Es wurde bereits gezeigt, dass der Punkt $S_2(1,80\mid 2,40)$ auf beiden Graphen liegt, also der Schnittpunkt dieser ist.
Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ kann daher anhand der Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Graphen in diesem Punkt mit dem Tangens berechnet werden. Diese Steigungswerte ergeben sich durch die zugehörige Ableitungsfunktion $f'$ bzw. $g'.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&-0,1128\cdot x^4 -0,0789\cdot x^2 +3,8400\\[10pt] f'(x)&=&-4\cdot0,1128\cdot x^3-2\cdot 0,0789\cdot x \\[5pt] &=& -0,4512x^3-0,1578x \\[10pt] f'(1,80)&=& -0,4512\cdot 1,80^3-0,1578\cdot 1,80 \\[5pt] &\approx&-2,92 \\[10pt] g'(x)&=&10 \\[10pt] g'(1,80)&=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(1,80)&\approx&-2,92 \\[10pt] g'(1,80)&=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \\[5pt] \tan \alpha&=& \dfrac{f'(1,80)-g'(1,80)}{1+g'(1,80)\cdot f'(1,80)} \\[5pt] \tan \alpha&=& \dfrac{-2,92-10}{1+10\cdot (-2,92)} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 24,62^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 24,64^{\circ} $
Der gesuchte Winkel ist der Gegenwinkel $\beta$ von $\alpha:$
$\beta= 1-\alpha \approx 155,38^{\circ}$
Die obere Begrenzungslinie der Portalöffnung trifft in einem Winkel der Größe $\approx 155^{\circ}$ auf die rechte Begrenzungslinie der Portalöffnung.
#schnittwinkel
1.3
$\blacktriangleright$  Inhalt der zu sanierenden Fläche berechnen
Die zu sanierende Fläche setzt sich zusammen aus den beiden Seitenwänden, also den beiden Rechtecken mit den Seitenlängen $l = 3.100$ und $\left|\overline{F_2S_2} \right|$, und der Deckenfläche, bei der es sich um ein gewölbtes Rechteck mit den Seitenlängen $l = 3.100$ und der Länge der Begrenzungslinie der Portalöffnung zwischen $S_1$ und $S_2$ mit $b = 5,09$ handelt.
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{F_2S_2}\right|&=& \sqrt{(1,80-1,56)^2+(2,40-0)^2 } \\[5pt] &\approx& 2,41 \end{array}$
$ \left| \overline{F_2S_2}\right| \approx 2,41$
Für den Inhalt der beiden Seitenflächen ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&\approx& 2,41\,\text{m}\cdot 3.100\,\text{m} \\[5pt] &=& 7.471 \,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
Für die Deckenfläche folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 5,09\,\text{m} \cdot 3.100\,\text{m} \\[5pt] &=& 15.779\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
Die gesamte zu sanierende Fläche besitzt also einen Inhalt der Größe:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_1+A_2 \\[5pt] &\approx& 30.721\,\text{m}^2 \end{array}$
1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Frontfläche berechnen
Teil B1
Abb. 1: Skizze
Teil B1
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen
Die beiden Rechtecke bilden gemeinsam ein Rechteck, mit der Höhe der Frontfläche als einer Seitenlänge $a = 6,24\,\text{m}$. Die zweite Seitenlänge ergibt sich über die Breite der Frontfläche wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 6,48\,\text{m}- 2\cdot x_{S_2}\,\text{m}&=& 6,48\,\text{m}-2\cdot 1,80\,\text{m} \\[5pt] &=& 2,88\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$ 6,48\,\text{m}- 2\cdot x_{S_2}\,\text{m} =… $
Für den Flächeninhalt ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot A_R&=& 6,24\,\text{m} \cdot 2,88\,\text{m} \\[5pt] &=& 17,9712\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen
Das rechte Dreieck wird beispielsweise von den Punkten $S_2,$ $F_2$ und $P(x_{S_2}\mid 0)$ gebildet. Bei $P$ besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overline{F_2P} \right|\cdot \left| \overline{S_2P}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|x_{S_2}- x_{F_2} \right|\cdot y_{S_2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 0,24\,\text{m}\cdot 2,40\,\text{m}\\[5pt] &=& 0,288\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A_D=0,288\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Inhalt der Fläche oberhalb der oberen Begrenzungslinie berechnen
Die Frontfläche ist $6,24$ Meter hoch. Die Frontfläche wird nach oben hin also durch die Gerade $k$ mit der Gleichung $y = 6,24$ begrenzt. Der noch fehlende Flächeninhalt entspricht also dem Inhalt der Fläche zwischen dieser Gerade und dem Graphen von $f$ für $x_{S_1} \leq x \leq x_{S_2}, $ also $-1,80\leq x \leq 1,80.$
Teil B1
Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3: $\int\mathrm dx$ $\to$ F1: $\int\mathrm dx$
Teil B1
Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3: $\int\mathrm dx$ $\to$ F1: $\int\mathrm dx$
4. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_R+2\cdot A_D +A_O \\[5pt] &\approx& 17,9712\,\text{m}^2 + 2\cdot 0,288\,\text{m}^2 + 9,80\,\text{m}^2\\[5pt] &=&28,35\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 28,35\,\text{m}^2 $
Der Flächeninhalt der Frontfläche des Tunnelportals beträgt ca. $28,35\,\text{m}^2.$
#integral
1.5
$\blacktriangleright$  Verkehrsraum ermitteln
Da die gesamte Portalöffnung achsensymmetrisch ist, ist auch das zum Verkehrsraum gehörende Rechteck achsensymmetrisch. Die unteren beiden Eckpunkte des Rechtecks liegen auf der $x$-Achse und sind nach links und rechts durch die seitlichen Begrenzungslinien der Portalöffnungen, also durch die Punkte $F_1$ und $F_2$ begrenzt. Sie haben daher die Koordinaten
$Q\left(x_Q\mid 0\right)$ und $R\left(-x_Q\mid 0\right)$ mit $0\leq x_Q \leq 1,56.$
Für die Koordinaten der oberen beiden Punkte, die auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen sollen, gilt daher:
$S\left(x_Q\mid f\left(x_Q\right)\right)$ und $T\left(-x_Q\mid f\left(x_Q\right)\right).$
Die Höhe des Rechtecks ist $f\left(x_Q\right),$ die Breite $2\cdot x_Q.$ In Abhängigkeit von $x_Q$ ergibt sich für den Flächeninhalt des Rechtecks daher:
$A\left(x_Q\right) = f(x_Q)\cdot 2\cdot x_Q$
Gesucht ist nun das Maximum von $A\left(x_Q\right)$ für $0\leq x_Q\leq 1,56.$
Teil B1
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Teil B1
Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Der Verkehrsraum besitzt eine Größe von ca. $9,30\,\text{m}^2.$
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, unter $130$ gelieferten Sandsteinplatten beschreibt.
Unabhängig von den übrigen Sandsteinplatten ist eine zufällig ausgewählte Sandsteinplatte mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ für die Sanierung geeignet. Es wird nur zwischen „für die Sanierung geeignet“ und „nicht für die Sanierung geeignet“ unterschieden.
Teil B1
Abb. 4: F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F2: Bcd
Teil B1
Abb. 4: F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F2: Bcd
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A,$ also dafür, dass von den $130$ gelieferten Sandsteinplatten mindestens $96$ aber höchstens $120$ für die Sanierung geeignet sind, beträgt ca. $11,71\,\%.$
Die erwartete Anzahl der Sandsteinplatten, die für die Sanierung geeignet sind, entspricht dem Erwartungswert $\mu$ von $X:$
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p\\[5pt] &=& 130\cdot 0,95 \\[5pt] &=& 123,5 \end{array}$
Für Ereignis $B$ ergibt sich also:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(X\geq 124) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &=& 0,5245 \\[5pt] &=& 52,45\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 52,45\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B,$ also dafür, dass von den $130$ gelieferten Sandsteinplatten mehr Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind als zu erwarten ist, beträgt ca. $52,45\,\%.$
#binomialverteilung#erwartungswert
1.7
$\blacktriangleright$  Anzahl der Sandsteinplatten ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der für die Sanierung geeigneten Sandsteinplatten in einer Lieferung von $n$ Sandsteinplatten beschreibt. Diese kann wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,95$ angenommen werden.
Gesucht ist $n,$ sodass $P(125\leq X_n \leq n)\geq 0,99.$
Durch Ausprobieren mit dem Statistik-Menü des GTRs folgt:
$\begin{array}[t]{lrl} n=150:\quad& P(125\leq X_n\leq 150) &\approx 1,0000 \\[5pt] n=140:\quad& P(125\leq X_n \leq 140) &\approx 0,9982 \\[5pt] n=139:\quad& P(125\leq X_n\leq 139) &\approx 0,9957 \\[5pt] n=138:\quad& P(125\leq X_n \leq 138) &\approx 0,9905 \\[5pt] n=137:\quad& P(125\leq X_n \leq 137) &\approx 0,9798 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{lrl} n=150:\quad& … \\[5pt] n=140:\quad& … \\[5pt] n=139:\quad& … \\[5pt] n=138:\quad& … \\[5pt] n=137:\quad& … \\[5pt] \end{array}$
Es müssen mindestens $n= 138$ Sandsteinplatten geliefert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindesteens $99\,\%$ genug Sandsteinplatten für die Sanierung geeignet sind.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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