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Teil B2

Aufgaben
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Vor einer Hauswand befindet sich ein rechteckiges Reklameschild, welches durch einen Scheinwerfer beleuchtet wird. Der Scheinwerfer lässt sich in einem kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ modellhaft durch den Punkt $L(12\mid -4\mid 3)$ beschreiben. Die Eckpunkte des Reklameschildes werden durch die Punkte $A(4\mid 0\mid 3),$ $B(6\mid 4\mid 3),$ $C(6\mid 4\mid 5)$ und $D(4\mid 0\mid 5)$ dargestellt. Die $xy$-Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund, auf dem das Haus steht. Die $yz$-Ebene beschreibt die Ebene, in der die Hauswand liegt.
2.1
Stelle den Punkt $L$ und das Rechteck $ABCD$ in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
(3 BE)
Auf der Hauswand ist der Schatten des Reklameschildes sichtbar. Der Punkt $A'(0\mid 2\mid 3)$ stellt den zu $A$ gehörenden Eckpunkt des Schattens dar, die Punkte $C'(0\mid 12\mid 7)$ und $D'(0\mid 2\mid 6)$ die zu $C$ bzw. $D$ gehörenden Eckpunkte des Schattens.
2.2
Weise nach, dass der vierte Eckpunkt des Schattens durch $B'(0\mid 12 \mid 3)$ dargestellt wird.
(3 BE)
2.3
Zeige, dass das Viereck $A'B'C'D'$ ein Trapez ist.
Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.
(5 BE)
#trapez
2.4
Der Scheinwerfer kann entlang einer senkrecht zum horizontalen Untergrund verlaufenden Stange in der Höhe vershcoben und modellhaft durch den Punkt $L_h(12\mid -4\mid h)$ mit $h\in \mathbb{R}$ und $h> 0$ beschrieben werden.
Betrachtet werden nur diejenigen Werte von $h,$ für die der Schatten des Reklameschildes vollständig auf der Hauswand liegt.
Für jede der beiden Seiten des Schattens, die durch die linke und rechte Kante des Reklameschildes erzeugt werden, gilt folgende Aussage:
„Die Länge der Seite bleibt bei Verschiebung des Scheinwerfers unverändert.“
Weise die Gültigkeit dieser Aussage für eine der beiden betrachteten Seiten des Schattens rechnerisch nach.
(4 BE)
Erfahrungsgemäß nehmen $38\,\%$ aller Passanten dieses Reklameschild wahr. Von den Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, sind $40\,\%$ männlich.
2.5
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passant dieses Reklameschild wahrnimmt und weiblich ist.
(2 BE)
2.6
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $250$ Passanten weniger als $100$ Passanten dieses Reklameschild wahrnehmen.
(2 BE)
2.7
Aufgrund einer besseren Verkehrsanbindung wird vermutet, dass der Anteil der Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, gestiegen ist.
In einem Test mit $120$ zufällig ausgewählten Passanten soll die Nullhypothese
„Der Anteil der Passanten, die dieses Reklameschild wahrnehmen, beträgt höchstens $38\,\%.$ “
auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
(3 BE)
#hypothesentest#signifikanzniveau
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Punkt und Rechteck im Koordinatensystem darstellenTeil B2
Je nach verfügbarem Platz kannst du für das Koordinatensystem beispielsweise $1\,\text{cm}$ oder $0,5\,\text{cm}$ pro Längeneinheit wählen.
Teil B2
Abb. 1: Koordinatensystem
Teil B2
Abb. 1: Koordinatensystem
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des vierten Eckpunktes nachweisen
Die Hauswand liegt laut Aufgabenstellung in der $yz$-Ebene, welche durch die Gleichung $x=0$ beschrieben werden kann. Der Punkt $B'$ muss als Schattenpunkt also auch in der $yz$-Ebene und gleichzeitig auf der Geraden $g$ liegen, die durch die Punkte $L$ und $B$ verläuft.
Bestimme also den Schnittpunkt dieser Geraden mit der $yz$-Ebene.
1. Schritt: Geradengleichung bestimmen
Die Gerade durch die Punkte $L$ und $B$ kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LB} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\3} +r\cdot \pmatrix{-6\\8\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{12-6r\\-4+8r\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ g: … $
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Setze nun die Koordinaten der Gerade $g$ in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x =12-6r \\[5pt] 12-6r &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +6r \\[5pt] 12 &=& 6r &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 2&=& r \end{array}$
$ r = 2 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'}&=& \pmatrix{12\\-4\\3} +2\cdot \pmatrix{-6\\8\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'} = \pmatrix{0\\12\\3} $
Die Koordinaten des vierten Eckpunkts $B'$ lauten also $B'(0\mid 12\mid 3).$
2.3
$\blacktriangleright$  Trapezform zeigen
Bei dem Viereck handelt es sich um ein Trapez, wenn es zwei gegenüberliegende Seiten gibt, die parallel sind. Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel, wenn die zugehörigen Verbindungsvektoren der jeweiligen Eckpunkte linear abhängig sind. Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A'D'}&=& \pmatrix{0\\0\\3} \\[5pt] \overrightarrow{B'C'}&=& \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] \end{array}$
Es gilt also: $\overrightarrow{A'D'} = \frac{3}{4}\cdot \overrightarrow{B'C'}.$
Die beiden Seiten $\overline{A'D'}$ und $\overline{B'C'}$ sind also parallel, wodurch es sich bei $A'B'C'D'$ um ein Trapez handelt.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Höhe des Trapezes bestimmen
Die Höhe des Trapezes ist der Abstand der beiden parallelen Seiten. Bestimme also den Abstand der beiden Geraden $h$ durch die Punkte $A'$ und $D'$ und $i$ durch die beiden Punkte $B'$ und $C'.$
Da diese Geraden parallel sind, genügt es beispielsweise den Abstand von $A'$ zur Geraden $i$ zu bestimmen. Die Gerade durch die Punkte $B'$ und $C'$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} i: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB'} + s\cdot \overrightarrow{B'C'} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\3} +s\cdot \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] \end{array}$
$ i: … $
Eine Hilfsebene $H,$ die senkrecht zu $i$ durch den Punkt $A'$ verläuft, besitzt also den Normalenvektor $\pmatrix{0\\0\\4}.$ Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $A'$ liefert für eine Koordinatenform von $H:$
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad 4z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; A'(0\mid 2\mid3) \\[5pt] 4\cdot 3 &=& d \\[5pt] 12 &=& d \end{array}$
$ d = 12 $
Eine Gleichung der Hilfsebene lautet also $H:\quad 4z = 12.$ Einsetzen der Koordinaten der Geraden $i$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H:\quad 4z&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; z_i = 3+4s \\[5pt] 4\cdot (3+4s)&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 3+4s&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 4s&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] s&=& 0 \end{array}$
$ s = 0 $
Einsetzen in die Geradengleichung von $i$ liefert die Koordinaten des Schnittpunkts von $H$ und $i:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{0\\12\\3} +0\cdot \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\12\\3} \end{array}$
$ \overrightarrow{OS} = \pmatrix{0\\12\\3} $
Die Höhe des Trapezes ergibt sich also über den Abstand der Punkte $A'$ und $S$ mithilfe des Vektorbetrags.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \left|\overrightarrow{A'S} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\10\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+10^2+0^2} \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$ h = 10 $

Hinweis: Du kannst bei der Höhe des Trapezes auch über die Koordinaten der Punkte argumentieren und beispielsweise verwenden, dass $\overline{A'D'}$ und $\overline{B'C'}$ parallel zur $z$-Achse verlaufen, was man jeweils am zugehörigen Verbindungsvektor erkennen kann.
2. Schritt: Längen der parallelen Seiten berechnen
Mithilfe des Vektorbetrags ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A'D'} \right|&=&\left|\pmatrix{0\\0\\3}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2 +3^2}\\[5pt] &=& 3 \\[10pt] \left|\overrightarrow{B'C'} \right|&=&\left|\pmatrix{0\\0\\4}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2 +4^2}\\[5pt] &=& 4 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A'D'} \right| &=& 3 \\[10pt] \left|\overrightarrow{B'C'} \right|&=& 4 \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left( \left|\overrightarrow{A'D'} \right| + \left|\overrightarrow{B'C'} \right| \right)\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left( 3 + 4 \right)\cdot 10 \\[5pt] &=& 35 \\[5pt] \end{array}$
$ A=35 $
Das Trapez $A'B'C'D'$ besitzt einen Flächeninhalt von $35\,\text{FE}.$
#vektorbetrag#lineareabhängigkeit
2.4
$\blacktriangleright$  Aussage für eine der beiden Seiten nachweisen
Du kannst die Koordinaten der neuen Schattenpunkte $B'_h$ und $C'_h$ analog zu Teil 2.2 als Schnittpunkte der $yz$-Ebene mit den beiden Geraden durch die Punkte $L_h$ und $B$ bzw. $L_h$ und $C$ in Abhängigkeit von $h$ bestimmen.
1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
Die Gerade durch die beiden Punkte $L_h$ und $B$ kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} j_h:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL_h} + t\cdot \overrightarrow{L_hB} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\h} +t\cdot \pmatrix{-6\\8\\3-h} \\[5pt] \end{array}$
$ j_h:… $
Die Gerade durch die beiden Punkte $L_h$ und $C$ kann analog mit folgender Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} k_h:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL_h} + t\cdot \overrightarrow{L_hC} \\[5pt] &=& \pmatrix{12\\-4\\h} +t\cdot \pmatrix{-6\\8\\5-h} \\[5pt] \end{array}$
$ k_h: … $
2. Schritt: Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{B'_h}$ bestimmen
Einsetzen der Koordinaten der Geraden $j_h$ in die Ebenengleichung $x=0$ der $yz$-Ebene liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x = 12-6t \\[5pt] 12-6t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6t \\[5pt] 12&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] 2&=& t \end{array}$
$ t = 2 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB'_h}&=&\pmatrix{12\\-4\\h} +2\cdot \pmatrix{-6\\8\\3-h} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\6-h} \end{array}$
$ \overrightarrow{OB'_h} = \pmatrix{0\\12\\6-h}$
Die Koordinaten des neuen Schattenpunkts in Abhängigkeit von $h$ lauten also $B'_h(0\mid 12\mid 6-h).$
3. Schritt: Koordinaten des Schattenpunkts $\boldsymbol{C'_h}$ bestimmen
Einsetzen der Koordinaten der Geraden $k_h$ in die Ebenengleichung $x=0$ der $yz$-Ebene liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x = 12-6t \\[5pt] 12-6t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+6t \\[5pt] 12&=& 6t &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] 2&=& t \end{array}$
$ t = 2 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC'_h}&=&\pmatrix{12\\-4\\h} +2\cdot \pmatrix{-6\\8\\5-h} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\12\\20-h} \end{array}$
$ \overrightarrow{OC'_h} = \pmatrix{0\\12\\20-h} $
Die Koordinaten des neuen Schattenpunkts in Abhängigkeit von $h$ lauten also $C'_h(0\mid 12\mid 10-h).$
4. Schritt: Länge der Seite berechnen
Mit dem Vektorbetrag folgt für die Länge der Seite $\overline{B'_hC'_h}:$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{B'_hC'_h} \right|&=& \left|\pmatrix{0\\0\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+4^2} \\[5pt] &=&4 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{B'_hC'_h} \right| = 4 $
Die Länge der Seite $\overline{B'_hC'_h}$ ist also unabhängig von $h$ und beträgt $4\,\text{LE}.$ Die verändert sich mit der Verschiebung des Scheinwerfers also nicht.
2.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Zur Übersicht kannst du dir ein Baumdiagramm zeichnen. Wenn $40\,\%$ der Passanten, die die Reklame wahrnehmen, männlich sind, sind $60\,\%$ der Passanten, die sie wahrnehmen, weiblich. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt also:
$0,38\cdot 0,6 = 0,228$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $22,8\,\%$ nimmt ein Passant das Reklameschild wahr und ist weiblich.
#pfadregeln
2.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Passanten beschreibt, die sich unter den $250$ Passanten befinden und das Reklameschild wahrnehmen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=250$ und $p=0,38$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann mit deinem GTR bestimmen.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd
Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd
$\begin{array}[t]{rll} P(X< 100)&=& P(X\leq 99) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 0,7223 \\[5pt] \end{array}$
$ P(X< 100)\approx 0,7223 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $72,23\,\%$ befinden sich unter $250$ Passanten weniger als $100,$ die das Reklameschild wahrnehmen.
#binomialverteilung
2.7
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der Passanten in der Stichprobe von $120$ Passanten beschreibt, die das Reklameschild wahrnehmen. Ist die Nullhypothese wahr, ist $X_p$ im Extremfall binomialverteilt mit $n = 120$ und $p= 0,38.$ Aufgrund des Signifikanzniveaus ist nun das kleinste $k$ gesucht, sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_p\geq k ) &\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(X_p\leq k-1)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(X_p\leq k-1)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_p\leq k-1)&\geq& 0,95 \end{array}$
$ P(X_p\leq k-1)\geq 0,95 $
Mit deinem GTR kannst du diese Wahrscheinlichkeit für verschiedene Werte für $k$ bestimmen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_p\leq 50 ) &\approx& 0,8219 \\[5pt] P(X_p\leq 60 ) &\approx& 0,9972 \\[5pt] P(X_p\leq 55 ) &\approx& 0,9676 \\[5pt] P(X_p\leq 54 ) &\approx& 0,9518 \\[5pt] P(X_p\leq 53 ) &\approx& 0,9303 \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $k-1\geq 54$ und damit $k\geq 55.$ Werden mindestens $55$ Passanten in der Stichprobe gefunden, die das Reklameschild wahrnehmen, geht man davon aus, dass sich der Anteil der Passanten, die das Schild wahrnehmen erhöht hat. Befinden sich weniger als $55$ Passanten in der Stichprobe, die das Schild wahrnehmen, geht man davon aus, dass sich der Anteil nicht erhöht hat.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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