Aufgabe 2 — Messungen mit dem Michelson-Interferometer

Ein Michelson-Interferometer lässt sich zur Messung sehr kleiner Längenänderungen verwenden. In dieser Aufgabe soll zunächst der prinzipielle Aufbau dieses Gerätes erläutert werden. Anschließend sollen durch die Messung von Weglängenänderungen die Wellenlängen des Lichts zweier Laser bestimmt werden.

2.1

In Material 2-A (i) ist der unvollständige Aufbau eines Michelson-Interferometers schematisch abgebildet.

Zeichne in Material 2-A (i) die fehlenden Bauteile, die den Aufbau zu einem Michelson-Interferometer vervollständigen, sowie die Lichtwege des Laserlichts ein.

5 BE

Erläutere, wie es zu der dunklen Fläche in der Mitte des Schirmbildes in Material 2-B kommt, und begründe dabei auch die Beziehung $Formula: \Delta d=n\cdot \tfrac{\lambda_1}{2}.$ $Formula: \Delta d=n\cdot \tfrac{\lambda_1}{2}.$

$Formula: n\text{:}$ $Formula: n\text{:}$ Anzahl der Dunkel-Dunkel-Wechsel;

$Formula: \lambda_1\text{:}$ $Formula: \lambda_1\text{:}$ Wellenlänge des Laserlichts des Lasers 1;
$Formula: \Delta d\text{:}$ $Formula: \Delta d\text{:}$ Verschiebeweg des Spiegels Formula: S_2

8 BE

2.2

Mit einem Michelson-Interferometer können bei bekannter Wellenlänge sehr kleine Längenänderungen untersucht werden. Umgekehrt lässt sich bei bekannter Längenänderung die Wellenlänge des verwendeten Lichts bestimmen. Dafür ist Spiegel Formula: S_2 mit einer Mikrometerschraube verbunden, sodass der Verschiebeweg $Formula: \Delta d$ $Formula: \Delta d$ genau eingestellt und gemessen werden kann.

In Material 2-C ist eine Messreihe für die Anzahl von Dunkel-Dunkel-Wechseln bei unterschiedlichen Verschiebewegen dargestellt.

Ermittle unter Verwendung aller Messwerte die Wellenlänge $Formula: \lambda_1$ $Formula: \lambda_1$ und den Farbeindruck des verwendeten Laserlichts.

[Kontrollwert: $Formula: \lambda_1\approx 620\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_1\approx 620\;\mathrm{nm}$ ]

6 BE

2.3

Nun soll in einem zweiten Versuch ein zweiter Laser (Laser 2) unbekannter Wellenlänge $Formula: \lambda_2$ $Formula: \lambda_2$ neben Laser 1 dem Aufbau (Material 2-A (ii)) hinzugefügt werden. Es ergeben sich zwei Figuren (Material 2-D).

Leite die Gleichung $Formula: \lambda_2=\tfrac{n_1}{n_2}\cdot\lambda_1$ $Formula: \lambda_2=\tfrac{n_1}{n_2}\cdot\lambda_1$ her und begründe den Ansatz.

$Formula: \lambda_1\text{:}$ $Formula: \lambda_1\text{:}$ Wellenlänge des Lichts von Laser 1;
$Formula: \lambda_2\text{:}$ $Formula: \lambda_2\text{:}$ unbekannte Wellenlänge des Lichts von Laser 2;
$Formula: n_1,n_2\text{:}$ $Formula: n_1,n_2\text{:}$ Anzahl der Dunkel-Dunkel-Wechsel des Bereichs in der Mitte der jeweiligen Figur

4 BE

Wenn die Mikrometerschraube um Formula: 1{,}7 Umdrehungen gedreht wird, werden für den ersten Laser Formula: 28, für den zweiten Laser Formula: 34 Dunkel-Dunkel-Wechsel gezählt.

Ermittle die Wellenlänge $Formula: \lambda_2$ $Formula: \lambda_2$ des zweiten Laserlichts.

3 BE

In der Praxis werden solche Aufbauten mit einem Referenzlaser sehr genau bekannter Wellenlänge genutzt, um die Wellenlänge eines unbekannten Laserlichts zu bestimmen.

Analysiere die Gültigkeit der folgenden Aussage:

„Durch das Zählen der jeweiligen Dunkel-Dunkel-Wechsel entfällt die Messung des Verschiebeweges und es kann eine größere Genauigkeit der Messung erreicht werden.“

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Material 2-A: Unvollständiger, schematischer Aufbau eines Michelson-Interferometers

Versuchsaufbau mit Laser 1 sowie den markierten Punkten S₁ und S₂.

Schematische Darstellung von zwei Lasern und einer Barriere mit den Abständen S₁ und S₂.

Formula: S_1, $Formula: S_2\text{:}$ $Formula: S_2\text{:}$ Spiegel

In (i) ist der Aufbau für Versuch 1 mit einem Laser, in (ii) der Aufbau für den Versuch mit zwei Lasern abgebildet. Zu ergänzen ist nur der Aufbau in (i), in (ii) wird später der gleiche Aufbau verwendet.

Material 2-B: Schirmbild und Informationen zum Michelson-Interferometer

Graustufenbild mit konzentrischen, kreisförmigen Ringen.

Wird Laser 1 eingeschaltet, so sind auf dem Schirm Ringe um eine gemeinsame Mitte zu erkennen. Zunächst ist der Aufbau so eingestellt, dass der Bereich in der Mitte dunkel ist.

Wird nun der Abstand des Spiegels Formula: S_2 vom Strahlteiler langsam um den Verschiebeweg $Formula: \Delta d,$ $Formula: \Delta d,$ vergrößert, wird dieser Bereich in der Mitte zunächst hell, dann wieder dunkel, hell usw.

Material 2-C: Messwerte für die Anzahl der Umdrehungen $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{u}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{u}}$ der Mikrometerschraube und die Anzahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{n}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{n}}$ der Dunkel-Dunkel-Wechsel

$Formula: \boldsymbol{u}$ $Formula: \boldsymbol{u}$
$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$

Eine Mikrometerschraube ist eine Messschraube zur mechanischen Längenmessung. Eine Umdrehung Formula: u der Schraube entspricht einer Längenänderung von $Formula: 5{,}0\;\mathrm{\mu m}.$ $Formula: 5{,}0\;\mathrm{\mu m}.$ Sie kann auf Formula: 0{,}1 Umdrehungen genau abgelesen werden.

Material 2-D: Schirmbild und Informationen zu Versuch 2

Schwarz-weißes Muster aus konzentrischen Kreisen mit zwei hellen Bereichen.

Nach Hinzufügen des zweiten Lasers ergeben sich zwei ringförmige, teilweise überlappende Figuren auf dem Schirm. Wird der Abstand $Formula: \Delta d$ $Formula: \Delta d$ des Spiegels Formula: S_2 vom Strahlteiler durch Drehen an der Mikrometerschraube verändert, zeigt sich für die beiden Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Dunkel-Dunkel-Wechseln.

Zu Beginn sind die Mitten beider Interferenzfiguren dunkel. Die Mikrometerschraube wird so lange gedreht, bis beide Figuren gleichzeitig wieder in der Mitte dunkel sind.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

2.1

Skizze zur Reflexion von Laserlicht an einem halbdurchlässigen Spiegel mit den Schirmen S₁ und S₂.

Am Strahlteiler entstehen zwei Teilstrahlen, die unterschiedlich lange Wege zurücklegen. Dadurch besitzen sie am Schirm einen Gangunterschied und damit eine Phasendifferenz. Überlagern sich die Teilstrahlen mit einem ungeraden ganzzahligen Vielfachen von $Formula: \tfrac{\lambda_1}{2}$ $Formula: \tfrac{\lambda_1}{2}$ als Gangunterschied, tritt destruktive Interferenz auf. Die Mitte des Schirmbildes erscheint dunkel.

Wird der Spiegel Formula: S_2 um den Weg $Formula: \Delta d$ $Formula: \Delta d$ verschoben, verlängert sich der zugehörige Lichtweg wegen des Hin- und Rückwegs um:

$Formula: \Delta s = 2 \cdot \Delta d$ $Formula: \Delta s = 2 \cdot \Delta d$

Für den nächsten Dunkel-Dunkel-Wechsel muss sich der Gangunterschied um ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ändern:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta s & = & 2 \cdot \Delta d = n \cdot \lambda_1 \\[5pt] 2 \cdot \Delta d & = & n \cdot \lambda_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] \Delta d & = & n \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta s & = & 2 \cdot \Delta d = n \cdot \lambda_1 \\[5pt] 2 \cdot \Delta d & = & n \cdot \lambda_1 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] \Delta d & = & n \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} \end{array}$

Damit ist die in der Aufgabe geforderte Beziehung hergeleitet.

2.2

Für jeden Messwert gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta d & = & n \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{n} \\[5pt] \lambda_1 & = & 2 \cdot \dfrac{\Delta d}{n} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta d & = & n \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{n} \\[5pt] \lambda_1 & = & 2 \cdot \dfrac{\Delta d}{n} \end{array}$

Eine Umdrehung der Mikrometerschraube entspricht einem Verschiebeweg von $Formula: 5{,}0\;\mathrm{\mu m}.$ $Formula: 5{,}0\;\mathrm{\mu m}.$

Für $Formula: u_1 = 1{,}0$ $Formula: u_1 = 1{,}0$ und Formula: n_1 = 16 ergibt sich:

$Formula: \Delta d_1 = 1{,}0 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 5{,}0\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: \Delta d_1 = 1{,}0 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 5{,}0\;\mathrm{\mu m}$

$Formula: \lambda_{1\mathrm{a}} = 2 \cdot \dfrac{5{,}0\;\mathrm{\mu m}}{16} = 0{,}625\;\mathrm{\mu m} = 625\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{1\mathrm{a}} = 2 \cdot \dfrac{5{,}0\;\mathrm{\mu m}}{16} = 0{,}625\;\mathrm{\mu m} = 625\;\mathrm{nm}$

Für $Formula: u_2 = 1{,}6$ $Formula: u_2 = 1{,}6$ und Formula: n_2 = 26 ergibt sich:

$Formula: \Delta d_2 = 1{,}6 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 8{,}0\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: \Delta d_2 = 1{,}6 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 8{,}0\;\mathrm{\mu m}$

$Formula: \lambda_{1\mathrm{b}} = 2 \cdot \dfrac{8{,}0\;\mathrm{\mu m}}{26} \approx 0{,}615\;\mathrm{\mu m} = 615\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{1\mathrm{b}} = 2 \cdot \dfrac{8{,}0\;\mathrm{\mu m}}{26} \approx 0{,}615\;\mathrm{\mu m} = 615\;\mathrm{nm}$

Für $Formula: u_3 = 2{,}6$ $Formula: u_3 = 2{,}6$ und Formula: n_3 = 42 ergibt sich:

$Formula: \Delta d_3 = 2{,}6 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 13{,}0\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: \Delta d_3 = 2{,}6 \cdot 5{,}0\;\mathrm{\mu m} = 13{,}0\;\mathrm{\mu m}$

$Formula: \lambda_{1\mathrm{c}} = 2 \cdot \dfrac{13{,}0\;\mathrm{\mu m}}{42} \approx 0{,}619\;\mathrm{\mu m} = 619\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{1\mathrm{c}} = 2 \cdot \dfrac{13{,}0\;\mathrm{\mu m}}{42} \approx 0{,}619\;\mathrm{\mu m} = 619\;\mathrm{nm}$

Mittelwertbildung:

$Formula: \overline{\lambda}_1 = \dfrac{625\;\mathrm{nm} + 615\;\mathrm{nm} + 619\;\mathrm{nm}}{3} \approx 620\;\mathrm{nm}$ $Formula: \overline{\lambda}_1 = \dfrac{625\;\mathrm{nm} + 615\;\mathrm{nm} + 619\;\mathrm{nm}}{3} \approx 620\;\mathrm{nm}$

Die Wellenlänge beträgt etwa $Formula: 620\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 620\;\mathrm{nm}.$ Das Laserlicht erscheint somit rot.

2.3

Für beide Interferenzmuster wird derselbe Spiegel um denselben Weg verschoben. Deshalb ist der Verschiebeweg $Formula: \Delta d$ $Formula: \Delta d$ für beide Laser gleich:

$Formula: \Delta d = n_1 \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} = n_2 \cdot \dfrac{\lambda_2}{2}$ $Formula: \Delta d = n_1 \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} = n_2 \cdot \dfrac{\lambda_2}{2}$

Umstellen nach der unbekannten Wellenlänge ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n_1 \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} &=& n_2 \cdot \dfrac{\lambda_2}{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{n_2} \\[5pt] \lambda_2 &=& \dfrac{n_1}{n_2} \cdot \lambda_1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n_1 \cdot \dfrac{\lambda_1}{2} &=& n_2 \cdot \dfrac{\lambda_2}{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{n_2} \\[5pt] \lambda_2 &=& \dfrac{n_1}{n_2} \cdot \lambda_1 \end{array}$

Mit den bekannten Werten Formula: n_1 = 28 und Formula: n_2 = 34 sowie $Formula: \lambda_1 \approx 620\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_1 \approx 620\;\mathrm{nm}$ folgt:

$Formula: \lambda_2 = \dfrac{28}{34} \cdot 620\;\mathrm{nm} \approx 511\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_2 = \dfrac{28}{34} \cdot 620\;\mathrm{nm} \approx 511\;\mathrm{nm}$

Die Wellenlänge des zweiten Laserlichts beträgt somit etwa $Formula: 511\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 511\;\mathrm{nm}.$

Die Aussage ist nur teilweise gültig. Durch die bekannte Wellenlänge von Laser 1 und das Zählen der Dunkel-Dunkel-Wechsel kann die Messung des Verschiebeweges entfallen. Die unbekannte Wellenlänge ergibt sich aus dem Verhältnis der gezählten Wechsel.

Eine größere Genauigkeit folgt daraus jedoch nicht automatisch. Eine gute Justierung des Interferometers, ein klar erkennbarer Wechsel der Helligkeit und eine ausreichend große Anzahl gezählter Dunkel-Dunkel-Wechsel bleiben erforderlich. Zählfehler oder eine ungenaue Bestimmung des letzten Wechselpunkts beeinflussen das Ergebnis weiterhin.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Aufgabe 2 — Messungen mit dem Michelson-Interferometer

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

Material 2-A: Unvollständiger, schematischer Aufbau eines Michelson-Interferometers

Material 2-B: Schirmbild und Informationen zum Michelson-Interferometer

Material 2-C: Messwerte für die Anzahl der Umdrehungen der Mikrometerschraube und die Anzahl der Dunkel-Dunkel-Wechsel

Material 2-D: Schirmbild und Informationen zu Versuch 2

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

Material 2-C: Messwerte für die Anzahl der Umdrehungen $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{u}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{u}}$ der Mikrometerschraube und die Anzahl $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{n}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{n}}$ der Dunkel-Dunkel-Wechsel