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Teil B2

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt den grundsätzlichen Aufbau eines Pumpspeicherkraftwerks.
Teil B2
Teil B2
Das Oberbecken ist mit dem unterirdischen Maschinenraum durch zwei baugleiche parallel zueinander verlaufende Triebwasserleitungen verbunden. In der Abbildung ist nur eine der beiden Leitungen von $O$ über $Q$ zu $K$ sichtbar.
Das Oberbecken wird auf einer Länge von $500$ Metern von einem geradlinig verlaufenden Damm begrenzt. Der Damm kann als gerades Prisma betrachtet werden. Die Grundfläche $OABC$ dieses Prismas ist ein gleichschenkliges Trapez mit einer Höhe von $26$ Metern. Die Längen der beiden parallelen Seiten dieses Trapezes betragen $80$ Meter bzw. $24$ Meter.
Ein kartesisches Koordinatensystem ($1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter) wird so festgelegt, dass der Punkt $O$ im Koordinatenursprung liegt.
Die Grundfläche $OABC$ des Prismas liegt in der $y$-$z$-Koordinatenebene. Der Punkt $A$ liegt auf dem positiven Teil der $y$-Achse.
2.1  Gib die Koordinaten des Punktes $A$ im festgelegten Koordinatensystem an.
Ermittle die Größe des Winkels $AOC$.
(4P)
Eine der beiden Triebwasserleitungen beginnt im Punkt $O$ und verläuft geradlinig in Richtung des Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}25\\221\\-128\end{pmatrix}$ bis zum Punkt $Q$. Vom Punkt $Q$ aus verläuft diese Triebwasserleitung geradlinig in Richtung des Vektors $\vec{w}=\begin{pmatrix}45\\398\\-34\end{pmatrix}$ und trifft im Punkt $K$ auf den Maschinenraum.
Der Punkt $K$ besitzt die Koordinaten $K(95\mid840\mid-290)$.
2.2  Ermittle die Größe des Winkels, den die beiden Abschnitte $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ dieser Triebwasserleitung einschließen.
Bestimme die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$.
(5P)
2.3  Für die beiden parallel verlaufenden Triebwasserleitungen wurde jeweils eine $915\,\text{m}$ lange Bohrung mit $7\,\text{m}$ Durchmesser in den felsigen Untergrund getrieben. Der Felsausbruch für den Maschinenraum betrug ca. $160.000\,\text{m}^3$. Der Felsausbruch für die beiden Triebwasserleitungen und der Felsausbruch für den Maschinenraum wurden vollständig zum Bau des Damms verwendet.
Berechne den prozentualen Anteil des gesamten Felsausbruchs am Volumen des Damms.
(5P)
2.4  Zum Anschluss an das Stromnetz existiert ein parallel zur $z$-Achse verlaufender Schacht $\overline{DH}$ in den Maschinenraum. Der Punkt $D$ besitzt die Koordinaten $D(40\mid865\mid-245)$. Im Punkt $H$ erreicht der Schacht den Hang zwischen Ober- und Unterbecken. Dieser Hang liegt in der Ebene $E$ mit $E:y+5\cdot z=80$.
Ermittle die Koordinaten des Punktes $H$.
(2P)
Pumpspeicherkraftwerke können im Energieverbundnetz sowohl erhöhten Stromverbrauch als auch erhöhte Stromerzeugung ausgleichen.
2.5  An durchschnittlich $8$ von $30$ Tagen wird ein Pumpspeicherkraftwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der dieses Pumpspeicherkraftwerk innerhalb von $30$ Tagen an höchstens $8$ Tagen aus diesem Grund zugeschaltet werden muss.
(2P)
2.6  An durchschnittlich $5$ von $30$ Tagen muss ein Pumpspeicherkraftwerk erhöhte Stromerzeugung ausgleichen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,04$ ist die Stromerzeugung an zwei aufeinanderfolgenden Tagen erhöht.
Zeige, dass die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag von der des Vortages stochastisch abhängig ist.
(2P)
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Tipps
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2.
2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{A}$ angeben
Zuerst sollst du die Koordinaten des Punktes $A\left(x_A \mid y_A \mid z_A \right)$ angeben. In der Aufgabenstellung sind Eigenschaften des Punktes $A$ gegeben.
Der Punkt $A$ ist eine Ecke des Trapezes $OABC$ mit den anderen Eckpunkten $O$, $B$ und $C$. Dabei erkennst du, dass die Strecke $OA$ die längere Seite der beiden parallelen Seiten ist. Diese Seite ist $80\text{ m}$ lang. Der Punkt $O$ liegt im Koordinatenursprung. Also gilt:
$80=\left|\overrightarrow{OA}\right|= \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$
Eine weitere Eigenschaft ist, dass der Punkt $A$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse liegt.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels $\boldsymbol{OAC}$ berechnen
Hier ist es deine Aufgabe die Größe des Winkels $AOC$ zu berechnen. Dieser Winkel entspricht gerade dem Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Mit Hilfe der Längenangaben in der Aufgabenstellung kannst du den Vektor $\overrightarrow{OC}$ bilden und damit dann den gesuchten Winkel berechnen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{OC}}$ bilden
Auf der untenstehenden Skizze erkennst du die Lage des Winkels $\alpha$ und der Punkte $O$, $A$ und $C$. Die Skizze bildet das Trapez in der $y$-$z$-Ebene ab:
Teil B2
Teil B2
Nun ist nach dem Ortsvektor des Punktes $C$ gesucht. Da der Punkt $C$ in der $y$-$z$-Ebene liegt, ist seine $x$-Komponente gleich Null. Weiter weißt du, dass die Strecke $\overline{OA}$ auf der $y$-Achse verläuft. Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der $y$-Achse und verläuft somit parallel zur $z$-Achse.
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren.
2.2
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $\boldsymbol{\overline{OQ}}$ und $\boldsymbol{\overline{QK}}$ berechnen
Deine Aufgabe ist es die Größe des Winkels zwischen den Strecken $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ zu bestimmen. Die Strecken $\overline{QQ}$ bzw. $\overline{QK}$ verlaufen nach Aufgabenstellung in Richtung der Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$. Die Größe des Winkels zwischen den beiden Strecken kannst du mit Hilfe der beiden Vektoren berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze (Achtung: Dies ist eine nicht maßstabsgetreue Skizze, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$ entsprechen nicht automatisch den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OQ}$ bzw. $\overrightarrow{QK}$):
Teil B2
Teil B2
Hier ist nach dem Winkel $\beta$ gefragt, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein. Für die Größe der Winkel $\beta$ und $\alpha$ gilt: $\beta = 180° - \alpha$. Berechne also $\alpha$ mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren, damit kannst du dann $\beta$ berechnen.
$\blacktriangleright$  Länge der Triebwasserleitung berechnen
Berechne nun die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$. Die Länge dieser Strecke ist gerade die Länge der Verbindungsvektoren dieser Punkte. Es gilt also:
$\left|\overline{OQK}\right|= \left|\overrightarrow{OQ}\right| + \left|\overrightarrow{QK}\right|$
Die Koordinaten der Punkte $O$ und $K$ sind dir gegeben, du musst also noch die Koordinaten des Punktes $Q$ bestimmen.
Den Punkt $Q$ kannst du nun mit Hilfe der Richtungen der Wasserleitungen und den Punkten $K$ und $O$ berechnen. Der Punkt $Q$ liegt sowohl auf der Geraden $g_1$ durch $O$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ (erster Teil der Triebwasserleitung) als auch auf der Geraden $g_2$ durch $K$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ (zweiter Teil der Triebwasserleitung). Der Punkt $Q$ ist somit Schnittpunkt der Geraden $g_1$ und $g_2$.
Hast du dann die Koordinaten des Punktes $Q$ gegeben, kannst du die Verbindungsvektoren und damit die Länge des Streckenzugs berechnen.
2.3
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil am Volumen des Damms berechnen
Berechne hier den prozentualen Anteil des gesamten Felsausbruchs am Volumen des Damms. Hierzu benötigst du das Volumen des gesamten Felsausbruchs $V_{Fels}$ und das Volumen des Damms $V_{Damm}$. Hast du diese beiden Größen gegeben, so berechnet sich der prozentuale Anteil $p$ folgendermaßen:
$p=\dfrac{V_{Fels}}{V_{Damm}}$
Berechne also zuerst die Volumen des Felsausbruchs und des Damms.
1. Schritt: Volumen des Felsausbruchs
Der Felsausbruch besteht aus den Bohrungen für die zwei Wasserleitungen und dem Maschinenraum. Mit dem Volumen einer Wasserleitung $V_{Wasser}$ und dem Volumen des Maschinenraums $V_{Maschine}$ kannst du also das Volumen des gesamten Felsausbruchs berechnen:
$V_{Fels}=2 \cdot V_{Wasser} + V_{Maschine}$
Das Volumen des Maschinenraums ist dir nach Aufgabenstellung gegeben: $V_{Maschine}=160.000 \text{ m}^3$.
Das Volumen einer Wasserleitung kannst du mit der Länge und dem Durchmesser der Leitung berechnen. Die Leitung hat die Form eines Zylinders. Die Formel für das Volumen eines Zylinders mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Durchmesser $d$ lautet:
$V_{Zylinder}=l \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi $
2. Schritt: Volumen des Damms berechnen
Der Damm kann als gerades Prisma betrachtet werden. Also kannst du das Volumen des Damms mit der Formel für das Volumen eines Prismas mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Grundfläche $A_G$ berechnen:
$V_{Prisma}=A_G \cdot l$
Hier ist die Länge nach Aufgabenstellung mit $l=500\text{ m}$ gegeben. Die Grundfläche $A_G$ ist hier der Flächeninhalt des Trapez $OABC$. Berechne also zuerst den Flächeninhalt des Trapez, damit dann das Volumen des Damms.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapez mit Längen $a$ und $c$ der parallelen Seiten und Höhe $h$ lautet:
$A_G=\dfrac{1}{2} \cdot \left(a+c\right) \cdot h $
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Hast du das Volumen des Felsausbruchs und des Damms gegeben, kannst du den prozentualen Anteil $p$ berechnen.
2.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{H}$ bestimmen
Ermittle hier die Koordinaten des Punktes $H$. Nach Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt $H$ am Schacht liegt und am Hang zwischen Ober- und Unterbecken. Den Schacht kannst du mit einer Gerade $h$ darstellen und der Hang ist durch die Ebene $E$ gegeben. Der Punkt $H$ ist dann der Schnittpunkt der Geraden $h$ und der Ebene $E$.
Bestimme also zuerst eine Gleichung der Geraden $h$ und berechne damit den Schnittpunkt mit der Ebene $E$.
2.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass an höchstens $8$ von $30$ Tagen ein Pumpspeicherwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet wird.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an Tagen unter $n=30$ Tagen beschreibt, an denen der Stromverbrauch ausgeglichen werden muss. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „Stromverbrauch ausgleichen“ und „Stromverbrauch nicht ausgleichen“ gibt und durchschnittlich an $8$ von $30$ Tagen der Stromverbrauch ausgeglichen wird. Es gilt dementsprechend $p=\dfrac{8}{30}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als $P\left(X \leq 8\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen.
2.6
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit zeigen
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag von der des Vortages stochastisch abhängig ist.
Definiere zuerst die zur Aufgabe gehörigen Ereignisse:
  • $A$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T$ erhöht“
  • $B$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T+1$ erhöht“
  • $\Rightarrow\quad$ $A \cap B$: „Die Stromerzeugung ist an zwei aufeinander folgenden Tagen erhöht“
Die Stromerzeugung ist genau dann von der des Vortages abhängig, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
$P\left(A\right) \cdot P\left(B\right) \neq P\left(A \cap B\right)$
Bestimme also die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten und überprüfe die Bedingung.
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2.
2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{A}$ angeben
Zuerst sollst du die Koordinaten des Punktes $A\left(x_A \mid y_A \mid z_A \right)$ angeben. In der Aufgabenstellung sind Eigenschaften des Punktes $A$ gegeben.
Der Punkt $A$ ist eine Ecke des Trapezes $OABC$ mit den anderen Eckpunkten $O$, $B$ und $C$. Dabei erkennst du, dass die Strecke $OA$ die längere Seite der beiden parallelen Seiten ist. Diese Seite ist $80\text{ m}$ lang. Der Punkt $O$ liegt im Koordinatenursprung. Also gilt:
$80=\left|\overrightarrow{OA}\right|= \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$
Eine weitere Eigenschaft ist, dass der Punkt $A$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse liegt, also gilt $y_A > 0$. Liegt ein Punkt auf der $y$-Achse, so sind seine $x$- und $z$-Koordinaten gleich Null: $x_A=0$ und $z_A=0$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies:
$80= \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}= \sqrt{0 + y_A^2 + 0}= \sqrt{y_A^2}=y_A$
Somit ergeben sich für den Punkt $A$ die Koordinaten $(0 \mid 80 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels $\boldsymbol{OAC}$ berechnen
Hier ist es deine Aufgabe die Größe des Winkels $AOC$ zu berechnen. Dieser Winkel entspricht gerade dem Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Mit Hilfe der Längenangaben in der Aufgabenstellung kannst du den Vektor $\overrightarrow{OC}$ bilden und damit dann den gesuchten Winkel berechnen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{OC}}$ bilden
Auf der untenstehenden Skizze erkennst du die Lage des Winkels $\alpha$ und der Punkte $O$, $A$ und $C$. Die Skizze bildet das Trapez in der $y$-$z$-Ebene ab:
Teil B2
Teil B2
Nun ist nach dem Ortsvektor des Punktes $C$ gesucht. Da der Punkt $C$ in der $y$-$z$-Ebene liegt, ist seine $x$-Komponente gleich Null. Weiter weißt du, dass die Strecke $\overline{OA}$ auf der $y$-Achse verläuft. Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der $y$-Achse und verläuft somit parallel zur $z$-Achse.
Die $z$-Komponente ist dann durch die Höhe von $26 \text{ m}$ gegeben, die $y$-Komponente durch die Länge der Strecke $\overline{OF}$. Die Länge der Strecke $\overline{OF}$ kannst du mit den angegebenen Längen der parallelen Seiten berechnen. Da es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, sind die Strecken $\overline{OF}$ und $\overline{GA}$ gleich lang, außerdem erkennst du, dass $\left|\overline{FG}\right|=\left|\overline{CB}\right|$ gilt. Somit kannst du die Länge der Strecke $\overline{OF}$ folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OA}\right|&=& \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{FG}\right|+\left|\overline{GA}\right| &\quad \scriptsize \mid\; \left|\overline{FG}\right|=\left|\overline{CB}\right| \text{ und } \left|\overline{OF}\right| = \left|\overline{GA}\right|\\[5pt] \left|\overline{OA}\right|&=& \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{CB}\right|+\left|\overline{OF}\right| \\[5pt] \left|\overline{OA}\right|&=& 2 \cdot \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{CB}\right| &\quad\scriptsize \mid\; -2 \cdot \left|\overline{OF}\right| -\left|\overline{OA}\right| \\[5pt] -2 \left|\overline{OF}\right| &=& \left|\overline{CB}\right| -\left|\overline{OA}\right| &\quad\scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \left|\overline{OF}\right| &=& \dfrac{\left|\overline{OA}\right|-\left|\overline{CB}\right|}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{80-24}{2} =\dfrac{56}{2}=28 \end{array}$
Damit ist die $y$-Komponente $28$ und der Vektor lautet:
$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix}$
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\alpha\right)&=&\dfrac{\left| \overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC} \right|}{\left| \overrightarrow{OA} \right| \cdot \left|\overrightarrow{OC}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left| \begin{pmatrix}0\\ 80\\ 0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}0\\ 80\\ 0\end{pmatrix} \right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|80 \cdot 28\right| }{\sqrt{80^2} \cdot \sqrt{28^2 +26^2}}\\[5pt] &=&\dfrac{80 \cdot 28 }{80 \cdot \sqrt{1460}}\\[5pt] &=&\dfrac{ 28 }{\sqrt{1460}}\\[5pt] &\approx& 0,7328\\[5pt] \end{array}$
Für den Winkel $\alpha$ gilt nun:
$\alpha=\cos^{-1}\left(0,7328\right) \approx 42,88°$
Damit beträgt die Größe des Winkels $OAC$ $42,88°$.
2.2
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $\boldsymbol{\overline{OQ}}$ und $\boldsymbol{\overline{QK}}$ berechnen
Deine Aufgabe ist es die Größe des Winkels zwischen den Strecken $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ zu bestimmen. Die Strecken $\overline{QQ}$ bzw. $\overline{QK}$ verlaufen nach Aufgabenstellung in Richtung der Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$. Die Größe des Winkels zwischen den beiden Strecken kannst du mit Hilfe der beiden Vektoren berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze (Achtung: Dies ist eine nicht maßstabsgetreue Skizze, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$ entsprechen nicht automatisch den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OQ}$ bzw. $\overrightarrow{QK}$):
Teil B2
Teil B2
Hier ist nach dem Winkel $\beta$ gefragt, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein. Für die Größe der Winkel $\beta$ und $\alpha$ gilt: $\beta = 180° - \alpha$. Berechne also $\alpha$ mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren, damit kannst du dann $\beta$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{\left|\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{w} \right|}{\left| \overrightarrow{v} \right| \cdot \left| \overrightarrow{w} \right|}\right) \\[5pt] &=&\cos^{-1} \left(\dfrac{\left|\begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}\right|} \right) \\[5pt] &=&\cos^{-1}\left( \dfrac{\left| 25 \cdot 45 + 221 \cdot 398 + \left(-128\right) \cdot \left(-34\right)\right|}{\sqrt{25^2 + 221^2 + \left(-128\right)^2}\cdot \sqrt{45^2 + 398^2 + \left(-34\right)^2}} \right) \\[5pt] &=&\cos^{-1}\left( \dfrac{93.435}{\sqrt{65.850}\cdot \sqrt{161.585}} \right) \\[5pt] &\approx&\cos^{-1}\left( 0,9058\right)\\[5pt] &\approx&25,07°\\[5pt] \end{array}$
Damit kannst du nun $\beta$ berechnen:
$\beta = 180° - 25,07° = 154,93°$
Die Größe des Winkels zwischen den beiden Strecken $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ beträgt $154,93°$.
$\blacktriangleright$  Länge der Triebwasserleitung berechnen
Berechne nun die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$. Die Länge dieser Strecke ist gerade die Länge der Verbindungsvektoren dieser Punkte. Es gilt also:
$\left|\overline{OQK}\right|= \left|\overrightarrow{OQ}\right| + \left|\overrightarrow{QK}\right|$
Die Koordinaten der Punkte $O$ und $K$ sind dir gegeben, du musst also noch die Koordinaten des Punktes $Q$ bestimmen.
Den Punkt $Q$ kannst du nun mit Hilfe der Richtungen der Wasserleitungen und den Punkten $K$ und $O$ berechnen. Der Punkt $Q$ liegt sowohl auf der Geraden $g_1$ durch $O$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ (erster Teil der Triebwasserleitung) als auch auf der Geraden $g_2$ durch $K$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ (zweiter Teil der Triebwasserleitung). Der Punkt $Q$ ist somit Schnittpunkt der Geraden $g_1$ und $g_2$.
Hast du dann die Koordinaten des Punktes $Q$ gegeben, kannst du die Verbindungsvektoren und damit die Länge des Streckenzugs berechnen.
1. Schritt: Koordinaten des Puntes $\boldsymbol{Q}$ bestimmen
Stelle zuerst die Geradengleichungen von $g_1$ bzw. $g_2$ auf. Dazu sind dir jeweils ein Punkt auf der Geraden und der Richtungsvektor der Geraden gegeben. Wähle den Punkt als Stützvektor der Geraden, die Richtungsvektoren sind bereits gegeben. Dementsprechend lauten die Gleichungen der Geraden $g_1$ und $g_2$ folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} g_1:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OO} + s \cdot \overrightarrow{v}&\quad s \in \mathbb{R}.\\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& s \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[10pt] g_2:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OK} + t \cdot \overrightarrow{w}&\quad t \in \mathbb{R}. \\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}95\\ 840\\-290\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}&\quad t \in \mathbb{R} .\\[10pt] \end{array}$
Den Schnittpunkt dieser beiden Geraden kannst du nun mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Setze dafür zuerst die beiden Geradengleichungen gleich, löse eine der Komponenten nach $s$ auf, setze dies in eine weitere Komponente ein, um $t$ zu berechnen, und überprüfe die beiden Werte mit der dritten Komponente.
$s \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}95\\ 840\\-290\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix} $
Aus der ersten Komponente erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot 25 &=& 95 + t \cdot 45 &\quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] s&=& \dfrac{95 + t \cdot 45}{25} \\[5pt] s&=& 3,8 + t \cdot 1,8 \end{array}$
Setze dies nun in die zweite Komponente ein:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot 221&=&840 + t \cdot 398 &\quad \scriptsize \mid\; s \text{ einsetzen}\\[5pt] \left( 3,8 + t \cdot 1,8\right) \cdot 221&=&840 + t \cdot 398 \\[5pt] 839,8 + t \cdot 397,8&=&840 + t \cdot 398 &\quad \scriptsize \mid\; - 839,8 -t \cdot 398 \\[5pt] t \cdot 397,8 -t \cdot 398&=&840 -839,8\\[5pt] - t \cdot 0,2&=&0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-5\right) \\[5pt] t&=&-1 \end{array}$
Damit kannst du nun den Wert für $s$ berechnen:
$s=3,8 + t \cdot 1,8= 3,8 - 1,8 = 2$
Überprüfe nun die für $s$ und $t$ erhaltenen Werte in der dritten Komponente:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot \left(-128\right)&=&-290 + t \cdot \left(-34\right) &\quad \scriptsize \mid\; s\text{ und } t \text{ einsetzen} \\[5pt] 2\cdot \left(-128\right)&=&-290 + \left(-1\right)\cdot \left(-34\right) \\[5pt] -256&=&-290 + 34 \\[5pt] -256&=&-256 \end{array}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$Teil B2
Um die Koordinaten des Punktes $Q$ zu bestimmen, kannst du nun $s=2$ in die Geradengleichung von $g_1$ (oder $t=-1$ in die Geradengleichung von $g_2$ einsetzen):
$\overrightarrow{OQ}= 2 \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}$
Damit lauten die Koordinaten des Punktes $Q$ $\left(50 \mid 442 \mid -256\right)$.
2. Schritt: Verbindungsvektoren und Länge berechnen
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{OQ}$ hast du bereits im 1. Schritt berechnet, berechne also noch den Vektor $\overrightarrow{QK}$:
$\overrightarrow{QK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix}95\\ 840\\ -290\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}$
Nun kannst du die Länge des Streckenzugs $\overline{OQK}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OQK}\right|&=& \left|\overrightarrow{OQ}\right| + \left|\overrightarrow{QK}\right|& \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}\right| + \left|\begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{50^2 + 442^2 + \left(-256\right)^2} + \sqrt{45^2 + 398^2 + \left(-34\right)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{263.400} + \sqrt{161.585}\\[5pt] &\approx&915,20\\[5pt] \end{array}$
Die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$ beträgt ca. $915,2\text{ m}$.
2.3
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil am Volumen des Damms berechnen
Berechne hier den prozentualen Anteil des gesamten Felsausbruchs am Volumen des Damms. Hierzu benötigst du das Volumen des gesamten Felsausbruchs $V_{Fels}$ und das Volumen des Damms $V_{Damm}$. Hast du diese beiden Größen gegeben, so berechnet sich der prozentuale Anteil $p$ folgendermaßen:
$p=\dfrac{V_{Fels}}{V_{Damm}}$
Berechne also zuerst die Volumen des Felsausbruchs und des Damms.
1. Schritt: Volumen des Felsausbruchs
Der Felsausbruch besteht aus den Bohrungen für die zwei Wasserleitungen und dem Maschinenraum. Mit dem Volumen einer Wasserleitung $V_{Wasser}$ und dem Volumen des Maschinenraums $V_{Maschine}$ kannst du also das Volumen des gesamten Felsausbruchs berechnen:
$V_{Fels}=2 \cdot V_{Wasser} + V_{Maschine}$
Das Volumen des Maschinenraums ist dir nach Aufgabenstellung gegeben: $V_{Maschine}=160.000 \text{ m}^3$.
Das Volumen einer Wasserleitung kannst du mit der Länge und dem Durchmesser der Leitung berechnen. Die Leitung hat die Form eines Zylinders. Die Formel für das Volumen eines Zylinders mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Durchmesser $d$ lautet:
$V_{Zylinder}=l \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi $
Setze nun die Werte $l=915\text{ m}$ und $d=7\text{ m}$ ein:
$V_{Wasser}=915 \cdot \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot \pi = 11.208,75 \cdot \pi \approx 35.213,33\left[\text{ m}^3\right]$
Damit kannst du nun das Volumen des Felsausbruchs berechnen:
$V_{Fels}=2 \cdot 35.213,33 + 160.000 = 230.426,66 \left[\text{ m}^3\right]$
2. Schritt: Volumen des Damms berechnen
Der Damm kann als gerades Prisma betrachtet werden. Also kannst du das Volumen des Damms mit der Formel für das Volumen eines Prismas mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Grundfläche $A_G$ berechnen:
$V_{Prisma}=A_G \cdot l$
Hier ist die Länge nach Aufgabenstellung mit $l=500\text{ m}$ gegeben. Die Grundfläche $A_G$ ist hier der Flächeninhalt des Trapez $OABC$. Berechne also zuerst den Flächeninhalt des Trapez, damit dann das Volumen des Damms.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapez mit Längen $a$ und $c$ der parallelen Seiten und Höhe $h$ lautet:
$A_G=\dfrac{1}{2} \cdot \left(a+c\right) \cdot h $
Hier sind die parallelen Seitenlängen durch $a=80 \text{ m}$, $c=24\text{ m}$ und die Höhe durch $h=26\text{ m}$ gegeben. Damit kannst du die Fläche des Trapez berechnen:
$A_G=\dfrac{1}{2} \cdot \left(24 + 80\right) \cdot 26=\dfrac{1}{2} \cdot 104 \cdot 26 = 52 \cdot 26 = 1.352 \left[\text{ m}^2\right]$
Jetzt kannst du das Volumen des Damms berechnen:
$V_{Damm}=A_G \cdot l=1.352 \cdot 500 = 676.000 \left[\text{ m}^3\right]$
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Nun hast du das Volumen des Felsausbruchs und des Damms gegeben und kannst den prozentualen Anteil $p$ berechnen:
$p=\dfrac{V_{Fels}}{V_{Damm}}=\dfrac{230.426,66 \text{ m}^3}{676.000 \text{ m}^3}\approx 0,3409 = 34,09\,\%$
Der prozentuale Anteil des gesamen Felsausbruchs am Volumen des Damms beträgt ca. $34,09\,\%$.
2.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{H}$ bestimmen
Ermittle hier die Koordinaten des Punktes $H$. Nach Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt $H$ am Schacht liegt und am Hang zwischen Ober- und Unterbecken. Den Schacht kannst du mit einer Gerade $h$ darstellen und der Hang ist durch die Ebene $E$ gegeben. Der Punkt $H$ ist dann der Schnittpunkt der Geraden $h$ und der Ebene $E$.
Bestimme also zuerst eine Gleichung der Geraden $h$ und berechne damit den Schnittpunkt mit der Ebene $E$.
1. Schritt: Gleichung der Gerade $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Dir ist nach Aufgabenstellung ein Punkt auf der Geraden $h$ und ihre Richtung gegeben. Der Punkt $D$ befindet sich auf der Geraden und somit kann sein Ortsvektor als Stützvektor gewählt werden. Der Schacht verläuft in Richtung der $z$-Achse, somit verläuft der Richtungsvektor auch in Richtung der $z$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} h:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OD} + s \cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}.\\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245\end{pmatrix} + s \cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245 + s\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkt der Geraden $\boldsymbol{h}$ und der Ebene $\boldsymbol{E}$ bestimmen
Den Schnittpunkt $H$ kannst du nun bestimmen, indem du den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ in die gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene $E$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y+5\cdot z&=&80 &\quad \scriptsize \mid\; \text{allgemeinen Punkt einsetzen} \\[5pt] 865 + 5 \cdot \left(-245 + s\right)&=&80 \\[5pt] 865 - 1.225 + 5 \cdot s&=&80 \\[5pt] 5 \cdot s - 360 &=&80&\quad \scriptsize \mid\;+360 \\[5pt] 5 \cdot s &=&440&\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] s &=&88\\[5pt] \end{array}$
Setze nun den Parameter $s=88$ in den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ ein, um den Ortsvektor des Punktes $H$ zu erhalten:
$\overrightarrow{OH}=\begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245 + 88\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\ 865\\ -157\end{pmatrix}$
Damit lauten die Koordinaten des Punktes $H$ $\left(40 \mid 865 \mid ?157\right)$.
2.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass an höchstens $8$ von $30$ Tagen ein Pumpspeicherwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet wird.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an Tagen unter $n=30$ Tagen beschreibt, an denen der Stromverbrauch ausgeglichen werden muss. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „Stromverbrauch ausgleichen“ und „Stromverbrauch nicht ausgleichen“ gibt und durchschnittlich an $8$ von $30$ Tagen der Stromverbrauch ausgeglichen wird. Es gilt dementsprechend $p=\dfrac{8}{30}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als $P\left(X \leq 8\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen. Verwende dazu den binomcdf-Befehl deines GTR. Diesen findest du unter
2ND $\to$ VARS(DISTR) $\to$ B: binomcdf
Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =30$, $p =\dfrac{8}{30}$ und $x = 8$ eingeben.
Teil B2
Teil B2
Du erhältst dann das Ergebnis $P(X \leq 8) \approx 0,5937 = 59,37\,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass an höchstens $8$ von $30$ Tagen ein Pumpspeicherwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet wird, liegt bei $59,37\,\%$.
2.6
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit zeigen
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag von der des Vortages stochastisch abhängig ist.
Definiere zuerst die zur Aufgabe gehörigen Ereignisse:
  • $A$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T$ erhöht“
  • $B$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T+1$ erhöht“
  • $\Rightarrow\quad$ $A \cap B$: „Die Stromerzeugung ist an zwei aufeinander folgenden Tagen erhöht“
Die Stromerzeugung ist genau dann von der des Vortages abhängig, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
$P\left(A\right) \cdot P\left(B\right) \neq P\left(A \cap B\right)$
Bestimme also die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten und überprüfe die Bedingung.
Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$ und $B$ sind jeweils, dass an einem Tag die Stromerzeugung erhöht ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch die Aufgabenstellung mit $P\left(A\right)=P\left(B\right)=\dfrac{5}{30}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass an zwei aufeinander folgenden Tagen die Stromerzeugung erhöht ist, ist auch gegeben. Es gilt $P\left(A \cap B\right)=0,04=\dfrac{1}{25}$.
Überprüfe nun die Bedingung:
$P\left(A\right) \cdot P\left(B\right)=\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36} \neq \dfrac{1}{25} = P\left(A \cap B\right)$
Damit ist die Bedingung für stochastische Abhängigkeit erfüllt. Die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag ist von der des Vortages stochastisch abhängig.
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2.
2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{A}$ angeben
Zuerst sollst du die Koordinaten des Punktes $A\left(x_A \mid y_A \mid z_A \right)$ angeben. In der Aufgabenstellung sind Eigenschaften des Punktes $A$ gegeben.
Der Punkt $A$ ist eine Ecke des Trapezes $OABC$ mit den anderen Eckpunkten $O$, $B$ und $C$. Dabei erkennst du, dass die Strecke $OA$ die längere Seite der beiden parallelen Seiten ist. Diese Seite ist $80\text{ m}$ lang. Der Punkt $O$ liegt im Koordinatenursprung. Also gilt:
$80=\left|\overrightarrow{OA}\right|= \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$
Eine weitere Eigenschaft ist, dass der Punkt $A$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse liegt, also gilt $y_A > 0$. Liegt ein Punkt auf der $y$-Achse, so sind seine $x$- und $z$-Koordinaten gleich Null: $x_A=0$ und $z_A=0$. In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies:
$80= \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}= \sqrt{0 + y_A^2 + 0}= \sqrt{y_A^2}=y_A$
Somit ergeben sich für den Punkt $A$ die Koordinaten $(0 \mid 80 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels $\boldsymbol{OAC}$ berechnen
Hier ist es deine Aufgabe die Größe des Winkels $AOC$ zu berechnen. Dieser Winkel entspricht gerade dem Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Mit Hilfe der Längenangaben in der Aufgabenstellung kannst du den Vektor $\overrightarrow{OC}$ bilden und damit dann den gesuchten Winkel berechnen.
1. Schritt: Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{OC}}$ bilden
Auf der untenstehenden Skizze erkennst du die Lage des Winkels $\alpha$ und der Punkte $O$, $A$ und $C$. Die Skizze bildet das Trapez in der $y$-$z$-Ebene ab:
Teil B2
Teil B2
Nun ist nach dem Ortsvektor des Punktes $C$ gesucht. Da der Punkt $C$ in der $y$-$z$-Ebene liegt, ist seine $x$-Komponente gleich Null. Weiter weißt du, dass die Strecke $\overline{OA}$ auf der $y$-Achse verläuft. Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der $y$-Achse und verläuft somit parallel zur $z$-Achse.
Die $z$-Komponente ist dann durch die Höhe von $26 \text{ m}$ gegeben, die $y$-Komponente durch die Länge der Strecke $\overline{OF}$. Die Länge der Strecke $\overline{OF}$ kannst du mit den angegebenen Längen der parallelen Seiten berechnen. Da es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, sind die Strecken $\overline{OF}$ und $\overline{GA}$ gleich lang, außerdem erkennst du, dass $\left|\overline{FG}\right|=\left|\overline{CB}\right|$ gilt. Somit kannst du die Länge der Strecke $\overline{OF}$ folgendermaßen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OA}\right|&=& \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{FG}\right|+\left|\overline{GA}\right| &\quad \scriptsize \mid\; \left|\overline{FG}\right|=\left|\overline{CB}\right| \text{ und } \left|\overline{OF}\right| = \left|\overline{GA}\right|\\[5pt] \left|\overline{OA}\right|&=& \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{CB}\right|+\left|\overline{OF}\right| \\[5pt] \left|\overline{OA}\right|&=& 2 \cdot \left|\overline{OF}\right|+\left|\overline{CB}\right| &\quad\scriptsize \mid\; -2 \cdot \left|\overline{OF}\right| -\left|\overline{OA}\right| \\[5pt] -2 \left|\overline{OF}\right| &=& \left|\overline{CB}\right| -\left|\overline{OA}\right| &\quad\scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \left|\overline{OF}\right| &=& \dfrac{\left|\overline{OA}\right|-\left|\overline{CB}\right|}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{80-24}{2} =\dfrac{56}{2}=28 \end{array}$
Damit ist die $y$-Komponente $28$ und der Vektor lautet:
$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix}$
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OC}$. Verwende also die Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren:
$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\alpha\right)&=&\dfrac{\left| \overrightarrow{OA} \circ \overrightarrow{OC} \right|}{\left| \overrightarrow{OA} \right| \cdot \left|\overrightarrow{OC}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left| \begin{pmatrix}0\\ 80\\ 0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}0\\ 80\\ 0\end{pmatrix} \right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0\\ 28\\ 26\end{pmatrix}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{\left|80 \cdot 28\right| }{\sqrt{80^2} \cdot \sqrt{28^2 +26^2}}\\[5pt] &=&\dfrac{80 \cdot 28 }{80 \cdot \sqrt{1460}}\\[5pt] &=&\dfrac{ 28 }{\sqrt{1460}}\\[5pt] &\approx& 0,7328\\[5pt] \end{array}$
Für den Winkel $\alpha$ gilt nun:
$\alpha=\cos^{-1}\left(0,7328\right) \approx 42,88°$
Damit beträgt die Größe des Winkels $OAC$ $42,88°$.
2.2
$\blacktriangleright$  Größe des Winkels zwischen $\boldsymbol{\overline{OQ}}$ und $\boldsymbol{\overline{QK}}$ berechnen
Deine Aufgabe ist es die Größe des Winkels zwischen den Strecken $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ zu bestimmen. Die Strecken $\overline{QQ}$ bzw. $\overline{QK}$ verlaufen nach Aufgabenstellung in Richtung der Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$. Die Größe des Winkels zwischen den beiden Strecken kannst du mit Hilfe der beiden Vektoren berechnen. Betrachte dazu die untenstehende Skizze (Achtung: Dies ist eine nicht maßstabsgetreue Skizze, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ bzw. $\overrightarrow{w}$ entsprechen nicht automatisch den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OQ}$ bzw. $\overrightarrow{QK}$):
Teil B2
Teil B2
Hier ist nach dem Winkel $\beta$ gefragt, die Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein. Für die Größe der Winkel $\beta$ und $\alpha$ gilt: $\beta = 180° - \alpha$. Berechne also $\alpha$ mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Vektoren, damit kannst du dann $\beta$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{\left|\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{w} \right|}{\left| \overrightarrow{v} \right| \cdot \left| \overrightarrow{w} \right|}\right) \\[5pt] &=&\cos^{-1} \left(\dfrac{\left|\begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}\right|} \right) \\[5pt] &=&\cos^{-1}\left( \dfrac{\left| 25 \cdot 45 + 221 \cdot 398 + \left(-128\right) \cdot \left(-34\right)\right|}{\sqrt{25^2 + 221^2 + \left(-128\right)^2}\cdot \sqrt{45^2 + 398^2 + \left(-34\right)^2}} \right) \\[5pt] &=&\cos^{-1}\left( \dfrac{93.435}{\sqrt{65.850}\cdot \sqrt{161.585}} \right) \\[5pt] &\approx&\cos^{-1}\left( 0,9058\right)\\[5pt] &\approx&25,07°\\[5pt] \end{array}$
Damit kannst du nun $\beta$ berechnen:
$\beta = 180° - 25,07° = 154,93°$
Die Größe des Winkels zwischen den beiden Strecken $\overline{OQ}$ und $\overline{QK}$ beträgt $154,93°$.
$\blacktriangleright$  Länge der Triebwasserleitung berechnen
Berechne nun die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$. Die Länge dieser Strecke ist gerade die Länge der Verbindungsvektoren dieser Punkte. Es gilt also:
$\left|\overline{OQK}\right|= \left|\overrightarrow{OQ}\right| + \left|\overrightarrow{QK}\right|$
Die Koordinaten der Punkte $O$ und $K$ sind dir gegeben, du musst also noch die Koordinaten des Punktes $Q$ bestimmen.
Den Punkt $Q$ kannst du nun mit Hilfe der Richtungen der Wasserleitungen und den Punkten $K$ und $O$ berechnen. Der Punkt $Q$ liegt sowohl auf der Geraden $g_1$ durch $O$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ (erster Teil der Triebwasserleitung) als auch auf der Geraden $g_2$ durch $K$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{w}$ (zweiter Teil der Triebwasserleitung). Der Punkt $Q$ ist somit Schnittpunkt der Geraden $g_1$ und $g_2$.
Hast du dann die Koordinaten des Punktes $Q$ gegeben, kannst du die Verbindungsvektoren und damit die Länge des Streckenzugs berechnen.
1. Schritt: Koordinaten des Puntes $\boldsymbol{Q}$ bestimmen
Stelle zuerst die Geradengleichungen von $g_1$ bzw. $g_2$ auf. Dazu sind dir jeweils ein Punkt auf der Geraden und der Richtungsvektor der Geraden gegeben. Wähle den Punkt als Stützvektor der Geraden, die Richtungsvektoren sind bereits gegeben. Dementsprechend lauten die Gleichungen der Geraden $g_1$ und $g_2$ folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} g_1:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OO} + s \cdot \overrightarrow{v}&\quad s \in \mathbb{R}.\\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& s \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[10pt] g_2:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OK} + t \cdot \overrightarrow{w}&\quad t \in \mathbb{R}. \\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}95\\ 840\\-290\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}&\quad t \in \mathbb{R} .\\[10pt] \end{array}$
Den Schnittpunkt dieser beiden Geraden kannst du nun mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Setze dafür zuerst die beiden Geradengleichungen gleich, löse eine der Komponenten nach $s$ auf, setze dies in eine weitere Komponente ein, um $t$ zu berechnen, und überprüfe die beiden Werte mit der dritten Komponente.
$s \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}95\\ 840\\-290\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix} $
Aus der ersten Komponente erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot 25 &=& 95 + t \cdot 45 &\quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] s&=& \dfrac{95 + t \cdot 45}{25} \\[5pt] s&=& 3,8 + t \cdot 1,8 \end{array}$
Setze dies nun in die zweite Komponente ein:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot 221&=&840 + t \cdot 398 &\quad \scriptsize \mid\; s \text{ einsetzen}\\[5pt] \left( 3,8 + t \cdot 1,8\right) \cdot 221&=&840 + t \cdot 398 \\[5pt] 839,8 + t \cdot 397,8&=&840 + t \cdot 398 &\quad \scriptsize \mid\; - 839,8 -t \cdot 398 \\[5pt] t \cdot 397,8 -t \cdot 398&=&840 -839,8\\[5pt] - t \cdot 0,2&=&0,2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-5\right) \\[5pt] t&=&-1 \end{array}$
Damit kannst du nun den Wert für $s$ berechnen:
$s=3,8 + t \cdot 1,8= 3,8 - 1,8 = 2$
Überprüfe nun die für $s$ und $t$ erhaltenen Werte in der dritten Komponente:
$\begin{array}[t]{rll} s \cdot \left(-128\right)&=&-290 + t \cdot \left(-34\right) &\quad \scriptsize \mid\; s\text{ und } t \text{ einsetzen} \\[5pt] 2\cdot \left(-128\right)&=&-290 + \left(-1\right)\cdot \left(-34\right) \\[5pt] -256&=&-290 + 34 \\[5pt] -256&=&-256 \end{array}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$Teil B2
Um die Koordinaten des Punktes $Q$ zu bestimmen, kannst du nun $s=2$ in die Geradengleichung von $g_1$ (oder $t=-1$ in die Geradengleichung von $g_2$ einsetzen):
$\overrightarrow{OQ}= 2 \cdot \begin{pmatrix}25\\ 221\\ -128\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}$
Damit lauten die Koordinaten des Punktes $Q$ $\left(50 \mid 442 \mid -256\right)$.
2. Schritt: Verbindungsvektoren und Länge berechnen
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{OQ}$ hast du bereits im 1. Schritt berechnet, berechne also noch den Vektor $\overrightarrow{QK}$:
$\overrightarrow{QK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix}95\\ 840\\ -290\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}$
Nun kannst du die Länge des Streckenzugs $\overline{OQK}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{OQK}\right|&=& \left|\overrightarrow{OQ}\right| + \left|\overrightarrow{QK}\right|& \\[5pt] &=& \left|\begin{pmatrix}50\\ 442\\ -256\end{pmatrix}\right| + \left|\begin{pmatrix}45\\ 398\\ -34\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{50^2 + 442^2 + \left(-256\right)^2} + \sqrt{45^2 + 398^2 + \left(-34\right)^2}\\[5pt] &=& \sqrt{263.400} + \sqrt{161.585}\\[5pt] &\approx&915,20\\[5pt] \end{array}$
Die Gesamtlänge der Triebwasserleitung von $O$ über $Q$ bis $K$ beträgt ca. $915,2\text{ m}$.
2.3
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil am Volumen des Damms berechnen
Berechne hier den prozentualen Anteil des gesamten Felsausbruchs am Volumen des Damms. Hierzu benötigst du das Volumen des gesamten Felsausbruchs $V_{Fels}$ und das Volumen des Damms $V_{Damm}$. Hast du diese beiden Größen gegeben, so berechnet sich der prozentuale Anteil $p$ folgendermaßen:
$p=\dfrac{V_{Fels}}{V_{Damm}}$
Berechne also zuerst die Volumen des Felsausbruchs und des Damms.
1. Schritt: Volumen des Felsausbruchs
Der Felsausbruch besteht aus den Bohrungen für die zwei Wasserleitungen und dem Maschinenraum. Mit dem Volumen einer Wasserleitung $V_{Wasser}$ und dem Volumen des Maschinenraums $V_{Maschine}$ kannst du also das Volumen des gesamten Felsausbruchs berechnen:
$V_{Fels}=2 \cdot V_{Wasser} + V_{Maschine}$
Das Volumen des Maschinenraums ist dir nach Aufgabenstellung gegeben: $V_{Maschine}=160.000 \text{ m}^3$.
Das Volumen einer Wasserleitung kannst du mit der Länge und dem Durchmesser der Leitung berechnen. Die Leitung hat die Form eines Zylinders. Die Formel für das Volumen eines Zylinders mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Durchmesser $d$ lautet:
$V_{Zylinder}=l \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi $
Setze nun die Werte $l=915\text{ m}$ und $d=7\text{ m}$ ein:
$V_{Wasser}=915 \cdot \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot \pi = 11.208,75 \cdot \pi \approx 35.213,33\left[\text{ m}^3\right]$
Damit kannst du nun das Volumen des Felsausbruchs berechnen:
$V_{Fels}=2 \cdot 35.213,33 + 160.000 = 230.426,66 \left[\text{ m}^3\right]$
2. Schritt: Volumen des Damms berechnen
Der Damm kann als gerades Prisma betrachtet werden. Also kannst du das Volumen des Damms mit der Formel für das Volumen eines Prismas mit Länge $l$ (bzw. Höhe) und Grundfläche $A_G$ berechnen:
$V_{Prisma}=A_G \cdot l$
Hier ist die Länge nach Aufgabenstellung mit $l=500\text{ m}$ gegeben. Die Grundfläche $A_G$ ist hier der Flächeninhalt des Trapez $OABC$. Berechne also zuerst den Flächeninhalt des Trapez, damit dann das Volumen des Damms.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapez mit Längen $a$ und $c$ der parallelen Seiten und Höhe $h$ lautet:
$A_G=\dfrac{1}{2} \cdot \left(a+c\right) \cdot h $
Hier sind die parallelen Seitenlängen durch $a=80 \text{ m}$, $c=24\text{ m}$ und die Höhe durch $h=26\text{ m}$ gegeben. Damit kannst du die Fläche des Trapez berechnen:
$A_G=\dfrac{1}{2} \cdot \left(24 + 80\right) \cdot 26=\dfrac{1}{2} \cdot 104 \cdot 26 = 52 \cdot 26 = 1.352 \left[\text{ m}^2\right]$
Jetzt kannst du das Volumen des Damms berechnen:
$V_{Damm}=A_G \cdot l=1.352 \cdot 500 = 676.000 \left[\text{ m}^3\right]$
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Nun hast du das Volumen des Felsausbruchs und des Damms gegeben und kannst den prozentualen Anteil $p$ berechnen:
$p=\dfrac{V_{Fels}}{V_{Damm}}=\dfrac{230.426,66 \text{ m}^3}{676.000 \text{ m}^3}\approx 0,3409 = 34,09\,\%$
Der prozentuale Anteil des gesamen Felsausbruchs am Volumen des Damms beträgt ca. $34,09\,\%$.
2.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{H}$ bestimmen
Ermittle hier die Koordinaten des Punktes $H$. Nach Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt $H$ am Schacht liegt und am Hang zwischen Ober- und Unterbecken. Den Schacht kannst du mit einer Gerade $h$ darstellen und der Hang ist durch die Ebene $E$ gegeben. Der Punkt $H$ ist dann der Schnittpunkt der Geraden $h$ und der Ebene $E$.
Bestimme also zuerst eine Gleichung der Geraden $h$ und berechne damit den Schnittpunkt mit der Ebene $E$.
1. Schritt: Gleichung der Gerade $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Dir ist nach Aufgabenstellung ein Punkt auf der Geraden $h$ und ihre Richtung gegeben. Der Punkt $D$ befindet sich auf der Geraden und somit kann sein Ortsvektor als Stützvektor gewählt werden. Der Schacht verläuft in Richtung der $z$-Achse, somit verläuft der Richtungsvektor auch in Richtung der $z$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} h:& \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OD} + s \cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}.\\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245\end{pmatrix} + s \cdot\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] & \overrightarrow{x}&=& \begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245 + s\end{pmatrix}&\quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkt der Geraden $\boldsymbol{h}$ und der Ebene $\boldsymbol{E}$ bestimmen
Den Schnittpunkt $H$ kannst du nun bestimmen, indem du den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ in die gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene $E$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y+5\cdot z&=&80 &\quad \scriptsize \mid\; \text{allgemeinen Punkt einsetzen} \\[5pt] 865 + 5 \cdot \left(-245 + s\right)&=&80 \\[5pt] 865 - 1.225 + 5 \cdot s&=&80 \\[5pt] 5 \cdot s - 360 &=&80&\quad \scriptsize \mid\;+360 \\[5pt] 5 \cdot s &=&440&\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] s &=&88\\[5pt] \end{array}$
Setze nun den Parameter $s=88$ in den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ ein, um den Ortsvektor des Punktes $H$ zu erhalten:
$\overrightarrow{OH}=\begin{pmatrix}40\\ 865\\ -245 + 88\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\ 865\\ -157\end{pmatrix}$
Damit lauten die Koordinaten des Punktes $H$ $\left(40 \mid 865 \mid ?157\right)$.
2.5
$\blacktriangleright$  Untersuchen, ob die Profillinie den Blick behindert
Berechne hier die Wahrscheinlichkeit, dass an höchstens $8$ von $30$ Tagen ein Pumpspeicherwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet wird.
Definiere die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl an Tagen unter $n=30$ Tagen beschreibt, an denen der Stromverbrauch ausgeglichen werden muss. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt, da es nur die Möglichkeiten „Stromverbrauch ausgleichen“ und „Stromverbrauch nicht ausgleichen“ gibt und durchschnittlich an $8$ von $30$ Tagen der Stromverbrauch ausgeglichen wird. Es gilt dementsprechend $p=\dfrac{8}{30}$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du nun formulieren als $P\left(X \leq 8\right)$.
Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen. Du kannst den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter
F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F2: Bcd $\to$ F2: Var
Du musst dann die entsprechenden Parameter $x=8$, $n=30$ und $p=\dfrac{8}{30}$ eingeben:
Teil B2
Teil B2
Du erhältst dann das Ergebnis $P(X \leq 8) \approx 0,5937 = 59,37\,\%$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass an höchstens $8$ von $30$ Tagen ein Pumpspeicherwerk zum Ausgleich von erhöhtem Stromverbrauch zugeschaltet wird, liegt bei $59,37\,\%$.
2.6
$\blacktriangleright$  Unabhängigkeit zeigen
Hier ist es deine Aufgabe zu zeigen, dass die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag von der des Vortages stochastisch abhängig ist.
Definiere zuerst die zur Aufgabe gehörigen Ereignisse:
  • $A$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T$ erhöht“
  • $B$: „Die Stromerzeugung ist am Tag $T+1$ erhöht“
  • $\Rightarrow\quad$ $A \cap B$: „Die Stromerzeugung ist an zwei aufeinander folgenden Tagen erhöht“
Die Stromerzeugung ist genau dann von der des Vortages abhängig, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
$P\left(A\right) \cdot P\left(B\right) \neq P\left(A \cap B\right)$
Bestimme also die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten und überprüfe die Bedingung.
Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A$ und $B$ sind jeweils, dass an einem Tag die Stromerzeugung erhöht ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch die Aufgabenstellung mit $P\left(A\right)=P\left(B\right)=\dfrac{5}{30}$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass an zwei aufeinander folgenden Tagen die Stromerzeugung erhöht ist, ist auch gegeben. Es gilt $P\left(A \cap B\right)=0,04=\dfrac{1}{25}$.
Überprüfe nun die Bedingung:
$P\left(A\right) \cdot P\left(B\right)=\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36} \neq \dfrac{1}{25} = P\left(A \cap B\right)$
Damit ist die Bedingung für stochastische Abhängigkeit erfüllt. Die erhöhte Stromerzeugung an einem Tag ist von der des Vortages stochastisch abhängig.
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