Aufgabe 2 – Elektroneninterferenz am Doppelspalt
Im Jahr 1923 postulierte Louis de Broglie, dass Materieteilchen auch Welleneigenschaften zugeordnet werden können. Im Jahr 1961 wurde von Claus Jönsson eine experimentelle Arbeit zur Beugung von Elektronen am Doppelspalt veröffentlicht.
Material 1 zeigt einen Ausschnitt aus der Originalveröffentlichung von C. Jönsson zur Beugung von Elektronen an einem Doppelspalt. In Material 2 ist eines der Messergebnisse abgebildet.
Erkläre, dass die Elektronenbeugungsaufnahme in Material 2 als Nachweis für die Welleneigenschaften von Elektronen gedeutet werden kann und in diesem Fall die Elektronen nicht als klassische Teilchen beschrieben werden können.
C. Jönsson schreibt in der Veröffentlichung, dass eine „Nachvergrößerung der sehr feinen Interferenzfiguren“ zur Beobachtung notwendig ist (Material 1).
Berechne den Beugungswinkel des Maximums 1. Ordnung, welcher unter den von C. Jönsson in Material 1 beschriebenen Versuchsbedingungen ohne Nachvergrößerung zu erwarten ist.
[Kontrollwert: 
]
Beurteile mithilfe einer Berechnung der Streifenabstände auf dem Schirm (Material 2), ob diese nach der beschriebenen Nachvergrößerung, wie in Material 1 behauptet, groß genug sind, um sie mit dem bloßen Auge beobachten zu können.
Begründe schrittweise und kausal korrekt strukturiert, in welcher Weise sich das Interferenzmuster aus Material 2 verändert, wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird.
Erläutere die Veränderung des Interferenzmusters aus Material 2, wenn das Experiment mit einem Elektronenstrahl durchgeführt wird, in dem die Elektronen viele unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Gehe dabei sowohl auf den Fall einer schmalen als auch auf den Fall einer breiten Geschwindigkeitsverteilung ein.
Das in Material 3 beschriebene Experiment von A. Tonomura ist eine Weiterentwicklung des Doppelspaltexperimentes mit Elektronen.
Beurteile mithilfe einer Rechnung, ob sich tatsächlich „zu jedem Zeitpunkt nur ein einziges“ Elektron in der Messapparatur befindet.
Hinweise:
Im Rahmen dieser Aufgabe soll auf eine relativistische Berechnung verzichtet werden. Es befinden sich mit großer Wahrscheinlichkeit zu keinem Zeitpunkt zwei oder mehr Elektronen in der Apparatur, wenn der mittlere Abstand aufeinanderfolgender Elektronen im Strahl hinreichend groß ist.
Interpretiere die gezeigten Messergebnisse in Material 3 hinsichtlich der Fragestellung, inwiefern diese die Wellen- bzw. Teilcheneigenschaften der Elektronen zeigen. Gehe dabei auch darauf ein, dass sich zu fast jedem Zeitpunkt nur ein einzelnes Elektron in der Apparatur befindet.
Erläutere Feynmans Aussage zur Quantentheorie, dass es unmöglich ist, Ergebnisse genau vorherzusagen (Material 4), am Beispiel des Experimentes von Tonomura (Material 3).
Material 1: Ausschnitt aus „Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten“ von C. Jönsson
„Der aus solchen Überlegungen folgende naheliegende Versuch, Elektronenbeugung am künstlich hergestellten Spalt […] zu machen, stößt auf einige technische Schwierigkeiten, die seine Verwirklichung bisher verhindert haben. Diese sind einmal die kleine Wellenlänge des Elektronenstrahls, denn um eine vernünftige Elektronenoptik treiben zu können, muß man mit mittelschnellen Elektronen arbeiten. Hier wurden stets auf 
beschleunigte Elektronen verwendet, deren de Broglie-Wellenlänge etwa 
beträgt. Sie ist also wesentlich kleiner als die Atomdimensionen […]. Es können nur wesentlich gröbere Spalte hergestellt werden. Dies ist an sich keine Einschränkung für solche Versuche, nur muß man sich dann sehr um [...] die Nachvergrößerung der sehr feinen Interferenzfiguren bemühen. […] Die in der Auffangebene entstehende Beugungsfigur ist noch so fein, dass sie bis zu 100fach elektronenoptisch nachvergrößert werden muß, ehe man sie auf dem Leuchtschirm bei 10facher lichtoptischer Nachvergrößerung bequem beobachten kann.“
(Die Rechtschreibung und die Verwendung von Fachbegriffen folgt dem Original.)
Die im Versuch von C. Jönsson verwendeten Spalte hatten eine Breite von jeweils 
und einen Spaltmittenabstand von 
Der Leuchtschirm, auf dem das Interferenzmuster in Abb. 1 beobachtet wurde, hatte einen Abstand von 
von den Spalten.
Material 2: Elektronenbeugungsaufnahme am Doppelspalt von C. Jönsson
Abb. 1: Interferenzmuster auf einem Leuchtschirm hinter
einem mit Elektronen beschossenen Doppelspalt. Je
mehr Elektronen an einem Ort des Schirms auftreffen,
desto heller leuchtet er dort.
Hinweis: Diese Abbildung wurde stark vergrößert dargestellt und entspricht nicht den in der Aufgabe angegebenen Abmessungen.
Material 3: Elektronenbeugung am Doppelspalt von A. Tonomura
Im American Journal of Physics 57, 117 (1989) berichtet A. Tonomura von einem Experiment, bei dem Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung von beschleunigt und auf eine wie ein Doppelspalt wirkende Anordnung gesendet wurden. Es handelt sich um eine Weiterentwicklung des Experimentes von C. Jönsson, in der die Anzahl der Elektronen im Elektronenstrahl so weit reduziert wurde, dass sich mit großer Wahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt nur noch ein einziges Elektron zwischen Quelle und Schirm befindet. Die elektrische Stromstärke des Elektronenstrahls betrug lediglich 
Abb. 2: Schematischer Versuchsaufbau von A. Tonomura
Abb. 3 a bis e: Aufgenommene Schirmbilder mit a) 11 Elektronen, b) 200 Elektronen, c) 6000 Elektronen,
d) 40000 Elektronen, e) 140000 Elektronen
Material 4: Zitat von Richard Feynman zum Doppelspaltexperiment
„Wir möchten einen sehr wichtigen Unterschied zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik hervorheben. [...] Wir haben dabei stillschweigend vorausgesetzt, dass es in unserem experimentellen Aufbau (und selbst in dem bestmöglichen) unmöglich sein würde, genau vorherzusagen, was passiert. Wir können nur die Wahrscheinlichkeit vorhersagen! [...] Wir wissen nicht, wie man vorhersagen könnte, was unter vorgegebenen Umständen passieren würde, und wir glauben heute, dass es unmöglich ist und dass das Einzige, was vorhergesagt werden kann, die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse ist.“
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Das Experiment von Jönsson mit Elektronen am Doppelspalt zeigt ein Interferenzmuster, wie es bei der Überlagerung von zwei Wellen entsteht: Die hellen und dunklen Streifen entstehen im Wellenmodell dadurch, dass sich die beiden Wellen an unterschiedlichen Orten konstruktiv oder destruktiv überlagern und damit verstärken oder abschwächen.
Mit dem Modell von Elektronen als klassischen Materieteilchen ist das Muster jedoch nicht vereinbar, da dann nur zwei Streifen auf dem Schirm sichtbar sein dürften.
Das Interferenzmuster (Material 2) kann daher als Nachweis des Wellencharakters von Elektronen gedeutet werden.
Mit Hilfe der Formelsammlung gilt:
Hieraus folgt für 
Mit der gegebenen Spaltbreite 
und dem Spaltmittenabstand von 
ergibt sich:
Zwischen dem Beugungswinkel 
dem Abstand 
zwischen Doppelspalt und Schirm sowie dem Abstand 
zwischen dem Maximum 1. Ordnung und dem Maximum 0. Ordnung gilt ohne Vergrößerung der folgende Zusammenhang:
Hiermit folgt für den im Versuch erwarteten Streifenabstand mit 
mit Hilfe des MMS:
Die Nachvergrößerung um den Faktor 
liefert dann 
Die Streifen sollten somit mit bloßem Auge deutlich sichtbar sein.
Für die de Broglie-Wellenlänge gilt 
Die Wellenlänge der Elektronen hängt somit von der Geschwindigkeit der Elektronen ab. Wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird, vergrößert sich die Geschwindigkeit der Elektronen und damit wird die Wellenlänge kleiner.
Der Beugungswinkel und somit auch die Abstände der beobachteten Maxima hängen gemäß der Formel aus Aufgabenteil a von der Wellenlänge ab. Eine kleinere Wellenlänge führt zu einem kleineren Abstand der Maxima.
Bei größerer Beschleunigungsspannung werden die Streifenabstände enger und das Interferenzbild aus Material 2 horizontal gestaucht.
Bei unterschiedlichen Elektronengeschwindigkeiten besitzen die Elektronen verschiedene Wellenlängen. Die Maxima liegen daher an unterschiedlichen Orten. Die Interferenzbilder für Elektronen verschiedener Geschwindigkeiten überlagern sich.
Bei kleinen Geschwindigkeitsunterschieden werden die Maxima der verschiedenen Wellenlängen, mit Ausnahme des zentralen Maximums, nur wenig gegeneinander verschoben. Die Streifen werden daher etwas breiter und das Interferenzbild etwas unschärfer. Das zentrale Maximum behält jedoch seine ursprüngliche Breite. Sollten die Elektronengeschwindigkeiten aber stark unterschiedlich sein, liegen die Maxima der einen Geschwindigkeitsklasse in den Minima der Elektronen mit anderer Geschwindigkeit. Die Maxima sind dann nicht mehr trennbar und es ist kein klares Interferenzbild mehr zu beobachten.
Anhand der elektrischen Stromstärke im Elektronenstrahl und der Ladung eines Elektrons kann die Anzahl der Elektronen bestimmt werden, die pro Sekunde am Doppelspalt ankommen:
Die Elektronengeschwindigkeit ergibt sich über den folgenden Energieansatz:
Einsetzen der Werte für ein Elektron und Auflösen nach 
mit dem MMS liefert:
Damit ergibt sich bei der Annahme einer gleichmäßigen zeitlichen Verteilung der Elektronen der folgende mittlere räumliche Abstand:
Die Elektronen haben im Strahl einen sehr großen Abstand, der deutlich größer ist als die Abmessung der Apparatur. Im Material 3 ist der Abstand von der Elektronenquelle bis zum Detektionsschirm mit 
angegeben, was ca. einem Hunderttausendstel des mittleren Elektronenabstandes entspricht. Ein einzelnes Elektron ist also am Schirm registriert worden, bevor das nachfolgende Elektron die Quelle verlässt. Die Elektronen können sich daher nicht gegenseitig beeinflussen und können als „einzeln“ angesehen werden.
In jeder der in Material 3 gezeigten Messungen sind einzelne Auftreffpunkte der Elektronen zu erkennen, die Elektronen zeigen hier deutlich die Eigenschaft eines Teilchens.
In den Abbildungen 
und 
ist noch keine deutliche Struktur zu erkennen, jedes Teilchen scheint zufällig auf dem Beobachtungsschirm aufzutreffen.
Mit zunehmender Anzahl der Elektronen ist jedoch ein klares Muster in den Messungen (vgl. 
und 
) zu erkennen, d. h. wenn auch jeder einzelne Auftreffpunkt zufällig bleibt, so kann für eine große Stichprobe eine Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis der Messung angeben werden. Diese Wahrscheinlichkeit kann mittels des Modells einer Materiewelle, welche zu dem beobachteten Interferenzbild führt, berechnet werden, sodass den Elektronen auch Welleneigenschaften zugeschrieben werden können.
Da die Elektronen jedoch mit großem räumlichem Abstand nacheinander, also „einzeln“ durch den Doppelspalt treten, können sie nicht mit anderen Elektronen interferieren.
Vielmehr überlagern sich die beiden Wellenfunktionen desselben Elektrons, die zu den klassisch möglichen Wegen gehören.
Aus der heutigen Sicht der Quantentheorie kann im Doppelspaltexperiment das Ergebnis einer Ortsmessung von einzelnen Elektronen nicht exakt vorhergesagt werden. Feynmans Aussage bezüglich eines „bestmöglichen Experimentes“ bezieht sich darauf, dass es nicht an den begrenzten technischen Möglichkeiten der heutigen Experimentalphysik liegt, sondern dass es prinzipiell nicht möglich ist, den Auftreffort eines bestimmten Elektrons auf dem Schirm im Doppelspaltexperiment vorherzusagen. Lediglich die Zufallsverteilung und damit die Wahrscheinlichkeit für das Messen eines Elektrons an einem bestimmten Ort kann vorhergesagt werden.