Teil C – Experimente

Hinweis: Von den nachfolgenden Wahlaufgaben C 1 und C 2 soll in der Prüfung nur eine bearbeitet werden.

Wahlaufgabe C 1: Spule und Kondensator im Gleich- und Wechselstromkreis

Führe Untersuchungen an einer Spule und an einer Reihenschaltung aus Spule und Kondensator durch.

Plane das Experiment den folgenden Aufgabenstellungen gemäß und fordere bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft die notwendigen Geräte und Hilfsmittel an.

Das vollständige Anfordern aller notwendigen Geräte und Hilfsmittel sowie das planvolle und systematische Experimentieren werden bewertet.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Ermittle für die vorgegebene Spule durch Strom- und Spannungsmessung den Ohm'schen Widerstand $R.$

Erfrage bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft, welche Gleichspannung nicht überschritten werden darf.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Baue eine Reihenschaltung aus einer Spule mit Eisenkern und einem Kondensator auf. Die Stromstärke und die über dem Kondensator abfallende Spannung sollen gemessen werden.

Erfrage bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft die Einstellung der Wechselspannungsquelle und die Frequenz der Wechselspannung.

Durch Verschieben des Eisenkerns wird die Induktivität der Spule verändert. Verschiebe den Eisenkern so, dass es zur Reihenresonanz kommt.

2.1

Messe für diesen Fall den Effektivwert der Stromstärke und den Effektivwert der über dem Kondensator abfallenden Spannung.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

2.2

Berechne unter Nutzung der Messwerte aus Teilaufgabe 2.1 den kapazitiven Widerstand $X_C$ des Kondensators.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.3

Der Wert des kapazitiven Widerstands ist fehlerbehaftet. Erfrage bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft die absoluten Messunsicherheiten für die Stromstärke und die Spannung.

Ermittle den absoluten und den relativen Fehler des kapazitiven Widerstands.

Erreichbare BE-Anzahl: 03

2.4

Gib den induktiven Widerstand $X_L$ der Spule und den Gesamtwiderstand der Schaltung an.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.5

Zeichne ein zugehöriges Zeigerdiagramm ausschließlich für die Spule.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Wahlaufgabe C 2: Mechanische Schwingungen

Führe Untersuchungen an einem schwingungsfähigen System durch.
Ein Experimentierwagen steht auf einer waagerechten Unterlage. Er ist zwischen zwei gleichen Federn eingespannt und ruht in der Gleichgewichtslage. Wird der Wagen ausgelenkt und freigegeben, so führt er eine harmonische Schwingung aus. Die Abbildung zeigt das Prinzip.

sachsen physik abi lk 2023 teil c wahlaufgabe 2 abbildung 2 abbildung 1 experimentierwagen und spule

Plane das Experiment den folgenden Aufgabenstellungen gemäß.
Die vollständig aufgebaute Experimentieranordnung sowie alle erforderlichen Geräte und Hilfsmittel werden Ihnen übergeben.

Das planvolle und systematische Experimentieren wird bewertet.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

Löse eine der beiden Federn aus der Experimentieranordnung und ermittle experimentell deren Federkonstante $D_{\text {Feder }}.$

Erreichbare BE-Anzahl: 03

Stelle den ursprünglichen Zustand der Experimentieranordnung her. Lenke den Wagen aus der Gleichgewichtslage aus und gib ihn frei.

2.1

Messe die Periodendauer des schwingungsfähigen Systems.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

2.2

Erfrage die Masse des Wagens bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft. Berechne die Richtgröße $D_{\text {System }}$ des schwingungsähigen Systems.

Erreichbare BE-Anzahl: 02

Gib das Verhältnis $D_{\text {System }}$ zu $D_{\text {Feder }}$ an.

Erreichbare BE-Anzahl:01

Bei einem anderen schwingungsfähigen System gleicher Bauart beträgt die Richtgröße $D_{\text {System }}=5,1\,\text N \cdot \text m ^{-1}$ . Der Wagen hat die Gesamtmasse $0,107\,\text{kg}$ . Die Auslenkung $y$ wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gemessen.

Die Abbildung zeigt das zugehörige $y(t)$ -Diagramm.

sachsen physik abi lk 2023 teil c wahlaufgabe 2 abbildung 2

Die Spannenergie wird durch Reibungsarbeit vollständig entwertet. Die Reibungskraft ist konstant.

4.1

Gib die Periodendauer an.

Erreichbare BE-Anzahl: 01

4.2

Ermittle den insgesamt vom Wagen zurückgelegten Weg $s_{\text {gesamt }}$ .

Erreichbare BE-Anzahl: 02

4.3

Berechne die Reibungszahl $\mu$ .

Erreichbare BE-Anzahl: 03

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Die Spule wird mit einer einstellbaren Gleichspannungsquelle verbunden, wobei die Spannung im zulässigen Bereich bleibt. Ein Voltmeter wird parallel zur Spule geschaltet, um die Spannung über die Spule zu messen. Ein Amperemeter wird in Reihe mit der Spule geschaltet, um die Stromstärke zu messen. Die Spannung wird eingeschaltet und der angezeigte Stromwert (in Ampere) und der Spannungswert (in Volt) werden notiert. Zum Beispiel: $I=0,5 \, \text{A}$ und $U=5 \, \text{V}.$

Berechnung des Ohm'schen Widerstand $R$ mit Hilfe des Ohm'schen Gesetzes ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} R&=& \dfrac{U}{I} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{5 \;\text{V}}{0,5 \;\text{A}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10 \;\Omega \end{array}$

2.1

Die Spule mit Eisenkern und der Kondensator werden in Reihe geschaltet. Anschließend wird die Wechselspannungsquelle mit der zuvor erfragten Frequenz an die Schaltung angeschlossen. Ein Voltmeter wird parallel zum Kondensator angeschlossen, um die Spannung über dem Kondensator zu messen. Ein Amperemeter wird in Reihe mit der Schaltung geschaltet, um die Stromstärke zu messen. Während des Experiments wird der Eisenkern verschoben und gleichzeitig die Werte der Stromstärke und der Spannung über dem Kondensator beobachtet. Es wird nach dem Punkt gesucht, an dem eine Reihenresonanz auftritt, d.h. die Spannung über dem Kondensator ist maximal und der Strom ist minimal.

Der Spannungsabfall über dem Kondensator zum Zeitpunkt der Reihenresonanz entspricht dem Effektivwert der Spannung. Ebenso entspricht der Wert der Stromstärke zum Zeitpunkt der Reihenresonanz dem Effektivwert der Stromstärke.

Beispielsweise $U_{\text{eff}} = 6 \; \text{V}$ und $I_{\text{eff}} = 0.8 \;\text{A}$

2.2

Der kapazitive Widerstand $X_{\text{C}}$ ist in Wechselstromschaltungen definiert als:

$\begin{array}[t]{rll} X_{\text{C}}&=& \dfrac{U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}} \end{array}$

Einsetzen der gemessenen Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} X_{\text{C}}&=& \dfrac{U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{6 \; \text{V}}{0.8 \;\text{A}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,5 \; \Omega \end{array}$

2.3

Beispielsweise $\Delta I_{\text{eff}}= \pm\;0,1 \;\text{A}$ und $\Delta U_{\text{eff}}= \pm \;0,5 \; \text{V}$ entsprechen jeweils der absoluten Messunsicherheit der Stromstärke und der Spannung.

Für den abosluten Fehler des kapazitiven Widerstandes $\Delta X_{\text{C}}$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\Delta X_{\text{C}} = \pm\; 1,13 \;\Omega$

Für den relativen Fehler des kapazitiven Widerstandes $\dfrac{\Delta X_{\text{C}}}{X_{\text{C}}}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\Delta X_{\text{C}}}{X_{\text{C}}}&=&\dfrac{ 1,13 \;\Omega}{7,5 \;\Omega} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,15 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 15 \;\% \end{array}$

2.4

Induktiver Widerstand der Spule $X_{\text{L}}$ enstpricht im Reihenresonanzfall dem kapazitiven Widerstand $-X_{\text{C}}.$ Der Betrag ist gleich.

$\begin{array}[t]{rll} X_{\text{L}}&=& X_{\text{C}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,5 \; \Omega \end{array}$

Für den Gesamtwiderstand im Reihenresonanzfall $R_{\text{ges}}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} R_{\text{ges}}&=& X_{\text{L}}+X_{\text{C}} &\quad \scriptsize \mid\; X_{\text{L}}=-X_{\text{C}}\\[5pt] &=& X_{\text{C}}- X_{\text{C}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0 \; \Omega \end{array}$

2.5

Zeigerdiagramm

Die Federkonstante $D_{\text{Feder}}$ kann mit Hilfe folgender Formel berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2 \pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{D_{\text{Feder}}}} &\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2\\[5pt] T^2&=& 4\pi^2\cdot \dfrac{m}{D_{\text{Feder}}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot D_{\text{Feder}}\\[5pt] T^2\cdot D_{\text{Feder}}&=& 4\pi^2\cdot m &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{T^2} \\[5pt] D_{\text{Feder}}&=& \dfrac{4\pi^2\cdot m}{T^2} \end{array}$

Zur Bestimmung der Periodendauer $T$ kann eine Masse $m$ am unteren Ende der Feder befestigt und losgelassen werden, sodass sie zu schwingen beginnt. Mit Hilfe einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, die die Masse für eine vollständige Schwingung benötigt. Dabei wird die Zeit von dem Moment gemessen, wenn die Masse ihre maximale Auslenkung erreicht hat, bis zu dem Zeitpunkt, wenn sie wieder dieselbe maximale Auslenkung in der gleichen Richtung erreicht. Beispielsweise liefert eine gemessene Periodendauer von $T= 1,66\;\text{s}$ für eine Masse $m= 0,30 \;\text{kg}:$

$\begin{array}[t]{rll} D_{\text{Feder}}&=& \dfrac{4\pi^2\cdot m}{T^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4\pi^2\cdot 0,30 \;\text{kg}}{\left(1,66\;\text{s}\right)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4,3 \; \dfrac{\text{N}}{\text{m}} \end{array}$

2.1

Mit Hilfe einer Stoppuhr wird die Zeit gemessen, die der Wagen für eine vollständige Schwingung benötigt, also von der maximalen Auslenkung zur maximalen Auslenkung in derselben Richtung.Mehrfache Wiederholungen und die Berechnung des Mittelwerts der gemessenen Periodendauern $T$ liefern genauere Ergebnisse. Beispielsweise ergibt das Experiment:

Messung	$\color{#fff}{T}$ in $\color{#fff}{\text{s}}$
1	1,00
2	0,96
3	0,92
4	0,98
5	0,94

Der Mittelwert der Periodendauern liefert:

Rechenweg anzeigen

$T=0,96\;\text{s}$

2.2

Die Masse des Wagens wiegt beispielsweise $200 \, \text{g}.$ Für die Priodendauer des Systems gilt:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2 \pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{D_s}} &\quad \scriptsize \mid\; \left(\;\right)^2\\[5pt] T^2&=& 4\pi^2\cdot \dfrac{m}{D_s} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot D_s\\[5pt] T^2\cdot D_s&=& 4\pi^2\cdot m &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{T^2} \\[5pt] D_s&=& \dfrac{4\pi^2\cdot m}{T^2} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} D_s&=& \dfrac{4\pi^2\cdot m}{T^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4\pi^2\cdot0,2 \, \text{kg}}{\left(0,96\;\text{s}\right)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,6 \; \dfrac{\text{N}}{\text{m}} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{D_s}{D_{\text{Feder}}}&=&\dfrac{8,6 \; \dfrac{\text{N}}{\text{m}}}{4,3 \; \dfrac{\text{N}}{\text{m}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Die resultierende Härte $D_s$ des Systems entspricht $2\cdot D_{\text{Feder}}$ , da eine Feder gedehnt und die andere gestaucht wird, und beide einzelnen Federn folglich die gleiche Härte $D_{\text{Feder}}$ haben.

4.1

Die Periodendauer entspricht einer vollständigen Schwingung des Wagens, also beispielsweise der Zeit zwischen zwei Hochpunkten des Graphen. Innerhalb von $2 \; \text{s}$ hat der Wagen $2,25$ Perioden zurückgelegt. Für die Periodendauer ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& \dfrac{2 \; \text{s}}{2,25}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,89 \; \text{s} \end{array}$

Alternativ lässt sich die Periodendauer mit den Angaben auch berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& 2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{m}{D_s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\pi\cdot \sqrt{\dfrac{0,10 \; \text{kg}}{5,1 \dfrac{\text{N}}{\text{m}}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,88 \; \text{s} \end{array}$

4.2

Aufaddieren der Beträge der Extrempunkte des Graphen liefert den insgesamt vom Wagen zurückgelegt Weg $s_g:$

Rechenweg anzeigen

$s_s= 0,35 \; \text{m}$

4.3

Für die Reibungszahl $\mu$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta &=& \dfrac{\mu}{2\cdot m} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot2\cdot m \\[5pt] \beta \cdot 2\cdot m &=&\mu \end{array}$

$\beta$ lässt sich über die Bewegungsgleichung eines harmonischen gedämpften Oszillators berechnen. An einem Maximum gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y\left(t\right)&=& A e^{-\beta\cdot t}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{A} \\[5pt] \dfrac{y\left(t\right)}{A}&=& e^{-\beta\cdot t}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\left(\;\right)\\[5pt] \ln\left(\dfrac{y\left(t\right)}{A}\right)&=& \ln\left(e^{-\beta\cdot t}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \ln\left(\dfrac{y\left(t\right)}{A}\right)&=& -\beta\cdot t &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{-t}\\[5pt] \dfrac{\ln\left(\dfrac{y\left(t\right)}{A}\right)}{-t}&=& \beta \end{array}$

Einsetzen der Werte für das zweite Maximum liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \beta &=& \dfrac{\ln\left(\dfrac{y\left(t\right)}{A}\right)}{-t} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\ln\left(\dfrac{0,05 \; \text{m}}{0,07 \; \text{m}}\right)}{-0,8 \;\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,42 \; \dfrac{1}{\text{s}} \end{array}$

Einsetzen in die Gleichung liefert für die Reibungszahl $\mu:$

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&\beta \cdot 2\cdot m &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,42 \; \dfrac{1}{\text{s}} \cdot 2\cdot 0,10 \; \text{kg}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,08 \; \dfrac{\text{kg}}{\text{s}} \end{array}$

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