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Der Photoeffekt

Teilaufgabe 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Albert Einstein ist es gelungen, den Photoeffekt mithilfe des Teilchencharakters von Licht zu erklären. Für die Energiebilanz des Photoeffekts ist nach Einstein die folgende Gleichung von Bedeutung:

$h \cdot f=E_{\text {kin }}+E_{ A }$

Dabei bezeichnen $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum, $f$ die Frequenz des eingestrahlten Lichts, $E_{\text {kin }}$ die kinetische Energie eines Elektrons und $E_{ A }$ dessen Austrittsenergie.

Beschreibe kurz das physikalische Phänomen, das als Photoeffekt bezeichnet wird.
Erläutere die angegebene Gleichung im Zusammenhang mit dem Photoeffekt.

Abbildung 1 zeigt eine Sonderbriefmarke, die zu Ehren Albert Einsteins von der Deutschen Bundespost herausgegeben wurde. Die Briefmarke zeigt Licht in sechs unterschiedlichen Farben, das auf eine Metallschicht trifft. Die neun dicken schwarzen Punkte stellen Elektronen dar, die gepunkteten Linien deren Bahnkurven und die Pfeile die zugehörigen Geschwindigkeitsvektoren.

Abbildung 1: Sonderbriefmarke der Deutschen Bundespost

Erkläre mithilfe des Photoeffekts, weshalb die vom rechten Bereich der Abbildung 1 ausgehenden Pfeile deutlich länger dargestellt werden als die vom linken Bereich der Abbildung 1 ausgehenden Pfeile.
Interpretiere physikalisch die Tatsache, dass keine gepunkteten Linien im roten Bereich dargestellt werden.

(5 + 6 Punkte)

Teilaufgabe 2: Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts

Eine Photozelle besteht aus einem evakuierten Glaskolben, in dem sich zwei Elektroden befinden. Auf die Kathode (K) ist eine metallische Schicht aufgedampft. Vor der Kathode sitzt als Anode (A) ein kreisförmig gebogener Metallring. Die Kathode wird durch eine Blende (B) mit Licht einer Quecksilberdampflampe (QDL) beleuchtet. Mithilfe von Farbfiltern (F) erhält man monochromatisches Licht. Zwischen Kathode und Anode wird die Stärke des Photostroms $I_{ Ph }$ in Abhängigkeit von einer angelegten Gegenspannung $U_{ G }$ gemessen. Abbildung 2 zeigt eine schematische Darstellung der Photozelle sowie deren Beschaltung für die Gegenfeldmethode.

Abbildung 2: Experimenteller Aufbau zur Gegenfeldmethode

Mittels der beiden Messgeräte aus Abbildung 2 werden die Gegenspannung $U_{ G }$ und die Photostromstärke $I_{ Ph }$ gemessen. Abbildung 3 zeigt die gemessene Photostromstärke $I_{ Ph }$ in Abhängigkeit von der angelegten Gegenspannung $U_{ G }$ bei der Beleuchtung der Photozelle mit Licht der Wellenlänge $\lambda=436\,\text{nm}$ .

Gib an, mit welchem der beiden Messgeräte in Abbildung 2 die Stärke $I_{ Ph }$ des Photostroms gemessen werden kann.
Beschreibe den Verlauf des in Abbildung 3 gezeigten Graphen.
Erkläre den Verlauf des Graphen anhand der Abläufe im Inneren der Photozelle.

nrw physik abi gk 2021 ht 3 abbildung 3 gemessene photostromstärke in abhängigkeit von der angelegten gegenspannung

Abbildung 3: Gemessene Photostärke in Abhängigkeit von der angelegten Gegenspannung

Die Blendenöffnung wird nun bei gleicher Wellenlänge vergrößert, sodass sich ein größerer Lichtfleck auf der Kathode bildet.

Skizziere in Abbildung 3 einen möglichen Graphen im Hinblick auf die veränderten Versuchsbedingungen.

Die kinetische Energie der aus der Kathode ausgelösten Elektronen kann mithilfe der Beziehung $E_{ \text{kin} }=e \cdot U_{ G , \max }$ berechnet werden, wobei $e$ die Elementarladung bezeichnet.

Erläutere, weshalb mit der angegebenen Beziehung die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen berechnet werden kann.
Leite den Zusammenhang $U_{ G , \max }=\dfrac{h}{e} \cdot f-\dfrac{E_{ A }}{e}$ zwischen der Grenzspannung $U_{ G , \max }$ und der Frequenz $f$ des eingestrahlten Lichts her.

Die folgende Tabelle zeigt die Messwerte einer Messreihe, bei der die Grenzspannung $U_{ G , \max }$ in Abhängigkeit von der Frequenz $f$ des verwendeten Lichts gemessen wurde.

$\color{#fff}{f}$ in $\color{#fff}{10^{14} \,\text{Hz}}$	$\color{#fff}{U_{ G , \max }}$ in $\color{#fff}{\,\text{V}}$
5,19	0,13
5,49	0,27
6,88	0,81
7,40	1,02

Bestimme anhand einer grafischen Auswertung mithilfe aller Messwerte

das Planck'sche Wirkungsquantum $h,$
die Austrittsenergie $E_{ A }$ des verwendeten Kathodenmaterials,
die Grenzfrequenz $f_{ G }$ des verwendeten Kathodenmaterials.

(7 + 2 + 6 + 9 Punkte)

Teilaufgabe 3: Lenard-Versuch

Zur Bestimmung der spezifischen Ladung $\dfrac{e}{m}$ der beim Photoeffekt ausgelösten Elektronen entwarf der Physiker Philipp Lenard 1899 eine Vakuumröhre, deren Prinzip in Abbildung 4 dargestellt ist.

nrw physik abi gk 2021 ht 3 abbildung 4 versuchsaufbau von lenard

Abbildung 4: Versuchsaufbau von Lenard (ohne Magnetfeld: --- mit Magnetfeld: $\cdot\cdot\cdot$ )

Die Kathode im Inneren der Röhre wird mit monochromatischem UV-Licht bestrahlt. Zwischen der Kathode (K) und der Anode (A) wird eine Spannung $U_{ B }$ angelegt, sodass die aus der Kathode ausgelösten Elektronen zur Anode beschleunigt werden. Die durch ein in der Anode befindliches Loch hindurchtretenden Elektronen treffen auf einen Auffänger $\left( P _1\right)$ und werden durch ein Messgerät $\left( E _1\right)$ registriert.
Durch ein geeignetes homogenes Magnetfeld der Stärke $B$ hinter der Anode (A) können die Elektronen zu einem zweiten Auffänger $\left( P _2\right)$ abgelenkt und dort ebenfalls durch ein Messgerät $\left( E _2\right)$ gemessen werden.

Gib die Orientierung eines geeigneten Magnetfeldes an, das die Elektronen hinter der Anode zum Auffänger $P _2$ ablenken kann.
Begründe, dass sich die Elektronen bei eingeschaltetem Magnetfeld von der Anode zum Auffänger $P _2$ auf einer Kreisbahn bewegen.

Zwischen der kinetischen Energie $E_{\text {kin, } A }$ beim Eintritt in das zeitlich konstante Magnetfeld der Stärke $B$ und dem Radius $r$ der Kreisbahn gilt der Zusammenhang

$E_{ kin , A }=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e^2}{m} \cdot r^2 \cdot B^2 .$

Beurteile, ob die Wellenlänge $\lambda$ des eingestrahlten UV-Lichts bei kleinen Beschleunigungsspannungen $U_{ B }$ einen Einfluss auf den Radius $r$ der Kreisbahn hat.

Zwischen Kathode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung $U_{ B }=600 \,\text V$ an. Damit die Elektronen den Auffänger $P _2$ auf einer Kreisbahn mit dem erforderlichen Radius $r=8,70 \,\text{cm}$ erreichen, muss die Stärke des Magnetfeldes $B=960 \,\mu \text T$ betragen. Gehe zunächst vereinfachend davon aus, dass die Elektronen beim Verlassen der Kathode die kinetische Energie $E_{\text {kin, } K }=0$ besitzen.

Bestimme mithilfe der Messdaten und unter Verwendung des Zusammenhangs aus Aufgabenteil b) die spezifische Ladung $\dfrac{e}{m}$ des Elektrons in der Einheit $10^{11} \dfrac{ C }{ kg }$ mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen.

Das verwendete monochromatische UV-Licht hat die Wellenlänge $\lambda=260 \,\text{nm}$ . Das verwendete Kathodenmaterial Aluminium hat die Austrittsenergie $E_{ A }=4,20 \,\text{eV}$ .

Untersuche, ob die Vereinfachung $E_{\text{ kin, } K }=0$ im Rahmen der oben angegebenen Genauigkeit einen Einfluss auf den Messwert der spezifischen Ladung $\dfrac{e}{m}$ hat.

(4 + 4 + 7 Punkte)

Teillösung 1: Albert Einstein und der Photoeffekt

Beschreibung des Photoeffekts

Als Photoeffekt wird das physikalische Phänomen bezeichnet, dass Licht hinreichend großer Frequenz (bzw. hinreichend kleiner Wellenlänge) Elektronen aus Materialien (z. B. Metallen) herauslösen kann.

Erläuterung der Gleichung

Der Term auf der linken Seite $h \cdot f$ der Gleichung gibt an, dass der Energieaustausch von Licht mit Materie beim Photoeffekt durch Photonen erfolgt (quantisiert in festen Energiebeträgen). Ein einzelnes Photon wird von einem einzigen Elektron absorbiert und das Photon gibt dabei seine Energie vollständig an das Elektron ab.

Der Term auf der rechten Seite $E_{\text {kin }}+E_{\text{A}}$ der Gleichung besagt, dass das Elektron eine Ablöseenergie (an das Atomgitter) abgeben muss, um die Oberfläche des Materials verlassen zu können. Der Rest der Photonenenergie steht dem Elektron als kinetische Energie zur Verfügung.

Erklärung der unterschiedlich langen Pfeile in Abbildung 1

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text {Photon }}&=& E_{\text {kin }}+E_{\text {A }} &\quad \scriptsize \\[5pt] h \cdot f&=& \dfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+E_{\text {A }} \end{array}$

Die Frequenz $f$ des Lichts nimmt von links (rot) nach rechts (violett) zu. Damit nimmt auch die Photonenenergie $E_{\text {Photon }}=h \cdot f$ von links nach rechts zu. Die Differenz von Photonenenergie und Ablöseenergie $E_{\text{A}}$ , die den ausgelösten Elektronen als kinetische Energie $E_{\text {kin }}$ zur Verfügung steht, wird folglich von links nach rechts größer. Da mit steigender kinetischer Energie auch die Geschwindigkeit $v$ der Elektronen wächst, werden die vom rechten Bereich ausgehenden Pfeile (Geschwindigkeitsvektoren) deutlich länger als im linken Bereich dargestellt.

Interpretation der Tatsache, dass keine gepunkteten Linien im roten Bereich dargestellt werden

Das rote Licht hat die kleinste Frequenz $f$ und damit auch die kleinste Photonenenergie $E_{\text {Photon }}=h \cdot f$ . Die fehlenden gepunkteten Linien im roten Bereich können darauf hindeuten, dass die Photonenenergie kleiner ist als die Ablöseenergie der Elektronen, die infolgedessen die Metalloberfläche nicht verlassen können.

Teillösung 2: Experimentelle Untersuchung des Photoeffekts

Angabe des Messgerätes zur Messung der Stärke $I_{\text{Ph}}$ des Photostroms

Die Stärke $I_{\text{Ph}}$ des Photostroms kann mit dem Messgerät 1 gemessen werden.

Beschreibung des Verlaufs des Grahpen

Die Stärke $I_{\text{Ph}}$ des Photostroms zwischen Kathode und Anode nimmt mit wachsender Gegenspannung $U_{\text{G}}$ immer weiter ab und wird ab einer bestimmten Grenzspannung $U_{\text{G},\max }$ zu $I_{\text{Ph}}=0.$

Erklärung des Verlaufs des Graphen

Die angelegte Gegenspannung ist so gepolt, dass zwischen Kathode und Anode ein elektrisches Feld besteht, in dem die ausgelösten Elektronen abgebremst werden. Dabei verlieren die Elektronen kinetische Energie und erreichen die Anode nur dann, wenn ihre kinetische Energie beim Verlassen der Kathode groß genug ist. Mit zunehmender Spannung werden ausgelöste Elektronen immer höherer kinetischer Energie daran gehindert, die Anode zu erreichen. Ab der Grenzspannung $U_{\text{G}, \max }$ reicht bei allen ausgelösten Elektronen die kinetische Energie nicht mehr aus, um die Anode zu erreichen. Die Stärke des Photostroms ist $I_{\text{Ph}}=0$ .

Eingezeichneter möglicher Verlauf im Hinblick auf die veränderten Versuchsbedingungen

Möglicher Graph im Hinblick auf die veränderten Versuchsbedingungen

Erläuterung der Beziehung

Durchlaufen die ausgelösten Elektronen die Gegenspannung $U_{\text{G}}$ , so ist ihre kinetische Energie $E_{\text {kin }}$ größer oder gleich der potentiellen Energie im elektrischen Feld $E_{\text {pot }}=e \cdot U_{\text{G}}.$ Da ab der Grenzspannung $U_{\text{G}, \max }$ keine Elektronen mehr die Anode erreichen, ist die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen gleich der potentiellen Energie im elektrischen Feld $E_{\text{pot}}=e \cdot U_{\text{G}, \max }$ , d. h. $E_{\text{kin}}=e \cdot U_{\text{G}, \max }$ .

Herleitung des Zusammenhangs

Aus der Energiebilanz $h \cdot f=E_{\text {kin }}+E_{\text{A}}$ beim Photoeffekt folgt damit $h \cdot f=e \cdot U_{\text{G}, \max }+E_{\text{A}}$ . Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h \cdot f&=& E_{\text {kin }}+E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \\[5pt] h \cdot f &=& e \cdot U_{\text{G}, \max }+E_{\text{A}} &\quad \scriptsize \mid\; -E_{\text{A}}\\[5pt] h \cdot f -E_{\text{A}}&=&e \cdot U_{\text{G}, \max } &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{e}\\[5pt] \dfrac{h \cdot f -E_{\text{A}}}{e}&=& U_{\text{G}, \max }& \quad \scriptsize\\[5pt] \dfrac{h \cdot f}{e} -\dfrac{E_{\text{A}}}{e}&=& U_{\text{G}, \max }& \quad \scriptsize\\[5pt] U_{\text{G}, \max }&=&\dfrac{h \cdot f}{e} -\dfrac{E_{\text{A}}}{e}& \quad \scriptsize\\[5pt] U_{\text{G}, \max }&=& \dfrac{h}{e}\cdot f -\dfrac{E_{\text{A}}}{e} \end{array}$

Gemäß Aufgabenteil c) besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $U_{\text{G}, \max }$ und $f$ .

f-U_gmax Diagramm mit eingezeichneter Geraden

Bestimmung des Planck'schen Wirkungsquantum $h:$

Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den Wert $\dfrac{h}{e}=3,98 \cdot 10^{-15} \dfrac{\text{J} \cdot \text{s}}{\text{C}}.$ Daraus folgt für $h:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h}{e}&=& 3,98 \cdot 10^{-15} \,\dfrac{\text{J} \cdot \text{s}}{\text{C}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot e \\[5pt] h&=& 3,98 \cdot e \cdot 10^{-15} \,\dfrac{\text{J} \cdot \text{s}}{\text{C}} &\quad \scriptsize \\[5pt] h &=& 6,38 \cdot 10^{-34} \,\text{J} \cdot \text{s} \end{array}$

Bestimmung der Austrittsenergie $E_{\text{A}}:$

Der $y$ -Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden liefert den Wert $\dfrac{E_{\text{A}}}{e}=1,93 \dfrac{\text{J}}{\text{C}}.$ Daraus folgt für $E_{\text{A}}:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{E_{\text{A}}}{e}&=& 1,93 \,\dfrac{\text{J}}{\text{C}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot e \\[5pt] E_{\text{A}}&=& e \cdot1,93\, \dfrac{\text{J}}{\text{C}} &\quad \scriptsize \\[5pt] E_{\text{A}}&=& 1,93 \,\text{eV} \end{array}$

Bestimmung der Grenzfrequenz $f_{\text{G}}:$

Das Planck'sche Wirkungsquantum $h$ entspricht dem Wert der Steigung der Geraden.

Für die Austrittsenergie $E_{\text{A}}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h \cdot f &=& E_{\text{kin}} - E_{\text{A}}&\quad \scriptsize \mid\; - E_{\text{A}} \\[5pt] h \cdot f - E_{\text{A}}&=& E_{\text{kin}} & \end{array}$

Die gesuchte Grenzfrequenz entspricht der Schnittstelle der Geraden mit der $x$ -Achse. Die Grenzfrequenz $f_{\text{G}}$ kann folglich über den Ansatz $0=h \cdot f_{\text{G}}-E_{\text{A}}$ bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} h \cdot f_{\text{G}}-E_{\text{A}} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+E_{\text{A}} \\[5pt] h \cdot f_{\text{G}} &=& E_{\text{A}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{h} \\[5pt] f_{\text{G}}&=& \dfrac{E_{\text{A}}}{h} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} f_{\text{G}}&=& \dfrac{E_{\text{A}}}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] f_{\text{G}}&=& \dfrac{e\cdot 1,93 \, \dfrac{\text{J}}{\text{C}}}{6,38 \cdot 10^{-34} \,\text{J} \cdot \text{s}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1,60 \cdot 10^{-19} \,\text{C} \cdot 1,93 \,\dfrac{\text{J}}{\text{C}}}{6,36 \cdot 10^{-34} \,\text{J} \cdot \,\text{s}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,86 \cdot 10^{14} \,\text{Hz} \end{array}$

Teillösung 3: Lenard-Versuch

Angabe der Orientierung eines geeigneten Magnetfeldes

Ein geeignetes Magnetfeld ist aus der Zeichenebene heraus gerichtet.

Begründung der Bewegung der Elektronen

Die durch das Loch in der Anode hindurchtretenden Elektronen erfahren eine Lorentzkraft $\vec{F}_L$ , die in jedem Punkt der Bahn senkrecht zur Geschwindigkeit $\vec{v}$ gerichtet ist. Daher bleibt der Geschwindigkeitsbetrag $v$ konstant und damit hier ebenfalls der Betrag der Lorentzkraft, die als Zentripetalkraft $\vec{F}_{\text{Z}}$ für eine Kreisbewegung wirkt.

Gemäß der angegebenen Gleichung ist der Radius $r$ von der kinetischen Energie $E_{\text {kin, } \text{A}}$ der Elektronen abhängig. Diese ist abhängig von der Beschleunigungsspannung $U_{\text{B}}$ und der kinetischen Energie $E_{\text {kin,K }}$ der Elektronen beim Verlassen der Kathode. Da $E_{\text {kin, } \text{K}}$ nach der in Teilaufgabe 1 genannten Gleichung von der Frequenz $f$ des eingestrahlten UV-Lichts abhängig ist, hat die Wellenlänge $\lambda$ einen Einfluss auf den Radius $r$ der Kreisbahn.

Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}, \text{A}}&=& E_{\text {kin, } \text{A}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e^2}{m} \cdot r^2 \cdot B^2&=& e \cdot U_{\text{B}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{2}{r^2\cdot B^2} \\[5pt] \dfrac{e^2}{m} &=& \dfrac{e \cdot U_{\text{B}}\cdot 2}{r^2\cdot B^2}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{e}\\[5pt] \dfrac{e}{m} &=& \dfrac{U_{\text{B}}\cdot 2}{r^2\cdot B^2}& \end{array}$

Einsetzen der gegebnen Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{e}{m} &=& \dfrac{U_{\text{B}}\cdot 2}{r^2\cdot B^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 600 \,\text{V} \cdot 2 }{(8,70 \,\text{cm})^2 \cdot\left(960 \,\mu\text{T}\right)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 600 \,\text{V} \cdot 2 }{(0,0870 \,\text{m})^2 \cdot\left(960 \cdot 10^{-6} \,\text{T}\right)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,72 \cdot 10^{11} \,\dfrac{\text{C}}{\text{kg}} \end{array}$

Untersuchung des Einflusses der Vereinfachung $E_{\text{kin}, \text{K}}=0$

Die Photonenenergie des monochromatischen UV-Lichts beträgt:

Rechenweg anzeigen

$E_{\text {Photon }}= 4,77 \,\text{eV}$

Die kinetische Energie der ausgelösten Elektronen ist damit:

Rechenweg anzeigen

$E_{\text{kin}}&=& 0,57 \,\text{eV}$

Die kinetische Energie der Elektronen beim Verlassen der Kathode beträgt damit ca. $\dfrac{1}{1000}$ des Energiezuwachses zwischen Anode und Kathode. Daher hat die Vereinfachung $E_{\text{kin}, \text{K}}=0$ im Rahmen der angegebenen Genauigkeit von zwei Nachkommastellen keinen Einfluss auf den Messwert.