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Inhaltsverzeichnis

Gleichungen mit Potenzfunktionen

Gleichungen, die die Form \(x^n=a\) besitzen und damit eine Potenzfunktion enthalten, werden Potenzgleichungen genannt. Dabei ist \(n\) eine beliebige natürliche Zahl größer als \(1\) und \(a\) eine beliebige reelle Zahl.
Sie werden gelöst, indem die \(n\)-te Wurzel gezogen wird.
Beispiel
\(\begin{array}[t]{rll} x^3&=& 125&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] x&=&5 \end{array}\)
Auch Gleichungen \(x^{\frac{p}{q}}=a\) mit positiven rationalen Exponenten sind Potenzgleichungen. Sie lassen sich durch Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{q}{p}\) lösen.
Die Anzahl der Lösungen, die eine Potenzgleichung mit natürlichem Exponent besitzt, beträgt entweder eins, zwei oder Null und hängt von verschiedenen Faktoren ab:
Gerades \(\color{#ffff}{n}\) Ungerades \(\color{#ffff}{n}\)
\(\color{#ffff}{a\gt0}\) \(\begin{array}[t]{rlll} x_1&=&\sqrt[n]{a} \\[5pt] x_2&=&-\sqrt[n]{a} \end{array}\) \(x=\sqrt[n]{a}\)
\(\color{#ffff}{a=0}\) \(x=0\) \(x=0\)
\(\color{#ffff}{a\lt0}\) keine Lösung \(x=-\sqrt[n]{-a}\)

Beispiele

Gerades \(n, \; a\gt0\)
\(\begin{array}[t]{rlll} x^2&=&100 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=&10 \\[5pt] x_2&=&-10 \end{array}\)
Sowohl \(x_1\) als auch \(x_2\) sind Lösungen der Potenzgleichung, da \(10^2=10\cdot10=100\) und \({(-10)}^2=(-10)\cdot(-10)=100\) gilt.
Ungerades \(n,\) \(a\lt0\)
\(\begin{array}[t]{rlll} x^3&=&-64 &\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[5pt] x&=&-4 \end{array}\)
Diese Potenzgleichung wird von \(x=-4\) gelöst, da \({(-4)}^3=(-4)\cdot(-4)\cdot(-4) \)\( =-64\) gilt.

Graphische Lösung

Potenzgleichungen der Form \(x^n=a\) können anstatt rechnerisch auch graphisch gelöst werden: Dafür wird auf beiden Seiten \(a\) subtrahiert und dann der Graph der erhaltenen Funktionsgleichung \(f(x)=x^n-a\) in ein Koordinatensystem eingezeichnet:
Graf einer Parabel, die die Funktion y = x² + 1 darstellt, auf einem Koordinatensystem.
Die Lösungen der Potenzgleichung ergeben sich dann als die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse. In dem Beispiel des hier eingezeichneten Graphs hat die Potenzgleichung also keine Lösung. Da in diesem Fall \(n=2\) und \(a=-1\) gilt, ist das auch einheitlich mit den Regeln aus der Tabelle.