Teil C – Experimente

Wahlaufgabe C1: Geneigte Ebene

Seilrutschbahnen sind beliebte Attraktionen auf Kinderspielplätzen (siehe Abbildung). Sie bestehen aus einem zwischen zwei Punkten gespannten Seil, einem auf Rollen gelagerten Wagen (Laufkatze) sowie einem Sitzteller, der über ein kürzeres Seil an der Laufkatze befestigt ist. Die beiden Befestigungspunkte des gespannten Seils liegen auf verschiedener Höhe.

Ein Kind nimmt auf dem Sitzteller in der Nähe des oberen Befestigungspunkts des Seils Platz und bewegt sich die Seilrutschbahn hinab. Erreicht die Laufkatze den unteren Befestigungspunkt des Seils, stoppt diese. Das Kind beginnt zu schwingen.

Der Sachverhalt wird modellhaft vereinfacht. Die nachfolgende Abbildung zeigt das Prinzip.

Skizze eines Wagens auf geneigter Schiene mit Hemmschuh, Pendel und markierten Winkeln α, β sowie Strecke s_max

Das gespannte Seil wird durch eine geneigte Ebene und die Laufkatze wird durch einen Experimentierwagen ersetzt.
Das Kind, der Sitzteller und das kürzere Seil bilden ein Fadenpendel der Länge $\ell.$ Für die Bewegung auf der geneigten Ebene wird angenommen, dass das Fadenpendel lotrecht ist.

Plane das Experiment den folgenden Aufgabenstellungen gemäß.
Die vollständig aufgebaute Experimentieranordnung sowie alle erforderlichen Geräte und Hilfsmittel werden dir von der Aufsicht führenden Fachlehrkraft übergeben.

Das planvolle und systematische Experimentieren sowie die Handhabung der Simulationssoftware werden bewertet.

(2 BE)

Gib den Wagen am oberen Ende der geneigten Ebene frei. Beobachte die Bewegung.

Miss die Länge $\ell$ des Pendels, den Neigungswinkel $\beta$ der geneigten Ebene sowie den maximalen Rollweg $s_{\text {max}},$ den der Wagen auf der geneigten Ebene zurücklegt, und die zugehörige Zeit $t.$

(3 BE)

Von der Aufsicht führenden Fachlehrkraft wird dir ein Computer bereitgestellt, auf dem die von euch im Unterricht genutzte Software zur Modellbildung installiert ist. Es wurde ein numerisches Modell zur Simulation der Bewegung der Laufkatze auf der geneigten Ebene erstellt. Dieses ist in der Tabelle beschrieben und in das Programm eingefügt.

Hinweis: Erfrage bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft, ob in der von dir genutzten Software Winkel im Grad- oder im Bogenmaß einzutragen sind.

$\color{#ffff}{(1)}$	$F_{ H }=m_{ ges } \cdot g \cdot \sin \beta$
$\color{#ffff}{(2)}$	$a=\dfrac{F_{H}}{m_{\text {ges}}}$
$\color{#ffff}{(3)}$	$v_{\text {neu}}=v_{\text {alt}}+a \cdot \Delta t$
$\color{#ffff}{(4)}$	$s_{\text {neu}}=s_{\text {alt}}+v_{\text {neu}} \cdot \Delta t$
$\color{#ffff}{(5)}$	$t_{\text {neu}}=t_{\text {alt}}+\Delta t$

2.1

Simuliere die Bewegung. Übernimm dazu die erforderlichen Messwerte aus Teilaufgabe 1 als Startwerte in das Programm.
Erfrage die Gesamtmasse $m_{\text {ges}}$ bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft.
Drucke das zugehörige $s(t)$ -Diagramm aus.
Ermittle unter Nutzung dieses Diagramms die zu $s_{\max}$ gehörige Zeit.

(2 BE)

Die in den Teilaufgaben 1 und 2.1 ermittelten Zeiten unterscheiden sich.
Eine Ursache dafür ist, dass bei der Erstellung des numerischen Modells die Reibung nicht berücksichtigt wurde.

2.2

Ergänze das numerische Modell so, dass die Reibungskraft berücksichtigt wird. Ermittle die Reibungskraft durch geeignete Simulationen. Beschreibe deine Vorgehensweise.

(3 BE)

Um den Spaßfaktor zu erhöhen, nehmen Kinder entgegen der oben getroffenen Annahme nicht nur einfach auf dem Sitzteller Platz, sondern springen nach einem kurzen Anlauf auf. Infolgedessen schwingen die Kinder am Ende der Bahn weiter aus. Aus Sicherheitsgründen darf dabei ein bestimmter Auslenkwinkel nicht überschritten werden.

Der Sachverhalt wird mit der obigen Experimentieranordnung und dem numerischen Modell untersucht.

3.1

Für den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit des Pendelkörpers $v$ im tiefsten Punkt der Kreisbahn und dem maximalen Auslenkwinkel $\alpha$ des Pendelkörpers gilt $v=\sqrt{2 \cdot g \cdot \ell \cdot(1-\cos \alpha)}.$
Leite diese Gleichung ausgehend von einem Energieansatz her.
Gib $v$ für den maximalen Auslenkwinkel $60^{\circ}$ an.

(3 BE)

3.2

Es wird angenommen, dass der Betrag der Geschwindigkeit des Wagens unmittelbar vor dem Aufprall auf den Hemmschuh der Geschwindigkeit $v$ entspricht. In dem ergänzten numerischen Modell aus Teilaufgabe 2.2 wird die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens durch den Startwert der Geschwindigkeit berücksichtigt.
Simuliere die Bewegung für den Startwert $v=0.$
Stelle das Ergebnis in einem $v(s)$ -Diagramm dar. Drucke dieses aus.
Vergrößere den Startwert für $v.$ Gib den Startwert an, bei dem sich die in Teilaufgabe 3.1 berechnete Geschwindigkeit bei $s_{\max}$ einstellt.

(2 BE)

Wahlaufgabe C2: Welleneigenschaften des Lichts

Führe Untersuchungen zur Interferenz von einfarbigem Licht einer Leuchtdiode (LED) durch.

Plane das Experiment der folgenden Aufgabenstellung gemäß.
Die vollständig aufgebaute Experimentieranordnung sowie alle erforderlichen Geräte und Hilfsmittel werden dir übergeben.

Das planvolle und systematische Experimentieren wird bewertet.

(1 BE)

Beobachte eine leuchtende LED durch das optische Gitter. Es tritt Interferenz auf. Der Abstand der Beugungsmaxima kann auf dem Millimeterpapier abgelesen werden.

1.1

Stelle den Abstand der LED vom Gitter so ein, dass das erste Beugungsmaximum zu beobachten ist. Miss diesen Abstand $e$ sowie die Größe $s_1.$
Erfrage bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft die Gitterkonstante für das optische Gitter.
Berechne die Wellenlänge des Lichts der LED.
Hinweis: $\quad$ Es gilt $\tan \alpha_{ k }=\tfrac{s_{ k }}{e}$ und $\sin \alpha_{ k }=\tfrac{k \cdot \lambda}{b}.$

(3 BE)

1.2

Der absolute Fehler für $\alpha_1$ beträgt $1,0^{\circ}.$ Der Fehler für $b$ ist vernachlässigbar.
Ermittle den relativen Fehler des Ablenkwinkels für Teilaufgabe 1.1 und den relativen Fehler für $\lambda.$

(4 BE)

Ersetze das optische Gitter durch eine Textilprobe und beobachte die leuchtende LED durch die Textilprobe.

2.1

Beschreibe deine Beobachtung.

(2 BE)

2.2

Entscheide, ob der Fadenabstand der Textilprobe größer oder kleiner als die Gitterkonstante $b$ ist. Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Erläutere an einem selbstgewählten Beispiel physikalische Grundlagen zur Interferenz durch Reflexion an dünnen Schichten.

(3 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Wahlaufgabe C1: Geneigte Ebene

Beispielswerte: $\ell = 12 \;\text{cm},$ $\beta= 3^{\circ},$ $s_{\text{max}}= 80 \;\text{cm},$ $t= 2 \;\text{s}$

2.1

Die Gesamtmasse entspricht z.B. $m_{\text{ges}}= 200\;\text{g}.$

Ein $s(t)-$ Diagramm kann z.B. so aussehen:

Für $s_{\text{max}}= 80 \;\text{cm}=0,8\;\text{m}$ wird aus dem $s(t)$ - Diagramm $t\approx 1,8\;\text{s}$ abgelesen.

2.2

Reibungskraft ergänzen

Es gilt $F_R= \mu\cdot F_N$ $= \mu \cdot m_{\text{ges}}\cdot g\cdot \cos(\beta)$

Die resultierende Gesamtkraft, durch die sich der Wagen die schiefe Ebene hinab bewegt, ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{ges}}&=& F_H -F_R \\[5pt] &=& m_{\text{ges}}\cdot g\cdot \sin(\beta)-\mu \cdot m_{\text{ges}}\cdot g\cdot \cos(\beta) \end{array}$

Die Beschleunigung unter Berücksichtigung der Reibungskraft ist:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{F_{\text{ges}}}{ m_{\text{ges}}} \\[5pt] &=& \dfrac{m_{\text{ges}}\cdot g\cdot \sin(\beta)-\mu \cdot m_{\text{ges}}\cdot g\cdot \cos(\beta) }{ m_{\text{ges}}} \\[5pt] &=& g\cdot \sin(\beta)-\mu \cdot g\cdot \cos(\beta) \end{array}$

Die anderen Formeln des numerischen Modells bleiben gleich.

Die Reibungskraft kann nun ermittelt werden, in dem die in Aufgabe 1 gemessene Zeit von $t=2\;\text{s}$ mit Hilfe des neuen Modells auf die Beschleunigung zurückgeführt wird, welche dann $\mu$ liefert.

3.1

Herleitung

Im höchsten Punkt der Pendelbewegung, bei einer Auslenkung $\alpha$ vom Lot, hat der Pendelkörper ausschließlich potentielle Energie und keine kinetische Energie, da seine Geschwindigkeit hier null ist.
Die Höhe $h$ des Pendelkörpers über dem tiefsten Punkt der Pendelbewegung kann durch die Länge des Pendels $\ell$ und den Auslenkwinkel $\alpha$ berechnet werden. Die folgende Skizze stellt die Situation dar:

Skizze: vertikale Stange, schräger Arm l, Winkel α, Höhen h und l-h, zwei Zylinder als Gewichte

Somit gilt:

$h=\ell-\ell \cdot \cos \alpha=\ell(1-\cos \alpha)$

Die potentielle Energie $E_{\text {pot }}$ im höchsten Punkt ist daher:

$E_{\text{pot}}=m \cdot g \cdot h=m \cdot g \cdot \ell(1-\cos \alpha)$

Im tiefsten Punkt der Pendelbahn hat der Pendelkörper seine maximale Geschwindigkeit $v$ und somit seine maximale kinetische Energie. Die potentielle Energie ist hier null. Es gilt:

$E_{\text{kin}}=\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot v^2$

Mit dem Energieerhaltungssatz folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E_{\text{kin}}&=&E_{\text{pot}} \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot m \cdot v^2 &=& m \cdot g \cdot \ell(1-\cos \alpha) &\quad \scriptsize \mid\; :m\\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot v^2&=&g \cdot \ell(1-\cos \alpha)&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] v^2&=& 2\cdot g \cdot \ell(1-\cos \alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] v&=& \sqrt{2\cdot g \cdot \ell\cdot(1-\cos \alpha)} \end{array}$

Geschwindigkeit für den maximalen Auslenkwinkel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\sqrt{2\cdot 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,12\;\text{m}\cdot(1-\cos 60^{\circ})} \\[5pt] &\approx& 1,1\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

3.2

Für die Beschleunigung $a$ des Wagens folgt mit den Werten aus Aufgabe 1:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{2 \cdot s_{\max }}{t^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 0,80 \mathrm{~m}}{(2 \mathrm{~s})^2} \\[5pt] &=& 0,4\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{array}$

Ein mögliches $v(s)$ -Diagramm kann zum Beispiel so aussehen:

v(s)-Diagramm: steigende Wurzelkurve v=√(2·a·s), Achsen Strecke (m) und Geschwindigkeit (m/s), markierter Punkt bei s=0.8 m, v=0.8 m/s

Mit der Geschwindigkeit $v_\text{Ende}=1,1\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ aus Teilaufgabe 3.1 ergibt sich für den gesuchten Startwert der Geschwindigkeit:

$\begin{array}[t]{rll} v_{\text {start}}&=& \sqrt{v_{\text {ende }}^2-2 \cdot a \cdot s_{\max }} \\[5pt] &=& \sqrt{\left(1,1\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2-2 \cdot 0,40\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 0,80\; \mathrm{m}} \\[5pt] &\approx&0,76\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{array}$

C2: Welleneigenschaften des Lichts

1.1

Messwerte

Mögliche Werte sind:

$e=0,5 \;\text{m}$

$s_1=0,19 \;\text{m}$

Gitterkonstante: $b=4\cdot 10^{-5}\;\text{m}$

Berechnung der Wellenlänge

Für den Winkel $\alpha_1$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha_1&=& \dfrac{s_1}{e} \\[5pt] \tan \alpha_1 &=& \dfrac{0,19 \;\text{m}}{0,5 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha_1&=& \tan^{-1} \dfrac{0,19 \;\text{m}}{0,5 \;\text{m}} \\[5pt] \alpha_1&\approx& 20^{\circ} \end{array}$

Für die Wellenlänge $\lambda$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_1&=& \dfrac{1\cdot \lambda}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] b\cdot\sin \alpha_1&=& \lambda \\[5pt] 4\cdot 10^{-5}\;\text{m}\cdot\sin 20^{\circ}&=& \lambda \\[5pt] 456 \cdot 10^{-5} \;\text{m}&=& \lambda \\[5pt] 456 \;\text{nm}&=& \lambda \end{array}$

1.2

Für den relativen Fehler des Ablenkwinkels gilt:

$f_{\text{rel}}(\alpha_1)=\dfrac{\Delta \alpha_1}{\alpha_1}=\dfrac{1,0^\circ}{20^\circ}=0,05=5\,\%$

Für den absoluten Fehler von $\lambda$ ergibt sich durch Umstellen der Formel aus Teilaufgabe 1.1 und Ableiten nach $\alpha_1:$

$\Delta \lambda=b \cdot \cos \alpha_1 \cdot \Delta \alpha_{1}$

Der absolute Fehler von $\alpha_1$ ist $\Delta \alpha_1=\dfrac{1,0^\circ}{180^\circ}\cdot\pi$ $\approx0,01745.$ Damit ergibt sich für den relativen Fehler von $\lambda:$

$\begin{array}[t]{rll} f_\text{rel}(\lambda)&=& \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda} \\[5pt] &=& \dfrac{b \cdot \cos \alpha_1 \cdot \Delta \alpha_1}{b \cdot \sin \alpha_1} \\[5pt] &=& \dfrac{\Delta \alpha_1}{\tan \alpha_1} \\[5pt] &\approx& \dfrac{0,01745}{\tan 20^\circ} \\[5pt] &\approx& 0,0479 \\[5pt] &=&4,79\,\% \end{array}$

2.1

Wenn die LED durch eine Textilprobe betrachtet wird, wirkt der Stoff wie ein zweidimensionales optisches Gitter (ein sogenanntes Kreuzgitter), da die Fäden waagerecht und senkrecht miteinander verwebt sind.
Es lässt sich nicht mehr nur eine einzelne Linie von Lichtpunkten erkennen, sondern es kann ein zweidimensionales, gitter- oder kreuzförmiges Muster aus Lichtpunkten beobachtet werden. Um einen hellen Hauptpunkt in der Mitte (das Hauptmaximum 0. Ordnung) ordnen sich nach oben, unten, links, rechts (und oft auch diagonal) schwächere Beugungsmaxima an.

2.2

Der Fadenabstand der Textilprobe ist deutlich größer als die Gitterkonstante $b.$

Entscheidung begründen

Das ergibt sich aus der Formel aus Aufgabenteil 1.1:

$\sin \alpha_k=\dfrac{k \cdot \lambda}{b}$

Aus der Formel lässt sich ablesen, dass der Sinus des Beugungswinkels $\alpha_k$ umgekehrt proportional zur Gitterkonstante $b$ ist.
Beim Textilgewebe liegen die sichtbaren Beugungsmaxima sehr dicht beieinander um die LED herum, d.h. der Winkel ist sehr klein. Bei einem optischen Gitter liegen die Maxima deutlich weiter auseinander. Da der Winkel beim Textil somit viel kleiner ist, muss der Abstand der "Spalte" (also der Fadenabstand) folglich viel größer sein als beim optischen Gitter.

Beispiel: Das bunte Schillern einer Seifenblase

Trifft weißes Licht auf eine sehr dünne, durchsichtige Schicht (wie die Wasser-Seifen-Haut einer Seifenblase), entstehen bunte Farben durch die Interferenz von Lichtwellen. Die physikalischen Grundlagen gliedern sich in folgende Schritte:

Strahlteilung durch Reflexion und Brechung:
Trifft ein Lichtstrahl auf die Seifenblase, wird ein Teil des Lichts direkt an der äußeren Oberfläche reflektiert (Teilstrahl 1). Der restliche Teil dringt in die Schicht ein, wird gebrochen und durchquert die Seifenhaut.
Zweite Reflexion:
Der eingedrungene Strahl trifft auf die innere Begrenzung der Schicht. Dort wird er erneut reflektiert, wandert durch die Schicht zurück nach außen und verlässt die Seifenblase (Teilstrahl 2).
Gangunterschied:
Die beiden Teilstrahlen 1 und 2 wandern nun parallel in Richtung Auge der beobachtenden Person. Teilstrahl 2 hat jedoch einen längeren Weg zurückgelegt, da er die Schicht der Dicke $d$ zweimal durchquert hat. Dieser Längenunterschied führt zu einer Phasenverschiebung zwischen den beiden Wellen.
Phasensprung:
Teilstrahl 1 wird am optisch dichteren Medium (Seifenwasser) reflektiert. Dabei erleidet die Welle einen Phasensprung. Teilstrahl 2 wird an der inneren Grenzfläche zum optisch dünneren Medium (Luft) reflektiert. Hierbei gibt es keinen Phasensprung.
Interferenzbedingung:
Wenn die beiden Teilstrahlen in das Auge der beobachtenden Person fallen, überlagern sie sich. Ob sich das Licht einer bestimmten Farbe verstärkt oder auslöscht, hängt von der Schichtdicke $d$ und der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts ab.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?