Teil B – Bewegungen, Optik

Bewegungen

Die Bewegungen zweier gleicher Kugeln werden betrachtet. Beide Kugeln werden als Massepunkte betrachtet. Reibungseinflüsse werden vernachlässigt.

sachsen physik abi gk 2022 teil b abbildung 1 bewegung zweier kugeln

1.1

Kugel 1 bewegt sich geradlinig auf einer waagerechten Schiene. Zum Zeitpunkt $t=0$ verlässt die Kugel am Ort $A (0 \mid 1,50\,\text m )$ die Schiene mit der Geschwindigkeit $2,00\,\text m \cdot \text s ^{-1}$ . Sie durchläuft den Punkt $B\left(0,80\,\text m \mid y_B\right)$ und trifft zum Zeitpunkt $t_C$ im Punkt $C \left(x_C \mid 0\right)$ auf der Unterlage auf.

1.1.1

Ermittle die Koordinaten $y_B$ und $x_C$ .

Trage die Punkte $A,$ $B$ und $C$ in ein Koordinatensystem ein und zeichne die Wurfparabel für Kugel 1 ein.

Erreichbare BE-Anzahl: 06

1.1.2

Ermittle den Betrag der Auftreffgeschwindigkeit für Kugel 1.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.2

Kugel 2 befindet sich am Ort $D (0,80\,\text m \mid 1,50 \,\text m )$ an dem Haltemagnet.

1.2.1

Der waagerechte Wurf wird wiederholt. Gib an, zu welchem Zeitpunkt der Haltemagnet Kugel 2 freigeben muss, so dass beide Kugeln gleichzeitig den Ort $B$ durchlaufen. Begründe unter Nutzung des Superpositionsprinzips.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.2.2

Berechne den Zeitpunkt $t_{ B }$ , zu dem beide Kugeln den Ort $B$ durchlaufen.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Optik

Ein gerades Prisma mit rechtwinkligem Dreieck als Grundfläche besteht aus Glas der Brechzahl 1,46. Ein schmales, paralleles Bündel monochromatischen Lichts trifft aus Luft kommend senkrecht auf eine Seitenfläche des Prismas.

Die nachfolgende Abbildung zeigt das Prinzip.

sachsen physik abi gk 2022 teil b abbildung 2 prinzip der optik

2.1

Das Lichtbündel durchläuft das Prisma und tritt wieder in Luft aus.

2.1.1

Die Brechung von Licht lässt sich mit dem Huygens'schen Prinzip erklären. Nenne Grundaussagen dieses Prinzips.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.1.2

Berechne die Geschwindigkeit, mit der sich das Licht im Glas ausbreitet.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.1.3

Übernimm die Abbildung maßstäblich. Zeichne den weiteren Verlauf des Lichtwegs ein. Gib deinen Lösungsweg einschließlich aller erforderlichen Berechnungen an.

Erreichbare BE-Anzahl: 06

2.2

Eine Glühlampe sendet weißes Licht aus, dieses enthält alle Wellenlängen im Intervall $390\,\text{nm} \leq \lambda \leq 780 \,\text{nm}.$ Ein schmales paralleles Bündel dieses Lichts fällt senkrecht auf ein optisches Gitter der Gitterkonstante $3,00 \,\mu \text m$ . Im Abstand $0,80\,\text m$ ist parallel zur Gitterebene ein Schirm angeordnet, auf dem links und rechts neben einem schmalen weißen Streifen jeweils ein Band kontinuierlich verteilter Spektralfarben zu sehen ist. Beide Farbbänder sind symmetrisch zum weißen Streifen angeordnet.

2.2.1

Erkläre die spektrale Zerlegung des weißen Lichts für das beschriebene Experiment.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

2.2.2

Berechne die Breite eines der Farbbänder.

Erreichbare BE-Anzahl: 04

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1.1.1

Die Bewegung der Kugel 1 lässt sich in zwei Bewegungen aufteilen:

gleichförmige Bewegung in $x$ -Richtung: $s_x= v_x\cdot t$
gleichmäßig beschleunigte Bewegung in $y$ -Richtung: $s_y= -\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+h$

Bestimmung der $y_B$ -Koordinate

Gegeben: $x_B=0,80 \,\text{m},$ $v_x=2,00 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}},$ $h=1,50 \,\text{m},$ $g=9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Gesucht: $y_B$

Lösung:

1. Schritt: Zeit $\boldsymbol{t_B}$ bestimmen, in der Kugel den Punkt B durchläuft

In $x$ -Richtung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_B&=& v_x\cdot t_B &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{v_x}\\[5pt] \dfrac{x_B}{v_x}&=& t_B &\quad \scriptsize \\[5pt] t_B &=&\dfrac{x_B}{v_x} &\quad \scriptsize \\[5pt] t_B &=&\dfrac{0,80 \,\text{m}}{2,00 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] t_B &=& 0,4 \;\text{s} \end{array}$

2. Schritt: Ortskoordinate $y_B$ bestimmen

Einsetzen von $t_B$ in die Ortsgleichung für die Bewegung in $y$ -Richtung liefert $y_B:$

$y_B = -\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t_B^2+h$

Einsetzen der Werte:

$\begin{array}[t]{rll} y(t_B)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0,4 \;\text{s})^2+1,50 \,\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,7152 \,\text{m} \end{array}$

Bestimmung der $x_C$ Koordinate

Gegeben: $y_C=0 \,\text{m},$ $v_x=2,00 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}},$ $h=1,50 \,\text{m},$ $g=9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Gesucht: $x_C$

Lösung:

1. Schritt: Zeitpunkt $t_C$ bestimmen

Rechenweg anzeigen

$t_C=\sqrt{\dfrac{2\cdot h}{g}}$

Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} t_C&=&\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,5\;\text{m}}{9,81 \;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \\[5pt] t_C&\approx& 0,56 \;\text{s} \end{array}$

2. Schritt: $t_C$ in die Ortsgleichung für die Bewegung in $x$ -Richtung einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} x_C&=& v_x \cdot t_C &\quad \scriptsize \\[5pt] x_C&=& 2,00 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0,56 \;\text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,1 \,\text{m} \end{array}$

1.1.2

Gegeben: $v_x=2,00 \,\frac{\text{m}}{\text{s}},$ $h=1,50 \,\text{m},$ $t_C \approx 0,56 \;\text{s}$

Gesucht: $v$

Lösung: Der Betrag der Auftreffgeschwindigkeit $v$ kann aus den Geschwindigkeitskomponenten $v_x$ und $v_y$ berechnet werden. Diese ergänzen sich zu einem rechtwinkligen Dreieck für das mit dem Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} v^2&=& v_x^2+v_y^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] v&=&\sqrt{v_x^2+v_y^2} \end{array}$

Die Geschwindigkeit $v_x$ in $x$ -Richtung entpricht der Anfangsgeschwindigkeit und ist konstant.

Für die Geschwindigkeit $v_y$ in $y$ -Richtung gilt zum Zeitpunkt des Auftreffens $t_C$ gilt:

$v_y= -g \cdot t_C$

Einsetzen in die Gleichung für die Auftreffgeschwindigkeit $v$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\sqrt{v_x^2+v_y^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{v_x^2+\left(-g \cdot t_C \right)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{v_x^2+ g^2 \cdot t_C ^2} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\sqrt{v_x^2+ g^2 \cdot t_C ^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{\left(2,00\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2+ 9,81^2\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^4}\cdot 0,56^2 \;\text{s}^2 } &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 5,85\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

1.2.1

Kugel 2 wird zur selben Zeit freigegeben werden wie Kugel 1.

An Kugel 1 wirken zwei gleichzeitig wirkende Kräfte: die senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft und die horizontale Kraft aufgrund des waagerechten Wurfs. Die waagrechte Bewegung der Kugel 1 verursacht keine Höhenänderung, sodass beide Kugeln stets auf gleicher Höhe bleiben.
Gemäß dem Superpositionsprinzip überlagern sich die Kräfte in $x$ - und in $y$ -Richtung, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Deswegen erreichen beide Kugeln nach gleicher Zeit den Punkt B, da sie aus derselben Höhe starten.

1.2.2

Der Zeitpunkt $t_B,$ an dem die Kugeln den Punkt B durchlaufen, lässt sich entweder über die senkrechte Bewegung der Kugel 1 bzw. 2 oder über die horizontale Bewegung der Kugel 1 berechnen.

Mit der horizontalen Bewegung der Kugel 1 ergibt sich für $t_B:$

$\begin{array}[t]{rll} x_B&=& v_x\cdot t_B &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{1}{v_x}\\[5pt] \dfrac{x\left(t_B\right)}{v_x}&=& t_B &\quad \scriptsize\\[5pt] t_B&=&\dfrac{x_B}{v_x} \end{array}$

Werte einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} t_B&=& \dfrac{0,80 \,\text{m}}{2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,4 \,\text{s} \end{array}$

2.1.1

Jeder Punkt einer Wellenfront (Punkte mit gleicher Phase) lässt sich als Ausgangspunkt einer Elementarwelle betrachten.
Wellenfronten lassen sich als Einhüllende dieser Elementarwellen darstellen.
Die Elementarwellen haben immer gleiche Frequenz und Wellenlänge wie die Welle, aus der sie entstanden sind oder die sie erzeugen.

2.1.2

Für die Brechung von Licht gilt:

$\begin{array}[t]{rll} n_{\text{Brechzahl}}&=& \dfrac{c_\text{Luft}}{c_\text{Glas}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{c_\text{Glas}}{n_{\text{Brechzahl}}} \\[5pt] c_\text{Glas} &=& \dfrac{c_\text{Luft}}{n_{\text{Brechzahl}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} c_\text{Glas} &=& \dfrac{c_\text{Luft}}{n_{\text{Brechzahl}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1,46} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

2.1.3

Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gilt die folgende Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\alpha_1,$ dem Ausfallswinkel $\alpha_2,$ dem Brechungsindex im ersten Medium $n_1$ und dem Brechungsindex im zweiten Medium $n_2:$

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\alpha_1 \right)\cdot n_1&=& \sin\left(\alpha_2 \right)\cdot n_2 \end{array}$

Lichtbrechung an Punkt X

Rechenweg anzeigen

$0= \alpha_2$

Das Licht trifft senkrecht auf das Prisma und durchdringt es ungebrochen, der Einfallswinkel und der Ausfallswinkel betragen $0°.$

Lichtbrechung an Punkt Y

Einfallswinkelbestimmung:

Aufgrund der Innenwinkelsumme von $180°$ in Dreiecken gilt für den Winkel $\phi$ in dem Dreieck $\sphericalangle AYC$ :

$\begin{array}[t]{rll} 180°&=& 55°+90°+\phi &\quad \scriptsize \mid\;-55°-90° \\[5pt] 35°&=& \phi \end{array}$

Das Lot an Y steht per Definition senkrecht auf der Strecke $\overline{BC}.$ Folglich muss der Einfallswinkel bei Y $90°-\phi=90°-35°=55°$ betragen.

Ausfallswinkelbestimmung:

Rechenweg anzeigen

$\( \alpha$

Einsetzen der Brechungsindizes liefert kein Ergebnis:

$\(\begin{array}[t]{rll} \alpha$

Es handelt sich folglich hier um eine Totalreflexion. Der Lichtstrahl wird nicht gebrochen, sondern ausschließlich reflektiert, da der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel ist. Der Reflexionswinkel ist immer gleich dem Einfallswinkel.

Lichtbrechung an Punkt Z

Einfallswinkelbestimmung:

Da die Innenwinkelsumme eines Vierecks immer $360°$ beträgt, gilt für den Winkel $\beta$ in dem Viereck $AZYX:$

$\begin{array}[t]{rll} 360°&=& 90°+ \beta + \left(2\cdot 55°\right)+90°&\quad \scriptsize \\[5pt] 70°&=& \beta \end{array}$

Das Lot an Z steht per Definition senkrecht auf der Strecke $\overline{AB}.$ Folglich muss der Einfallswinkel bei Z $90°-\beta=90°-70°=20°$ betragen.

Ausfallswinkelbestimmung:

Rechenweg anzeigen

$\( \alpha$

Einsetzen der Brechungsindizes liefert kein Ergebnis:

$\(\begin{array}[t]{rll} \alpha$

Der Lichtstrahl wird am Punkt $Z$ aufgeteilt: Ein Teil wird mit einem Brechungswinkel von $29,94°$ gebrochen, während ein anderer Teil unter einem Reflexionswinkel von $20°$ reflektiert wird, da der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist.

Am Punkt $V$ wird der Strahl sowohl gebrochen als auch reflektiert, sodass der reflektierte Strahl erneut auf der Strecke $\overline{AB}$ auftrifft. Hier wiederholt sich der gleiche Prozess erneut.

2.2.1

Hinter dem Gitter entstehen Elementarwellen verschiedener Spektralfarben, die miteinander interferieren. Bei bestimmten Gangunterschieden zwischen diesen entstehen Intensitätsmaxima und Intensitätsminima. Die Abstände zwischen den Maxima variieren je nach Wellenlänge, wobei kürzere Wellenlängen kleinere Abstände verursachen. Dies führt zur Zerlegung des weißen Lichts, da es die Überlagerung von Licht mit unterschiedlichen Wellenlängen ist.

Der weiße Streifen in der Schirmmitte entsteht durch gleichzeitige Maxima aller Farben, da der Gangunterschied dort für jede Wellenlänge null ist. Links und rechts zeigen sich Farbbänder, beginnend mit der kürzesten Wellenlänge.

2.2.2

Um die Länge eines Farbbandes zu bestimmen, muss berechnet werden, wann die Farbe mit der kürzesten und mit der längsten Wellenlänge ihr erstes Intensitätsmaxima hat. Da die Gitterkonstante $g$ viel kleiner ist als der Schirmabstand $a$ gilt mit der Kleinwinkelnäherung:

Rechenweg anzeigen

$g\cdot \alpha = n\cdot \lambda$

Mit der Kleinwinkelnäherung gilt $\tan{\left(\alpha\right)} \approx \alpha$ und es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan{\left(\alpha\right)}&=& \dfrac{d_n}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\tan{\left(\alpha\right)} \approx \alpha \\[5pt] \alpha&=& \dfrac{d_n}{a} \end{array}$

Einsetzen in die Beugungsgleichung liefert:

Rechenweg anzeigen

$d_1 = \dfrac{1 \cdot \lambda \cdot a}{g}$

Für die Wellenlänge $\lambda=390 \,\text{nm}$ folgt damit:

$\begin{array}[t]{rll} d_1&=& \dfrac{1 \cdot \lambda \cdot a}{g} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot 390 \,\text{nm}\cdot 0,8\,\text{m}}{3\,\mu\text{m}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,104 \,\text{m} \end{array}$

Für die Wellenlänge $\lambda=780 \,\text{nm}$ folgt damit:

$\begin{array}[t]{rll} d_1&=& \dfrac{1 \cdot \lambda \cdot a}{g} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1\cdot 780 \,\text{nm} \cdot 0,8\,\text{m}}{3\,\mu\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,208 \,\text{m} \end{array}$

Die Länge eines Farbbandes ist somit die Differenz zwischen den Abständen der beiden Maxima: $0,208\,\text{m}-0,104\,\text{m}=0,104\,\text{m}$

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Bestimmung der -Koordinate

Bestimmung der Koordinate

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Bestimmung der $y_B$ -Koordinate

Bestimmung der $x_C$ Koordinate