Teil B – Bewegungen, Elektronen

Eine Standardsituation beim Fußball ist der Einwurf von der Seitenauslinie. Dabei wird der Ball mit beiden Händen über den Kopf in das Spielfeld geworfen.

Dieser Vorgang wird modellhaft als schräger Wurf vereinfacht.

Für die Wurfbahn gilt die Gleichung $y(x)=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g}{v_0^2 \cdot \cos ^2 \alpha} \cdot x^2+\tan \alpha \cdot x+y_0$

1.1

Erläutere das Superpositionsprinzip am Beispiel des schrägen Wurfs.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.2

Ein Fußballer übt den Einwurf.
Der Abwurfwinkel beträgt $45,0^{\circ}$ , die Abwurfhöhe $2,20 \,\text m.$

1.2.1

Die Wurfweite (horizontal) beträgt $20,0\,\text m.$
Ermittle die Geschwindigkeit, mit der der Ball abgeworfen wurde.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

1.2.2

Der Fußballer wirft den Ball mit der Abwurfgeschwindigkeit $v_0=13,3\,\text m \cdot \text s ^{-1}$ .
In diesem Moment läuft ein Mitspieler geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit genau in Richtung des Werfers, er ist zum Zeitpunkt des Abwurfes $28,0\,\text m$ von ihm entfernt.
Der Ball trifft den Mitspieler in der Höhe $1,4 \,\text m$ auf dessen Brust.
Ermittle für diesen Zeitpunkt die Entfernung von Werfer und Mitspieler sowie die Geschwindigkeit des Mitspielers.

Erreichbare BE-Anzahl: 05

Ein Elektron tritt durch eine Öffnung in der positiv geladenen Platte eines Plattenkondensators parallel zu den Feldlinien in das homogene Feld eines auf die Spannung $\text U$ geladenen Plattenkondensators ein.

Hinweis: Vereinfacht wird angenommen, dass das Feld ausschließlich im Innenraum des Kondensators existiert.

Die Abbildung 1 zeigt das Prinzip.

sachsen physik abi lk 2021 teil b abbildung 1 darstellung des prinzips

Die Abbildung 2 zeigt das $x(t)$ -Diagramm für die Bewegung des Elektrons.

2.1

Weise nach, dass die Geschwindigkeit, mit der das Elektron in das Feld eintritt, $v=2,0 \cdot 10^6\,\text m \cdot \text s ^{-1}$ beträgt.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.2

Zum Zeitpunkt $t$ erreicht das Elektron seinen maximalen Abstand zur positiven Platte $s_{\max }$ .
Gib $t$ und $\text s_{\max }$ an.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.3

Berechne den Betrag der Spannung, auf die der Kondensator geladen ist.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Elektronen und Photonen als Quantenobjekte

3.1

Im Folgenden wird die Anregung von Neon-Atomen durch Elektronenstöße betrachtet.

3.1.1

Ein Neon-Atom wechselwirkt mit einem freien Elektron und absorbiert die Energie $18,9\,\text{eV}$ .
Das angeregte Neon-Atom emittiert ein Quant der Wellenlänge $585\,\text{nm}$ (Orange) und geht dadurch in einen energetischen Zwischenzustand über.
Berechne die Energie dieses Zustands bezüglich des Grundniveaus $0\,\text{eV}.$

Erreichbare BE-Anzahl: 03

3.1.2

Elektronen durchlaufen aus der Ruhe heraus die Spannung $40\,\text V$ in einer mit Neongas gefüllten Röhre. Es werden zwei schmale orangefarbig leuchtende Bereiche beobachtet.
Erkläre diese Beobachtung.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

3.2

Ein Energieniveau des Neons ist metastabil und geeignet, um Laserlicht zu erzeugen.
Erläutere das physikalische Prinzip der Entstehung von Laserstrahlung.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

3.3

Elektronenbeugung

3.3.1

Erläutere ein Experiment zum Nachweis der Elektronenbeugung.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

3.3.2

Elektronen bewegen sich mit der Geschwindigkeit $2,3 \cdot 10^6 \,\text m \cdot \text s ^{-1}$ .
Berechne den Impuls und die Wellenlänge eines Elektrons.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

1.1

Superpositionsprinzip (Prinzip der ungestörten Überlagerung)

Gesamtbewegung, die aus der Überlagerung voneinander unabhängigen Teilbewegungen stattfindet
ungestörte Überlagerung bedeutet: Reibungskräfte wie beispielsweise der Luftwiderstand werden vernachlässigt

Teilbewegungen des schrägen (Ein-)Wurfes

Bewegung in horizontale $x$ -Richtung:

Ball bewegt sich gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit
Geschwindigkeit entspricht horizontaler Komponente $\vec{v}_{x}$ der Anfangsgeschwindigkeit $\vec{v}_0$

Bewegung in vertikale $y$ -Richtung:

Ball bewegt sich gleichmäßig beschleunigt nach oben (wie bei einem senkrechten Wurf)
Startgeschwindigkeit entspricht vertikaler Komponente $\overrightarrow{v}_y$ der Anfangsgeschwindigkeit $\overrightarrow{ v }_0$
Beschleunigung: $- g$ (wie beim freien Fall)

Die Bewegungen in horizontale, als auch vertikale Richtung erfolgen unabhängig voneinander.

Durch die Überlagerung (Superposition) ergibt sich die Gesamtbewegung.

1.2.1

Gegeben: $\alpha = 45^{\circ};$ $y_0= 2,2\;\text{m};$ $x= 20 \;\text{m}$

Gesucht: $v_0$

Lösung: Da der Ball auf dem Boden aufkommt, folgt $y(x)=0.$ Die Fallbeschleunigung ist mit $g= 9,81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ gegeben.

Alle gegebenen Werte werden in die Gleichung der Wurfbahn eingesetzt und diese mit dem solve-Befehl des Taschenrechners nach $v_0$ gelöst:

$y(x)= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g}{v_0^2 \cdot \cos ^2 (\alpha)} \cdot x^2$ $+\tan (\alpha) \cdot x+y_0$

Rechenweg anzeigen

$v_0\approx 13,3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

1.2.2

Hilfsskizze (nicht maßstäblich)

Entfernung von Werfer und Mitspieler ermitteln

Gegeben: $\; y(x)= 1,4 \;\text{m};$ $v_0= 13,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $y_0= 2,2\;\text{m}$

Gesucht: $\; x_{\text{WM}}$

Lösung: Werte in die Gleichung der Wurfbahn einsetzen und mit dem solve-Befehl des Taschenrechners nach $x_{\text{WM}}$ auflösen.

Rechenweg anzeigen

$x_{\text{MB}}\approx 18,8\;\text{m}$

Die Entfernung von Werfer und Mitspieler entspricht $18,8\;\text{m}.$

Geschwindigkeit des Mitspielers ermitteln

Gegeben: $x_{\text{WM}} \approx 18,8\;\text{m};$ $x_M= 28 \;\text{m}- 18,8 \;\text{m} = 9,2\;\text{m}$

Gesucht: $\;v_{\text{M}}$

Lösung:

Vorüberlegungen

(Zum Lösen der Aufgabe reichen die Rechenschritte ab dem 1. Schritt)

Da sich der Mitspieler geradlinig mit konstanter Zeit bewegt, folgt die Geschwindigkeit aus $\boldsymbol{v_M}= \boldsymbol{\dfrac{x_M}{t}}.$

Die Zeit $t$ entspricht sowohl der Zeit, die der Mitspieler braucht um zum Ball zu kommen, als auch der Zeit, die der Ball benötigt um die Strecke $x_{\text{WM}}$ zurückzulegen.

Um die Zeit zu berechnen, die der Ball benötigt um die Strecke $x_{\text{WM}}$ zurückzulegen, wird die Teilbewegung des schiefen Wurfes in $x$ -Richtung betrachtet: Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

$\boldsymbol{t}= \boldsymbol{\dfrac{x_{\text{WM}}}{v_x}}$

$v_x$ wird über die Winkelbeziehungen der überlagerten Teilbewegungen des schrägen Wurfes bestimmt.

1. Schritt: $\boldsymbol{v_x}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{v_x}{v_0}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot v_0 \\[5pt] \cos(\alpha)\cdot v_0&=& v_x \\[5pt] v_x&=& \cos(\alpha)\cdot v_0 \\[5pt] v_x&=& \cos(45^{\circ})\cdot 13,3 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \\[5pt] v_x&\approx & 2\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

2. Schritt $\boldsymbol{t}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} t&=&\dfrac{x_{\text{MB}}}{v_x} \\[5pt] &=& \dfrac{18,8\;\text{m}}{2\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] &=& 2\;\text{s} \end{array}$

3. Schritt: $\boldsymbol{v_M}$ bestimmen

$v_M= \dfrac{x_M}{t}=\dfrac{9,2\;\text{m}}{2\;\text{s}}$ $= 4,6\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

2.1

Vorüberlegungen aus dem Sachzusammenhang
(Zum Lösen der Aufgabe reicht der Rechenweg)

Aus Abbildung 1 folgt: Das Elektron tritt bei $x_E=0,1\;\text{m}$ in das homogene Feld des Plattenkondensators ein.

In Abbildung 2 entspricht die $y$ -Achse dem Ort $(x$ in $\text{m})$ des Elektrons. Somit kann auf der $x$ -Achse der Zeitpunkt des Eintritts abgelesen werden: $t_E= 0,5 \cdot 10^{-7}\;\text{s}.$

Im Bereich $[0; 0,5 \cdot 10^{-7}]$ verläuft der Graph für die Bewegung des Elektrons linear, d.h. das Elektron bewegt sich bis zum Eintritt in den Kondensator gleichförmig.

Steigungsdreieck Geschwindigkeit Elektron

Hilfsskizze: Koordinaten des Eintrittspunktes ablesen

$v_E=\dfrac{x_E}{t_E}$ $=\dfrac{0,1\;\text{m}}{0,5 \cdot 10^{-7} \;\text{s}}$ $=2 \cdot 10^{6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

2.2

Aus Abbildung 2 werden die Koordinaten des Hochpunktes am Graphen abgelesen:

Maximaler $t$ -Wert: $t_{\text{max}}\approx 1,65 \cdot 10^{-7} \;\text{s}$

Maximaler $x$ -Wert: $x_{\text{max}}\approx 0,215\;\text{m}$

Hilfsskizze: Koordinaten des Hochpunktes ablesen

Da das Elektron erst bei $x= 0,1\;\text{m}$ in das elektrische Feld eintritt, ergibt sich:

$s_{\text{max}}= 0,215\;\text{m}-0,1\;\text{m}= 0,115\;\text{m}$

2.3

Vorüberlegungen aus dem Sachzusammenhang
(Zum Lösen der Aufgabe reicht der Rechenweg)

Bei Eintritt in das elektrische Feld des Plattenkondensators bewegt sich das Elektron zunächst in Richtung der negativen Platte bis zum Zeitpunkt $t_{\max}.$

Das Elektron hat bei Eintritt in das homogene Feld eine Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und somit Bewegungsenergie $E_{\text{kin}}.$

Innerhalb des homogenen Feldes des Plattenkondensators wirkt die durch das elektrische Feld verursachte elektrische Feldkraft $F_{\text{el}}$ entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Elektrons, bremst das Elektron ab und lenkt es zur positiven Platte.
Das Elektron durchläuft somit nicht das gesamte eletrische Feld, sondern nur den Anteil $\dfrac{s_{\max}}{d}.$

Aus Abbildung 1 folgt der Abstand der Kondensatorplatten zu $d= 0,3\;\text{m}.$

Somit gilt:

$E_{\text{kin}}=\dfrac{s_{\max}}{d}\cdot W_{\text{el}}$

Rechenweg anzeigen

$U\approx 29,7 \;\text{V}$

Alternativer Lösungsweg

Bis die Arbeit des elektrischen Feldes das Elektron vollständig abgebremst hat, durchläuft es das elektrische Feld bis $s_{\text{max}}= 0,115 \;\text{m}.$ Danach bewegt sich das Elektron auf die positiv geladene Platte zu, wodurch die Arbeit $W_{\text{el}}$ verrichtet wird.

Somit kann die vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit alternativ als $W_{\text{el}}= F_{\text{el}}\cdot s_{\text{max}}$ ausgedrückt werden.

Für die elektrische Feldkraft gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{el}}&=& E\cdot q \\[5pt] &=& \dfrac{U}{d}\cdot e \end{array}$

Daraus folgt:

$E_{\text{kin}}=W_{\text{el}}$

Rechenweg anzeigen

$U\approx 29,7 \;\text{V}$

3.1.1

Das Neon-Atom nimmt zunächst $18,9 \;\text{eV}$ auf.

Durch Emission eines Quants geht es in den energetischen Zwischenzustand über.

Die abgegebene Energie ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta E&=& h \cdot f \\[5pt] &=& h\cdot \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] &=& 4,14\cdot 10^{-15}\;\text{eVs}\cdot \dfrac{3\cdot 10^8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{585\cdot 10^{-9}\;\text{m}}\\[5pt] &\approx & 2,1 \;\text{eV} \end{array}$

Hilfsskizze

Die Energie bezüglich des energetischen Zwischenzustandes und des Grundniveaus ergibt sich aus der Differenz:

$E_1= E_2 - \Delta E$ $= 18,9 \cdot 10^{10}\;\text{eV}-2,1 \cdot 10^{10}\;\text{eV}$ $=16,8 \cdot 10^{10}\;\text{eV}$

3.1.2

Die Elektronen werden in einer mit Neongas gefüllten Röhre von Kathode zu Anode beschleunigt.

Die Elektronen stoßen dabei unabhängig von ihrer Energie mit den Gasatomen: elastisch und unelastisch.

Beim elastischen Stoß ergibt sich keine energetische Änderung.

Beim unealstischen Stoß kommt es zur Energieabsorption durch die Gasatome: Das Neon-Atom absorbiert ein Elektron mit selbigem Energiebetrag $(18,9 \;\text{eV}).$ Dadurch wird das Atom angeregt und in einen energetisch höheren Zustand versetzt. Jedoch ist dieser instabil, sodass das Atom ein Lichtquant mit dem Energiebetrag $\Delta E=2,1 \;\text{eV}$ abgibt. Dieser Energiebetrag entspricht der Wellenlänge orangefarbenen Lichtes.

Wird die Beschleunigungsspannung, an der die mit Neongas gefüllte Röhre anliegt, erhöht, so können die Eletronen erneut mit den Gasatomen unealstisch stoßen. Dadurch wiederholt sich der Vorgang und es ergibt sich ein zweiter orange leuchtender Bereich.

3.2

Kontinuierlich wird dem Lasermedium Energie von einer Energiequelle zugeführt, wodurch zahlreiche Atome in einen angeregten und metastabilen Zustand versetzt werden.

Dieser Zustand gilt als metastabil, da die Verweildauer im angeregten Zustand deutlich länger als üblich ist.

Während spontaner Emission entsteht ein Lichtquant, welches beim Durchlaufen des Lasermediums eine Serie von induzierten Emissionen auslöst.

Eine Emission wird als induziert betrachtet, wenn der Übergang aus dem metastabilen Zustand durch ein Lichtquant gleicher Energie initiiert wird.

Dies führt dazu, dass alle emittierten Quanten kohärent sind, was bedeutet, dass sie identische Eigenschaften aufweisen.

Durch den optischen Resonator erfolgt eine Verstärkung der induzierten Emissionen, wodurch ein stark fokussierter Laserstrahl durch den teilweise durchlässigen Spiegel auf einer Seite austritt.

3.3.1

Elektronenbeugungsröhre

Elektronen, die aus der Glühkathode austreten, werden durch die Spannung $U_{B}$ zur Anode beschleunigt. Sie durchdringen eine Schicht aus Grafitpulver und gelangen dann auf den Leuchtschirm der Vakuum-Röhre. Auf dem Schirm entstehen konzentrische Kreise. Diese werden als Interferenzbild einer Welle gedeutet, da Beugung bei Wellen auftritt.

Somit ergibt sich als Resumée aus dem Experiment: Elektronen besitzen Welleneigenschaften.

3.3.2

$p=m_{ e } \cdot v$ $=9,1 \cdot 10^{-31} \;\text{kg} \cdot 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{m} }{\text{s} }$ $=2,1 \cdot 10^{-24} \;\text{Ns}$

Mit Hilfe der Beziehung der die DeBroglie-Wellenlänge ergibt sich:

$\lambda=\dfrac{h}{p}$ $=\dfrac{6,63 \cdot 10^{-34} \;\text{Js} }{2,1 \cdot 10^{-24} \;\text{Ns} }$ $=3,2 \cdot 10^{-10} \;\text{m}$