HT 1

Fadenstrahlrohr und glühelektrischer Effekt

Mit dem Fadenstrahlrohr lässt sich die spezifische Elektronenladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ bestimmen.

In der Elektronenkanone werden die freien Elektronen durch den glühelektrischen Effekt erzeugt. In Material 1 ist ein Versuch zum glühelektrischen Effekt dargestellt.

Beschreibe die Beobachtungen des Versuchs und erkläre die Beobachtungen.

6 BE

In einer Elektronenkanone, wie sie im Fadenstrahlrohr (vgl. Material 2) verbaut ist, werden die Elektronen beschleunigt.

Erläutere mithilfe einer geeigneten Skizze die Funktionsweise einer Elektronenkanone und leite die Gleichung $Formula: v=\sqrt{2\cdot \tfrac{e}{m}\cdot U_B}$ $Formula: v=\sqrt{2\cdot \tfrac{e}{m}\cdot U_B}$ für die Geschwindigkeit der Elektronen, die durch die Spannung Formula: U_B beschleunigt werden, her.

8 BE

In Abbildung 5 (in Material 2) ist die kreisförmige Bahn der Elektronen im Fadenstrahlrohr dargestellt.

Erläutere, weshalb der Betrag der Bahngeschwindigkeit der Elektronen im Fadenstrahlrohr konstant ist und warum sich eine kreisförmige Bahnkurve der Elektronen ergibt.

4 BE

Leite die Gleichung für die spezifische Elektronenladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ im Fadenstrahlrohr (vgl. Material 3) mithilfe der Formel für die Geschwindigkeit der Elektronen aus Teilaufgabe 2 her.

4 BE

Werte mithilfe eines $Formula: U_{B}$ $Formula: U_{B}$ - Formula: r^2 -Diagramms aller Messwerte die Messung der Tabelle (in Material 3) zur Bestimmung eines Wertes für die spezifische Elektronenladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ aus.

6 BE

Erläutere, wie sich beim Versuch im Fadenstrahlrohr die Helligkeit der Elektronenbahn bei einer Verringerung der Heizspannung an der Elektronenkanone ändert.

2 BE

Material 1

In den Abbildungen 1 und 2 ist der Versuchsaufbau dargestellt.

Abbildung 1: Foto des Versuchsaufbaus

Elektroskop, dass mit einer Anode und Glühkatode verbunden ist

Abbildung 2: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus

(Quelle: Leybold Didactic GmbH, Handblätter Physik, P3.8.1.2, Bewegte Ladungsträger im Vakuum – Röhrendiode (1999), S. 3; https://www.ld-didactic.com/documents/de-DE/GA/GA/5/555/555610d.pdf (verändert; Zugriff: 20.02.2026))

Bilderfolge des Experiments, wenn das Elektroskop positiv geladen ist:

Zeit	Bild des Versuchs
Zeitpunkt, bevor die Spannung an der Glühkathode eingeschaltet wird:
Zeitpunkt, zu dem die Spannung an der Glühkathode eingeschaltet wird:
Zeitpunkt $Formula: 0,7\;\text{s}$ $Formula: 0,7\;\text{s}$ nach dem Einschalten der Spannung an der Glühkathode:
Zeitpunkt $Formula: 0,9\;\text{s}$ $Formula: 0,9\;\text{s}$ nach dem Einschalten der Spannung an der Glühkathode: Ab $Formula: 0,9\;\text{s}$ $Formula: 0,9\;\text{s}$ nach dem Einschalten der Spannung ändert sich der Ausschlag des Elektroskops nicht mehr.

Abbildung 3a: Bilderfolge des Experiments, wenn das Elektroskop positiv geladen ist

Bilderfolge des Experiments, wenn das Elektroskop negativ geladen ist:

Zeit	Bild des Versuchs
Zeitpunkt, bevor die Spannung an der Glühkathode eingeschaltet wird:
Zeitpunkt, zu dem die Spannung an der Glühkathode eingeschaltet wird:
Zeitpunkt $Formula: 7\;\text{s}$ $Formula: 7\;\text{s}$ nach dem Einschalten der Spannung an der Glühkathode:
Zeitpunkt $Formula: 2\;\text{s}$ $Formula: 2\;\text{s}$ nach dem Ausschalten der Spannung an der Glühkathode: Ab $Formula: 2\;\text{s}$ $Formula: 2\;\text{s}$ nach dem Ausschalten der Spannung ändert sich der Ausschlag des Elektroskops nicht mehr.

Abbildung 3b: Bilderfolge des Experiments, wenn das Elektroskop negativ geladen ist

Material 2

In Abbildung 4 ist der Versuchsaufbau des Fadenstrahlrohrs mit einem Helmholtz-Spulenpaar zur Erzeugung eines homogenen Magnetfeldes im Bereich des Fadenstrahlrohrs dargestellt.

Abbildung 4: Versuchsaufbau mit Fadenstrahlrohr und Helmholtz-Spulenpaar

(Quelle: https://www.uranmaschine.de/43200.Fadenstrahlrohr/Fadenstrahlrohr_Leybold_55557_hires.jpg (Zugriff: 20.02.2026))

In Abbildung 5 ist die Kreisbahn der Elektronen im homogenen Magnetfeld im Fadenstrahlrohr dargestellt.

Abbildung 5: Kreisbahn der Elektronen im homogenen Magnetfeld des Fadenstrahlrohrs

Material 3

Beim Fadenstrahlrohr gilt für die spezifische Elektronenladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ die Gleichung:

$Formula: \dfrac{e}{m} = \dfrac{2\cdot U_B}{B^2\cdot r^2}$ $Formula: \dfrac{e}{m} = \dfrac{2\cdot U_B}{B^2\cdot r^2}$

Dabei ist Formula: r der Radius der Elektronenbahn im Fadenstrahlrohr und Formula: B die magnetische Flussdichte senkrecht zur Elektronenbahn.

Im Versuch wird die Spulenstromstärke so eingestellt, dass die magnetische Flussdichte im Fadenstrahlrohr konstant $Formula: B = 1,20\;\text{mT}$ $Formula: B = 1,20\;\text{mT}$ beträgt. Es wird der Bahnradius der Elektronen Formula: r in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung Formula: U_B gemessen.

$Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_B}{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_B}{V}}$
$Formula: \boldsymbol{\tfrac{r}{\text{cm}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{r}{\text{cm}}}$

Wird die obige Gleichung für die spezifische Elektronenladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ umgeformt, so ergibt sich:

$Formula: r^2=\dfrac{2}{\tfrac{e}{m}\cdot B^2}\cdot U_B$ $Formula: r^2=\dfrac{2}{\tfrac{e}{m}\cdot B^2}\cdot U_B$

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Fadenstrahlrohr und glühelektrischer Effekt

Beschreibung der Beobachtungen

Wenn das Elektroskop negativ geladen wird und die Glühkathode eingeschaltet wird, bleibt der Ladungsausschlag und damit die Ladung des Elektroskops erhalten.

Wenn das Elektroskop positiv geladen wird und die Glühkathode eingeschaltet wird, dann geht der Ladungsausschlag des Elektroskops sofort zurück und das Elektroskop entlädt sich.

Erklärung der Beobachtungen

Wenn das Elektroskop negativ geladen ist, bleibt die Ladung auf dem Elektroskop erhalten. Auf dem Elektroskop befinden sich ein Überschuss an negativen Ladungen (Elektronen). Durch Einschalten der Glühkathode treten an dieser Elektronen aufgrund des glühelektrischen Effektes aus. Diese können allerdings nicht zur Kathode in der Röhre gelangen, da diese (wie das Elektroskop) negativ geladen ist und somit die Kraft des elektrischen Feldes zwischen Glühkathode und Anode auf die Elektronen weg von der Anode gerichtet ist.

Wenn das Elektroskop positiv geladen ist, wird die positive Ladung auf dem Elektroskop (Elektronenmangel) durch die an der Glühkathode austretenden Elektronen (glühelektrischer Effekt) ausgeglichen, da die Kraft des elektrischen Feldes zwischen Anode und Glühkathode die Elektronen zur Anode hin beschleunigt.

Skizze

Schaltbild einer Elektronenröhre mit Heizwicklung und Spannungsanschlüssen (UH, UB)

Erläuterung der Funktionsweise

Durch die angelegte Heizspannung entsteht ein Stromfluss durch die Glühwendel, wodurch diese sich erwärmt und Elektronen aus dem Metall austreten. Es bildet sich eine Wolke aus freien Elektronen um die Glühwendel (glühelektrischer Effekt). Zwischen der Glühwendel (Kathode) und der Anode entsteht durch die Beschleunigungsspannung ein elektrisches Feld. Dadurch werden die Elektronen von der Glühwendel in Richtung der Anode beschleunigt. Nachdem die Elektronen die Anode durchlaufen haben, bewegen sie sich mit konstanter Geschwindigkeit (geradlinig-gleichförmig) weiter.

Herleitung der Gleichung

Beim Durchlaufen des elektrischen Feldes zwischen Glühwendel und Anode erhält ein Elektron die elektrische Energie $Formula: E_{\mathrm{el}}=e \cdot U_{B}.$ $Formula: E_{\mathrm{el}}=e \cdot U_{B}.$ Gleichsetzen mit der kinetischen Energie liefert:

$Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}}& = & E_{\mathrm{el}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 & = & e \cdot U_{B} &\quad \scriptsize\mid\;:\tfrac{1}{2}m \\[5pt] v^2 & = & 2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{B} &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{B}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} E_{\mathrm{kin}}& = & E_{\mathrm{el}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 & = & e \cdot U_{B} &\quad \scriptsize\mid\;:\tfrac{1}{2}m \\[5pt] v^2 & = & 2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{B} &\quad \scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{B}} \end{array}$

Der Betrag der Bahngeschwindigkeit der Elektronen ist konstant, da auf die Elektronen, die sich im Magnetfeld bewegen, nur die Lorentzkraft wirkt. Die Lorentzkraft wirkt nach der Drei-Finger-Regel immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und kann daher keine Arbeit an den Elektronen verrichten.

Durch das senkrecht zur Geschwindigkeit der Elektronen gerichtete homogene Magnetfeld erfahren die Elektronen eine Lorentzkraft. Nach der Drei-Finger-Regel wirkt diese immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und ist wegen der Homogenität des Magnetfeldes und der Konstanz des Betrags der Bahngeschwindigkeit stets konstant. Dies bewirkt die Ablenkung des Strahls auf eine Kreisbahn und die Lorentzkraft wirkt entsprechend als Zentripetalkraft.

Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft, sodass sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen:

$Formula: \begin{array}{rll} F_L & = & F_Z \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & m \cdot \dfrac{v^2}{r} &\quad \scriptsize \mid\;:(v\cdot B\cdot m) \\[5pt] \dfrac{e}{m} & = & \dfrac{v}{B \cdot r} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} F_L & = & F_Z \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & m \cdot \dfrac{v^2}{r} &\quad \scriptsize \mid\;:(v\cdot B\cdot m) \\[5pt] \dfrac{e}{m} & = & \dfrac{v}{B \cdot r} \end{array}$

Quadrieren der Gleichung liefert:

$Formula: \frac{e^2}{m^2}=\dfrac{v^2}{B^2 \cdot r^2}$ $Formula: \frac{e^2}{m^2}=\dfrac{v^2}{B^2 \cdot r^2}$

Einsetzen von $Formula: v=\sqrt{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{\mathrm{B}}}$ $Formula: v=\sqrt{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{\mathrm{B}}}$ ergibt weiter:

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{e^2}{m^2} & = & \dfrac{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^2 \cdot r^2} &\quad \scriptsize\mid\;\cdot\tfrac{m}{e} \\[5pt] \dfrac{e}{m} & = & \dfrac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{e^2}{m^2} & = & \dfrac{2 \cdot \tfrac{e}{m} \cdot U_{\mathrm{B}}}{B^2 \cdot r^2} &\quad \scriptsize\mid\;\cdot\tfrac{m}{e} \\[5pt] \dfrac{e}{m} & = & \dfrac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2} \end{array}$

Streudiagramm r² gegen U_B (V) mit Messpunkten und linearer Ausgleichsgerade.

Das Formula: U_B - Formula: r^2 -Diagramm zeigt, dass die Messpunkte auf einer Ursprungsgeraden liegen. Die Proportionalität wird durch die Ausgleichskurve und das Bestimmtheitsmaß bestätigt.

Aus dem Proportionalitätsfaktor ergibt sich mithilfe der angegebenen Gleichung:

$Formula: 8,18 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\text{m}^2}{\text{V}}=\dfrac{2}{\tfrac{e}{m} \cdot B^2}$ $Formula: 8,18 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\text{m}^2}{\text{V}}=\dfrac{2}{\tfrac{e}{m} \cdot B^2}$

Auflösen nach $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ mit dem CAS liefert:

$Formula: \dfrac{e}{m}=1,70 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}.$ $Formula: \dfrac{e}{m}=1,70 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}.$

Wird die Heizspannung an der Elektronenkanone verringert, so werden an der Glühkathode weniger Elektronen ausgelöst. Dies führt dazu, dass weniger Elektronen Stöße mit den Gasmolekülen im Fadenstrahlrohr ausführen, was zu einer Verringerung der Helligkeit der Elektronenbahn führt.

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