HT 3

Entstehung und Analyse von Strahlung

In den Teilaufgaben werden Aspekte der Strahlungsemission und -absorption behandelt, insbesondere im Zusammenhang mit Sternen wie z.B. der Sonne.

Teilaufgabe 1: Lichtemission von Wasserstoff

Abbildung 1 zeigt das Energieniveauschema eines Wasserstoffatoms unter Angabe der Quantenzahl $n.$

Abbildung 1: Energieniveauschema eines Wasserstoffatoms

Erläutere allgemein die Bedeutung eines Energieniveauschemas im Rahmen eines Atommodells, das die Energiequantelung berücksichtigt.
Erkläre die Begriffe Grundzustand und angeregter Zustand.
Beschreibe den Aufbau der Atomhülle eines Wasserstoffatoms anhand der konkreten Angaben in Abbildung 1.
Erkläre die Bedeutung des Energieniveaus $E_{\text{ges}}=0$ in Abbildung 1.

Für die Emission von Licht durch Wasserstoff gilt die Gleichung $\Delta E=-13,6 \,\text{eV} \cdot\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)$ . Hierbei sind die ganzen Zahlen $m$ und $n$ Quantenzahlen von zwei verschiedenen Zuständen des Wasserstoffs.

Erläutere die Bedeutung von $\Delta E$ im Zusammenhang mit der Lichtemission.

Bei der Lichtemission nimmt $\Delta E$ einen positiven Wert an.

Ermittle, welche der beiden Quantenzahlen $m$ und $n$ dem energiereicheren und welche dem energieärmeren Zustand zuzuordnen ist.

Die Wellenlänge der roten Wasserstoff-Spektrallinie beträgt $\lambda=656 \,\text{nm}.$

Berechne die zugehörige Photonenenergie $E_{ Ph }$ in der Einheit Joule und in der Einheit Elektronenvolt.
Ermittle mithilfe von Abbildung 1 den Übergang im Wasserstoffatom für die rote Spektrallinie.

(8 + 4 + 6 Punkte)

Teilaufgabe 2: Sternspektren

In spektroskopischen Aufnahmen des Sonnenlichts findet man die sogenannten Fraunhoferlinien (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Fraunhoferlinien im Sonnenspektrum

Die angegebenen Bezeichnungen der markantesten Linien (Großbuchstaben) und weniger markanten Linien (Kleinbuchstaben) stammen von Joseph Fraunhofer.

Erläutere allgemein den Unterschied in der Entstehung von Linienspektren in Emission bzw. Absorption.
Gib an, ob es sich bei dem Spektrum in Abbildung 2 im Hinblick auf die Fraunhoferlinien um Spektrallinien in Emission oder Absorption handelt.

Fraunhofers „C-Linie“ entspricht der roten Spektrallinie des Wasserstoffs aus Aufgabenteil 1c). Die sichtbaren Spektrallinien des Wasserstoffs gehören alle zur sogenannten Balmer-Serie (Übergang nach $n=2$ ).

Zeige mithilfe von Abbildung 1, dass die „E-Linie“ $\left(\lambda_{ E }=527 \,\text{nm}\right.$ bzw. $E_{ Ph , E }=2,35 \,\text{eV})$ keine Spektrallinie des Wasserstoffs ist.

Bei bestimmten Sternen außerhalb des Sonnensystems konnte man das Vorhandensein von sogenannten Exoplaneten nachweisen, die diese Sterne umkreisen. Abbildung 3 zeigt schematisch die Helligkeit des beobachteten Lichts in Abhängigkeit von der Zeit, während der Exoplanet vom Beobachter aus gesehen vor dem Stern entlangläuft.

Abbildung 3: Schematische Darstellung der Helligkeit während des Umlaufs des Exoplaneten

Als Transit bezeichnet man die Phase, in der der Exoplanet den Stern teilweise verdeckt (siehe Abbildung 4).

Abbildung 4: Schematische Darstellung des Transits

Wie die Sonne hat auch der Stern eines Exoplaneten ein charakteristisches Spektrum.

Erläutere, wie sich ein vom Beobachter gemessenes Spektrum des Sterns verändert, wenn ein Planet mit Atmosphäre, wie in Abbildung 4 dargestellt, einen Transit durchläuft.
Vergleiche dies mit dem Fall, in dem der Exoplanet keine Atmosphäre hat, also nur aus dem lichtundurchlässigen Teil in Abbildung 4 besteht.

(5 + 2 + 5 Punkte)

Teilaufgabe 3: Leuchtkraft der Sonne

In unserer Sonne ist die sogenannte Proton-Proton-Reaktion bzw. kurz p-p-Reaktion für mehr als $98 \,\%$ der Leuchtkraft verantwortlich.

Der erste Schritt der p-p-Reaktion wird durch die folgende Reaktionsgleichung beschrieben:

$^1H + { }^1H \rightarrow{ }^2H +e^{+}+v+0,42 \,\text{MeV}.$

Beschreibe den Kernumwandlungsprozess anhand der Reaktionsgleichung und unter Zuhilfenahme von Abbildung 5.

Abbildung 5: Erster Schritt der p-p-Reaktion

Bei dem Kernumwandlungsprozess in Aufgabenteil a) ändern sich die Quarks in den Nukleonen.

Beschreibe die Zusammensetzung von Proton $p$ und Neutron $n$ aus Quarks.
Gib die elektrischen Ladungen der Quarks sowie daraus resultierend die Ladungen der Nukleonen $p$ und $n$ an.
Erläutere unter Berücksichtigung des Austauschteilchens (bzw. des Wechselwirkungsteilchens) die Veränderung der Nukleonen auf der Ebene der Quarks.

Abbildung 6 zeigt schematisch die aus drei Teilprozessen bestehende, vollständige p-p-Reaktion (hier mit „ $\text I$ “, „ $\text{II}$ “ und „ $\text{III}$ “ bezeichnet), bei der schließlich ${ }^4 He$ in der Sonne produziert wird.

Abbildung 6: Schematischer Ablauf der Heliumproduktion in der Sonne

Beschreibe den Ablauf der Heliumproduktion anhand der Kernumwandlungsprozesse $\text{II}$ und $\text{III}$ in Abbildung 6.

Die Teilchenbilanz bei der p-p-Reaktion lässt sich gemäß Abbildung 6 folgendermaßen zusammenfassen:

$4{ }^1 H \rightarrow{ }^4 He +2 e^{+}+2 v .$

Die Masse des entstehenden ${ }^4 He$ -Kerns ist zusammen mit den Massen der weiteren entstehenden Teilchen um $0,685 \,\%$ geringer als die Masse der ursprünglichen vier Wasserstoffkerne ${ }^1 H$ zusammen. Diese weisen jeweils eine Masse von $m_{{ }^1 H }=1,007276 \,\text u$ auf.

Der Wert für die atomare Masseneinheit ist $1\,\text u =1,660539 \cdot 10^{-27} \,\text{kg}.$

Begründe die geringere Masse.

Bei der p-p-Reaktion wird insgesamt eine Energie $\Delta E$ freigesetzt.

Berechne den Wert für $\Delta E$ in der Einheit $\text{MeV}$ mit einer Genauigkeit von einer Nachkommastelle.

(3 + 7 + 4 + 6 Punkte)

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Teillösung 1: Lichtemission von Wasserstoff

Bedeutung eines Energieniveauschemas

Gebundene Elektronen in der Atomhülle können nur diskrete, feste Werte für die Gesamtenergie $E_{\text {ges }}$ annehmen. Die Gesamtenergie ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie. In einem Energieniveauschema werden die möglichen Energiewerte grafisch dargestellt.

Erklärung des Grundzustandes und des angeregten Zustandes

Als Grundzustand bezeichnet man den Zustand eines Elektrons der Atomhülle mit der niedrigsten (Gesamt-)Energie, alle anderen Zustände sind angeregte Zustände mit höherer Energie.

Beschreibung des Aufbaus der Atomhülle eines Wassrstoffatoms

Das Wasserstoffatom besitzt genau ein Elektron in der Atomhülle, das im Grundzustand mit der Quantenzahl $n=1$ eine Energie $E_{\text {ges }, 1}=-13,6 \text{eV}$ besitzt. In den angeregten Zuständen mit $n=2,3,4, \ldots$ hat ein Wasserstoffatom die Energien $E_{\text {ges }, 2}, E_{\text {ges }, 3}, E_{\text {ges }, 4}, \ldots$ mit den angegebenen Werten.

Erklärung des Energieniveaus $E_{\text {ges }}=0$

Das Energieniveau $E_{\text {ges }}=0$ beschreibt den Zustand, in dem das Elektron nicht mehr an den Atomkern gebunden ist.

Erläuterung der Bedeutung von $\Delta E$ im Zusammenhang mit der Lichtemission

$\Delta E$ beschreibt die Differenz der Energien der beiden Zustände, zwischen denen das Elektron wechselt. In Emission erfolgt der Übergang vom energetisch höheren zum niedrigeren Niveau, sodass ein Photon mit der Energie $\Delta E$ ausgesendet wird.

Ermittlung der Quantenzahl des energiereicheren und der Quantenzahl des energieärmeren Zustandes Da $\Delta E \gt 0$ gelten soll, folgt für $m$ und $n$ die Bedinung:

Rechenweg anzeigen

$n\lt m$

Der Übergang des Elektrons erfolgt bei Emission also von einem energiereicheren Zustand mit der Quantenzahl $m$ in einen energieärmeren Zustand mit der Quantenzahl $n$ .

Berechnung der Photonenenergie

Aus der Formelsammlung lässt sich $E_{\text{ph}}=h \cdot f$ entnehmen. Die Photonenenergie lässt sich damit berechnen durch:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{ph}}&=& h \cdot f &\quad \scriptsize \mid\; f=\dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] &=& \dfrac{h \cdot \text{c}}{\lambda} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Aus der Fomelsammlung lassen sich die Werte für die Konstanten $h$ und $c$ entnehmen:

$\begin{array}[t]{rll} h&=& 6.62607015 \cdot 10^{-34} \; \text{Js}&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 2,99 792 458 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Einsetzen der Werte in die Formel liefert:

Rechenweg anzeigen

$E_{\text{ph}}= 1,89 \; \text{eV}$

Ermittlung des Übergangs im Wasserstoffatom für die rote Spektrallinie

Gemäß Abbildung 1 passt diese Photonenenergie am besten zur Energiedifferenz $\Delta E=E_3-E_2$ = $-1,5 \;\text{eV} - \left(-3,4\right)$ = $1,9 \; \text{eV}.$ Das entspricht ungefähr dem errechneten Wert für $E_{\text{ph}}=1,89 \; \text{eV}.$ Demnach handelt es sich um den Übergang $3 \rightarrow 2.$

Teillösung 2: Sternspektren

Erläuterung des Unterschiedes in der Entstehung von Linienspektren in Emmision bzw. Absorbtion

Emissionslinienspektren ergeben sich dadurch, dass Atome Photonen aussenden, wenn Hüllenelektronen auf niedrigere Energieniveaus übergehen. Da die diskreten Energieniveaus und damit auch die Energiedifferenzen spezifisch für eine Atomsorte sind, entsteht eine für die jeweilige Atomsorte charakteristische Verteilung von Spektrallinien. Bei Absorptionslinienspektren werden Photonen aus einem in der Regel zuvor kontinuierlichen Spektrum absorbiert. Dies geschieht dann, wenn ein Photon auf ein Atom trifft und dabei ein Hüllenelektron anregt, sodass dieses auf ein energetisch höher gelegenes (nicht vollständig besetztes) Niveau wechselt. Hierbei entspricht die Photonenenergie genau der Differenz zweier Energieniveaus des Atoms. Dies äußert sich durch dunkle Linien (fehlende Photonen) im Spektrum.

Spektrallinien des Spektrums in Abbildung 2

Bei den in Abbildung 2 dargestellten Fraunhoferlinien handelt es sich um Absorptionslinien (in einem Emissionsspektrum).

Die „E-Linie" ist keine Spektrallinie des Wasserstoffs, da es keinen Übergang von $n=2$ auf ein passendes höheres Niveau gibt. Dieses höhere Niveau müsste im Energieniveauschema bei folgender Energie liegen:

$\begin{array}[t]{rll} E_2+\Delta E&=& -3,40 \;\text{eV}+2,35 \; \text{eV}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -1,05 \;\text{eV} \end{array}$

Dieser Energiewert liegt zwischen den Energieniveaus von $n=3$ und $n=4.$

Erklärung der Änderung des Spektrums des Sternes, wenn der Exoplanet eine Atmosphäre hat

Durchläuft das Licht des Sterns die Atmosphäre des Exoplaneten, dann erscheinen im Spektrum, das der Beobachter misst, zusätzliche Absorptionslinien, da davon auszugehen ist, dass in der Atmosphäre des Exoplaneten weitere Absorptionsvorgänge stattfinden, wobei die Wellenlängen charakteristisch für die in der Atmosphäre des Exoplaneten enthaltenen Elemente sind. Im gemessenen Spektrum müssten also beim Transit die Intensitäten bei bestimmten Wellenlängen ein wenig schwächer werden.

Erklärung der Änderung des Spektrums des Sternes, wenn der Exoplanet keine Atmosphäre hat

Im Fall einer fehlenden Atmosphäre sind keine weiteren Absorptionslinien im Spektrum zu erwarten, lediglich die Abnahme der Intensität insgesamt ist zu beobachten.

Teillösung 3: Leuchtkraft der Sonne

Aus zwei Protonen werden ein Deuteriumkern, ein ${ }^2 \text{H}$ -Kern, der aus einem Proton und einem Neutron besteht, sowie ein Positron und ein (Elektron-)Neutrino gebildet. Dabei werden $0,42 \;\text{MeV}$ als Bewegungsenergie der Teilchen frei.

Beschreibung der Zusammensetzung von Proton und Nuetron aus Quarks

Ein Proton und ein Neutron bestehen jeweils aus genau drei Quarks. Im Fall des Protons sind es zwei Up-Quarks und ein Down-Quark, während das Neutron aus zwei Down-Quarks und einem Up-Quark besteht.

Angabe der elektrischen Ladungen der Quarks und der Nukleonen

Das Proton ist einfach positiv geladen, da ein Up-Quark die Ladung $+\dfrac{2}{3} e$ und ein Down-Quark die Ladung $-\dfrac{1}{3} e$ trägt:

$\begin{array}[t]{rll} Q_{\text{p}}&=& 2 \cdot\left(+\dfrac{2}{3} e\right)-\dfrac{1}{3} e&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& +e \end{array}$

Das Neutron ist elektrisch neutral:

$\begin{array}[t]{rll} Q_{\text{n}}&=& +\dfrac{2}{3} e- 2 \cdot \dfrac{1}{3} e&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Erläuterung der Veränderung der Nukleonen auf der Ebene der Quarks

Bei dem beschriebenen Prozess wandelt sich in einem Proton eines der Up-Quarks in ein Down-Quark um. Dabei ist ein $\text{W}^{+}$ -Boson als Austauschteilchen (Feldquant) beteiligt, welches anschließend in das Positron und das Neutrino zerfällt.

Im Teilprozess II fusioniert ein im Teilprozess I entstandener ${ }^2 \text{H}$ -Kern mit einem weiteren Proton, wobei diesmal ein ${ }^3 \text{He}$ -Kern entsteht und ein Gammaquant emittiert wird. Abschließend entsteht im Teilprozess III aus zwei so entstandenen ${ }^3 \text{He}$ -Kernen durch Fusion ein ${ }^4 \text{He}$ -Kern. Dabei werden zwei Protonen freigesetzt. Diese stehen dann für weitere Fusionsprozesse in I bzw. II wieder zur Verfügung.

Begründung der geringeren Masse

Bei der p-p-Reaktion handelt es sich um einen (exothermen) Prozess, bei dem die Reaktionsprodukte kinetische Energie besitzen und Strahlungsenergie in Form von Gammaquanten freigesetzt wird. Diese Energie stammt gemäß der Energie-Masse-Äquivalenz aus der Masse der ursprünglichen Wasserstoffkerne.

Berechnung des Wertes für $\Delta E$

Aus der Fomelsammlung lassen sich die Werte für die Konstante $c$ entnehmen:

$\begin{array}[t]{rll} c&=& 2,99 792 458 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

Freigesetzt wird die Energie:

Rechenweg anzeigen

$\Delta E= 25,7 \;\text{MeV}$

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