Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit

$Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&x^4-8\cdot x^3+18\cdot x^2-5\cdot x-12 \\[5pt] &=&(x-3)\cdot(x-4)\cdot(x^2-x-1). \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&x^4-8\cdot x^3+18\cdot x^2-5\cdot x-12 \\[5pt] &=&(x-3)\cdot(x-4)\cdot(x^2-x-1). \end{array}$

(1)

Berechne die Nullstellen von Formula: f.

4 BE

(2)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion Formula: f.

Zu den Markierungen an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse und an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse gehören ganze Zahlen.

Trage diese ganzen Zahlen in die Kästchen ein.

Koordinatensystem mit einer Kurve und zwei markierten Rechtecken.

Abbildung

2 BE

Weise nach, dass Formula: 1 und Formula: 3 Wendestellen von Formula: f sind.

5 BE

(1)

Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Tangente Formula: t an den Graphen von Formula: f im Wendepunkt $Formula: W_2(3\mid0).$ $Formula: W_2(3\mid0).$

Formula: [ Zur Kontrolle: Formula: t hat die Steigung Formula: -5.]

3 BE

(2)

Berechne den Steigungswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ von Formula: t.

2 BE

(3)

Gegeben ist eine in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=a\cdot f(x),\,$ $Formula: h(x)=a\cdot f(x),\,$ $Formula: a\in\mathbb{R}.$ $Formula: a\in\mathbb{R}.$

Bestimme Formula: a so, dass die folgende Bedingung gilt:

Die Tangente an den Graphen von Formula: h im Punkt $Formula: W_2(3\mid0)$ $Formula: W_2(3\mid0)$ und die Tangente Formula: t an den Graphen von Formula: f im Punkt $Formula: W_2(3\mid0)$ $Formula: W_2(3\mid0)$ schneiden sich senkrecht.

2 BE

Aufgabe 4

Der menschliche Körper produziert beim Laufen Laktat. Je anstrengender der Lauf ist, desto mehr Laktat wird produziert. Trainieren zwei Läufer auf derselben Strecke mit gleichem Tempo, so produziert der trainierte Läufer weniger Laktat als der untrainierte Läufer.

Mit der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit

$Formula: f(t)=-0{,}0004\cdot t^3+0{,}021\cdot t^2-0{,}01\cdot t+1{,}6$ $Formula: f(t)=-0{,}0004\cdot t^3+0{,}021\cdot t^2-0{,}01\cdot t+1{,}6$

wird für $Formula: 0\leq t\leq35$ $Formula: 0\leq t\leq35$ der Laktatwert eines Läufers modelliert, der sein Tempo langsam steigert. Dabei ist Formula: t die Zeit in Minuten seit dem Start des Laufes und Formula: f(t) der Laktatwert im Blut in der Einheit Millimol pro Liter $Formula: (\mathrm{mmol/L}).$ $Formula: (\mathrm{mmol/L}).$

In der Abbildung ist der Graph der Funktion Formula: f dargestellt.

Diagramm des Funktionswerts f(t): Die Kurve steigt von etwa 1,6 bei t = 0 auf 10 bei t = 35 und fällt danach leicht ab.

Abbildung

Berechne den Laktatwert des Läufers Formula: 8 Minuten nach dem Start.

2 BE

Berechne Formula: f'(25) und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

4 BE

Es gilt: $Formula: f''(t)=-0{,}0024\cdot t+0{,}042.$ $Formula: f''(t)=-0{,}0024\cdot t+0{,}042.$

Berechne die Wendestelle der Funktion Formula: f und interpretiere diese im Sachzusammenhang.

4 BE

Nach Beendigung des $Formula: 35\text{-}$ $Formula: 35\text{-}$ Minuten-Laufes nimmt der Laktatwert des Läufers linear ab und beträgt Formula: 10 Minuten nach dem Lauf $Formula: 7{,}3\ \mathrm{mmol/L}.$ $Formula: 7{,}3\ \mathrm{mmol/L}.$

Berechne den Laktatwert des Läufers Formula: 20 Minuten nach Beendigung des Laufes.

3 BE

Für den Laktatwert eines zweiten Läufers, der auf derselben Strecke wie der erste Läufer trainiert, gilt modellhaft:

In den ersten Minuten des Laufes beträgt sein Laktatwert konstant $Formula: 1{,}6\ \mathrm{mmol/L}.$ $Formula: 1{,}6\ \mathrm{mmol/L}.$
In den übrigen Minuten des Laufes modelliert die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion mit

für $Formula: 5\leq t\leq35$ $Formula: 5\leq t\leq35$ den Verlauf seiner Laktatwerte. Dabei ist die Zeit in Minuten seit dem Start des Laufes und der Laktatwert im Blut in der Einheit Millimol pro Liter $Formula: (\mathrm{mmol/L}).$ $Formula: (\mathrm{mmol/L}).$

Der zweite Läufer hat während seines gesamten $Formula: 35\text{-}$ $Formula: 35\text{-}$ minütigen Laufes das gleiche Tempo wie der erste Läufer.

(1)

Skizziere den Verlauf der Laktatwerte des zweiten Läufers in der Abbildung.

3 BE

(2)

Beurteile unter Bezug auf die Abbildung, welcher der beiden Läufer einen besseren Trainingszustand aufweist.

2 BE

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Aufgabe 3

(1)

Für Nullstellen setzt man Formula: f(x)=0.

Mit dem Satz des Nullprodukts lassen sich bereits zwei Nullstellen anhand des Funktionsterms ablesen:

Formula: x_3=3

Formula: x_4=4

Für den quadratischen Term ergibt sich mit der $Formula: p\text{-}q\text{-}$ $Formula: p\text{-}q\text{-}$ Formel:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=&-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=&-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx&-0{,}618 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx&-0{,}618 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} x_2&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx&1{,}618 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_2&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx&1{,}618 \end{array}$

(2)

Koordinatensystem mit dem Graphen einer Funktion und markierten Einheiten 1 und −6.

Anhand der Nullstellen lässt sich erkennen, dass die Markierung an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse bei Formula: 1 liegen muss.

Mithilfe des $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achsenabschnitts von Formula: f lässt sich die Markierung an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse ermitteln, da diese in etwa auf halber Höhe liegt:

$Formula: f(0)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)=-12$ $Formula: f(0)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)=-12$

Somit muss die Markierung an der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse bei Formula: -6 liegen.

$Formula: f'(x)=4\cdot x^3-24\cdot x^2+36\cdot x-5$ $Formula: f'(x)=4\cdot x^3-24\cdot x^2+36\cdot x-5$

$Formula: f''(x)=12\cdot x^2-48\cdot x+36$ $Formula: f''(x)=12\cdot x^2-48\cdot x+36$

$Formula: f'''(x)=24\cdot x-48$ $Formula: f'''(x)=24\cdot x-48$

Die notwendige Bedingung für Wendestellen ist Formula: f''(x)=0.

Einsetzen von Formula: x=1 liefert:

Formula: f''(1)=12-48+36=0

Für Formula: x=3 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f''(3)&=&12\cdot9-48\cdot3+36 \\[5pt] &=&108-144+36 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f''(3)&=&12\cdot9-48\cdot3+36 \\[5pt] &=&108-144+36 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung $Formula: f'''(x)\neq0$ $Formula: f'''(x)\neq0$ liefert:

$Formula: f'''(x)=24\cdot 1-48=-24$ $Formula: f'''(x)=24\cdot 1-48=-24$

$Formula: f'''(x)=24\cdot 3-48=24$ $Formula: f'''(x)=24\cdot 3-48=24$

Somit sind Formula: x=1 und Formula: x=3 Wendestellen von Formula: f(x).

(1)

Für die Steigung Formula: m der Tangente wird der Funktionswert der ersten Ableitung für Formula: x=3 berechnet:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(3)&=&4\cdot27-24\cdot9+36\cdot3-5 \\[5pt] &=&108-216+108-5 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(3)&=&4\cdot27-24\cdot9+36\cdot3-5 \\[5pt] &=&108-216+108-5 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$

Um den $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achsenabschnitt der Tangentengleichung zu bestimmen, wird die Tangentengleichung mit dem Funktionswert von Formula: f(x) an der Stelle Formula: x=3 gleichgesetzt. An der Stelle liegt eine Nullstelle vor, somit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(3)&=&m\cdot x+5 \\[5pt] 0&=&-5\cdot3+t &\quad\scriptsize\mid\;+15 \\[5pt] 15&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(3)&=&m\cdot x+5 \\[5pt] 0&=&-5\cdot3+t &\quad\scriptsize\mid\;+15 \\[5pt] 15&=&t \end{array}$

Damit lautet die Tangentengleichung: $Formula: t(x)=-5\cdot x+15.$

(2)

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\tan(\alpha') &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1}() \\[5pt] \tan^{-1}(m)&=&\alpha' \\[5pt] \tan^{-1}(-5)&\approx&-78{,}69^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\tan(\alpha') &\quad\scriptsize\mid\;\tan^{-1}() \\[5pt] \tan^{-1}(m)&=&\alpha' \\[5pt] \tan^{-1}(-5)&\approx&-78{,}69^\circ \end{array}$

Da die Tangente Formula: t eine negative Steigung aufweist und der Steigungswinkel üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn von der positiven $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse angegeben wird, addiert man noch $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ zu $Formula: \alpha'{:}$ $Formula: \alpha'{:}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \alpha&=&\alpha'+180^\circ \\[5pt] &=&-78{,}69^\circ+180^\circ \\[5pt] &=&101{,}31^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \alpha&=&\alpha'+180^\circ \\[5pt] &=&-78{,}69^\circ+180^\circ \\[5pt] &=&101{,}31^\circ \end{array}$

(3)

Für zwei senkrechte Geraden gilt:

$Formula: m_1\cdot m_2=-1$ $Formula: m_1\cdot m_2=-1$

Die Steigung der Tangente Formula: t beträgt: Formula: m_t=-5.

Somit ergibt sich für die Steigung der Tangente Formula: u an den Graphen von Formula: h{:}

$Formula: \begin{array}{rlll} m_t\cdot m_u&=&-1 \\[5pt] -5\cdot m_u&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-5) \\[5pt] m_u&=&\dfrac{1}{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_t\cdot m_u&=&-1 \\[5pt] -5\cdot m_u&=&-1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-5) \\[5pt] m_u&=&\dfrac{1}{5} \end{array}$

Für die Ableitung von Formula: h gilt:

$Formula: h'(x)=a\cdot f'(x)$ $Formula: h'(x)=a\cdot f'(x)$

Weiterhin gilt:

Formula: f'(3)=-5

Somit ergibt sich für die Steigung von Formula: h an der Stelle Formula: x=3{:}

$Formula: h'(3)=a\cdot f'(3)=-5\cdot a$ $Formula: h'(3)=a\cdot f'(3)=-5\cdot a$

Diese Steigung soll $Formula: \tfrac{1}{5}$ $Formula: \tfrac{1}{5}$ betragen. Gleichsetzen liefert für Formula: a{:}

$Formula: \begin{array}{rlll} -5\cdot a&=&\dfrac{1}{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-5) \\[5pt] a&=&-\dfrac{1}{25} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -5\cdot a&=&\dfrac{1}{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-5) \\[5pt] a&=&-\dfrac{1}{25} \end{array}$

Aufgabe 4

Einsetzen von Formula: t=8 in Formula: f(t) liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(8)&=&-0{,}0004\cdot8^3+0{,}021\cdot8^2-0{,}01\cdot8+1{,}6 \\[5pt] &=&-0{,}0004\cdot512+0{,}021\cdot64-0{,}08+1{,}6 \\[5pt] &=&2{,}6592 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(8)&=&-0{,}0004\cdot8^3+0{,}021\cdot8^2-0{,}01\cdot8+1{,}6 \\[5pt] &=&-0{,}0004\cdot512+0{,}021\cdot64-0{,}08+1{,}6 \\[5pt] &=&2{,}6592 \end{array}$

Damit beträgt der Laktatwert nach Formula: 8 Minuten etwa $Formula: 2{,}66\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ $Formula: 2{,}66\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$

Für die erste Ableitung von Formula: f(t) gilt:

$Formula: f'(t)=-0{,}0012\cdot t^2+0{,}042\cdot t-0{,}01$ $Formula: f'(t)=-0{,}0012\cdot t^2+0{,}042\cdot t-0{,}01$

Einsetzen von Formula: t=25 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(25)&=&-0{,}0012\cdot 25^2+0{,}042\cdot 25-0{,}01 \\[5pt] &=&-0{,}0012\cdot 625+1{,}05-0{,}01 \\[5pt] &=&0{,}29 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(25)&=&-0{,}0012\cdot 25^2+0{,}042\cdot 25-0{,}01 \\[5pt] &=&-0{,}0012\cdot 625+1{,}05-0{,}01 \\[5pt] &=&0{,}29 \end{array}$

Demnach steigt der Laktatwert zum Zeitpunkt $Formula: t=25\ \text{min}$ $Formula: t=25\ \text{min}$ mit einer Rate von $Formula: 0{,}29\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$ $Formula: 0{,}29\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$ pro Minute.

Die notwendige Bedingung für Wendestellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f''(t)&=&0 \\[5pt] -0{,}0024\cdot t+0{,}042&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}042 \\[5pt] -0{,}0024\cdot t&=&-0{,}042 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0{,}0024) \\[5pt] t&=&17{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f''(t)&=&0 \\[5pt] -0{,}0024\cdot t+0{,}042&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}042 \\[5pt] -0{,}0024\cdot t&=&-0{,}042 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0{,}0024) \\[5pt] t&=&17{,}5 \end{array}$

Die hinreichende Bedingung kann hier vernachlässigt werden, da anhand der Abbildung ersichtlich ist, dass der Graph von Formula: f die Krümmung bei Formula: t=17{,}5 wechselt.

Somit steigt der Laktatwert bei $Formula: t=17{,}5\ \text{min}$ $Formula: t=17{,}5\ \text{min}$ am stärksten. Bis zu diesem Zeitpunkt nimmt die Rate das Laktatanstiegs zu. Danach steigt der Laktatwert weiter an, jedoch mit einer wieder abnehmenden Anstiegsrate.

Zuerst wird der Laktatwert am Ende des Laufes bei $Formula: t=35\ \text{min}$ $Formula: t=35\ \text{min}$ berechnet:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(35)&=&-0{,}0004\cdot35^3+0{,}021\cdot35^2-0{,}01\cdot35+1{,}6 \\[5pt] &=&-0{,}0004\cdot42875+0{,}021\cdot1225-0{,}35+1{,}6 \\[5pt] &=&9{,}825 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(35)&=&-0{,}0004\cdot35^3+0{,}021\cdot35^2-0{,}01\cdot35+1{,}6 \\[5pt] &=&-0{,}0004\cdot42875+0{,}021\cdot1225-0{,}35+1{,}6 \\[5pt] &=&9{,}825 \end{array}$

Am Ende des Laufs beträgt der Laktatwert $Formula: 9{,}825\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ $Formula: 9{,}825\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ In den ersten Formula: 10 Minuten nach dem Lauf sinkt er auf $Formula: 7{,}3\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ $Formula: 7{,}3\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ Die Abnahme pro Minuten beträgt damit:

$Formula: 9{,}825\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}-7{,}3\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}=2{,}525\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$ $Formula: 9{,}825\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}-7{,}3\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}=2{,}525\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$

Da die Abnahme linear ist, nimmt der Laktatwert in den nächsten Formula: 10 Minuten um denselben Betrag ab:

$Formula: 7{,}3\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}-2{,}525\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}=4{,}775\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$ $Formula: 7{,}3\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}-2{,}525\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}=4{,}775\;\dfrac{\text{mmol}}{\text{L}}$

Somit beträgt der Laktatwert Formula: 20 Minuten nach dem Ende des Laufs etwa $Formula: 4{,}78\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$ $Formula: 4{,}78\ \tfrac{\text{mmol}}{\text{L}}.$

(1)

Modellierung des Laktatwerts für zwei Läufer

(2)

Aus der Abbildung erkennt man, dass der Laktatwert des zweiten Läufers während des Laufes niedriger ist als der des ersten Läufers. Bei gleichem Lauftempo produziert der zweite Läufer demnach weniger Laktat. Somit weist der zweite Läufer den besseren Trainingszustand auf.

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