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Interferenz von Wasser-, Licht- und Materiewellen

Teilaufgabe 1: Interferenz von Wasserwellen

Mit einer Wellenwanne werden Wasserwellen untersucht. Dazu erzeugen zwei punktförmige Erreger in den Punkten $E_1$ und $E_2$ kreisförmige Wellen. Die beiden Erreger schwingen gleichphasig mit derselben Frequenz $f$ und derselben Amplitude $A$ . Abbildung 1 zeigt schematisch die Wellenfronten von Wellenbergen und Wellentälern zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Abbildung 1: Momentaufnahme des Wellenfeldes

Wellenberge sind durch eine durchgezogene schwarze Linie gekennzeichnet, Wellentäler durch eine gestrichelte Linie.
Die von den beiden Erregern erzeugten Wasserwellen haben die Wellenlänge $\lambda=2,0 \,\text{cm}$ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=16 \;\dfrac{ \text{cm} }{ \text s }.$

Berechne die Frequenz $f,$ mit der die beiden Erreger schwingen.

Bestimme den Gangunterschied $\Delta s$ im Punkt $P.$
Gib die Bedeutung der eingezeichneten Linie $a$ in Bezug auf den Begriff „Gangunterschied“ an.

Der Punkt $P$ liegt auf einer nicht eingezeichneten Linie $b$ mit einer ähnlichen Bedeutung in Bezug auf den Begriff „Gangunterschied“.

Zeichne in Abbildung 1 die entsprechende Linie $b$ ein.
Erläutere allgemein und mit Bezug auf die beiden Linien $a$ und $b$ die Begriffe „konstruktive“ und „destruktive Interferenz“.

(2 + 11 Punkte)

Teilaufgabe 2: Interferenz von Lichtwellen

Abbildung 2 zeigt einen Versuchsaufbau, in dem ein Doppelspalt mit Spaltabstand $g$ durch das Licht eines Lasers ausgeleuchtet wird. Auf einem Schirm im Abstand $a$ zum Doppelspalt ist ein Interferenzmuster zu erkennen.

Abbildung 2: Versuch zur Interferenz von Lichtwellen

Nenne die Aussagen des Huygens'schen Prinzips.
Erkläre mithilfe des Huygens'schen Prinzips die Entstehung des Interferenzmusters auf dem Schirm.

Für den Winkel $\alpha_n$ , unter dem das Maximum $n$ -ter Ordnung beobachtet werden kann, sind die beiden folgenden Gleichungen von Bedeutung:

$g \cdot \sin \left(\alpha_{ n }\right)=n \cdot \lambda$ und $\tan \left(\alpha_{ n }\right)=\dfrac{d_{ n }}{a}$

Dabei bezeichnet $d_{ n }$ den Abstand des Maximums $n$ -ter Ordnung von dem Maximum nullter Ordnung.

Erläutere beide Gleichungen mithilfe einer oder mehrerer aussagekräftiger Skizzen, wobei du insbesondere den Gangunterschied $\Delta s$ kennzeichnest.

Der Laser in Abbildung 2 sendet monochromatisches Licht unbekannter Wellenlänge $\lambda$ aus. Der Abstand der beiden Spaltmitten beträgt $g=0,50 \,\text{mm}$ und der Abstand des Schirms von dem Doppelspalt beträgt $a=4,5 \,\text m$ . Der Abstand der beiden Maxima erster Ordnung beträgt $d=1,1\,\text{cm}.$

Bestimme mithilfe der in Aufgabenteil b) genannten Gleichungen die Wellenlänge $\lambda$ des Lasers.

Der Doppelspalt wird nun durch ein Beugungsgitter ersetzt. Anstelle einer monochromatischen Lichtquelle wird eine Glühlampe verwendet. Abbildung 3 zeigt das auf dem Schirm zu beobachtende Interferenzmuster.

nrw abi physik gk 2022 ht 1 abbildung 3 interferenzmuster bei verwendung eines gitters und einer glühlampe

Abbildung 3: Interferenzmuster bei Verwendung eines Gitters und einer Glühlampe
(Quelle: www.mabo-physik.de/doppelspalt_und_gitter.html (Zugriff: 17.05.2021))

Begründe, weshalb das weiße Licht der Glühlampe durch ein Beugungsgitter in ein Farbspektrum aufgespalten wird.

In Abbildung 3 erkennt man, dass sich das Farbspektrum erster Ordnung nicht mit dem Farbspektrum zweiter Ordnung überlagert. Zwischen dem Farbspektrum zweiter Ordnung und dem dritter Ordnung beobachtet man hingegen eine Überlagerung.

Gib allgemein die Bedingung dafür an, dass es zu einer derartigen Überlagerung kommt.

Misst man in dem dunklen Bereich zwischen dem Spektrum erster Ordnung und dem Spektrum zweiter Ordnung die Intensität der dort auftreffenden Strahlung mit einem speziellen Messgerät, so zeigt dieses eine deutlich von null abweichende Intensität an.

Interpretiere dieses Messergebnis.

(6 + 5 + 3 + 3 + 5 Punkte)

Teilaufgabe 3: Interferenz von Materiewellen

Gemäß der De-Broglie-Hypothese kann man Elektronen, die sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegen, die Wellenlänge $\lambda=\dfrac{h}{{m_\mathrm{e}} \cdot v}$ zuordnen, wobei $h$ das Planck'sche Wirkungsquantum und $m_{\mathrm{e}}$ die Elektronenmasse bezeichnen. In einer Simulation ist ein Strahl von Elektronen, die aus der Ruhe heraus eine Beschleunigungsspannung von $U_{ B }=1,0 \,\text{kV}$ durchlaufen, senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $g=1,0 \,\mu\text{m}$ gerichtet.

Die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U_{ B }$ kann mithilfe des Zusammenhangs $v=\sqrt{\dfrac{2 \cdot \mathrm e \cdot U_{ B }}{m_{ \mathrm e }}}$ berechnet werden.

Leite diesen Zusammenhang, ausgehend von einem Energieansatz, her.

Auf einem Schirm im Abstand $a=3,0 \,\mathrm m$ vom Doppelspalt kann ein Interferenzmuster beobachtet werden. Abbildung 4 zeigt das Ergebnis einer Simulation, nachdem 1000 Elektronen den Schirm erreicht haben. Der Doppelspalt ist nicht maßstabsgerecht und bezogen auf den abgebildeten Maßstab deutlich vergrößert dargestellt.

Abbildung 4: Simulation zum Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Begründe anhand einer geeigneten Rechnung, dass das Interferenzmuster auf dem Schirm stark vergrößert dargestellt ist. [Zwischenergebnis zum Weiterrechnen: Die Wellenlänge der Elektronen beträgt $\lambda=3,9 \cdot 10^{-11} \mathrm m .]$

Der Physik-Nobelpreisträger Richard Feynman schreibt zum Verhalten von Elektronen:
„So ging man früher davon aus, das Elektron beispielsweise verhalte sich wie ein [klassisches] Teilchen, doch dann fand man heraus, in vieler Hinsicht verhält es sich wie eine [klassische] Welle. In Wirklichkeit verhält es sich also wie keines von beiden. Mittlerweile haben wir es aufgegeben. Wir sagen: ‚Es ist wie keines von beidem.‘”^[1]

Erläutere die Aussage von Richard Feynman unter besonderer Berücksichtigung des Verhaltens von klassischen Teilchen bzw. klassischen Wellen am Doppelspalt.

Anstelle eines Strahls von Elektronen wird nun ein Strahl von Photonen der gleichen Energie auf den Doppelspalt gerichtet.
Entscheide anhand einer geeigneten Rechnung, ob sich der Abstand $d_1$ des Maximums erster Ordnung von dem Maximum nullter Ordnung vergrößert.

(7 + 4 + 4 Punkte)

^[1] Richard P. Feynman: „Sechs physikalische Fingerübungen“, Piper München Zürich, S.176

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Teillösung 1: Interferenz von Wasserwellen

Es gilt $f=\dfrac{c}{\lambda}.$ Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{c}{\lambda} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{16 \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}}{2,0 \; \text{cm}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,0 \frac{1}{\text{s}} \end{array}$

Gangunterschied bestimmen

Anhand von Abbildung 1 können die Abstände $\left|\overline{E_1 P}\right|=5,5 \cdot \lambda$ und $\left|\overline{E_2 P}\right|=5 \cdot \lambda$ abgelesen werden. Damit folgt für den Gangunterschied:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta s&=& 0,5 \cdot \lambda&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&0,5 \cdot 2,0 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 1,0 \; \text{cm} \end{array}$

Entlang der türkisfarbenen Linie $a$ findet man alle in der oberen Hälfte der Abbildung liegenden Punkte, bei denen der Gangunterschied eine ganze Wellenlänge beträgt. Für den Gangunterschied gilt damit:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta s&=& 1 \cdot \lambda&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&1 \cdot 2,0 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 2,0 \; \text{cm} \end{array}$

Bedeutung der eingezeichneten Linie $a$ und $b$

eingezeichnete Linie b durch die Schnittpunkte der Wellen

Zeichnung der Linie $b$ in Abbildung 1

Überlagern sich zwei Wellen an einem Ort, so addieren sich die jeweiligen Auslenkungen der Schwingungen. Verstärken sich beide Schwingungen maximal, so bezeichnet man dies als konstruktive Interferenz. Der Gangunterschied der beiden Wellen beträgt dabei $\Delta s=n \cdot \lambda$ mit $n=0 ; 1 ; 2 ; \ldots$ . Bei allen Punkten auf der Linie $a$ interferieren die beiden Wellen konstruktiv. Wenn sich beide Schwingungen maximal abschwächen, so spricht man von destruktiver Interferenz. In diesem Fall beträgt der Gangunterschied der beiden Wellen $\Delta s=(2 \cdot n-1) \cdot \dfrac{\lambda}{2}$ mit $n=1 ; 2 ; 3 ; \ldots$ . Bei allen Punkten auf der Linie $b$ interferieren die beiden Wellen destruktiv.

Teillösung 2: Interferenz von Lichtwellen

Aussagen des Huygens'schen Prinzips

Die Aussagen des Huygens'schen Prinzips besagen, dass jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront Ausgangspunkt einer Elementarwelle ist, die sich mit derselben Geschwindigkeit und Frequenz ausbreitet wie die ursprüngliche Wellenfront.

Erklärung des Interferenzmusters auf dem Schirm

Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die neue Wellenfront. Jede der beiden Spaltmitten kann jeweils als Ausgangspunkt einer sich (in der Ebene) kreisförmig ausbreitenden Elementarwelle aufgefasst werden. Auf dem Schirm treten Orte maximaler Helligkeit dort auf, wo beide Elementarwellen konstruktiv interferieren. Dazwischen findet man Orte minimaler Helligkeit dort, wo beide Elementarwellen destruktiv interferieren.

Anhand der Zeichnung erkennt man $\tan \left(\alpha_n\right)=\dfrac{d_n}{a}$ . Der Winkel $\alpha_n$ , unter dem das Maximum $n$ -ter Ordnung beobachtet werden kann, findet sich auch in dem grau unterlegten Dreieck, bei dem eine Seitenlänge dem Gangunterschied $\Delta s$ entspricht. Damit gilt $\sin \left(\alpha_n\right)=\dfrac{\Delta s}{g}$ . Mit der Bedingung $\Delta s=n \cdot \lambda$ mit $n=0 ; 1 ; 2 ; \ldots$ für konstruktive Interferenz erhält man $\sin \left(\alpha_{\mathrm{n}}\right)=\dfrac{n \cdot \lambda}{g}$ bzw. $g \cdot \sin \left(\alpha_n\right)=n \cdot \lambda$

Für die erste Gleichung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} n \cdot \lambda&=& g \cdot \sin \left(\alpha_n\right) &\quad \scriptsize \mid n=1\; \\[5pt] 1 \cdot \lambda &=& g \cdot \sin \left(\alpha_1\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \lambda&=& g \cdot \sin \left(\alpha_1\right) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Für die zweite Gleichung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \left(\alpha_n\right)&=&\dfrac{d_n}{a} &\quad \scriptsize \mid n=1\; \\[5pt] \tan \left(\alpha_1\right)&=&\dfrac{d_1}{a} &\quad \scriptsize \mid \tan ^{-1} \; \\[5pt] \alpha_1&=& \tan ^{-1}\left(\dfrac{d_1}{a}\right) \end{array}$

$d_1=\dfrac{d}{2}=0,55 \; \text{cm} = 0,55 \cdot 10^{-2} \; \text{m}$ und $g=0,50 \,\text{mm} = 0,50 \cdot 10^{-3} \;\text{m}$

Einsetzen der Werte ergibt:

Rechenweg anzeigen

$\lambda= 6,1 \cdot 10^{-7} \; \text{m}$

Weißes Licht ist ein aus Anteilen aller Wellenlängen des sichtbaren Spektralbereichs gemischtes Licht. Da beim Beugungsgitter (ebenso wie beim Doppelspalt) für $n \geq 1$ der Winkel $\alpha_n$ , unter dem das Maximum $n$ -ter Ordnung beobachtet werden kann, von der Wellenlänge abhängig ist, gibt es für jede Wellenlänge einen unterschiedlichen Winkel und damit eine unterschiedliche Position des $n$ -ten Maximums auf dem Schirm.

Bedingung für eine derartige Überlagerung

Eine derartige Überlagerung tritt dann auf, wenn der Winkel $\alpha_2$ aus der zweiten Ordnung für die kleinste Wellenlänge $\lambda_{\min }$ des Farbspektrums kleiner ist als der Winkel $\alpha_1$ aus der ersten Ordnung für die größte Wellenlänge $\lambda_{\max }$ des Farbspektrums.

Interpretation dieses Messergebnisses

Das Messergebnis deutet darauf hin, dass die Quelle nicht nur sichtbares Licht, sondern auch Infrarot- und/oder UV-Licht emittiert. In dem dunklen Bereich befinden sich dann die Maxima des Infrarotlichts der ersten Ordnung und/oder die Maxima des UV-Lichts der zweiten Ordnung.

Teillösung 3: Interferenz von Materiewellen

Herleitung des Zusammenhangs für $v$

Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung wird die potentielle Energie $E_{\text{pot}}=e \cdot U_{\text{B}}$ im elektrischen Feld in kinetische Energie $E_{\text {kin }}=\dfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2$ umgewandelt. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text {kin }}&=& E_{\text{pot}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2&=& e \cdot U_{\text{B}} &\quad \scriptsize \mid \; \dfrac{2}{m_\text{e}} \\[5pt] v^2&=& \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_\text{e}} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] v&=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der obrigen Umformung in folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=&\dfrac{h}{m_{\text{e}} \cdot v} &\quad \scriptsize \mid\; v= \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}} \\[5pt] \lambda&=&\dfrac{h}{m_{\text{e}} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda&=&\dfrac{h}{ \sqrt{\dfrac{m^2_{\text{e}} \cdot2 \cdot e \cdot U_{\text{B}}}{m_{\text{e}}}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda&=& \dfrac{h}{\sqrt{2 \cdot e \cdot U_{\text{B}} \cdot m_{\text{e}}}} \end{array}$

Begründung der starken Vergrößerung des Interferenzmusters

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$\lambda= 3,9 \cdot 10^{-11} \text{m}$

Umformen der ersten Gleichung aus der Teilaufgabe 2b) liefert für $n=1:$

$\begin{array}[t]{rll} g \cdot \sin \left(\alpha_n\right)&=& n \cdot \lambda&\quad \scriptsize \mid \;n=1 \\[5pt] g \cdot \sin \left(\alpha_1\right)&=&\lambda &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{g} \\[5pt] \sin \left(\alpha_1\right)&=& \dfrac{\lambda}{g} &\quad \scriptsize \mid \; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha_1&=& \sin ^{-1}\left(\frac{\lambda}{g}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Umformung der zweiten Gleichung aus der Teilaufgabe 2b) liefert für $n=1$ :

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{d_n}{a}&=& \tan \left(\alpha_n\right)&\quad \scriptsize \mid \; n=1 \\[5pt] \dfrac{d_1}{a}&=&\tan \left(\alpha_1\right) &\quad \scriptsize \mid \; \cdot a \\[5pt] d_1&=& a \cdot \tan \left(\alpha_1\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung liefert:

Rechenweg anzeigen

$d_1=1,2 \cdot 10^{-4} \;\text{m}$

Der Abstand des Maximums erster Ordnung vom Maximum nullter Ordnung ist kleiner als $1 \;\text{mm}$ . Dieser Abstand ist in der Simulation deutlich größer dargestellt.

Treffen klassische Teilchen auf einen Doppelspalt, so durchquert jedes auf dem Schirm auftreffende Teilchen entweder den einen oder den anderen Spalt.Wird der Versuch nacheinander mit vielen klassischen Teilchen durchgeführt, so wird auf dem Schirm direkt hinter den Spalten zwei Bereiche beobachtet, in denen die Teilchen auftreffen.

Trifft eine klassische Welle auf einen Doppelspalt, so durchquert die Welle beide Spalten und es wird beobachtet, dass auf dem Schirm unmittelbar ein Interferenzmuster entsteht. Wird die Intensität der klassischen Welle verringert, so entsteht weiterhin unmittelbar ein (schwächer ausgeprägtes) Interferenzmuster.

Beides wird bei Elektronen nicht beobachtet. Daher verhält sich das Elektron weder wie ein klassisches Teilchen noch wie eine klassische Welle, es ist scheinbar keines von beiden.

Jedes Elektron in dem Strahl hat die Energie $E_{\text {kin }}=1,0 \;\text{keV}$ .

Rechenweg anzeigen

$\lambda= 1,2 \cdot 10^{-9} \;\text{m}$

Diese Wellenlänge ist wesentlich größer als die Wellenlänge, die energiegleichen Elektronen zugeordnet werden kann. Da der Winkel $\alpha_1$ , unter dem das Maximum erster Ordnung erscheint, mit wachsender Wellenlänge zunimmt, vergrößert sich der Abstand des Maximums erster Ordnung von dem Maximum nullter Ordnung.

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