Potenzen mit rationalem Exponent

Bei Ausdrücken der Form $a=x^2$ mit $x\geq0$ heißt $x$ die Quadratwurzel von $a$ und wird durch $x=\sqrt{a}$ angegeben. Der Vorgang um aus $a$ den Wert von $x$ zu erhalten, wird Wurzelziehen genannt. Auch bei natürlichen Zahlen $n$ als Exponenten kann die Wurzel gezogen werden, in diesem Fall wird $x=\sqrt[n]{a}$ geschrieben und $x$ wird die $\boldsymbol{n}$ -te Wurzel von $a$ genannt. In beiden Fällen ist neben $x$ auch die Zahl $a$ nicht negativ und wird Radikant genannt.

Wurzeln können auch als Potenzen mit rationalem Exponent geschrieben werden:

Wenn $m$ eine ganze Zahl, $n$ eine natürliche Zahl und $a\geq0$ ist, dann ist der Ausdruck $a^\frac{m}{n}$ die $m$ -te Potenz von $\sqrt[n]{a}$ und die $n-te$ Wurzel von $a^m.$ Es gilt somit die folgende Gleichheit:

$a^\frac{m}{n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$

Hierbei wurde benutzt, dass das Potenzieren von Potenzen auch für rationale Exponenten gilt. Tatsächlich gelten alle bisher kennengelernten Potenzgesetze auch für den Fall von Potenzen mit rationalen Exponenten.
Auch im Fall von rationalen Exponenten können diese negativ sein. Dann gilt analog zu ganzzahligen Exponenten: