Beim Erkenntnisgewinn wird in der SRT häufig auf Realexperimente verzichtet.

• Erläutere, warum im Rahmen der SRT häufig auf Realexperimente verzichtet wird.

Das Phänomen der relativistischen Zeitdilatation kann mittels der sogenannten „Lichtuhr“, eines sogenannten „Gedankenexperiments“, illustriert werden.
Die hier vorgestellte Lichtuhr besteht aus zwei planparallelen Spiegeln mit festem Abstand und einer im Bezugssystem der Spiegel ruhenden Uhr als Zeitmessgerät. Licht bewegt sich zwischen den beiden Spiegeln hin und her, und die Uhr wird genutzt, um die Laufzeiten des Lichts zwischen den Spiegeln im Ruhebezugssystem zu messen (siehe Abbildung 1 (links)).

• Berechne die Zeit die das Licht von einem zum anderen Spiegel für den Fall benötigt.
  Hinweis: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa

In einem zweiten Bezugssystem sollen sich die beiden Spiegel geradlinig gleichförmig in der gleichen Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. (Diese Bewegungsrichtung soll aus Sicht des ersten Bezugssystems senkrecht zur Bewegungsrichtung des Lichtstrahls verlaufen.) In diesem zweiten Bezugssystem bilden die Hinund Rückwege des Lichts eine Zickzacklinie (siehe Abbildung 1 (rechts)).

• Erkläre, warum der Abstand L zwischen den Spiegeln in beiden Bezugssystemen gleich groß ist, trotz der Relativität von Längen in der SRT.

Im zweiten Bezugssystem besitzt jedoch der Lichtweg zwischen den Spiegeln nicht die Länge (wofür das Licht die Zeit benötigen würde), sondern die Länge (wofür es die Zeit benötigt), da sich die Spiegel in diesem Bezugssystem in Bewegung befinden (siehe Abbildung 2). Die Größen und erfüllen die folgenden Gleichungen:

• Begründe mithilfe von Abbildung 2 die Gültigkeit der linken Gleichung.

Die beiden anderen Gleichungen lassen (auch ohne Rechnung) erkennen, dass das Einsteinsche Postulat der „Konstanz der Lichtgeschwindigkeit“ vorausgesetzt wird.

• Begründe diese Aussage.

Ausgehend von diesen drei Gleichungen lässt sich mit einigen Umformungen die folgende Formel der Zeitdilatation ableiten: Ist somit eine Zeit im Ruhebezugssystem der Lichtuhr gegeben, lässt sich die Zeit in einem Bezugssystem berechnen, das sich relativ zum Ruhebezugssystem mit der Geschwindigkeit bewegt.

• Berechne für den Fall und
• Zeige anhand eines Beispiels, dass für hinreichend kleine Geschwindigkeiten näherungsweise gilt.
• Begründe, dass für jede Geschwindigkeit größer oder gleich ist.

Auf einer im Ruhebezugssystem einer Raumstation unbewegten Uhr sollen 2,0 Minuten vergehen (siehe Abbildung 3). Aus Sicht des Ruhebezugssystems einer Rakete, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zur Raumstation bewegt, sollen währenddessen 4,0 Minuten vergehen.

• Berechne die Relativgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit soll nun weiterhin betragen, allerdings sollen nun, anders als zuvor, auf einer im Ruhebezugssystem der Rakete ruhenden Uhr 4,0 Minuten vergehen (siehe Abbildung 4).

• Entscheide anhand der folgenden Alternativen, wie viel Zeit währenddessen aus Sicht der Raumstation (also in deren Ruhebezugssystem) vergeht:
  
  
  
  

Es wird nun angenommen, dass die beiden Uhren (die relativ zur Raumstation ruhende Uhr und die relativ zur Rakete ruhende Uhr) gerade in dem einen Moment auf „0:00 Uhr“ stehen, in dem die Rakete die Raumstation passiert. Dann werden etwas später, in beiden Bezugssystemen in unterschiedlicher Reihenfolge, beide Uhren sukzessive auf „0:01 Uhr“ umspringen.

• Beurteile, welche der beiden Uhren aus Sicht der Rakete als erstes auf „0:01 Uhr“ umspringen wird.

Neben der Zeitdilatation ist die Längenkontraktion eine weitere, für die Kinematik bedeutsame Konsequenz der SRT.
Wird beispielsweise die Entfernung zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete gemessen, so ergibt sich im Ruhebezugssystem der Rakete die sogenannte Ruhelänge . Im Ruhebezugssystem der Raumstation dagegen wird zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete eine kürzere Länge gemessen.

• Entscheide, welche der folgenden Formeln den Zusammenhang zwischen
  
  
  

Die Ruhelänge der Rakete soll und die Geschwindigkeit betragen.

• Berechne die Länge der Rakete im Bezugssystem der Raumstation.

Es wird nun angenommen, dass die Rakete von Beginn an in der entgegengesetzten Richtung geflogen ist.

• Erläutere den Einfluss dieser Annahme auf das Ausmaß der Längenkontraktion.

Erkenntnisse der SRT sind nicht nur bei klassischen Realexperimenten zu berücksichtigen, etwa beim Verständnis verschiedener Experimente mit Teilchenbeschleunigern, sondern auch bei komplexen technischen Systemen wie etwa Satellitennavigationssystemen.

• Gib zwei weitere Realexperimente an, für deren Verständnis Ergebnisse der SRT zu berücksichtigen sind.

Bei modernen Navigationssystemen wie beispielsweise GPS werden Funksignale zwischen Navigationsgerät (etwa im Auto oder Flugzeug) und mindestens drei im Erdorbit befindlichen Satelliten (für die drei Raumkoordinaten x, y und z) ausgetauscht (von den Satelliten in Richtung des Navigationsgeräts). Die Signallaufzeiten dienen als Navigationsgrundlage.

• Erkläre qualitativ, warum solche Navigationssysteme zwingend das Phänomen der Zeitdilatation berücksichtigen müssen.

Die für das Navigationssystem GPS notwendige zeitliche Genauigkeit wird innerhalb der Satelliten durch hochpräzise Atomuhren sichergestellt. Das GPS-Gerät des Empfängers (das sich beispielsweise in einem Auto befindet) verfügt in der Regel jedoch über keine Atomuhr zur präzisen Zeitmessung.

• Stelle dar, wieso das Signal von vier anstelle von drei GPS-Satelliten präzisere Zeitmessungen am Ort des Empfängers ermöglicht.

In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird oft auf Realexperimente verzichtet, da Phänomene bei extremen Geschwindigkeiten oder Energien auftreten, die schwer zu reproduzieren sind. Experimente erfordern hohe Kosten und komplexe Technologie, während einige SRT-Effekte sehr klein und schwer messbar sind. Für die Zeit gilt: Der Abstand zwischen den Spiegeln bleibt in beiden Bezugssystemen gleich, da die Längenkontraktion in der Speziellen Relativitätstheorie nur entlang der Relativgeschwindigkeit auftritt. Wenn sich die Spiegel und der Lichtstrahl senkrecht zur Bewegungsrichtung bewegen, ist die Relativgeschwindigkeit in dieser Richtung null. Das bedeutet, dass es keine Längenkontraktion in der Richtung gibt, in der sich die Spiegel voneinander entfernen oder annähern, und somit bleibt unverändert. Die Strecken bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse . Mit dem Satz des Pythagoras folgt: An den Gleichungen und ist zu sehen, dass die Lichtgeschwindigkeit sowohl für bewegte als auch für ruhende Beobachter gleich ist. Diese Gleichungen setzen somit das Einsteinsche Postulat der "Konstanz der Lichtgeschwindigkeit" voraus, da es besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem immer denselben konstanten Wert hat.

Eine hinreichend kleine Geschwindigkeit ist deutlich keiner als die Lichtgeschwindigkeit. Für beispielsweise folgt: Für jede Geschwindigkeit wird quadriert, was zu einer positiven Zahl führt. Da immer größer oder gleich 0 ist, wird von 1 immer ein positiver Wert subtrahiert, und somit ist der Nenner für jede Geschwindigkeit immer kleiner oder gleich 1. Daher wird immer größer oder gleich sein.

Einsetzen der Werte liefert: Die Rakete ist nun in Bewegung mit so dass ist. Die Raumstation ruht, so dass ist. Aus Sicht der Raumstation vergeht die Zeit Für die Zeit der ruhenden Uhr (Rakete) gilt: Die Zeit der ruhenden Uhr vergeht schneller als die Zeit der bewegten Uhr. Das bedeutet, dass aus der Sicht der Rakete (in Ruhe) vergeht die Zeit im Raumschiff (in Bewegung mit ) langsamer. Die Uhr der Rakete springt aus Sicht der Rakete als erstes Auf Uhr um.

Für bewegte Beobachter sind Strecken verkürzt. Den Zusammenhang zwischen und beschreibt folgende Formel korrekt: Für die Länge der Rakete im Bezugssystem der Raumstation gilt: Die Annahme, dass die Rakete von Beginn an in entgegengesetzter Richtung fliegt, hat keinen Einfluss auf das Ausmaß der Längenkontraktion. Diese hängt allein von der Geschwindigkeit des Beobachters relativ zur bewegten Länge ab und nicht von der Bewegungsrichtung. Geschwindigkeiten werden in der Längenkontraktionsformel quadriert, weshalb Vorzeichen keine Rolle spielen:

1. Das Michelson-Morley-Experiment: Dieses Experiment sollte die Existenz des Äthers, eines hypothetischen Mediums, das als Ausbreitungsmedium für elektromagnetische Wellen vorgeschlagen wurde, nachweisen. Die negative Ergebnisse dieses Experiments waren ein wichtiger Beitrag zur Entwicklung der SRT, da sie darauf hinwiesen, dass die Geschwindigkeit des Lichts in jedem Inertialsystem konstant ist. 2. Neutrino-Oszillationen in Teilchenphysik-Experimenten: Experimente zur Neutrino-Oszillation, wie beispielsweise das Super-Kamiokande-Experiment, haben gezeigt, dass Neutrinos verschiedene Massenzustände haben und zwischen ihnen wechseln können. Dieses Phänomen kann nur durch die SRT erklärt werden, die besagt, dass Teilchen mit Masse bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit relativistische Effekte zeigen, wie zum Beispiel die Zeitdilatation, die bei Neutrinos beobachtet wird. Zeitdilatationsberücksichtigung Navigationssysteme wie GPS müssen die Zeitdilatation berücksichtigen, da sich die Satelliten, die die Signale aussenden, mit hoher Geschwindigkeit durch den Raum bewegen. Dies führt dazu, dass die Zeit für diese Satelliten im Vergleich zur Zeit auf der Erdoberfläche langsamer vergeht, wie es die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) vorhersagt. Wenn dieses Phänomen nicht berücksichtigt wird, führt es zu Abweichungen in den Signallaufzeiten, die wiederum die Genauigkeit der Positionsbestimmung beeinträchtigen. Verbesserung der Zeitmessung durch vier GPS-Satelliten Durch das Signal von vier statt drei GPS-Satelliten kann der Empfänger nicht nur seine Position genauer bestimmen, sondern auch die Genauigkeit seiner internen Uhr verbessern. Dies geschieht, indem die Laufzeiten der Signale von vier Satelliten gemessen werden, was eine genauere Zeitsynchronisation ermöglicht. Dadurch werden Fehler in der internen Uhr des Empfängers korrigiert und die gesamte Zeitmessung präziser, was für genaue Positionsbestimmungen von entscheidender Bedeutung ist.