HT 1 — Leuchtmittel

In dieser Aufgabe geht es um die Untersuchung von Leuchtmitteln. Dazu werden in Teilaufgabe 1 Grundlagen zur Wellenausbreitung und -überlagerung diskutiert. In Teilaufgabe 2 steht dann darauf aufbauend die Untersuchung von Leuchtmitteln im Vordergrund.

Teilaufgabe 1: Wellenausbreitung

Zwei Erreger Formula: E_1 und Formula: E_2 erzeugen kreisförmige Wellen gemäß Abbildung 1.

Zwei überlappende konzentrische Wellenfronten um die Quellen E1 und E2, mit Legende für Wellenberg und Wellental

Abbildung 1: Kreisförmige Wellen um zwei Erreger $Formula: \small{E_1}$ $Formula: \small{E_1}$ und $Formula: \small{E_2}$ $Formula: \small{E_2}$

Die Erreger erzeugen die Wellen mit gleicher Frequenz und die Wellen weisen gleiche Amplituden auf.

Erläutere anhand von Abbildung 1, dass erstens die Wellenlängen konstant sowie gleich sind und dass zweitens die Erreger synchron schwingen, also stets zum selben Zeitpunkt Wellenberge sowie -täler bei und entstehen.
Zeichne zwei Punkte und in das Wellenbild in Abbildung 1 ein, sodass im Punkt konstruktive Interferenz und im Punkt destruktive Interferenz vorliegen.
Begründe, warum in konstruktive und in destruktive Interferenz vorliegen.

6 BE

Mit einem Detektor Formula: D kann die Welleninterferenz gemessen werden (vgl. Abbildung 2).

Abbildung 2: Zwei Erreger $Formula: \small{E_1}$ $Formula: \small{E_1}$ und $Formula: \small{E_2}$ $Formula: \small{E_2}$ im Abstand $Formula: \small{a_0}$ $Formula: \small{a_0}$ vor einem Detektor $Formula: \small{D}$ $Formula: \small{D}$

Der Detektor Formula: D ist zunächst im Abstand $Formula: a_{0}$ $Formula: a_{0}$ von beiden Erregern $Formula: E_{1}$ $Formula: E_{1}$ und $Formula: E_{2}$ $Formula: E_{2}$ gleich weit entfernt. Der Erreger $Formula: E_{2}$ $Formula: E_{2}$ wird dann um den Abstand kontinuierlich vom Detektor entfernt, wobei währenddessen konstruktive und destruktive Interferenzen gemessen werden. Bei $Formula: a = 4,0\;\mathrm{mm}$ $Formula: a = 4,0\;\mathrm{mm}$ wird das 1. Minimum bzw. bei $Formula: a = 33,0\;\mathrm{mm}$ $Formula: a = 33,0\;\mathrm{mm}$ wird das 4. Maximum gemessen.

Bestimme sowohl mithilfe des 1. Minimums als auch mithilfe des 4. Maximums jeweils einen experimentellen Wert für die Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{Exp}}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Exp}}.$
Begründe, warum bei der Bestimmung der Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{Exp}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Exp}}$ über das 4. Maximum Messunsicherheiten das Ergebnis weniger stark beeinflussen.

Der Hersteller der Erreger gibt die Wellenlänge mit $Formula: \lambda = 8,3\;\mathrm{mm}$ $Formula: \lambda = 8,3\;\mathrm{mm}$ und die Frequenz mit $Formula: f = 41\;\mathrm{kHz}$ $Formula: f = 41\;\mathrm{kHz}$ an.

Berechne mit den Herstellerangaben die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen.

7 BE

Interferenzen ergeben sich auch dann, wenn mit einem Doppelspalt und einem mittig davor positionierten Erreger Formula: E experimentiert wird. Der Doppelspalt ist dabei zwischen Erreger und Detektor Formula: D gesetzt (vgl. Abbildung 3), wobei die Spaltbreiten klein gegenüber der Wellenlänge Formula: λ sind.

E oben, X darunter, drei horizontale Linien in der Mitte, X über D unten.

Abbildung 3: Skizze des Aufbaus

Erläutere unter Verwendung des Huygens’schen Prinzips, dass sich hinter dem Doppelspalt Interferenzen ergeben.

2 BE

Zur quantitativen Untersuchung der Interferenzen wird der Detektor Formula: D im Abstand Formula: 𝑒 parallel zum Doppelspalt um die Strecke Formula: 𝑥 nach rechts verschoben (vgl. Abbildung 4).

Geometrische Skizze mit zwei rechten Rechtecken, Strecken s1 und s2 nach Punkt D, Maße d, e und x

Abbildung 4: Detektor wird parallel zum Doppelspalt um $Formula: \small{x}$ $Formula: \small{x}$ verschoben

Mit dem Abstand Formula: d der Spaltmitten des Doppelspalts gilt dann für den Gangunterschied am Detektor $Formula: D\text{:}$ $Formula: D\text{:}$

$Formula: \Delta s = \sqrt{e^{2} + (x + \dfrac{d}{2})^{2}} - \sqrt{e^{2} + (x - \dfrac{d}{2})^{2}}$ $Formula: \Delta s = \sqrt{e^{2} + (x + \dfrac{d}{2})^{2}} - \sqrt{e^{2} + (x - \dfrac{d}{2})^{2}}$

Begründe die Gültigkeit der angegebenen Gleichung für den Gangunterschied $Formula: \Delta s.$ $Formula: \Delta s.$

Bei einer Messung mit $Formula: e = 165,0\;\mathrm{mm}$ $Formula: e = 165,0\;\mathrm{mm}$ und $Formula: d = 50,0\;\mathrm{mm}$ $Formula: d = 50,0\;\mathrm{mm}$ wird der Detektor um $Formula: x = 95,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: x = 95,5\;\mathrm{mm}$ nach rechts verschoben. Dort liegt entweder ein Ort konstruktiver oder destruktiver Interferenz vor.

Entscheide mithilfe der Herstellerangabe $Formula: \lambda = 8,3\;\mathrm{mm},$ $Formula: \lambda = 8,3\;\mathrm{mm},$ welche Art von Interferenz vorliegt.

6 BE

Teilaufgabe 2: Leuchtmittel untersuchen

Bei Leuchtstofflampen befindet sich ein Gas in einem Glaskörper. Im Inneren wird das Gas zum Leuchten angeregt. Abbildung 5 zeigt in der linken Hälfte eine Leuchtstofflampe mit beschichtetem Leuchtstoff, die weiß leuchtet. In der rechten Hälfte ist der beschichtete Leuchtstoff entfernt worden, sodass der Bereich blau leuchtet.

Leuchte mit Röhre auf Gehäuse, Beschriftungen "leuchtet weiß" und "leuchtet blau"

Abbildung 5: Leuchtstofflampe mit beschichtetem Leuchtstoff (linke Hälfte) und ohne beschichteten Leuchtstoff (rechte Hälfte)

Quelle: verändert; Zugriff: 07.05.2026

Um das Spektrum einer Leuchtstofflampe im Verlauf der Aufgabe näher erläutern zu können, wird zunächst eine Leuchtstofflampe betrachtet, bei der der beschichtete Leuchtstoff entfernt wurde (vgl. Abbildung 5, rechte Hälfte).

Ein Ausschnitt des Spektrums einer Leuchtstofflampe ohne beschichteten Leuchtstoff ist in Abbildung 6 dargestellt.

Diagramm: Intensität vs. Wellenlänge mit Peaks bei UV, violett, blau, grün und gelb.

Abbildung 6: Ausschnitt des Spektrums einer Leuchtstofflampe ohne beschichteten Leuchtstoff

Erkläre, warum das Spektrum in Abbildung 6 diskrete Linien aufweist.

2 BE

Das Spektrum einer Lampe wird beispielsweise experimentell ermittelt, indem parallel einfallendes Licht der Lampe auf einen Doppelspalt gerichtet wird (vgl. Abbildung 7).

Doppelspalt-Skizze mit einfallendem Licht und Schirm

Abbildung 7: Paralleles Licht trifft auf einen Doppelspalt

Dabei bildet sich die spektrale Zusammensetzung auf dem Schirm ab. Für die Auswertung des Schirmbildes können näherungsweise folgende Formeln genutzt werden:

$Formula: \sin(\alpha_{n}) = n \cdot \dfrac{\lambda}{d}$ $Formula: \sin(\alpha_{n}) = n \cdot \dfrac{\lambda}{d}$

$Formula: \tan(\alpha_{n}) = \dfrac{a_{n}}{e}$ $Formula: \tan(\alpha_{n}) = \dfrac{a_{n}}{e}$

Dabei sind $Formula: \alpha_{n}$ $Formula: \alpha_{n}$ der Beugungswinkel, Formula: n die Ordnung, $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ die Wellenlänge, Formula: d der Abstand der Spaltmitten, $Formula: a_{n}$ $Formula: a_{n}$ der Abstand auf dem Schirm vom -ten Maximum zum nullten Maximum und Formula: e der Abstand vom Gitter zum Schirm.

Beschreibe, von welcher Näherung ausgegangen werden muss, damit die Formeln verwendet werden können.
Erkläre, dass sich die Formel $Formula: \sin(\alpha_{n}) = n \cdot \tfrac{\lambda}{d}$ $Formula: \sin(\alpha_{n}) = n \cdot \tfrac{\lambda}{d}$ auf die Lage von Maxima bezieht.

4 BE

Im Experiment sind $Formula: d = 0,10\;\mathrm{mm}$ $Formula: d = 0,10\;\mathrm{mm}$ und $Formula: e = 5,0\;\mathrm{m}.$ $Formula: e = 5,0\;\mathrm{m}.$ Folgende Tabelle zeigt Messdaten der 1. Ordnung sowie die damit bestimmten Wellenlängen $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

$Formula: \boldsymbol{a_1}$ $Formula: \boldsymbol{a_1}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$	$Formula: \boldsymbol{\lambda}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{nm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{nm}}$

Tabelle: Daten zum Experiment

Berechne den in der Tabelle fehlenden Wert für

Aus den Messdaten kann auf das Spektrum gemäß Abbildung 6 geschlossen werden, wenn ein Detektor eingesetzt wird. Das menschliche Auge wäre dafür ungeeignet.

Nenne zwei Gründe, warum bei dem beschriebenen Doppelspaltexperiment die Maxima mit einem Detektor und nicht mit dem Auge untersucht werden müssen, um auf das Spektrum gemäß Abbildung 6 schließen zu können.

5 BE

Bei einer Leuchtstofflampe ist das Glas mit einem Leuchtstoff beschichtet (vgl. linke Hälfte in Abbildung 5). Der Ausschnitt des Spektrums einer solchen Lampe ist links in Abbildung 8 dargestellt. Zur besseren Vergleichbarkeit ist rechts in Abbildung 8 der Ausschnitt des Spektrums einer Leuchtstofflampe ohne beschichteten Leuchtstoff (vgl. Abbildung 6) nochmals aufgeführt. Die Intensitätsachsen sind gleich skaliert.

Grafik: Intensität über Wellenlänge mit Spitzen bei UV, violett, blau, grün und gelb (300–700 nm)

Graph mit Intensitätspeaks bei UV, violett, blau, grün und gelb über der Wellenlängenachse (nm)

Abbildung 8: Ausschnitte der Spektren einer Leuchtstofflampe mit beschichtetem Leuchtstoff (links) und ohne beschichteten Leuchtstoff (rechts) mit gleich skalierten Intensitätsachsen in willkürlicher Einheit

Vergleiche die Spektren gemäß Abbildung 8.

Mit beschichtetem Leuchtstoff entsteht u. a. ein kontinuierlicher blauer Bereich.

Erläutere, warum die Abnahme der Intensität der grünen Linie bei $Formula: λ = 540 \;\text{nm}$ $Formula: λ = 540 \;\text{nm}$ nicht für die Entstehung des kontinuierlichen blauen Bereichs ursächlich sein kann.

Einem Leuchtmittel wird dann eine gute Farbwiedergabe zugesprochen, wenn dieses wie natürliches Tageslicht (= weißes Licht) wirkt.

Erkläre mithilfe von Abbildung 8, dass eine Leuchtstofflampe mit beschichtetem Leuchtstoff annähernd eine gute Farbwiedergabe aufweist.

8 BE

Ein möglicher Prozess, der die Veränderung des Spektrums durch den beschichteten Leuchtstoff mithilfe eines Energieniveauschemas erklärt, ist in Abbildung 9 dargestellt.

Energieniveaus E3, E2, E1 mit Kreiszuständen, Pfeilen für UV-Anregung links und roten bzw. gelben Emissionsübergängen

Abbildung 9: Energieniveauschema eines beliebigen Atoms des Leuchtstoffs

Erkläre Abbildung 9.

In Abbildung 9 ist u. a. ein rotes und ein gelbes Photon dargestellt. Für die Wellenlängen gelten dabei: $Formula: 640\;\mathrm{nm} \leq \lambda_{\mathrm{rot}} \leq 770\;\mathrm{nm}$ $Formula: 640\;\mathrm{nm} \leq \lambda_{\mathrm{rot}} \leq 770\;\mathrm{nm}$ bzw. $Formula: 570\;\mathrm{nm} \leq \lambda_{\mathrm{gelb}} \leq 600\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 570\;\mathrm{nm} \leq \lambda_{\mathrm{gelb}} \leq 600\;\mathrm{nm}.$

Zeige durch eine rechnerische Abschätzung, dass ein ultraviolettes Photon der Wellenlänge $Formula: \lambda = 360\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 360\;\mathrm{nm}$ den Prozess in Abbildung 9 nicht auslösen kann.

In Abbildung 8 treten im linken Spektrum gegenüber dem rechten Spektrum durch den beschichteten Leuchtstoff weitere Farben auf. Der Leuchtstoff beinhaltet dabei eine Vielzahl unterschiedlicher Atome bzw. Moleküle.

Erläutere die Anforderungen an das Energieniveauschema für den gesamten Leuchtstoff, damit weitere Farben auftreten können.

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Teilaufgabe 1: Wellenausbreitung

Erläutern der gleichen konstanten Wellenlängen und der synchronen Schwingung

Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Abstände zwischen benachbarten Wellenbergen (sowie Wellentälern) durchgehend konstant sind und bei den Wellen beider Erreger gleich ausfallen.

Um beide Erreger herum entstehen identische Wellenbilder. Das bedeutet, dass die Wellen bei gleichen Abständen zum jeweiligen Erreger stets denselben Schwingungszustand aufweisen.

Einzeichnen der Punkte

Zwei konzentrische Kreisfelder um E1 und E2 mit überlappenden Wellenfronten und zwei markierten Punkten P1 und P2

Der Punkt $Formula: P_{\mathrm{1}}$ $Formula: P_{\mathrm{1}}$ muss exakt auf dem Schnittpunkt zweier durchgezogener Linien liegen, während $Formula: P_{\mathrm{2}}$ $Formula: P_{\mathrm{2}}$ auf dem Schnittpunkt einer durchgezogenen und einer gepunkteten Linie platziert wird.

Begründung der Interferenz

In Punkt $Formula: P_{\mathrm{1}}$ $Formula: P_{\mathrm{1}}$ treffen zwei Wellenberge aufeinander. Aus dieser Überlagerung resultiert konstruktive Interferenz.

In Punkt $Formula: P_{\mathrm{2}}$ $Formula: P_{\mathrm{2}}$ trifft ein Wellenberg auf ein Wellental. Diese entgegengesetzten Auslenkungen führen zu einer destruktiven Interferenz.

Wellenlänge aus dem 1. Minimum und dem 4. Maximum

Das erste Minimum entsteht bei einem Gangunterschied ( $Formula: \Delta s= a$ $Formula: \Delta s= a$ ) von einer halben Wellenlänge. Aus $Formula: a = 4,0 \; \mathrm{mm}$ $Formula: a = 4,0 \; \mathrm{mm}$ folgt somit $Formula: \tfrac{\lambda}{2} = 4,0 \; \mathrm{mm}.$ $Formula: \tfrac{\lambda}{2} = 4,0 \; \mathrm{mm}.$ Daraus ergibt sich die Wellenlänge $Formula: \lambda = 8,0 \; \mathrm{mm}.$ $Formula: \lambda = 8,0 \; \mathrm{mm}.$

Das vierte Maximum liegt bei einem Gangunterschied von $Formula: 4 \cdot \lambda.$ $Formula: 4 \cdot \lambda.$ Es gilt also $Formula: 4 \cdot \lambda = 33,0 \; \mathrm{mm}.$ $Formula: 4 \cdot \lambda = 33,0 \; \mathrm{mm}.$ Unter Berücksichtigung der Messgenauigkeit resultiert daraus $Formula: \lambda = 8,3 \; \mathrm{mm}.$ $Formula: \lambda = 8,3 \; \mathrm{mm}.$

Einfluss der Messunsicherheiten

Die absolute Messunsicherheit bei der Längenbestimmung von Formula: a bleibt bei allen Messungen identisch. Bei größeren Messstrecken (wie beim 4. Maximum) fällt dieser konstante Fehler jedoch relativ betrachtet deutlich geringer ins Gewicht und beeinflusst das Endergebnis damit weniger stark.

Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit

Mit der Formel $Formula: v = \lambda \cdot f$ $Formula: v = \lambda \cdot f$ und den Herstellerangaben berechnet sich die Geschwindigkeit wie folgt: $Formula: v = 8,3 \; \mathrm{mm} \cdot 41 \; \mathrm{kHz} = 340 \; \mathrm{\frac{m}{s}}$ $Formula: v = 8,3 \; \mathrm{mm} \cdot 41 \; \mathrm{kHz} = 340 \; \mathrm{\frac{m}{s}}$

Nach dem Huygens'schen Prinzip dient jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für neue Elementarwellen. Dementsprechend fungieren die beiden engen Spalte als Erreger neuer, sich ausbreitender Kreiswellen. Diese Kreiswellen breiten sich in den Raum hinter dem Doppelspalt aus und interferieren dort miteinander.

Gültigkeit der Gleichung für den Gangunterschied

Die Entfernungen $Formula: s_{\mathrm{1}}$ $Formula: s_{\mathrm{1}}$ und $Formula: s_{\mathrm{2}}$ $Formula: s_{\mathrm{2}}$ vom jeweiligen Spalt zum Detektor Formula: D stellen die Hypotenusen in den rechtwinkligen Dreiecken in Abbildung 4 dar. Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras ergeben sich folgende Zusammenhänge:

$Formula: s_{\mathrm{1}}^2 = e^2 + (x + \frac{d}{2})^2$ $Formula: s_{\mathrm{1}}^2 = e^2 + (x + \frac{d}{2})^2$ sowie $Formula: s_{\mathrm{2}}^2 = e^2 + (x - \frac{d}{2})^2$ $Formula: s_{\mathrm{2}}^2 = e^2 + (x - \frac{d}{2})^2$

Der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ ist als Differenz dieser Strecken definiert ( $Formula: \Delta s = s_{\mathrm{1}} - s_{\mathrm{2}}$ $Formula: \Delta s = s_{\mathrm{1}} - s_{\mathrm{2}}$ ). Daraus folgt für den Gangunterschied in Punkt $Formula: D\text{:}$ $Formula: D\text{:}$

$Formula: \Delta s=s_1-s_2=\sqrt{e^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2}-\sqrt{e^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2}$ $Formula: \Delta s=s_1-s_2=\sqrt{e^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2}-\sqrt{e^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2}$

Entscheidung über die Art der Interferenz

Durch Einsetzen der gegebenen Messwerte in die Formel ergibt sich der Gangunterschied:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\mathit{\Delta} s & = & \sqrt{(165,0\; \mathrm{mm})^2 + (95,5\; \mathrm{mm} + \dfrac{50,0\; \mathrm{mm}}{2})^2} \\[5pt] &\phantom{=}&- \sqrt{(165,0\; \mathrm{mm})^2 + (95,5\; \mathrm{mm} - \dfrac{50,0\; \mathrm{mm}}{2})^2} \\[5pt] & = & 24,9\; \mathrm{mm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\mathit{\Delta} s & = & \sqrt{(165,0\; \mathrm{mm})^2 + (95,5\; \mathrm{mm} + \dfrac{50,0\; \mathrm{mm}}{2})^2} \\[5pt] &\phantom{=}&- \sqrt{(165,0\; \mathrm{mm})^2 + (95,5\; \mathrm{mm} - \dfrac{50,0\; \mathrm{mm}}{2})^2} \\[5pt] & = & 24,9\; \mathrm{mm}\end{array}$

Um die Interferenzart zu bestimmen, wird das Verhältnis aus Gangunterschied und Wellenlänge berechnet: $Formula: \frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{24,9 \; \mathrm{mm}}{8,3 \; \mathrm{mm}} = 3,0$ $Formula: \frac{\Delta s}{\lambda} = \frac{24,9 \; \mathrm{mm}}{8,3 \; \mathrm{mm}} = 3,0$

Da der Gangunterschied exakt dem Dreifachen der Wellenlänge entspricht ( $Formula: \Delta s = 3,0 \cdot \lambda$ $Formula: \Delta s = 3,0 \cdot \lambda$ ) und somit ein ganzzahliges Vielfaches von $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ ist, liegt am Ort des Detektors konstruktive Interferenz vor.

Teilaufgabe 2: Leuchtmittel untersuchen

Die Gasatome in der Leuchtstofflampe weisen diskrete Energieniveaus auf. Wenn Elektronen zwischen diesen Energieniveaus wechseln, emittieren sie Photonen diskreter Energien. Da jede Photonenenergie einer bestimmten Wellenlänge entspricht, resultiert daraus ein Spektrum mit einzelnen, diskreten Emissionslinien.

Verwendete Näherung

Es muss davon ausgegangen werden, dass der Abstand der Spaltmitten Formula: d sehr klein gegenüber der Entfernung Formula: e zum Schirm ist. Unter dieser Bedingung verlaufen die Lichtstrahlen, die von den beiden Spalten zu bestimmten Interferenzpunkten auf dem Schirm gelangen, annähernd parallel.

Begründung für Maxima

In der Gleichung $Formula: \sin(\alpha_{{n}}) = \tfrac{n \cdot \lambda}{d}$ $Formula: \sin(\alpha_{{n}}) = \tfrac{n \cdot \lambda}{d}$ entspricht der Term $Formula: n \cdot \lambda$ $Formula: n \cdot \lambda$ dem Gangunterschied $Formula: \Delta s.$ $Formula: \Delta s.$ Ein Gangunterschied, der ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist ( muss eine ganze Zahl sein), stellt die Bedingung für konstruktive Interferenz dar. Daher beschreibt diese Formel exakt die Positionen, an denen Helligkeitsmaxima entstehen.

Berechnung von $Formula: \boldsymbol{a_{\mathrm{1}}}$ $Formula: \boldsymbol{a_{\mathrm{1}}}$

Für die Wellenlänge $Formula: \lambda = 360 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 360 \; \mathrm{nm}$ und Formula: n = 1 wird zunächst der Beugungswinkel $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}$ ermittelt:

$Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = \sin^{-1}\left(\frac{1 \cdot 360 \; \mathrm{nm}}{0,10 \; \mathrm{mm}}\right) = 0,21^\circ$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = \sin^{-1}\left(\frac{1 \cdot 360 \; \mathrm{nm}}{0,10 \; \mathrm{mm}}\right) = 0,21^\circ$

Mit diesem Winkel lässt sich mit der Formel aus Teilaufgabe 2b) der Abstand auf dem Schirm berechnen:

$Formula: a_{\mathrm{1}} = \tan(\alpha_{\mathrm{1}}) \cdot e = \tan(0,21^\circ) \cdot 5,0 \; \mathrm{m} = 1,8 \; \mathrm{cm}$ $Formula: a_{\mathrm{1}} = \tan(\alpha_{\mathrm{1}}) \cdot e = \tan(0,21^\circ) \cdot 5,0 \; \mathrm{m} = 1,8 \; \mathrm{cm}$ .

Gründe für einen Detektor

Erstens enthält das Spektrum Wellenlängen im ultravioletten Bereich (UV), die für das menschliche Auge unsichtbar sind.
Zweitens lassen sich die unterschiedlichen Intensitäten der Linien mit dem bloßen Auge nicht quantitativ bestimmen oder vergleichen.

Vergleich der beiden Spektren

Beide Spektren weisen bei den Wellenlängen $Formula: 360 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 360 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 400 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 400 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 440 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 440 \; \mathrm{nm},$ $Formula: 540 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 540 \; \mathrm{nm}$ und $Formula: 580 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 580 \; \mathrm{nm}$ diskrete Linien auf. Durch die Beschichtung sind die Intensitäten dieser Linien (linkes Spektrum), besonders im Bereich kleiner Wellenlängen, jedoch deutlich reduziert. Die UV-Linie bei $Formula: \lambda = 320 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 320 \; \mathrm{nm}$ fehlt beim beschichteten Leuchtstoff komplett. Stattdessen wird das Linienspektrum der beschichteten Lampe von etwa $Formula: 430 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 430 \; \mathrm{nm}$ bis knapp über $Formula: 700 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 700 \; \mathrm{nm}$ von einem kontinuierlichen Bereich überlagert. Dadurch treten zusätzliche Farbbereiche wie Orange und Rot auf, die ohne Beschichtung nicht vorhanden sind.

Erläutern der Ursache für das blaue Kontinuum

Für den blauen Bereich können nur Photonen ursächlich sein, die energiereicher als die Photonen des blauen Bereichs sind. Es gilt, je größer die Wellenlänge, desto geringer ist die Energie der entsprechenden Photonen. Blaue Photonen haben eine kleinere Wellenlänge als grüne Photonen, somit sind blaue Photonen energiereicher als grüne Photonen. Dadurch können die blauen Photonen aber auch nicht aus einem Übergang durch die energieärmeren grünen Photonen mit $Formula: \lambda = 540 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 540 \; \mathrm{nm}$ hervorgehen. Die Abnahme der grünen Linie kann somit nicht die Ursache für das blaue Kontinuum sein.

Erklären der Farbwidergabe der beschichteten Lampe

Durch den kontinuierlichen Spektralbereich ähnelt das Licht der beschichteten Lampe in Ansätzen dem von natürlichem Tageslicht. Die Überlagerung der vielen verschiedenen Farbbereiche erzeugt für das Auge den Eindruck von weißem Licht, weshalb das Leuchtmittel eine annähernd gute Farbwiedergabe besitzt.

Erklärung des Energieniveauschemas

Das Diagramm zeigt drei diskrete Energieniveaus $Formula: E_{\mathrm{1}},$ $Formula: E_{\mathrm{1}},$ $Formula: E_{\mathrm{2}}$ $Formula: E_{\mathrm{2}}$ und $Formula: E_{\mathrm{3}}$ $Formula: E_{\mathrm{3}}$ eines beliebigen Atoms des Leuchtstoffs. Trifft ein UV-Photon auf das Atom, wird ein Elektron vom Grundzustand $Formula: E_{\mathrm{1}}$ $Formula: E_{\mathrm{1}}$ auf das angeregte Niveau $Formula: E_{\mathrm{3}}$ $Formula: E_{\mathrm{3}}$ angehoben. Bei der Rückkehr in den Grundzustand fällt das Elektron in zwei Stufen über das Zwischenniveau $Formula: E_{\mathrm{2}}$ $Formula: E_{\mathrm{2}}$ zurück. Bei diesen beiden Übergängen werden Photonen im sichtbaren Bereich emittiert. Zuerst ein energieärmeres rotes Photon und anschließend ein energiereicheres gelbes Photon.

Rechnerische Abschätzung

Für die Photonenenergie gilt $Formula: E = h \cdot \tfrac{c}{\lambda}.$ $Formula: E = h \cdot \tfrac{c}{\lambda}.$ Aus dem Energieerhaltungssatz folgt für den gesamten Prozess $Formula: E_{\mathrm{UV}} = E_{\mathrm{rot}} + E_{\mathrm{gelb}}.$ $Formula: E_{\mathrm{UV}} = E_{\mathrm{rot}} + E_{\mathrm{gelb}}.$ Durch Einsetzen der Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{UV}} & = & E_{\mathrm{rot}} + E_{\mathrm{gelb}} &\quad\scriptsize\mid\, E = h \cdot \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{UV}}} & = & h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{rot}}} + h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{h \cdot c} \\[5pt] \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} & = & \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{rot}}} + \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, - \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} \\[5pt] \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{rot}}} & = & \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} - \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kehrwert} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{rot}} & = & \dfrac{1}{\tfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} - \tfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{UV}} & = & E_{\mathrm{rot}} + E_{\mathrm{gelb}} &\quad\scriptsize\mid\, E = h \cdot \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{UV}}} & = & h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{rot}}} + h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{h \cdot c} \\[5pt] \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} & = & \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{rot}}} + \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, - \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} \\[5pt] \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{rot}}} & = & \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} - \dfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kehrwert} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{rot}} & = & \dfrac{1}{\tfrac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} - \tfrac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}}}\end{array}$

$Formula: \frac{1}{\lambda_{\mathrm{UV}}} = \frac{1}{\lambda_{\mathrm{rot}}} + \frac{1}{\lambda_{\mathrm{gelb}}}$

Mit $Formula: \lambda_{\mathrm{UV}} = 360 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{UV}} = 360 \; \mathrm{nm}$ und der größtmöglichen Wellenlänge für gelbes Licht $Formula: \lambda_{\mathrm{gelb}} = 600 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{gelb}} = 600 \; \mathrm{nm}$ lässt sich die fehlende Wellenlänge berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{\mathrm{rot}} & = & \dfrac{1}{\tfrac{1}{360\; \mathrm{nm}} - \tfrac{1}{600\; \mathrm{nm}}} \\[5pt] & = & 900\; \mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{\mathrm{rot}} & = & \dfrac{1}{\tfrac{1}{360\; \mathrm{nm}} - \tfrac{1}{600\; \mathrm{nm}}} \\[5pt] & = & 900\; \mathrm{nm}\end{array}$

Dieser Wert liegt weit außerhalb des sichtbaren roten Spektralbereichs (der bei etwa $Formula: 770 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 770 \; \mathrm{nm}$ endet). Ein UV-Photon mit $Formula: \lambda = 360 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 360 \; \mathrm{nm}$ hat also nicht genug Energie, um die Emission der dargestellten sichtbaren Photonen auszulösen.

Anforderungen an den Leuchtstoff

Damit ein kontinuierliches Spektrum mit vielen Farben entsteht, muss der Leuchtstoff einerseits ausreichend große Energiedifferenzen (wie zwischen $Formula: E_{\mathrm{1}}$ $Formula: E_{\mathrm{1}}$ und $Formula: E_{\mathrm{3}}$ $Formula: E_{\mathrm{3}}$ ) besitzen, um das UV-Licht weiterhin absorbieren zu können. Andererseits muss das Energieniveauschema eine Vielzahl unterschiedlicher Niveaus zwischen dem Grundzustand und dem höchsten angeregten Zustand aufweisen. Durch die vielen verschiedenen möglichen Übergänge entstehen unterschiedlichste Energiedifferenzen, wodurch Photonen in allen Farb- bzw. Wellenlängenbereichen emittiert werden.

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