Division von Potenzen
Die bereits kennengelernten Potenzgesetze können auch auf die Division von Potenzen verallgemeinert werden:
Division von Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.Definition
Beispiel
Division von Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponent werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.Definition
Beispiel
1
Berechne die folgenden Ausdrücke ohne Taschenrechner:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
Vereinfache soweit wie möglich:
a)
b)
c)
d)
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![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{3^5}{3^2}&=&3^{5-2} \\[5pt]
&=&3^3 \\[5pt]
&=&27
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9328e035fd6bcfd55c82b44927523706cbfb8a7fa09132de61db90cd36ce59c2_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{0,2^6}{0,2^4}&=&0,2^{6-4} \\[5pt]
&=&0,2^2 \\[5pt]
&=&0,04
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/99e87331f5ce322c0de1be1e753710014880b0cf4d283837a9eb04ab1c824845_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{10^{-4}}{5^{-4}}&=&\left(\dfrac{10}{5}\right)^{-4} \\[5pt]
&=&2^{-4} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2^4} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{16}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5436c82b17f20cbb1d1a3df24fb8b29c7b39464b1b07286cb10064dec86a113d_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
0,5^{-2}:3^{-2}&=&\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{3^{-2}} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)}{3}\right)^{-2} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{6}\right)^{-2} \\[5pt]
&=&6^2 \\[5pt]
&=&36
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/11a178fbd6ffe6a5f0a83bfb9db6941823d370e72d2f7aacb863446cab9252f9_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
3^3:4^3&=&\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \\[5pt]
&=&\dfrac{27}{64}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a1becfadfeb52608f519d05b9b4cf863f2eda2dd1d6ef0fb3ac86b0af44a9ee_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}:\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-9}&=&\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-9}} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2-(-9)} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^7 \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{128}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7dc4466d68ce90f0f46c448ce4b81f56c6835be2dcd26d2bafa25492f7af2880_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{4^{32}}{4^{-15}}&=&4^{32-(-15)} \\[5pt]
&=&4^{47}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/66a4cb1803ee48265ea76e33a61d1a604d80d39c3cf86149abde2d44ce1b40dd_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{3^6\cdot3^{-8}}{3^4}&=&\dfrac{3^{6-8}}{3^4} \\[5pt]
&=&\dfrac{3^{-2}}{3^4} \\[5pt]
&=&3^{-2-4} \\[5pt]
&=&3^{-6}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/91be6aae0e0afdd645d40080f35fa535313edb81af43a6f9c91f63c0aa1f1063_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{6^{15}}{3^7\cdot2^7}&=&\dfrac{6^{15}}{(3\cdot2)^7} \\[5pt]
&=&\dfrac{6^{15}}{6^7} \\[5pt]
&=&6^{15-7} \\[5pt]
&=&6^8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7a486ecf32ae14d5dc25e747885607f5261ad12bc29c429173c2104538d790f9_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(8^{-10}\cdot\left(\dfrac{1}{8}\right)^{15}\right):\left(\dfrac{3}{2}\right)^{25}&=&\left(\dfrac{1}{8^{10}}\cdot\left(\dfrac{1}{8}\right)^{15}\right):\left(\dfrac{3}{2}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\left(\dfrac{1}{8}\right)^{10}\cdot\left(\dfrac{1}{8}\right)^{15}\right):\left(\dfrac{3}{2}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{8}\right)^{10+15}:\left(\dfrac{3}{2}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{8}\right)^{25}:\left(\dfrac{3}{2}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{3}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{2}{24}\right)^{25} \\[5pt]
&=&\left(\dfrac{1}{12}\right)^{25}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0cfe1d0cf53d3005b160078e3d2417222c493faf8d791c94e855e01ba5567006_light.svg)
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