Berechnungen an Dreiecken
Die Seitenlängen und Größen der Winkel eines Dreiecks lassen sich oft bestimmen, selbst wenn nur wenige Größen gegeben sind. Hierfür werden der Sinussatz und der Kosinussatz und die Innenwinkelsumme benutzt. Wenn die folgenden Werte bekannt sind, ergeben sich die restlichen Größen des Dreiecks eindeutig:
Mit Hilfe des Kosinussatzes liefern die gegebenen Größen den Wert 
![\(\begin{array}[t]{rlll}
b^2&=&a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta) \\[5pt]
b^2&=&(3,6\;\text{cm})^2+(5\;\text{cm})^2-2\cdot3,6\;\text{cm}\cdot5\;\text{cm}\cdot\cos(70^\circ) &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
b&=&\sqrt{37,96\;\text{cm}^2-36\;\text{cm}^2\cdot\cos(70^\circ)} \\[5pt]
b&\approx&5,06\;\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2d6bd6bdcfb297521b12cc1964fc8794382d44c28ce8f87e2c8e33ed4dfc079d?color=5a5a5a)
Für 
folgt mit dem Sinussatz:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} &\mid\;\cdot\sin(\beta) \\[5pt]
\dfrac{a}{b}\cdot\sin(\beta)&=&\sin(\alpha) \\[5pt]
\sin^{-1}\left(\dfrac{a}{b}\cdot\sin(\beta)\right)&=&\alpha \\[5pt]
\sin^{-1}\left(\dfrac{3,6\;\text{cm}}{5,06\;\text{cm}}\cdot\sin(70^\circ)\right)&=&\alpha \\[5pt]
41,96^\circ&\approx&\alpha
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/da2a153717c390b60cd0ffbe39b0d2b072e78fcf776fb178b516e248c94e5557?color=5a5a5a)
Aus der Innenwinkelsumme eines Dreiecks ergibt sich für die letzte fehlende Größe:
- alle drei Seitenlängen (sss)
- eine Seitenlänge und die Größe von zwei Winkeln (wsw)
- zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels (sws)
- zwei Seitenlängen und die Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüber liegt (Ssw)
Beispiel
Die grün markierten Größen des abgebildeten Dreiecks sind mit 
und 
gegeben. Bestimme damit die Werte der restlichen Größen des Dreiecks.
1
Überprüfe, ob die angegebenen Größen zu einem Dreieck vervollständigt werden können. Falls ja, gib eine mögliche Lösung an und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
a)
b)
c)
d)
2
Von dem abgebildeten Drachen sind die Größen des oberen und unteren Winkels als 
bzw. 
bekannt. Die längere Diagonale hat zudem eine Länge von 
Berechne die Seitenlängen des Drachen.
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1
a)
Es gilt die Regel wsw, das heißt es gibt genau eine mögliche Lösung. Mit der Innenwinkelsumme folgt:
Damit liefert der Sinussatz:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} &\mid\;\cdot b\\[5pt]
a&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\cdot b \\[5pt]
a&=&\dfrac{\sin(60^\circ)}{\sin(100^\circ)}\cdot 10\;\text{cm} \\[5pt]
a&\approx&8,79\;\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d1c8ca89a0dd9ac73bdf93865c93e50be4c433baa840edc69c6c405dd1ea820f?color=5a5a5a)
Für die letzte verbliebene Seitenlänge folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{b}{c}&=&\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)} &\mid\;\cdot c\\[5pt]
b&=&\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c &\mid\;\cdot\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)} \\[5pt]
b\cdot\dfrac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)}&=&c \\[5pt]
10\;\text{cm}\cdot\dfrac{\sin(40^\circ)}{\sin(100^\circ)}&=&c \\[5pt]
6,53\;\text{cm}&\approx&c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6eb94665d51b292a3e0b9463d17bc58e2efcb83694f73aaea1787b32b6ff0dc2?color=5a5a5a)
Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich somit:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha) \\[5pt]
&\approx&\dfrac{1}{2}\cdot 10\;\text{cm}\cdot 6,53\;\text{cm}\cdot\sin(60^\circ) \\[5pt]
&\approx&28,28\;\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9eea86c4c1c008ad52f50ce3f51fb0db61d2f26ea2a93a8b404611345a22910f?color=5a5a5a)
b)
Es gilt die Regel sws, das heißt es gibt genau eine mögliche Lösung. Der Kosinussatz liefert:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
c^2&=&a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma) &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt]
c&=&\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)} \\[5pt]
c&=&\sqrt{(8,5\;\text{cm})^2+(3,3\;\text{cm})^2-2\cdot8,5\;\text{cm}\cdot3,3\;\text{cm}\cdot\cos(50^\circ)} \\[5pt]
c&\approx&6,86\;\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bbde9336e7e9eda7555f5a82e1390a2a94879e9722396184df25747cd09302cf?color=5a5a5a)
Mit dem Sinussatz folgt weiter:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{a}{c}&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} &\mid\;\cdot \sin(\gamma)\\[5pt]
\dfrac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)&=&\sin(\alpha) \\[5pt]
\sin^{-1}\left(\dfrac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)\right)&=&\alpha \\[5pt]
\sin^{-1}\left(\dfrac{8,5\;\text{cm}}{6,86\;\text{cm}}\cdot\sin(50^\circ)\right)&=&\alpha \\[5pt]
71,66^\circ&\approx&\alpha
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/97143b56ab60341f56a37884c1484064d4f0178ba5074cc5a677a14880a4da11?color=5a5a5a)
Die Innenwinkelsumme liefert dann:
Für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma) \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 8,5\;\text{cm}\cdot 3,3\;\text{cm}\cdot\sin(50^\circ) \\[5pt]
&\approx&10,74\;\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/601bb722384c2cf20f6bd6e76463c64041142aad5a4a26e094851d7ae19afa52?color=5a5a5a)
c)
Es gilt die Regel sss, das heißt es gibt genau eine mögliche Lösung. Der Kosinussatz liefert:
Mit dem Sinussatz folgt weiter:
Die Innenwinkelsumme liefert dann:
Für den Flächeninhalt des Dreiecks folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\sin(\beta) \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,7\;\text{cm}\cdot 9\;\text{cm}\cdot\sin(48,89^\circ) \\[5pt]
&\approx&15,94\;\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/12fdcb5ca7e106afef255fbe6b899da75b346951f36ac7b1a5d77856140202aa?color=5a5a5a)
d)
Es sind zwei Seitenlängen gegeben und die Größe des Winkels, der der kleineren Seite gegenüber liegt. In diesem Fall ist nicht direkt klar, ob es eindeutige bzw. überhaupt eine Lösung gibt. Der Sinussatz liefert:
Eingabe dieses Ausdrucks in den Taschenrechner liefert einen Fehler. Somit existiert kein Dreieck mit diesen Maßen.
2
Die längere der beiden Diagonalen teilt den Drachen in zwei identische Dreiecke. Laut Aufgabenstellung besitzt dieses Dreieck die Winkel 
und 
sowie die dazwischenliegende Seite mit der Länge 
Mit der Innenwinkelsumme folgt:
Der Sinussatz liefert somit die beiden gesuchten Seitenlängen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{a}{c}&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} &\mid\;\cdot c\\[5pt]
a&=&\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c \\[5pt]
a&=&\dfrac{\sin(40^\circ)}{\sin(115^\circ)}\cdot 1\;\text{m} \\[5pt]
a&\approx&0,71\;\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ad68530d77bb9b70e2f4773a48d06608a15960a03804187c0f495ab0418fe770?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{b}{c}&=&\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)} &\mid\;\cdot c\\[5pt]
b&=&\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c \\[5pt]
b&=&\dfrac{\sin(25^\circ)}{\sin(115^\circ)}\cdot 1\;\text{m} \\[5pt]
b&\approx&0,47\;\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/05afd2cbb371aa113dd95bd765ffb2302f8f1c896c97bf9dcb53d3aaa3907784?color=5a5a5a)
Die beiden oberen Seiten des Drachen sind somit ca. 
lang und die unteren ca. 