Aufgabe 2 – Elektroneninterferenz am Doppelspalt
Im Jahr 1923 postulierte Louis de Broglie, dass Materieteilchen auch Welleneigenschaften zugeordnet werden können. Im Jahr 1961 wurde von Claus Jönsson eine experimentelle Arbeit zur Beugung von Elektronen am Doppelspalt veröffentlicht.
Material 1 zeigt einen Ausschnitt aus der Originalveröffentlichung von C. Jönsson zur Beugung von Elektronen an einem Doppelspalt. In Material 2 ist eines der Messergebnisse abgebildet.
Erkläre, dass die Elektronenbeugungsaufnahme in Material 2 als Nachweis für die Welleneigenschaften von Elektronen gedeutet werden kann.
Berechne den Beugungswinkel 
des Maximums 1. Ordnung, welcher unter den von C. Jönsson in Material 1 beschriebenen Versuchsbedingungen zu erwarten ist.
[Kontrollwert: 
]
C. Jönsson nennt in der Veröffentlichung einen Wert für die Beschleunigungsspannung, mit der die Elektronen auf eine einheitliche Geschwindigkeit gebracht werden.
Begründe schrittweise und kausal korrekt strukturiert, in welcher Weise sich das Interferenzmuster aus Material 2 verändert, wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird.
Begründe, dass das Interferenzmuster auf dem Leuchtschirm im Beugungsexperiment von C. Jönsson unscharf wird, wenn es mit einem Elektronenstrahl durchgeführt wird, in dem die Elektronen viele unterschiedliche Geschwindigkeiten haben.
Das in Material 3 beschriebene Experiment von A. Tonomura ist eine Weiterentwicklung des Doppelspaltexperimentes mit Elektronen.
Interpretiere die gezeigten Messergebnisse in Material 3 hinsichtlich der Fragestellung, inwiefern diese die Wellen- bzw. Teilcheneigenschaften der Elektronen zeigen.
Erläutere Feynmans Aussage zur Quantentheorie, dass es unmöglich ist, Ergebnisse genau vorherzusagen (Material 4), am Beispiel des Experimentes von Tonomura (Material 3).
Material 1: Ausschnitt aus „Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten“ von C. Jönsson
„Der aus solchen Überlegungen folgende naheliegende Versuch, Elektronenbeugung am künstlich hergestellten Spalt […] zu machen, stößt auf einige technische Schwierigkeiten, die seine Verwirklichung bisher verhindert haben. Hier wurden stets auf 
beschleunigte Elektronen verwendet, deren de Broglie-Wellenlänge etwa 
beträgt.“
(Die Rechtschreibung und die Verwendung von Fachbegriffen folgt dem Original.)
Die im Versuch von C. Jönsson verwendeten Spalte hatten eine Breite von jeweils 
und einen Spaltmittenabstand von 
Der Leuchtschirm, auf dem das Interferenzmuster in Abb. 1 beobachtet wurde, hatte einen Abstand von 
von den Spalten.
Material 2: Elektronenbeugungsaufnahme am Doppelspalt von C. Jönsson
Abb. 1: Interferenzmuster auf einem Leuchtschirm hinter
einem mit Elektronen beschossenen Doppelspalt. Je
mehr Elektronen an einem Ort des Schirms auftreffen,
desto heller leuchtet er dort.
Hinweis: Diese Abbildung wurde stark vergrößert dargestellt und entspricht nicht den in der Aufgabe angegebenen Abmessungen.
Material 3: Elektronenbeugung am Doppelspalt von A. Tonomura
Im American Journal of Physics 57, 117 (1989) berichtet A. Tonomura von einem Experiment, bei dem Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung von beschleunigt und auf eine wie ein Doppelspalt wirkende Anordnung gesendet wurden. Es handelt sich um eine Weiterentwicklung des Experimentes von C. Jönsson, in der die Anzahl der Elektronen im Elektronenstrahl so weit reduziert wurde, dass sich zu jedem Zeitpunkt nur noch ein einziges Elektron zwischen Quelle und Schirm befindet.
Abb. 2: Schematischer Versuchsaufbau von A. Tonomura
Abb. 3 a bis e: Aufgenommene Schirmbilder mit a) 11 Elektronen, b) 200 Elektronen, c) 6000 Elektronen,
d) 40000 Elektronen, e) 140000 Elektronen
Material 4: Zitat von Richard Feynman zum Doppelspaltexperiment
„Wir möchten einen sehr wichtigen Unterschied zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik hervorheben. [...] Wir haben dabei stillschweigend vorausgesetzt, dass es in unserem experimentellen Aufbau (und selbst in dem bestmöglichen) unmöglich sein würde, genau vorherzusagen, was passiert. Wir können nur die Wahrscheinlichkeit vorhersagen! [...] Wir wissen nicht, wie man vorhersagen könnte, was unter vorgegebenen Umständen passieren würde, und wir glauben heute, dass es unmöglich ist und dass das Einzige, was vorhergesagt werden kann, die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse ist.“
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Das Experiment von Jönsson mit Elektronen am Doppelspalt zeigt ein Interferenzmuster, wie es bei der Überlagerung von zwei Wellen entsteht: Die hellen und dunklen Streifen entstehen im Wellenmodell dadurch, dass sich die beiden Wellen an unterschiedlichen Orten konstruktiv oder destruktiv überlagern und damit verstärken oder abschwächen.
Das Interferenzmuster (Material 2) kann daher als Nachweis des Wellencharakters von Elektronen gedeutet werden.
Mit Hilfe der Formelsammlung gilt:
Hieraus folgt für 
Mit der gegebenen Spaltbreite 
und dem Spaltmittenabstand von 
ergibt sich:
Für die de Broglie-Wellenlänge gilt 
Die Wellenlänge der Elektronen hängt somit von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird, vergrößert sich die Geschwindigkeit der Elektronen und damit wird die Wellenlänge kleiner.
Der Beugungswinkel und somit auch die Abstände der beobachteten Maxima hängen gemäß der Formel aus Aufgabenteil a von der Wellenlänge ab. Eine kleinere Wellenlänge führt zu einem kleineren Abstand der Maxima.
Bei größerer Beschleunigungsspannung werden die Streifenabstände enger und das Interferenzbild aus Material 2 horizontal gestaucht.
Bei unterschiedlichen Elektronengeschwindigkeiten besitzen die Elektronen verschiedene Wellenlängen. Die Maxima unterschiedlich schneller Elektronen liegen daher an unterschiedlichen Orten. Die Interferenzbilder für Elektronen verschiedener Geschwindigkeiten überlagern sich, so dass das Muster unscharf wird.
In jeder der in Material 3 gezeigten Messungen sind einzelne Auftreffpunkte der Elektronen zu erkennen, die Elektronen zeigen hier deutlich die Eigenschaft eines Teilchens.
In den Abbildungen 
und 
ist noch keine deutliche Struktur zu erkennen, jedes Teilchen scheint zufällig auf dem Beobachtungsschirm aufzutreffen.
Mit zunehmender Anzahl der Elektronen ist jedoch ein klares Muster in den Messungen (vgl. 
und 
) zu erkennen, welches dem Interferenzbild zweier Wellen gleicht. Somit können den Elektronen gleichzeitig auch Welleneigenschaften zugeschrieben werden.
Aus der heutigen Sicht der Quantentheorie kann im Doppelspaltexperiment das Ergebnis einer Ortsmessung von einzelnen Elektronen nicht exakt vorhergesagt werden. Feynmans Aussage bezüglich eines „bestmöglichen Experimentes“ bezieht sich darauf, dass es nicht an den begrenzten technischen Möglichkeiten der heutigen Experimentalphysik liegt, sondern dass es prinzipiell nicht möglich ist, den Auftreffort eines bestimmten Elektrons auf dem Schirm im Doppelspaltexperiment vorherzusagen. Lediglich die Zufallsverteilung und damit die Wahrscheinlichkeit für das Messen eines Elektrons an einem bestimmten Ort kann vorhergesagt werden.