Prüfungsteil A: Ohne Hilfsmittel
Aufgabe 1
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
Für die Ableitungsfunktion 
gilt: 
Berechne die lokalen Extremstellen von 
und ermittle rechnerisch die Art dieser Extremstellen.
Berechne 
Eine der drei Abbildungen 1 bis 3 zeigt den Graphen von
Abbildung 1
Abbildung 2
Abbildung 3
Gib die passende Abbildung an.
Aufgabe 2
Die Abbildung zeigt einen Quader 
dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Abbildung
Es gilt: 
Gib die Koordinaten des Punktes 
an.
Gib den Vektor 
an und berechne seine Länge.
Gib die Koordinaten eines Punktes 
an, der auf der Strecke 
liegt und von 
und 
verschieden ist.
ist der Mittelpunkt der Strecke 
Die Strecke 
teilt die Rechteckfläche 
in zwei Teilflächen.
Bestimme das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.
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![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(x)&=&0 \\[5pt]
x^2-3\cdot x&=&0 \\[5pt]
x\cdot(x-3)&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/25a02caf52e18f3ede78de41cdc454d7d378f2339d90a9501c7c10121ef29923_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(x)&=&0 \\[5pt]
x^2-3\cdot x&=&0 \\[5pt]
x\cdot(x-3)&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/25a02caf52e18f3ede78de41cdc454d7d378f2339d90a9501c7c10121ef29923_dark.svg)
Die beiden möglichen Extremstellen sind nach dem Satz des Nullprodukts somit 
und 
Zur Bestimmung der Art der Extremstellen wird die zweite Ableitung gebildet:
Für 
![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(0)&=&2\cdot0-3 \\[5pt]
&=&-3 \\[5pt]
&\lt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0a6577f147fd60db55f2289f6a460b14b71b1d20b59c77cdf324e9646dbd5eb4_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(0)&=&2\cdot0-3 \\[5pt]
&=&-3 \\[5pt]
&\lt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0a6577f147fd60db55f2289f6a460b14b71b1d20b59c77cdf324e9646dbd5eb4_dark.svg)
Damit liegt bei 
ein lokaler Hochpunkt vor.
Für 
![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(3)&=&2\cdot3-3 \\[5pt]
&=&3 \\[5pt]
&\gt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e1bb95c74c78273adab78ae15d5bc9d9e61f03ae3c62fcf8327a3315d954efd_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(3)&=&2\cdot3-3 \\[5pt]
&=&3 \\[5pt]
&\gt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e1bb95c74c78273adab78ae15d5bc9d9e61f03ae3c62fcf8327a3315d954efd_dark.svg)
Damit liegt bei 
ein lokaler Tiefpunkt vor.
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(4)&=&4^2-3\cdot4 \\[5pt]
&=&16-12 \\[5pt]
&=&4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6182c19a0dc02d5da8994972ec57f54fc95561f50193a7ee519dced6e3cb22be_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(4)&=&4^2-3\cdot4 \\[5pt]
&=&16-12 \\[5pt]
&=&4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6182c19a0dc02d5da8994972ec57f54fc95561f50193a7ee519dced6e3cb22be_dark.svg)
Abbildung 3 zeigt den Graphen von
Abbildung 1 erfüllt zwar auch das Monotonieverhalten mit einem Hochpunkt bei und einem Tiefpunkt bei 
weist jedoch bei 
nicht die passende Steigung auf.
Aufgabe 2
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{BH}&=&\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB} \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix} -4\\8\\4 \end{pmatrix}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/43c46057de098b953b7d95288eb1eff55227a07bc42ac68606209c2c1d94788b_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{BH}&=&\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB} \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} \\[5pt]
&=&\begin{pmatrix} -4\\8\\4 \end{pmatrix}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/43c46057de098b953b7d95288eb1eff55227a07bc42ac68606209c2c1d94788b_dark.svg)
Für die Länge des Vektors ergibt sich:
![Formula: \begin{array}{rlll}
\bigl\vert\overrightarrow{BH}\bigr\vert&=&\sqrt{(-4)^2+8^2+4^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{16+64+16} \\[5pt]
&=&\sqrt{96} \\[5pt]
&=&4\sqrt{6}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e6655045f2e5374f6deb0f76b75fb129bc2b6625b7e712ebdf52a7799b7b192d_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\bigl\vert\overrightarrow{BH}\bigr\vert&=&\sqrt{(-4)^2+8^2+4^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{16+64+16} \\[5pt]
&=&\sqrt{96} \\[5pt]
&=&4\sqrt{6}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e6655045f2e5374f6deb0f76b75fb129bc2b6625b7e712ebdf52a7799b7b192d_dark.svg)
Zum Beispiel der Mittelpunkt 
der Strecke 
Es gilt:
Die kleinere Teilfläche ist das rechtwinklige Dreieck 
Für den Flächeninhalt gilt:
![Formula: \begin{array}{rlll}
A_{\Delta ABM}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\bigl\vert\overline{AB}\bigr\vert\cdot\bigl\vert\overline{AM}\bigr\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4 \\[5pt]
&=&8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2ae46c5f7524cf5254de50b4890456726c5ec68eccecaa7b292f44117ee27f09_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
A_{\Delta ABM}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\bigl\vert\overline{AB}\bigr\vert\cdot\bigl\vert\overline{AM}\bigr\vert \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4 \\[5pt]
&=&8
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/2ae46c5f7524cf5254de50b4890456726c5ec68eccecaa7b292f44117ee27f09_dark.svg)
Die gesamte Rechteckfläche beträgt:
Damit hat die größere Teilfläche (das rechtwinklige Dreieck 
den Flächeninhalt:
Das Verhältnis der Flächeninhalte beider Teilflächen ist demnach:
Die kleinere Teilfläche macht somit 
und die größere Teilfläche 
der Rechteckfläche aus.