HT 3 — Zum Verhalten von α-Strahlung

Teilaufgabe 1: Die Ablenkung von $Formula: \boldsymbol{α}$ $Formula: \boldsymbol{α}$ -Teilchen im magnetischen Feld

In einem magnetischen Feld werden $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen abgelenkt. Hier wird der Fall eines homogenen Feldes der Stärke Formula: B in einem evakuierten Raum betrachtet. Abbildung 1 zeigt schematisch den Verlauf der Bahnkurve eines $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens im Vergleich zu der eines $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ -Quants und der eines $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchens.

Abbildung 1: Schematische Darstellung der Bahnkurven

Erkläre qualitativ den Verlauf der drei Bahnkurven.

Die Formula: α - und Formula: β^− -Teilchen werden jeweils auf eine kreisförmige Bahnkurve abgelenkt.

Erläutere, dass sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit der Teilchen entlang ihrer Bahnkurven nicht ändert.
Begründe, dass sich die Teilchen jeweils auf einer kreisförmigen Bahnkurve bewegen.

8 BE

Der Radius Formula: r der Kreisbahn wird durch die Gleichung

$Formula: r=\frac{m \cdot v}{q \cdot B}$ $Formula: r=\frac{m \cdot v}{q \cdot B}$

bestimmt. Hierbei sind Formula: m die Masse und Formula: q die Ladung des Teilchens.

Leite die Gleichung für den Radius Formula: r her.

3 BE

Relativistisch wird die Geschwindigkeit Formula: v der $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen durch die Gleichung

$Formula: v = c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{E_{\alpha,0}}{E_{\alpha,0} + E_{\mathrm{kin}}} \right)^{2}}$ $Formula: v = c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{E_{\alpha,0}}{E_{\alpha,0} + E_{\mathrm{kin}}} \right)^{2}}$

bestimmt (ohne Nachweis). Hierbei ist $Formula: E_{\alpha,0} = m_{\alpha,0} \cdot c^{2}$ $Formula: E_{\alpha,0} = m_{\alpha,0} \cdot c^{2}$ die Ruheenergie des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens mit der Ruhemasse $Formula: m_{\alpha,0} = 6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_{\alpha,0} = 6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}$ und der Lichtgeschwindigkeit $Formula: c = 2,997925 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: c = 2,997925 \cdot 10^{8} \; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ im Vakuum.

Berechne die Ruheenergie $Formula: E_{\alpha,0}$ $Formula: E_{\alpha,0}$ des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens in der Einheit $Formula: \mathrm{MeV}.$ $Formula: \mathrm{MeV}.$

Hinweis: Für die Einheitenumrechnung ist $Formula: 1\;\mathrm{eV} = 1,602177 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}$ $Formula: 1\;\mathrm{eV} = 1,602177 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}$ zu verwenden.

Berechne die Geschwindigkeit eines $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens mit einer kinetischen Energie von $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ als Bruchteil von auf vier Nachkommastellen genau.

[Kontrollergebnis mit nur zwei Nachkommastellen: $Formula: v = 0,05 \cdot c$ $Formula: v = 0,05 \cdot c$ ]

5 BE

In guter Näherung kann die Geschwindigkeit des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens mit einer kinetischen Energie von $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ auch durch einen klassischen Ansatz bestimmt werden.

Begründe diese Aussage rechnerisch.

3 BE

Während ein $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen mit der Geschwindigkeit $Formula: v = 0,05 \cdot c$ $Formula: v = 0,05 \cdot c$ näherungsweise noch klassisch betrachtet werden kann, müssen bei einem $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchen, das häufig eine deutlich höhere Geschwindigkeit aufweist, relativistische Effekte berücksichtigt werden. So ist bei einer Geschwindigkeit von $Formula: v = 0,99 \cdot c$ $Formula: v = 0,99 \cdot c$ statt der Ruhemasse die dynamische Masse $Formula: m_{\beta^-} = 6,457 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m_{\beta^-} = 6,457 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{kg}$ des $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchens zu berücksichtigen.

Bestimme rechnerisch das Verhältnis $Formula: \tfrac{r_{\alpha}}{r_{\beta^{-}}}$ $Formula: \tfrac{r_{\alpha}}{r_{\beta^{-}}}$ der Bahnradien des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ - und des $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchens im selben magnetischen Feld.
Prüfe, ob das Ergebnis prinzipiell zu den in Abbildung 1 dargestellten Bahnkurven passt.

Hinweis: Es ist keine quantitative Auswertung von Abbildung 1 erforderlich.

5 BE

Teilaufgabe 2: Die Reichweite von $Formula: \boldsymbol{α}$ $Formula: \boldsymbol{α}$ -Teilchen

Abbildung 2 zeigt eine Fotoaufnahme von Spuren durch Formula: α -Teilchen in einer Nebelkammer.

Abbildung 2: Nebelkammeraufnahme

Quelle: verändert; Zugriff 05.05.2026

Der Formula: α -Strahler befindet sich hierbei in einem Behälter, der in Abbildung 2 weiß umrandet ist. Der Behälter ist nach oben offen, sodass die -Teilchen nach oben in die Nebelkammer gelangen.

Eine Nebelkammer ist meist mit einem übersättigten Gasgemisch aus Luft und Alkohol gefüllt. Wenn ein Formula: α -Teilchen dieses Gemisch durchquert, erzeugt es durch Stoßionisation zahlreiche Ionen, die für die Bildung feinster Tröpfchen sorgen. In ihrer Gesamtheit bilden diese Tröpfchen eine sichtbare Spur je -Teilchen. In Abbildung 2 ist eine solche Spur jeweils als helle Linie zu erkennen.

Beschreibe die Aufnahme in Abbildung 2 im Wesentlichen.

Erläutere anhand von Abbildung 2, dass die -Teilchen mit jeweils gleicher kinetischer Energie ausgesendet werden.

5 BE

Ein Americium-241-Präparat ( $Formula: \text{Am-}241$ $Formula: \text{Am-}241$ ) sendet $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen mit einer kinetischen Energie von $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV}$ aus.

Ermittle für $Formula: \text{Am-}241$ $Formula: \text{Am-}241$ anhand der Nuklidkarte die ersten drei Tochternuklide für den jeweils häufigsten Zerfallszweig und das stabile Endnuklid der Zerfallsreihe (Angabe der Zerfallsarten sowie der Massen- und Ordnungszahlen).
Begründe qualitativ anhand der in der Zerfallsreihe auftretenden Halbwertszeiten, dass die $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ - und $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ -Zerfälle der Tochterkerne fast keinen Beitrag zur Gesamtaktivität eines $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ Präparats leisten.

Das $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ Präparat emittiert in Folge des Formula: α -Zerfalls auch Formula: γ -Strahlung.

Erläutere die Entstehung der -Strahlung.

8 BE

Bei der Bewegung in Luft ist die kinetische Energie $Formula: E_\text{kin}$ $Formula: E_\text{kin}$ der Formula: α -Teilchen von der zurückgelegten Wegstrecke Formula: x abhängig. In Abbildung 3 ist eine Modellierung dieser Abhängigkeit für die -Teilchen aus dem Zerfall von $Formula: \text{Am-}241$ $Formula: \text{Am-}241$ dargestellt.

Kinetische Energie der alpha-Teilchen in Luft

Abbildung 3: Kinetische Energie der $Formula: \small{α}$ $Formula: \small{α}$ -Teilchen in Luft

Gib anhand von Abbildung 3 den theoretischen Wert für die Reichweite Formula: R der Formula: α -Teilchen in Luft an.

2 BE

Die Reichweite der $Formula: α\text{-}$ $Formula: α\text{-}$ Teilchen des $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ $Formula: \text{Am-}241\text{-}$ Präparats wird mithilfe eines Geiger-Müller-Zählrohrs bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 4 dargestellt.

Abbildung 4: Versuchsaufbau: links das radioaktive Präparat, rechts das Zählrohr und dazwischen ein Stück Papier als Absorber

Hierbei werden die Zählraten Formula: Z der vom Präparat ausgehenden Strahlung in unterschiedlichen Abständen Formula: d zwischen Präparat und Zählrohr gemessen. Die Messung wird zunächst ohne und dann mit einem Absorber in Form eines Stücks Papier durchgeführt. Das Papier deckt das Austrittsfenster des Präparats vollständig in Richtung Zählrohr ab.

Abbildung 5 zeigt in einem $Formula: d\text{-}Z\text{-}$ $Formula: d\text{-}Z\text{-}$ Diagramm für beide Messungen jeweils die Messpunkte unter Berücksichtigung der Nullrate sowie eine Ausgleichskurve.

Diagramm: Z (Impulse/60s) vs d (mm), fallende Kurven mit Messpunkten, zwei Datensätze (1 und 2)

Abbildung 5: Zählraten ohne und mit Absorber

Die ebenfalls emittierte $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ -Strahlung wird auch vom Zählrohr gemessen

Entscheide, welche der Ausgleichskurven 1 und 2 in Abbildung 5 jeweils der Messung ohne den bzw. mit dem Absorber zuzuordnen ist.
Erkläre, wie sich anhand der beiden Messungen Zählraten nur für die -Strahlung und damit dann die Reichweite der -Teilchen ermitteln lassen.

5 BE

Um die Reichweite experimentell genauer ermitteln zu können, sind in Abbildung 6 die Zählraten Formula: Z_α bei jeweils längerer Messzeit für Abstände Formula: d unterhalb des theoretisch erwarteten Wertes für die Reichweite Formula: R dargestellt.

Abbildung 6: Zählraten für die $Formula: \small{α}$ $Formula: \small{α}$ -Strahlung

Im dargestellten Bereich lässt sich die Zählrate $Formula: Z_{\alpha}$ $Formula: Z_{\alpha}$ in Abhängigkeit vom Abstand Formula: d linear nähern. Das Diagramm enthält daher eine Ausgleichsgerade und die zugehörige Geradengleichung.

Bestimme anhand der Gleichung in Abbildung 6 rechnerisch den Wert $Formula: R_{\mathrm{exp}}$ $Formula: R_{\mathrm{exp}}$ für die Reichweite der $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen in Luft.

2 BE

Die Vorschriften bezüglich des Umgangs mit radioaktiven Präparaten wurden im Laufe der Zeit immer weiter verschärft. Bei bestimmungsgemäßem Gebrauch eines Präparats ist das Gefährdungspotenzial für den Menschen durch das darin befindliche $Formula: \text{Am-}241$ $Formula: \text{Am-}241$ recht gering. Allerdings ist eine fachgerechte Entsorgung nach dem Gebrauch notwendig.

Erläutere die Aussagen der letzten beiden Sätze im Hinblick auf die emittierte Formula: α -Strahlung.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Teilaufgabe 1: Die Ablenkung von $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ -Teilchen im magnetischen Feld

Qualitative Erklärung der Bahnkurven

Auf das positiv geladene $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen wirkt die Lorentzkraft. Gemäß der Drei-Finger-Regel der rechten Hand zeigt diese Kraft nach oben, weshalb das Teilchen nach oben abgelenkt wird.

Das $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ -Quant besitzt keine elektrische Ladung und erfährt somit keine Kraft und wird damit auch nicht abgelenkt.

Auf das negativ geladene $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchen wirkt die Lorentzkraft gemäß der Drei-Finger-Regel der linken Hand nach unten, somit wird das Teilchen nach unten abgelenkt.

Konstanter Betrag der Bahngeschwindigkeit

Die Lorentzkraft $Formula: \vec{F_{\mathrm{L}}}$ $Formula: \vec{F_{\mathrm{L}}}$ wirkt stets senkrecht zur aktuellen Bewegungsrichtung der Teilchen. Da die Kraft senkrecht zur Flugbahn wirkt, verrichtet sie keine Arbeit zur Beschleunigung oder Abbremsung, weshalb sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit Formula: v nicht ändert.

Kreisförmige Bahnkurve

Da sowohl die Geschwindigkeit Formula: v als auch das homogene Magnetfeld Formula: B konstant bleiben, ist der Betrag der Lorentzkraft $Formula: F_{\mathrm{L}} = q \cdot v \cdot B$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = q \cdot v \cdot B$ ebenfalls konstant. Außerdem wirkt sie stets senkrecht zur aktuellen Bewegungsrichtung der Teilchen. Somit wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und zwingt die Teilchen folglich auf eine Kreisbahn.

Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft. Daraus ergibt sich der folgende Kraftansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Z}} & = & F_{\mathrm{L}}\\[5pt]m \cdot \dfrac{v^2}{r} & = & q \cdot v \cdot B & \quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{q \cdot v \cdot B}\\[5pt]r & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Z}} & = & F_{\mathrm{L}}\\[5pt]m \cdot \dfrac{v^2}{r} & = & q \cdot v \cdot B & \quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{q \cdot v \cdot B}\\[5pt]r & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}\end{array}$

Das entspricht der gesuchten Beziehung.

Berechnung der Ruheenergie $Formula: \boldsymbol{E_{\mathrm{\alpha,0}}}$ $Formula: \boldsymbol{E_{\mathrm{\alpha,0}}}$

Mit der Ruhemasse $Formula: m_{\mathrm{\alpha,0}}$ $Formula: m_{\mathrm{\alpha,0}}$ und der Lichtgeschwindigkeit Formula: c ergibt sich die Ruheenergie in der Einheit Joule zunächst wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\alpha,0} & = & m_{\alpha,0} \cdot c^2\\[5pt] & = & 6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot \left(2,997925 \cdot 10^8\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2\\[5pt]& = & 5,9719 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{J}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\alpha,0} & = & m_{\alpha,0} \cdot c^2\\[5pt] & = & 6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot \left(2,997925 \cdot 10^8\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2\\[5pt]& = & 5,9719 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{J}\end{array}$

Die Umrechnung in die Einheit $Formula: \mathrm{MeV}$ $Formula: \mathrm{MeV}$ liefert den gesuchten Wert:

$Formula: E_{\mathrm{\alpha,0}} = \frac{5,9719 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{J}}{1,602177 \cdot 10^{-13}\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{MeV}}} = 3727,4\;\mathrm{MeV}$ $Formula: E_{\mathrm{\alpha,0}} = \frac{5,9719 \cdot 10^{-10}\;\mathrm{J}}{1,602177 \cdot 10^{-13}\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{MeV}}} = 3727,4\;\mathrm{MeV}$

Berechnung der Geschwindigkeit $Formula: \boldsymbol{v}$ $Formula: \boldsymbol{v}$

Die gegebene kinetische Energie beträgt $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV} = 5,5\;\mathrm{MeV}.$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = 5500\;\mathrm{keV} = 5,5\;\mathrm{MeV}.$ Das Einsetzen der Energien in die relativistische Formel ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{E_{\alpha,0}}{E_{\alpha,0} + E_{\text{kin}}} \right)^{2}} \\[5pt] & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{3727,4\;\text{MeV}}{3727,4\;\text{MeV} + 5,5\;\text{MeV}} \right)^{2}} \\[5pt] & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{3727,4\;\text{MeV}}{3732,9\;\text{MeV}} \right)^{2}} = 0,0543 \cdot c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{E_{\alpha,0}}{E_{\alpha,0} + E_{\text{kin}}} \right)^{2}} \\[5pt] & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{3727,4\;\text{MeV}}{3727,4\;\text{MeV} + 5,5\;\text{MeV}} \right)^{2}} \\[5pt] & = & c \cdot \sqrt{1 - \left( \dfrac{3727,4\;\text{MeV}}{3732,9\;\text{MeV}} \right)^{2}} = 0,0543 \cdot c \end{array}$

Unter Verwendung des klassischen Energieansatzes ( $Formula: E_{\mathrm{kin}} = \tfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{\alpha,0}} \cdot v^2$ $Formula: E_{\mathrm{kin}} = \tfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{\alpha,0}} \cdot v^2$ ) ergibt sich durch Umformen nach der Geschwindigkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha,0} \cdot v^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{m_{\alpha,0}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot E_{\text{kin}}}{m_{\alpha,0}} & = & v^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\text{kin}}}{m_{\alpha,0}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m_{\alpha,0} \cdot v^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{m_{\alpha,0}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot E_{\text{kin}}}{m_{\alpha,0}} & = & v^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\text{kin}}}{m_{\alpha,0}}} \end{array}$

Einsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 5,5\;\text{MeV} \cdot 1,60218 \cdot 10^{-13}\;\tfrac{\text{J}}{\text{MeV}}}{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\text{kg}}} \\[5pt] & = & \sqrt{\dfrac{1,762398 \cdot 10^{-12}\;\text{J}}{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\text{kg}}} \\[5pt] & \approx & 1,6286 \cdot 10^{7}\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 0,0543 \cdot c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 5,5\;\text{MeV} \cdot 1,60218 \cdot 10^{-13}\;\tfrac{\text{J}}{\text{MeV}}}{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\text{kg}}} \\[5pt] & = & \sqrt{\dfrac{1,762398 \cdot 10^{-12}\;\text{J}}{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\text{kg}}} \\[5pt] & \approx & 1,6286 \cdot 10^{7}\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 0,0543 \cdot c \end{array}$

Mit der klassischen Rechnung, ergibt sich bei vier Nachkommastellen der identische Wert von $Formula: v = 0,0543 \cdot c.$ $Formula: v = 0,0543 \cdot c.$ Somit ist eine rein klassische Betrachtung im Rahmen der Genauigkeit für diese Energie ausreichend genau.

Berechnung des Verhältnisses

Mithilfe der Formel aus Teilaufgabe 1b) ergibt sich für die beiden Radien:

$Formula: r_\alpha = \dfrac{m_\alpha \cdot v_\alpha}{q_\alpha \cdot B}$ $Formula: r_\alpha = \dfrac{m_\alpha \cdot v_\alpha}{q_\alpha \cdot B}$ und $Formula: r_{\beta^-}= \dfrac{m_{\beta^-} \cdot v_{\beta^-} }{q_{\beta^-} \cdot B}$ $Formula: r_{\beta^-}= \dfrac{m_{\beta^-} \cdot v_{\beta^-} }{q_{\beta^-} \cdot B}$

Für das Verhältnis der Bahnradien ergibt sich somit:

$Formula: \dfrac{r_{\alpha}}{r_{\beta^{-}}} = \dfrac{\tfrac{m_{\alpha} \cdot v_{\alpha}}{q_{\alpha} \cdot B}}{\tfrac{m_{\beta^{-}} \cdot v_{\beta^{-}}}{q_{\beta^{-}} \cdot B}}=\dfrac{\tfrac{m_{\alpha} \cdot v_{\alpha}}{q_{\alpha}}}{\tfrac{m_{\beta^{-}} \cdot v_{\beta^{-}}}{q_{\beta^{-}} }}$ $Formula: \dfrac{r_{\alpha}}{r_{\beta^{-}}} = \dfrac{\tfrac{m_{\alpha} \cdot v_{\alpha}}{q_{\alpha} \cdot B}}{\tfrac{m_{\beta^{-}} \cdot v_{\beta^{-}}}{q_{\beta^{-}} \cdot B}}=\dfrac{\tfrac{m_{\alpha} \cdot v_{\alpha}}{q_{\alpha}}}{\tfrac{m_{\beta^{-}} \cdot v_{\beta^{-}}}{q_{\beta^{-}} }}$

Da das $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen die doppelte Elementarladung und das $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchen die einfache Elementarladung trägt ( $Formula: q_{\mathrm{\alpha}} = 2e$ $Formula: q_{\mathrm{\alpha}} = 2e$ und $Formula: q_{\mathrm{\beta^-}} = e$ $Formula: q_{\mathrm{\beta^-}} = e$ ), vereinfacht sich der Bruch zu:

$Formula: \frac{r_{\mathrm{\alpha}}}{r_{\mathrm{\beta^-}}} = \frac{m_{\mathrm{\alpha}} \cdot v_{\mathrm{\alpha}}}{2 \cdot m_{\mathrm{\beta^-}} \cdot v_{\mathrm{\beta^-}}}$ $Formula: \frac{r_{\mathrm{\alpha}}}{r_{\mathrm{\beta^-}}} = \frac{m_{\mathrm{\alpha}} \cdot v_{\mathrm{\alpha}}}{2 \cdot m_{\mathrm{\beta^-}} \cdot v_{\mathrm{\beta^-}}}$

Für das $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen wird die klassische Ruhemasse $Formula: m_{\mathrm{\alpha,0}}$ $Formula: m_{\mathrm{\alpha,0}}$ verwendet, für das sehr schnelle $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchen die dynamische Masse $Formula: m_{\mathrm{\beta^-}}.$ $Formula: m_{\mathrm{\beta^-}}.$ Mit den Geschwindigkeiten ( $Formula: v_{\mathrm{\alpha}} = 0,05 \cdot c$ $Formula: v_{\mathrm{\alpha}} = 0,05 \cdot c$ und $Formula: v_{\mathrm{\beta^-}} = 0,99 \cdot c$ $Formula: v_{\mathrm{\beta^-}} = 0,99 \cdot c$ ) folgt durch Einsetzen:

$Formula: \frac{r_{\mathrm{\alpha}}}{r_{\mathrm{\beta^-}}} = \frac{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 0,05 \cdot c}{2 \cdot 6,457 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{kg} \cdot 0,99 \cdot c} \approx 26$ $Formula: \frac{r_{\mathrm{\alpha}}}{r_{\mathrm{\beta^-}}} = \frac{6,64466 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 0,05 \cdot c}{2 \cdot 6,457 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{kg} \cdot 0,99 \cdot c} \approx 26$

Prüfung der Abbildung

Das berechnete Ergebnis bedeutet, dass der Radius des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens etwa 26-mal so groß ist wie der Radius des $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchens. Das passt prinzipiell zu den Kurven in Abbildung 1, da die Bahnkurve des $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens dort erkennbar wesentlich flacher (größerer Krümmungsradius) verläuft als die stärker gekrümmte Bahn des $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$ -Teilchens.

Teilaufgabe 2: Die Reichweite von $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ $Formula: \boldsymbol{\alpha}$ -Teilchen

Beschreiben der Aufnahme

Auf der Aufnahme sind zahlreiche Spuren oberhalb des Behälters erkennbar, die sich relativ gleichverteilt über einen bestimmten Winkelbereich ausbreiten. Abgesehen von geringfügigen Schwankungen weisen alle sichtbaren Spuren dieselbe Länge auf.

Begründung für die gleiche kinetische Energie

Jede dieser Spuren veranschaulicht die Bahn eines einzelnen $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchens, dessen kinetische Energie sich durch fortlaufende Stöße mit den Luft- und Alkoholteilchen in der Nebelkammer allmählich verringert. Da die Spuren (bis auf minimale stochastische Abweichungen) alle die gleiche Länge aufweisen, lässt sich darauf schließen, dass jedes $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen mit der exakt gleichen kinetischen Energie emittiert wird.

Ermitteln der Zerfallsreihe von Americium-241

Aus der Nuklidkarte lassen sich die ersten drei Tochternuklide für den häufigsten Zerfallszweig sowie das stabile Endnuklid ablesen:

$Formula: ^{241}_{95}\mathrm{Am} \xrightarrow{\alpha} {}^{237}_{93}\mathrm{Np} \xrightarrow{\alpha} {}^{233}_{91}\mathrm{Pa} \xrightarrow{\beta^-} {}^{233}_{92}\mathrm{U} \rightarrow \dots \xrightarrow {}^{209}_{83}\mathrm{Bi}$ $Formula: ^{241}_{95}\mathrm{Am} \xrightarrow{\alpha} {}^{237}_{93}\mathrm{Np} \xrightarrow{\alpha} {}^{233}_{91}\mathrm{Pa} \xrightarrow{\beta^-} {}^{233}_{92}\mathrm{U} \rightarrow \dots \xrightarrow {}^{209}_{83}\mathrm{Bi}$

Hinweis: Bismut-209 ist hier als Endnuklid aufgeführt, zerfällt jedoch theoretisch über einen weiteren $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Prozess mit einer extrem langen Halbwertszeit von $Formula: T_{\mathrm{H}} = 1,9 \cdot 10^{19}\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 1,9 \cdot 10^{19}\;\mathrm{a}$ weiter. Daher ist auch die Angabe von Thallium-205 ( $Formula: {}^{205}_{81}\mathrm{Tl}$ $Formula: {}^{205}_{81}\mathrm{Tl}$ ) als stabiles Endnuklid korrekt.

Qualitativ Begründen des Beitrags zur Gesamtaktivität

Americium-241 zerfällt durch einen $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Zerfall mit einer Halbwertszeit von $Formula: T_{\mathrm{H}} = 432,2\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 432,2\;\mathrm{a}$ zu Neptunium-237. Das entstandene Neptunium-237 zerfällt anschließend weiter zu Protactinium-233. Für diesen zweiten Schritt beträgt die Halbwertszeit jedoch $Formula: T_{\mathrm{H}} = 2,144 \cdot 10^6\;\mathrm{a}.$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 2,144 \cdot 10^6\;\mathrm{a}.$

Werden diese beiden Werte verglichen, fällt die zweite Halbwertszeit extrem viel größer aus. Aufgrund dieser enormen Zeitspanne finden die nachfolgenden Zerfallsprozesse in jedem praxisrelevanten Beobachtungszeitraum so selten statt, dass sie kaum messbare Strahlung erzeugen. Folglich leisten die weiteren Zerfälle fast keinen Beitrag zur Gesamtaktivität des Präparats und sind zu vernachlässigen.

Entstehung der $Formula: \boldsymbol{\gamma}$ $Formula: \boldsymbol{\gamma}$ -Strahlung

Direkt nach dem $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Zerfall von Americium-241 befindet sich der neu entstandene Atomkern des Neptunium-237 zunächst in einem energetisch angeregten Zustand. Um in den stabileren Grundzustand überzugehen, gibt der Kern diese überschüssige Energie ab. Dies geschieht durch die Emission von $Formula: \gamma\text{-}$ $Formula: \gamma\text{-}$ Strahlung.

Die Reichweite Formula: R entspricht genau der Wegstrecke, bei der die kinetische Energie null beträgt. Ein Ablesen dieses Punktes auf der Formula: x -Achse des Diagramms liefert den Wert $Formula: R = 3,7\;\mathrm{cm}.$ $Formula: R = 3,7\;\mathrm{cm}.$

Zuordnung der Ausgleichskurven

Die Ausgleichskurve 1 gehört zur Messung ohne Absorber, da das Zählrohr in diesem Fall sowohl die $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ als auch die $Formula: \gamma\text{-}$ $Formula: \gamma\text{-}$ Strahlung erfasst.
Sobald das Stück Papier als Absorber in den Aufbau eingefügt wird, blockiert dieses die $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Strahlung vollständig. Daher zeigt die Ausgleichskurve 2 ausschließlich die noch verbleibende $Formula: \gamma\text{-}$ $Formula: \gamma\text{-}$ Strahlung.

Ermittlung der Zählraten $Formula: \boldsymbol{Z_{\mathrm{\alpha}}}$ $Formula: \boldsymbol{Z_{\mathrm{\alpha}}}$ und der Reichweite

Die Zählrate $Formula: Z_{\mathrm{\alpha}}$ $Formula: Z_{\mathrm{\alpha}}$ der reinen $Formula: \alpha\text{-}$ $Formula: \alpha\text{-}$ Strahlung ergibt sich für jeden Abstand Formula: d aus der Differenz der zugehörigen Werte der beiden Ausgleichskurven. Um die Reichweite zu ermitteln, lässt sich der Schnittpunkt der beiden Ausgleichskurven im Diagramm betrachten. Die zugehörige -Koordinate dieses Schnittpunktes entspricht der Reichweite.

Alternativ lassen sich die berechneten Differenzwerte $Formula: Z_{\mathrm{\alpha}}$ $Formula: Z_{\mathrm{\alpha}}$ in einem neuen Diagramm gegen den Abstand Formula: d auftragen; der Schnittpunkt der entstehenden Kurve mit der -Achse liefert dann ebenfalls die Reichweite.

Der experimentelle Wert $Formula: R_{\mathrm{exp}}$ $Formula: R_{\mathrm{exp}}$ entspricht der Nullstelle der angegebenen linearen Ausgleichsgeraden. Durch Nullsetzen der Geradengleichung und anschließendes Umformen nach dem Abstand Formula: d ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}0 & = & -16,5 \cdot d + 610 &\quad\scriptsize\mid\, + 16,5 \cdot d \\[5pt] 16,5 \cdot d & = & 610 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{16,5} \\[5pt] d & = & \dfrac{610}{16,5}\approx 37 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}0 & = & -16,5 \cdot d + 610 &\quad\scriptsize\mid\, + 16,5 \cdot d \\[5pt] 16,5 \cdot d & = & 610 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{16,5} \\[5pt] d & = & \dfrac{610}{16,5}\approx 37 \end{array}$

$Formula: 0 = -16,5 \cdot d + 610$

Die Maßeinheit ist Millimeter, somit folgt $Formula: R_{\mathrm{exp}} \approx 37\;\mathrm{mm},$ $Formula: R_{\mathrm{exp}} \approx 37\;\mathrm{mm},$ was exakt mit dem theoretischen Wert von $Formula: 3,7\;\mathrm{cm}$ $Formula: 3,7\;\mathrm{cm}$ übereinstimmt.

Gefährdungspotenzial: Bei ordnungsgemäßer Handhabung und einem unbeschädigten Präparat ist eine Gefährdung durch die $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Strahlung nahezu ausgeschlossen. Das liegt an der sehr geringen Reichweite und der leichten Abschirmbarkeit der $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ -Teilchen, wodurch diese bei Einhaltung eines ausreichenden Abstands und guter Abschirmung den menschlichen Körper überhaupt nicht erreichen.
Notwendigkeit der Entsorgung: Eine strikte und überwachte Entsorgung bleibt dennoch zwingend erforderlich. Dadurch wird zuverlässig verhindert, dass radioaktives Americium-241 unkontrolliert in die Umwelt austritt oder Personen in direkten, schädigenden Kontakt mit dem Material gelangen.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?