Teil B – Bewegung, Thermodynamik

Schräger Wurf

Als Dachlawine (Schneebrett) wird eine von einem Hausdach herabgleitende Schneemasse bezeichnet, die wie ein Brett auf einmal abrutscht. Für den Hausbesitzer können Dachlawinen zum Problem werden, da er für Schäden haftbar gemacht werden kann, die durch Dachlawinen entstehen. Der Hausbesitzer muss dafür sorgen, dass Straße und Gehweg entlang seines Hauses gefahrlos passiert werden können. Der Umfang der Verkehrssicherungspflicht hängt jedoch stark von der Region ab. Besonders gefährdet sind Dächer mit großer Dachneigung. Nur in schneereichen Gebieten müssen Schneefanggitter oder Warnschilder angebracht werden. Teilweise sehen auch örtliche Sonderbestimmungen oder Bauordnungen vor, dass Dächer bei einem bestimmten Neigungswinkel mit einem Schneefanggitter versehen sein müssen. Privatleuten ist es in der Regel nur dann erlaubt einen öffentlichen Fußweg teilweise zu sperren, wenn die Gefahr durch Dachlawinen akut ist.

1.1

Begründe, dass Dächer ohne Wärmedämmung und mit glatten Dachziegeln die Entstehung von Dachlawinen begünstigen können.

(2 BE)

1.2

Durch Witterungseinflüsse sinkt die Reibungszahl, dadurch löst sich ein Schneebrett von der Dachfläche (Neigungswinkel $55^{\circ}$ ). Dieser Vorgang wird modellhaft vereinfacht.
Berechne diese Reibungszahl.

(2 BE)

1.3

Das Schneebrett gleitet über die Dachkante (Neigungswinkel $55^{\circ}$ ) und fällt auf den Gehweg. Auf diesen Vorgang wird das Modell „Schräger Wurf“ angewandt.

1.3.1

Nenne dafür zwei notwendige Annahmen.

(2 BE)

1.3.2

Die Höhe der Dachkante (Abwurfort) über dem Fußweg beträgt $7,50 \;\text{m}.$ In dieser Höhe hat das Schneebrett parallel zum Dach die Geschwindigkeit $1,2\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}.$
Berechne die Wurfweite.

(3 BE)

Kondenstarormikrofon

Mikrofone wandeln mechanische (akustische) Signale infolge des Schalldrucks in elektrische Signale, die geeignet verstärkt werden. Sie werden z. B. in Smartphones und Headsets verbaut, dienen aber auch der Messung und Untersuchung von Schall. Die Wandlung erfolgt auf der Grundlage verschiedener physikalischer Prinzipien z. B. der elektromagnetischen Induktion, der Widerstandsänderung oder der Kapazitätsänderung von Kondensatoren.

Kondensatormikrofone nutzen die Ladungsspeicherung eines Plattenkondensators. Die beiden Abbildungen verdeutlichen die Größe und eine Einsatzmöglichkeit für ein derartiges Mikrofon.

Nahaufnahme eines goldenen Saxophons auf Bühne mit Mikrofon und unscharfem Hintergrund

Die schwingungsfähig aufgehängte, leitfähige Membran bildet zusammen mit der unbeweglichen Gegenelektrode einen luftgefüllten Plattenkondensator. Diese kreisförmige Membran ist extrem dünn und hat demnach eine sehr geringe Trägheit. Deshalb ist es wichtig, dass die Gegenelektrode vielfach gelocht ist. Die Gleichspannungsquelle der Spannung $U_0$ ist permanent an die Schaltung angeschlossen.

2.1

Es wirkt kein Schalldruck auf die kreisförmige Membran.

Diese hat den Durchmesser $1,0 \;\text{cm},$ der Plattenabstand beträgt $1,0 \cdot 10^{-4} \;\text{m}.$ Die Spannung beträgt $41,0 \;\text{V}.$ Berechne die Kapazität des Kondensators und die gespeicherte Ladung $Q_0.$

Hinweis: Das elektrische Feld des Plattenkondensators wird als homogen angenommen.

(4 BE)

2.2

Die Frequenz einer Schallschwingung beträgt $440 \;\text{Hz}.$ Innerhalb einer Viertelperiode verringert sich der Plattenabstand um $1,0 \cdot 10^{-5} \;\text{m}.$

2.2.1

Weise rechnerisch nach, dass sich dadurch die Ladung um $3,2 \cdot 10^{-11} \;\text{C}$ ändert.

(3 BE)

2.2.2

Berechne die während der Veränderung des Plattenabstands auftretende mittlere Stromstärke.

Die Druckänderung infolge des Schalls bewirkt eine Spannung $U_1$ über dem technischen Widerstand $(R=10,0\;\text{k} \Omega).$
Berechne diese Spannung.

(4 BE)

Stirling'scher Kreisprozess / Solar-Stirling-Anlagen

Björn Appel, Dish-stirling-at-odeillo, CC BY-SA 3.0

3.1

Sonnenlicht fällt auf einen schüsselförmigen Spiegel, wird reflektiert und trifft auf einen Stirlingmotor, der mit einem elektrischen Generator gekoppelt ist.
Die wegen des schüsselförmigen Spiegels auch Dish-Stirling-Anlagen genannten Systeme eignen sich besonders für die dezentrale Stromversorgung. Prototypen derartiger Anlagen wurden z. B. in den USA und Spanien getestet. Die Wirkungsgrade sind teilweise – allerdings bei großem Aufwand – denen von Photovoltaikanlagen vergleichbar.
Beschreibe die prinzipiellen Energieumwandlungen für die Anlage.

(2 BE)

3.2

Ein einatomiges Gas durchläuft einen Stirling'schen Kreisprozess.
Bei hoher Temperatur $T_{\text {hoch}}$ wird die Wärme $Q_{\text {zu}}$ dem Gas zugeführt und bei niedriger Temperatur $T_{\text {niedrig}}$ wird die Wärme $Q_{\text{ab}}$ vom Gas an die Umgebung abgegeben. Die Abbildung zeigt ein $p(V)$ -Diagramm für diesen Kreisprozess. Die Stoffmenge des Gases beträgt $0,820 \;\text{mol}.$

Berechne die Temperaturen $T_{\text {hoch}}$ und $T_{\text {niedrig}}.$
Ermittle den Betrag der Nutzarbeit.

Hinweis: Lies die erforderlichen Messwertpaare aus dem $p(V)$ -Diagramm ab.

(4 BE)

3.3

Ein Energieflussdiagramm ist eine schematische Darstellung von Energieumwandlungsprozessen. Durch Pfeile werden die Energieumwandlungen zwischen den verschiedenen Energieträgern systematisch abgebildet.

Die Abbildung (nicht maßstäblich) zeigt das Energieflussdiagramm für den Prozess aus Teilaufgabe 3.2.

Der Stirling'sche Kreisprozess (siehe die Abbildung in Teilaufgabe 3.2) wird nun entgegengesetzt durchlaufen $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1.$

Skizziere das zugehörige Energieflussdiagramm.

(2 BE)

3.4

In einer historischen Formulierung aus dem 19. Jahrhundert von R. Clausius lautet der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

„Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist."

Begründe, dass eine Maschine, die dem Prinzip nach einen solchen umgekehrten Stirling'schen Kreisprozess periodisch durchläuft, dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nicht widerspricht.

(2 BE)

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1.1

Ein Dach ohne Wärmedämmung lässt die Wärme aus dem Inneren des Gebäudes leichter nach außen dringen. Diese Wärme kann die unterste Schicht des Schnees, die auf den Dachziegeln liegt, zum Schmelzen bringen.
Wenn die Temperaturen wieder sinken, friert das Wasser und bildet eine dünne Eisschicht unter dem verbleibenden Schnee. Diese Schicht verringert die Reibung und erhöht die Gleitfähigkeit des Schnees, wodurch die Schneedecke leichter ins Rutschen kommt.

Bei glatten Dachziegeln ist die Oberfläche gleichmäßig und bietet keine nennenswerten Widerstände oder Hindernisse, die den Schnee daran hindern könnten, sich zu bewegen, was Lawinen ebenfalls wahrscheinlicher macht

1.2

Löst sich ein Schneebrett von der Dachlawine, so gilt $F_H\gt F_R.$ Bei Gleichheit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} F_H&=& F_R \\[5pt] F_G\cdot \sin \alpha&=& \mu \cdot F_N \\[5pt] F_G\cdot \sin\alpha&=& \mu \cdot F_G \cdot \cos\alpha&\quad \scriptsize \mid\; :(F_G\cdot\cos\alpha) \\[5pt] \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}&=& \mu \\[5pt] \dfrac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ} &=& \mu \\[5pt] 1,43 &\approx& \mu \end{array}$

Die Reibungszahl muss somit $\mu\lt1,43$ erfüllen.

1.3

1.3.1

gleichförmige Bewegung in horizontale $x$ -Richtung (konstante Geschwindigkeit)
gleichmäßig beschleunigte Bewegung in vertikale $y$ -Richtung

1.3.2

Gegeben: $h=7,5 \;\text{m}, 

v_0=1,2 \;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}, 

\alpha= 55^{\circ}$

Gesucht: $s_x$

Lösung:

1. Schritt: $\boldsymbol{v_{y,0}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} v_{y,0}&=&v_0\cdot\sin \alpha \\[5pt] v_{y,0}&=&1,2 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\sin 55^{\circ} \\[5pt] &\approx& 0,98 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

2. Schritt: Wurfzeit $\boldsymbol{t_W}$ berechnen

Rechnung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $t_w \approx 1,14\;\text{s}.$

3. Schritt: Wurfweite berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s_x&=& v_{x,0} \cdot t_w \\[5pt] &=& v_0\cdot\cos \alpha \cdot t_w \\[5pt] &=& 1,2 \;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \cos 55^\circ \cdot 1,14 \;\text{s} \\[5pt] &=& 0,78 \;\text{m} \end{array}$

2.1

Gegeben: $d= 1\cdot 10^{-4}\;\text{m},$ $U_0= 41 \;\text{V},$ $r=\dfrac{1 \;\text{cm}}{2}=0,005 \;\text{m},$ $\varepsilon_r = 1,$ $\varepsilon_0 = 8,853\cdot 10^{-12} \;\frac{\text{As}}{\text{Vm}}$

Gesucht: $C, Q_0$

Lösung:

Kapazität berechnen

$\begin{array}[t]{rll} C&=& \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0\cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] &=& \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0\cdot \dfrac{\pi \cdot r^2}{d} \\[5pt] &=& 1\cdot 8,853\cdot 10^{-12} \;\frac{\text{As}}{\text{Vm}} \cdot \dfrac{\pi \cdot (0,005 \;\text{m})^2}{1\cdot 10^{-4}\;\text{m}} \\[5pt] &\approx& 6,94 \cdot 10^{-12}\;\text{F} \end{array}$

Gespeicherte Ladung $\boldsymbol{Q_0}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} C &=& \dfrac{Q_0}{U_0}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot U_0 \\[5pt] C\cdot U_0&=& Q_0 \\[5pt] 6,94 \cdot 10^{-12}\;\text{F}\cdot 41 \;\text{V}&=& Q_0 \\[5pt] 2,85 \cdot 10^{-10} \;\text{C}&\approx& Q_0 \end{array}$

2.2

2.2.1

Gegeben: $\Delta d= 1\cdot10^{-5} \;\text{m}, 

d=1\cdot10^{-4} \;\text{m}$

Gesucht: $\Delta Q$

Lösung:

Es gilt $d_{\text {neu}}= d-\Delta d.$

Damit folgt:

Rechenweg anzeigen

$C_{\text {neu}} \approx 7,73\cdot 10^{-12}\;\text{F}$

Für die neue Ladung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} Q_{\text {neu}}&=&C_{\text {neu}}\cdot U_0 \\[5pt] &=&7,73\cdot 10^{-12}\;\text{F}\cdot41\;\text{V} \\[5pt] &\approx&3,17\cdot10^{-10}\;\text{C} \end{array}$

Somit folgt für die Änderung der Ladung:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta Q&=&Q_{\text {neu}}-Q_{0} \\[5pt] &=&3,17\cdot10^{-10}\;\text{C}-2,85\cdot10^{-10}\;\text{C} \\[5pt] &=&3,2\cdot10^{-11}\;\text{C} \end{array}$

2.2.2

Gegeben: $f=440 \;\text{Hz} , 

\Delta Q=3,2 \cdot 10^{-11} \;\text{C}, 

R=10,0\;\text{k} \Omega$

Gesucht: $\bar{I},U_1$

Lösung:

Mittlere Stromstärke berechnen

Es gilt $\bar{I}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$

1. Schritt: $\boldsymbol{\Delta t}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \Delta t&=&\dfrac{T}{4} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4f} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4\cdot440 \;\frac{1}{ \text{s} }} \\[5pt] &\approx& 0,000568 \; \text{s} \\[5pt] &=& 5,68 \cdot 10^{-4} \; \text{s} \end{array}$

2. Schritt: Mittere Stromstärke berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \bar{I} &=&\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \\[5pt] &=& \dfrac{3,2 \cdot 10^{-11} \;\text{C} }{5,68 \cdot 10^{-4} \;\text{s} }\\[5pt] &\approx& 5,63\cdot 10^{-8} \;\text{A} \end{array}$

Spannung berechnen

Die Spannung $U_1$ über dem Widerstand ist durch das Ohmsche Gesetz gegeben, somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} U_1&=& \bar{I} \cdot R \\[5pt] &=& 5,63\cdot 10^{-8} \;\text{A} \cdot 10,0 \cdot 10^3 \;\Omega \\[5pt] &=& 5,63\cdot 10^{-4} \;\text{V} \end{array}$

3.1

Bei einer Dish-Stirling-Anlage finden nacheinander drei wesentliche Energieumwandlungen statt. Zunächst bündelt der schüsselförmige Spiegel das einfallende Sonnenlicht auf den Erhitzer des Stirlingmotors. Dabei wird die Strahlungsenergie der Sonne in thermische Energie (Wärme) umgewandelt. Diese Wärme treibt anschließend den Stirlingmotor an. Durch die Bewegung des Motors wird die thermische Energie in mechanische Energie umgewandelt. Im letzten Schritt treibt der Motor einen angeschlossenen Generator an. Dieser wandelt die mechanische Energie schließlich in nutzbare elektrische Energie um.

3.2

Isotherme Expansion

Wird dem Gas Wärme zugeführt, so expandiert das Volumen von $V_3$ auf $V_4$ isotherm. Das Volumen steigt, der Druck sinkt, die Temperatur bleibt gleich.
Dabei wird die Wärme $Q_{34}$ aufgenommen und das Gas verrichtet die Arbeit $W_{34}$ durch Verschieben des Arbeitskolbens.
Das passiert in der Abbildung beim Übergang von Zustand 3 zu Zustand 4. In diesen Zuständen entspricht die Temperatur folglich $T_{\text{hoch}}.$

Isotherme Kompression

Wird vom Gas Wärme an die Umgebung abgegeben, so komprimiert es isotherm. Das bedeutet: Das Volumen sinkt, der Druck steigt, die Temperatur bleibt gleich.
Dabei wird die Wärme $Q_{12}$ abgegeben und die Arbeit $W_{12}$ zugeführt.
Das passiert in der Abbildung beim Übergang von Zustand 1 zu Zustand 2. Hier bleibt die Temperatur gleich und entspricht folglich $T_{\text{niedrig}}.$

Temperaturen berechnen

Gegeben: $n= 0,820 \;\text{mol},$ $R=8,31\;\dfrac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{mol}}$

Ablesen aus der Abbildung: $V_1= 0,02 \;\text{m}^3, 

p_1= 1\cdot 10^{5}\;\text{Pa}, 

V_3= 0,008 \;\text{m}^3,$ $p_3= 8\cdot 10^{5}\;\text{Pa}$

Gesucht: $T_{\text{niedrig}},$ $T_{\text{hoch}},W_{\text {Nutz}}$

Lösung:

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} p\cdot V&=& n\cdot R\cdot T &\quad \scriptsize \mid\; :(n\cdot R) \\[5pt] \dfrac{p\cdot V}{n\cdot R}&=& T \end{array}$

Einsetzen der passenden Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} T_{\text{niedrig}}&=& \dfrac{p_1\cdot V_1}{n\cdot R} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot 10^{5}\;\text{Pa} \cdot 0,02 \;\text{m}^3}{0,820 \;\text{mol} \cdot 8,31\;\tfrac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{mol}}} \\[5pt] &\approx & 293,5 \;\text{K} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} T_{\text{hoch}}&=& \dfrac{p_3\cdot V_3}{n\cdot R} \\[5pt] &=& \dfrac{8\cdot 10^{5}\;\text{Pa} \cdot 0,008 \;\text{m}^3}{0,820 \;\text{mol} \cdot 8,31\;\tfrac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{mol}}} \\[5pt] &\approx & 939,2 \;\text{K} \end{array}$

Nutzarbeit ermitteln

Ablesen aus der Abbildung liefert $V_2= V_3$ und $V_4= V_1.$

1. Schritt: Verrichtete Arbeit berechnen

Rechenweg anzeigen

$\vert W_{34}\vert \approx 5864,2 \;\text{J}$

2. Schritt: Aufgenommene Arbeit berechnen

Rechenweg anzeigen

$\vert W_{12}\vert\approx 1832,5\;\text{J}$

3. Schritt: Nutzarbeit bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} W_{\text {Nutz}}&=& \vert W_{34}\vert-\vert W_{12}\vert \\[5pt] &=& 5864,2 \;\text{J} - 1832,5\;\text{J}\\[5pt] &=& 4031,7 \;\text{J} \end{array}$

3.3

Wird der Prozess entgegengesetzt durchlaufen, entnimmt der Motor Wärme mithilfe mechanischer Arbeit, um sie dann als Wärme an die Wärmequelle abgeben zu können. Hier muss also mechanische Energie zugeführt werden, damit Wärme vom kälteren zum heißeren Medium fließen kann.

3.4

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass Wärme nicht von selbst von einem kälteren auf einen wärmeren Körper übergehen kann, d.h. ohne, dass Arbeit von außen zugeführt wird.
Wird der Stirling'sche Kreisprozess umgekehrt durchlaufen, wird Arbeit aufgewendet, um Wärme von einem kälteren auf einen wärmeren Körper zu übertragen.
Eine Maschine die einen umgekehrten Stirling-Kreisprozess periodisch durchläuft widerspricht dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik somit nicht.

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