Wahlaufgaben

W1.1

In einem Kindergarten gibt es hundertzwanzig Kindergartenplätze. Davon sind Formula: 2{,}5 Prozent frei.

Berechne die Anzahl der freien Kindergartenplätze.

2 BE

W1.2

Die Kinder spielen zusammen. Aus einer dunklen Box können mit einer magnetischen Angel zufällig Spielzeugfische geangelt werden. In der Box gibt es zwölf Forellen, dreißig Karpfen und achtzehn Barsche. Ein Kind angelt nacheinander genau zwei Spielzeugfische.

Erstelle ein vollständiges und beschriftetes Baumdiagramm.

3 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass ein Kind einen Barsch und eine Forelle angelt.

2 BE

Da ein Kind nur mit zwei Spielzeugfischen der gleichen Art gewinnt, wirft es die beiden geangelten Spielzeugfische wieder zurück in die Box.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass das Kind nun zwei Spielzeugfische der gleichen Art angelt.

3 BE

W2.1

Die Erfurt Tourist Information wirbt mit der Broschüre „Erfurt umrunden und das Land erkunden" für den Radweg um die Thüringer Landeshauptstadt Erfurt.

Die vom Radweg umschlossene Fläche wird durch das eingezeichnete Dreieck vereinfacht dargestellt.

Karte mit einer dreieckigen Route um Erfurt und markierten Streckenabschnitten.

Berechne die von diesem Dreieck umschlossene Fläche.

4 BE

W2.2

Der Eingang zur Tourist Information wird rollstuhlgerecht umgebaut. Die bestehende Rampe soll dazu mit Hilfe von Beton (hellgrau) erweitert werden. Der Anstiegswinkel der Rampe muss Formula: 3{,}4 Grad betragen.

Skizze eines geneigten Körpers mit Maßangaben und Winkelangabe 3,4°

Skizze nicht maßstäblich

Berechne das Volumen des benötigten Betons in Kubikmeter.

6 BE

W3.1

Über einer Schnellstraße führt eine Fußgängerbrücke, die von einem parabelförmigen Träger gehalten wird. (siehe Abbildung)

Der parabelförmige Träger kann näherungsweise mit der Gleichung der Funktion $Formula: y=f(x)=a \cdot x^2+c$ $Formula: y=f(x)=a \cdot x^2+c$ $Formula: (x \in \mathbb{R})$ $Formula: (x \in \mathbb{R})$ dargestellt werden.

Parabelgrafik über einer Autobahnbrücke mit Koordinatensystem

Ermittle die Werte Formula: a und Formula: c für die Gleichung der Funktion Formula: f(x).

3 BE

W3.2

Gegeben ist eine Wertetabelle für eine lineare Funktion Formula: g(x).

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Ermittle den fehlenden Formula: x -Wert und den fehlenden Formula: y -Wert.

3 BE

Gib die Gleichung der Funktion Formula: g(x) an.

2 BE

Gib zwei Eigenschaften des Graphen der Funktion Formula: g(x) an.

2 BE

W4.1

Zwischen dem Aussichtsturm und dem Wanderweg soll der kürzeste Weg neu angelegt werden.

Während der Vermessungsarbeiten wird der Aussichtsturm vom Forsthaus und vom Teich aus angepeilt.

Skizze eines Dreiecks mit Winkelangaben, Wanderweg 278 Meter und Haus- sowie Felsymbolen

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Länge des kürzesten Weges vom Aussichtsturm zum Wanderweg.

5 BE

W4.2

Für den neuen Weg werden Reflektoren in Form eines Prismas hergestellt.

Gegeben ist das Schrägbild eines Reflektors im Maßstab Formula: 1~ :~ 1.

Skizze eines geometrischen Körpers auf kariertem Papier mit 1-cm-Maßstab.

Zeichne das Zweitafelbild dieses Reflektors im Maßstab Formula: 1 ~ : ~ 1 auf unliniertem Papier.

3 BE

Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche dieses Prismas.

2 BE

W5.1

Eine Baufirma plant ein neues Haus.

Der Grundriss des Hauses ist durch die abgebildete Figur gegeben.

Geometrische Figur mit markierten Seitenlängen und rechten Winkeln.

Gib einen Term für die Berechnung des Umfangs an. Fasse so weit wie möglich zusammen.

2 BE

Bestimme für Formula: x=3 Meter $Formula: (\mathrm{m})$ $Formula: (\mathrm{m})$ die Grundfläche des Hauses.

2 BE

W5.2

Das Firmenlogo der Baufirma ist ein regelmäßiges Vieleck.

Die Anzahl der Diagonalen Formula: D jedes Vieleckes mit Formula: n -Ecken kann mit der gegebenen Gleichung berechnet werden.

$Formula: D=\dfrac{n(n-3)}{2}$ $Formula: D=\dfrac{n(n-3)}{2}$

Geometrische Figur mit Linien und vielen Dreiecken

Prüfe, ob die Formel bei dem abgebildeten Sechseck zum korrekten Ergebnis führt.

2 BE

Berechne die Anzahl der Ecken des Vielecks, das Formula: 252 Diagonalen hat.

4 BE

W6.1

Im Jahr 2022 wurden in Thüringer Fischzuchtbetrieben Formula: 757 Tonnen Formula: (t) Speisefisch produziert. Das waren fünfzehn Prozent weniger als im Jahr 2021.

Berechne die Masse an Speisefisch, die im Jahr 2021 in Thüringen produziert wurde.

3 BE

Der Fischzuchtbetrieb rechnet von 2022 bis 2026 mit einem jährlichen Zuwachs der Masse des produzierten Speisefisches von fünf Prozent.

Berechne die zu erwartende Masse an produziertem Speisefisch am Ende des Jahres 2026.

2 BE

Die Regenbogenforelle nahm im Jahr 2022 mit Formula: 65 Prozent den ersten Platz des gesamten in Thüringen produzierten Speisefisches ein.

Stelle den prozentualen Anteil der Regenbogenforelle am gesamten produzierten Speisefisch in einem Kreisdiagramm dar.

3 BE

W6.2

Gegeben sind die Gleichungen von fünf Funktionen (für alle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ ) und vier Graphen.

$Formula: \begin{array}[t]{llll} y=s(x)=x^{-2}\;(x \neq 0) \\[5pt] y=t(x)=x^2 \\[5pt] y=u(x)=x-2 \\[5pt] y=v(x)=2 x-1 \\[5pt] y=w(x)=-2 x+1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{llll} y=s(x)=x^{-2}\;(x \neq 0) \\[5pt] y=t(x)=x^2 \\[5pt] y=u(x)=x-2 \\[5pt] y=v(x)=2 x-1 \\[5pt] y=w(x)=-2 x+1 \end{array}$

Koordinatensystem mit mehreren Funktionsgraphen, darunter Geraden und Kurven, beschriftet mit A bis D

Ordne zwei Funktionen ihren zugehörigen Graphen zu.

2 BE

W7.1

Familie Müller hat eine Regentonne in der Form eines Zylinders.

Diese ist Formula: 130 Zentimeter $Formula: (\mathrm{cm})$ $Formula: (\mathrm{cm})$ hoch und hat einen Durchmesser von Formula: 70 Zentimetern.

Berechne das maximale Fassungsvermögen der Tonne.

2 BE

In der Tonne befinden sich Formula: 0{,}4 Kubikmeter $Formula: \left(\mathrm{m}^3\right)$ $Formula: \left(\mathrm{m}^3\right)$ Wasser.

Berechne die Höhe des Wasserstandes in der Tonne.

2 BE

Zur Abdeckung der Regentonne möchte Herr Müller eine $Formula: 5\,000$ $Formula: 5\,000$ Quadratzentimeter $Formula: (\mathrm{cm}^2)$ $Formula: (\mathrm{cm}^2)$ große, kreisförmige Platte verwenden.

Berechne, wie weit diese Platte gleichmäßig über den Tonnenrand hinausragt.

3 BE

W7.2

Frau Müller denkt sich für ihren Sohn Jonas ein Zahlenrätsel aus:

„Das Dreifache einer Zahl verringert um vierzig ergibt die Summe aus der Zahl und acht.“

Bestimme die Zahl.

3 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

W1.1

$Formula: \begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G \cdot p}{100}\\[5pt] &=& \dfrac{120 \cdot 2,5}{100}\\[5pt] &=& 3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G \cdot p}{100}\\[5pt] &=& \dfrac{120 \cdot 2,5}{100}\\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Folglich gibt es Formula: 3 freie Kindergartenplätze.

W1.2

Baumdiagramm mit F, K und B sowie Bruchzahlen als Verzweigungen

Mithilfe der Pfadregel folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind erst einen Barsch und dann eine Forelle angelt:

$Formula: \dfrac{18}{60} \cdot \dfrac{12}{59}=\dfrac{18}{295}$ $Formula: \dfrac{18}{60} \cdot \dfrac{12}{59}=\dfrac{18}{295}$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass es erst die Forelle und dann den Barsch angelt folgt:

$Formula: \dfrac{12}{60} \cdot \dfrac{18}{59}=\dfrac{18}{295}$ $Formula: \dfrac{12}{60} \cdot \dfrac{18}{59}=\dfrac{18}{295}$

Mit der Summenregel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{18}{295} + \dfrac{18}{295}&=&\dfrac{36}{295} \\[5pt] &\approx&0,1220 \\[5pt] &=&12,2\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{18}{295} + \dfrac{18}{295}&=&\dfrac{36}{295} \\[5pt] &\approx&0,1220 \\[5pt] &=&12,2\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit zwei Forellen zu angeln gilt:

$Formula: \dfrac{12}{60} \cdot \dfrac{11}{59}=\dfrac{11}{295}$ $Formula: \dfrac{12}{60} \cdot \dfrac{11}{59}=\dfrac{11}{295}$

Für die Wahrscheinlichkeit zwei Karpfen zu angeln gilt:

$Formula: \dfrac{30}{60} \cdot \dfrac{29}{59}=\dfrac{29}{118}$ $Formula: \dfrac{30}{60} \cdot \dfrac{29}{59}=\dfrac{29}{118}$

Für die Wahrscheinlichkeit zwei Barsche zu angeln gilt:

$Formula: \dfrac{18}{60} \cdot \dfrac{17}{59}=\dfrac{51}{590}$ $Formula: \dfrac{18}{60} \cdot \dfrac{17}{59}=\dfrac{51}{590}$

Mit der Summenregel folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{11}{295} + \dfrac{29}{118} + \dfrac{51}{590}&=&\dfrac{109}{295} \\[5pt] &\approx&0,3695 \\[5pt] &=&36,95\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{11}{295} + \dfrac{29}{118} + \dfrac{51}{590}&=&\dfrac{109}{295} \\[5pt] &\approx&0,3695 \\[5pt] &=&36,95\,\% \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind zwei Spielzeugfische der gleichen Art angelt ca. $Formula: 36,95\,\%.$ $Formula: 36,95\,\%.$

W2.1

Für die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{24^2 -\left(\dfrac{1}{2}\cdot26\right)^2}\;\mathrm{km}\\[5pt] &=& \sqrt{407}\;\mathrm{km} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{24^2 -\left(\dfrac{1}{2}\cdot26\right)^2}\;\mathrm{km}\\[5pt] &=& \sqrt{407}\;\mathrm{km} \end{array}$

Eingesetzt in die Flächenformel für Dreiecke folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 26 \mathrm{~km} \cdot \sqrt{407} \mathrm{~km}\\[5pt] &\approx& 262 \mathrm{~km^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 26 \mathrm{~km} \cdot \sqrt{407} \mathrm{~km}\\[5pt] &\approx& 262 \mathrm{~km^2} \end{array}$

W2.2

Die neue Rampe ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Dieses Dreieck kann durch eine Höhe zur Rampenfläche in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt werden. Für die Höhe ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&3,76 \mathrm{~m} \cdot \cos{3,4^{\circ}} \\[5pt] &\approx& 0,223 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&3,76 \mathrm{~m} \cdot \cos{3,4^{\circ}} \\[5pt] &\approx& 0,223 \mathrm{~m} \end{array}$

Damit kann die Grundseite des Dreiecks bestimmt werden. Für die Grundseite des Dreiecks mit Hypotenuse $Formula: 3,76\;\text{m}$ $Formula: 3,76\;\text{m}$ gilt:

$Formula: \sqrt{3,76^2 -0,22^2}\approx3,754$ $Formula: \sqrt{3,76^2 -0,22^2}\approx3,754$

Für die Grundseite des anderen Teildreiecks mit Hypotenuse $Formula: 3\;\text{m}$ $Formula: 3\;\text{m}$ gilt:

$Formula: \sqrt{3^2 -0,22^2}\approx2,992$ $Formula: \sqrt{3^2 -0,22^2}\approx2,992$

Für die dreieckige Grundfläche gilt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot g_1 \cdot h+\dfrac{1}{2} \cdot g_2 \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 3,754 \cdot 0,22 + \dfrac{1}{2} \cdot 2,992 \cdot 0,22 \\[5pt] &\approx& 0,752\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2} \cdot g_1 \cdot h+\dfrac{1}{2} \cdot g_2 \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 3,754 \cdot 0,22 + \dfrac{1}{2} \cdot 2,992 \cdot 0,22 \\[5pt] &\approx& 0,752\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$

Dann folgt für das Volumen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&A \cdot 2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&0,752 \mathrm{~m^2} \cdot 2,25 \mathrm{~m}\\[5pt] &\approx& 1,7 \mathrm{~m^3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&A \cdot 2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&0,752 \mathrm{~m^2} \cdot 2,25 \mathrm{~m}\\[5pt] &\approx& 1,7 \mathrm{~m^3} \end{array}$

Das Volumen des benötigten Betons beträgt somit ca. $Formula: 1,7 \mathrm{~m^3}.$ $Formula: 1,7 \mathrm{~m^3}.$

W3.1

Da Formula: c der Formula: y -Achsenabschnitt ist, gilt:

Formula: c=9

Durch das Einsetzen der Koordinaten einer der Nullstellen folgt dann für Formula: a:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0&=&a \cdot 10^2 + 9 &\quad\scriptsize\mid\; -9 \\[5pt] -9&=& a \cdot 100 &\quad\scriptsize\mid\; :100 \\[5pt] -0,09&=& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0&=&a \cdot 10^2 + 9 &\quad\scriptsize\mid\; -9 \\[5pt] -9&=& a \cdot 100 &\quad\scriptsize\mid\; :100 \\[5pt] -0,09&=& a \end{array}$

W3.2

Aus den Werten der Wertetabelle ergibt sich für die Steigung Formula: m von Formula: g(x):

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{1-3}{-0,5 -(-1)} \\[5pt] &=& -4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{1-3}{-0,5 -(-1)} \\[5pt] &=& -4 \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten eines Wertpaares in die allgemeine Funktionsgleichung Formula: g(x)=-4x+b liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3&=&-4 \cdot (-1) + b &\quad\scriptsize\mid\; -4 \\[5pt] -1&=& b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3&=&-4 \cdot (-1) + b &\quad\scriptsize\mid\; -4 \\[5pt] -1&=& b \end{array}$

Somit lautet die Funktionsgleichung Formula: g(x)=-4x-1. Für den fehlenden Formula: x -Wert folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 7&=&-4 x - 1 &\quad\scriptsize\mid\; +1 \\[5pt] 8&=& -4 x &\quad\scriptsize\mid\; :(-4) \\[5pt] -2&=& x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 7&=&-4 x - 1 &\quad\scriptsize\mid\; +1 \\[5pt] 8&=& -4 x &\quad\scriptsize\mid\; :(-4) \\[5pt] -2&=& x \end{array}$

Des weiteren folgt für den fehlenden Formula: y -Wert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y&=&-4 \cdot 0 - 1 \\[5pt] y&=& -1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y&=&-4 \cdot 0 - 1 \\[5pt] y&=& -1 \end{array}$

Formula: g(x)=-4x-1

Der Definitionsbereich von Formula: g(x) ist gegeben durch $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ und für den gesamten Definitionsbereich ist das Monotonieverhalten der Funktion streng monoton fallend.

W4.1

Der Winkel beim Aussichtsturm beträgt $Formula: 180^{\circ}-51^{\circ}-42^{\circ}=87^{\circ}.$ $Formula: 180^{\circ}-51^{\circ}-42^{\circ}=87^{\circ}.$ Mit dem Sinussatz folgt dann für die Länge Formula: a des Weges vom Aussichtsturm zum Teich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin{51^{\circ}}}&=&\dfrac{278 \mathrm{~m}}{\sin{87^{\circ}}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \sin{51^{\circ}}\\[5pt] a &=&\dfrac{278 \mathrm{~m} \cdot \sin{51^{\circ}}}{\sin{87^{\circ}}} \\[5pt] a &\approx& 216,3 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin{51^{\circ}}}&=&\dfrac{278 \mathrm{~m}}{\sin{87^{\circ}}} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot \sin{51^{\circ}}\\[5pt] a &=&\dfrac{278 \mathrm{~m} \cdot \sin{51^{\circ}}}{\sin{87^{\circ}}} \\[5pt] a &\approx& 216,3 \mathrm{~m} \end{array}$

Damit gilt für die Höhe:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&a \cdot \sin{42^{\circ}} \\[5pt] &=&216,3 \mathrm{~m}\cdot \sin{42^{\circ}}\\[5pt] &\approx& 145 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&a \cdot \sin{42^{\circ}} \\[5pt] &=&216,3 \mathrm{~m}\cdot \sin{42^{\circ}}\\[5pt] &\approx& 145 \mathrm{~m} \end{array}$

Die Länge des kürzesten Weges vom Aussichtsturm zum Wanderweg beträgt also ca. $Formula: 145 \mathrm{~m}.$ $Formula: 145 \mathrm{~m}.$

W4.2

Technische Zeichnung eines Trapezes mit Maßen und Grundriss.

Da die Grundfläche des Prismas ein Trapez ist, gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{a+c}{2} \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{2 \mathrm{~cm}+ 4 \mathrm{~cm}}{2} \cdot 2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=& 7,5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{a+c}{2} \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{2 \mathrm{~cm}+ 4 \mathrm{~cm}}{2} \cdot 2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=& 7,5 \mathrm{~cm^2} \end{array}$

Die Grundfläche des Prismas beträgt $Formula: 7,5 \mathrm{~cm^2}.$ $Formula: 7,5 \mathrm{~cm^2}.$

W5.1

Der Term für die Berechnung lautet:

Formula: 3x+x+x+2x Formula: +(3x-x)+(2x+x)

Für die Zusammenfassung folgt dann:

Formula: 12x

Zur Berechnung wird die Grundfläche vertikal in zwei Rechtecke aufgeteilt.

Für das erste Rechteck mit den Seitenlängen Formula: a=3x und Formula: b=x folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A_1&=&3x \cdot x \\[5pt] &=&3 \cdot 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 27\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A_1&=&3x \cdot x \\[5pt] &=&3 \cdot 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 27\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$

Für das zweite Rechteck mit den Seitenlängen Formula: a=2x und Formula: b=3x-x=2x folgt für die Grundfläche:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A_2&=&2x \cdot 2x \\[5pt] &=&2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \\[5pt] &=& 36\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A_2&=&2x \cdot 2x \\[5pt] &=&2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \\[5pt] &=& 36\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$

Die Gesamtfläche ergibt dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&A_1 + A_2\\[5pt] &=&27 + 36 \\[5pt] &=& 63\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&A_1 + A_2\\[5pt] &=&27 + 36 \\[5pt] &=& 63\;[\mathrm{m^2}] \end{array}$

W5.2

Mit der Formel folgt für die Anzahl der Diagonalen des Sechsecks:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D&=&\dfrac{6\cdot (6 - 3)}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{6 \cdot 3}{2}\\[5pt] &=& 9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D&=&\dfrac{6\cdot (6 - 3)}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{6 \cdot 3}{2}\\[5pt] &=& 9 \end{array}$

Laut der Formel hat das abgebildete Sechseck Formula: 9 Diagonalen. Da sich das durch Nachzählen auch bestätigen lässt, führt die Formel bei dem Sechseck zum richtigen Ergebnis.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D&=&\dfrac{n (n - 3)}{2}\\[5pt] 252 &=&\dfrac{n (n - 3)}{2} &\quad\scriptsize\mid\; -252 \\[5pt] 0 &=&\dfrac{n(n-3)}{2} -252 &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 2 \\[5pt] 0 &=& n^2 -3n - 504 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D&=&\dfrac{n (n - 3)}{2}\\[5pt] 252 &=&\dfrac{n (n - 3)}{2} &\quad\scriptsize\mid\; -252 \\[5pt] 0 &=&\dfrac{n(n-3)}{2} -252 &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 2 \\[5pt] 0 &=& n^2 -3n - 504 \\[5pt] \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 504}\\[5pt] x_{1;2} &=&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_1 &=&\dfrac{3}{2}+\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_1 &=& 24 \\[5pt] x_2 &=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_2 &=& -21 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 504}\\[5pt] x_{1;2} &=&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_1 &=&\dfrac{3}{2}+\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_1 &=& 24 \\[5pt] x_2 &=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{45}{2} \\[5pt] x_2 &=& -21 \end{array}$

Da die Anzahl an Ecken positiv sein muss, hat ein Vieleck mit Formula: 252 Diagonalen Formula: 24 Ecken.

W6.1

Die Menge an Speisefisch in Tonnen die 2021 in Thüringen produziert wurde berechnet sich mit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{W}{p} \cdot 100\\[5pt] &=& \dfrac{757}{85} \cdot 100 \\[5pt] &\approx& 891 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{W}{p} \cdot 100\\[5pt] &=& \dfrac{757}{85} \cdot 100 \\[5pt] &\approx& 891 \end{array}$

Die Masse Formula: m nach vier Jahren lässt sich berechnen mit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m&=&757\mathrm{~t} \cdot (1+0,05)^4\\[5pt] &\approx& 920 \mathrm{~t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m&=&757\mathrm{~t} \cdot (1+0,05)^4\\[5pt] &\approx& 920 \mathrm{~t} \end{array}$

Am Ende des Jahres 2026 werden ca. $Formula: 920\mathrm{~t}$ $Formula: 920\mathrm{~t}$ Fisch erwartet.

Kreisdiagramm zum Anteil der Regenbogenforelle am produzierten Speisefisch 2022: 65 % Regenbogenforelle, 35 % sonstige Fische

W6.2

	$Formula: s(x)=x^{-2}$ $Formula: s(x)=x^{-2}$

W7.1

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{70\mathrm{~cm}}{2}\right)^2 \cdot 130 \mathrm{~cm}\\[5pt] &\approx& 500\,300 \mathrm{~cm^3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{70\mathrm{~cm}}{2}\right)^2 \cdot 130 \mathrm{~cm}\\[5pt] &\approx& 500\,300 \mathrm{~cm^3} \end{array}$

Die Konvertierung von Kubikmetern in Kubikzentimeter ergibt:

$Formula: 0,4\mathrm{~m^3}=400\,000\mathrm{~cm^3}$ $Formula: 0,4\mathrm{~m^3}=400\,000\mathrm{~cm^3}$

Für die Höhe des Wasserstandes folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] 400\,000\mathrm{~cm^3}&=& \pi \cdot \left(\dfrac{70\mathrm{~cm}}{2}\right)^2 \cdot h\\[5pt] 400\,000\mathrm{~cm^3}&=& 1225\pi \mathrm{~cm^2} \cdot h &\quad\scriptsize\mid\; : 1225\pi\mathrm{~cm^2}\\[5pt] \dfrac{400\,000\mathrm{~cm^3}}{1225\pi\mathrm{~cm^2}}&=& h\\[5pt] 104\mathrm{~cm}&\approx&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] 400\,000\mathrm{~cm^3}&=& \pi \cdot \left(\dfrac{70\mathrm{~cm}}{2}\right)^2 \cdot h\\[5pt] 400\,000\mathrm{~cm^3}&=& 1225\pi \mathrm{~cm^2} \cdot h &\quad\scriptsize\mid\; : 1225\pi\mathrm{~cm^2}\\[5pt] \dfrac{400\,000\mathrm{~cm^3}}{1225\pi\mathrm{~cm^2}}&=& h\\[5pt] 104\mathrm{~cm}&\approx&h \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] 5\,000\mathrm{~cm^2}&=& \pi \cdot r^2 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{5\,000\mathrm{~cm^2}}{\pi}&=& r^2 &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{5\,000\mathrm{~cm^2}}{\pi}}&=& r \\[5pt] 40 \mathrm{~cm}&\approx& r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] 5\,000\mathrm{~cm^2}&=& \pi \cdot r^2 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{5\,000\mathrm{~cm^2}}{\pi}&=& r^2 &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{5\,000\mathrm{~cm^2}}{\pi}}&=& r \\[5pt] 40 \mathrm{~cm}&\approx& r \end{array}$

Die Differenz zum Radius der Tonne beträgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 40\mathrm{~cm}-\left(\dfrac{70}{2}\right)\mathrm{~cm}&=&40 \mathrm{~cm} - 35 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&5 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 40\mathrm{~cm}-\left(\dfrac{70}{2}\right)\mathrm{~cm}&=&40 \mathrm{~cm} - 35 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&5 \mathrm{~cm} \end{array}$

Die Platte ragt gleichmäßig ca. $Formula: 5\mathrm{~cm}$ $Formula: 5\mathrm{~cm}$ über den Tonnenrand hinaus.

W7.2

Für die Zahl Formula: x, die Frau Müller beschreibt, gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3x - 40 &=&x + 8 &\quad\scriptsize\mid\; -x \\[5pt] 2x - 40 &=& 8 &\quad\scriptsize\mid\; + 40 \\[5pt] 2x &=& 48 &\quad\scriptsize\mid\; : 2 \\[5pt] x &=& 24 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3x - 40 &=&x + 8 &\quad\scriptsize\mid\; -x \\[5pt] 2x - 40 &=& 8 &\quad\scriptsize\mid\; + 40 \\[5pt] 2x &=& 48 &\quad\scriptsize\mid\; : 2 \\[5pt] x &=& 24 \end{array}$

Die gesuchte Zahl ist somit Formula: 24.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?