Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Eine Potenzfunktion n-ten Grades ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot x^n,$ wobei $a\neq0$ und $n$ eine natürliche Zahl größer als Null ist. Der Graph einer solchen Potenzfunktion wird im Fall $n\gt1$ Parabel n-ter Ordnung genannt.

Eigenschaften

Im Fall $a=1$ besitzen die Graphen der Potenzfunktionen einige allgemeine Eigenschaften, die oftmals nur davon abhängen, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

Der Graph jeder solchen Potenzfunktion verläuft durch den Ursprung $(0\mid 0)$ und den Punkt $(1\mid 1).$

Für gerade $n$ ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Für ungerade $n$ ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für gerade $n$ nimmt die Funktion nur die nicht-negativen reellen Zahlen an.

Für ungerade $n$ nimmt die Funktion alle reellen Zahlen an.

Beispiele

Gerades $\boldsymbol{n}$

digitales schulbuch mathe gymnasium klasse 9

$\scriptsize f(x)=x^2$

Ungerades $\boldsymbol{n}$

$\scriptsize g(x)=x^3$

Die Graphen von Potenzfunktionen, sowohl mit geraden als auch mit ungeraden Exponenten, können durch Einfügen weiterer Parameter auch verschoben werden. In der Funktionsgleichung $f(x)=a\cdot(x-d)^n+e$ bewirkt der Parameter $d$ eine Verschiebung in bzw. gegen die $x$ -Richtung und der Parameter $e$ eine Verschiebung in bzw. gegen die $y$ -Richtung. Der Paramter $a$ streckt bzw. staucht die Potenzfunktion.

Einsetzen der $x$ -Werte in die Funktionsgleichung der Potenzfunktion liefert:

Wertetabelle anzeigen

$\color{#ffffff}{x}$	$-1,5$	$-1$	$-0,5$	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$
$\color{#ffffff}{f(x)}$	$-3,375$	$-1$	$-0,125$	$0$	$0,125$	$1$	$3,375$

Punktsymmetrie zum Ursprung

Funktionsgleichung zuordnen

$f(x)=(x-1)^7$

Entscheidung erläutern

Der abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(1\mid2)$ und ist punktsymmetrisch zum Punkt $(0\mid1).$ Damit ist er eine Potenzfunktion ungeraden Grades mit Vorfaktor $a=1,$ die um eine Einheit in $x$ -Richtung verschoben wurde. Die Funktionsgleichung von $f$ gibt genau das an.

Funktionsgleichung zuordnen

$g(x)=x^6$

Entscheidung erläutern

Der abgebildete Graph verläuft durch die Punkte $(0\mid0)$ und $(1\mid1),$ d.h. die zugehörige Funktionsgleichung besitzt den Vorfaktor $a=1.$ Zudem liegt der Graph für keinen $x$ -Wert unterhalb der $x$ -Achse, sodass die zugrundeliegende Potenzfunktion einen geraden Exponenten besitzen muss. Somit kommt nur die Funktion $g$ infrage.

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