Sinus, Kosinus und Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck werden die drei Seiten des Dreiecks besonders bezeichnet, abhängig davon welcher Winkel des Dreiecks, außer der rechte Winkel, betrachtet wird. Die Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, trägt immer den Namen Hypotenuse. Für den Winkel $\alpha$ ergeben sich die restlichen beiden Seiten wie folgt:

Die Ankathete von $\boldsymbol{\alpha}$ ist die Seite im Dreieck, die, zusätzlich zur Hypotenuse, ebenfalls am Winkel $\alpha$ anliegt.
Die Gegenkathete von $\boldsymbol{\alpha}$ ist die Seite im Dreieck, die dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt.

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Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden somit aus der Hypotenuse und zwei Katheten gebildet.
Mit Hilfe dieser Begriffe werden Sinus, Kosinus und Tangens definiert, mit denen Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken durchgeführt werden können:

$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{a}{c}$

$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}$

$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}=\dfrac{a}{b}$

Bei Betrachtung des Winkels $\beta$ gelten die entsprechenden Bezeichnungen der Seiten und Sinus, Kosinus sowie Tangens sind dementsprechend definiert.

Beispiel

Von dem abgebildeten Dreieck sind die folgenden beiden Seitenlängen bekannt:

$a=4,5\;\text{cm}$
$b=5,2\;\text{cm}$

Wie groß ist der Winkel $\alpha?$

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Die Werte $a$ bzw. $b$ geben die Länge der Gegenkathete bzw. Ankathete von $\alpha$ an. Mit diesen beiden Werten kann die Größe des Winkels $\alpha$ über den Tangens bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rlll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{a}{b} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{4,5}{5,2} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{4,5}{5,2}\right)\\[5pt] \alpha&\approx&40,87^\circ \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die Länge der Ankathete von $\alpha$ und der Hypotenuse sind gegeben. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{4,6\,\text{cm}}{7,2\,\text{cm}} \\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{4,6}{7,2} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{4,6}{7,2}\right) \\[5pt] \alpha &\approx& 50,29^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die immer $180^\circ$ beträgt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-\alpha-90^{\circ} \\[5pt] &\approx& 180^{\circ}-50,29^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] &=& 49,71^{\circ} \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die Länge der Ankathete und der Gegenkathete von $\alpha$ sind gegeben. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{5,0\,\text{cm}}{8,0\,\text{cm}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{5,0}{8,0} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\tan^{-1}\left(\dfrac{5,0}{8,0}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&32,01^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die immer $180^\circ$ beträgt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-\alpha-90^{\circ} \\[5pt] &\approx&180^{\circ}-32,01^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] &=&57,99^{\circ} \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ und der Hypotenuse sind gegeben. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{8,4\,\text{cm}}{11,3\,\text{cm}} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{8,4}{11,3} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{8,4}{11,3}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&48,02^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die immer $180^\circ$ beträgt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-\alpha-90^{\circ} \\[5pt] &\approx&180^{\circ}-48,02^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] &=&41,98^{\circ} \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die Länge der Ankathete von $\alpha$ und der Hypotenuse sind gegeben. Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{8,6\,\text{cm}}{12,2\,\text{cm}} \\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{8,6}{12,2} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{8,6}{12,2}\right) \\[5pt] \alpha &\approx& 45,18^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die immer $180^\circ$ beträgt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-\alpha-90^{\circ} \\[5pt] &\approx& 180^{\circ}-45,18^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] &=& 44,82^{\circ} \end{array}$

Mit Hilfe des Hinweises und $\frac{12}{10}=1,2$ ergibt sich folgender Neigungswinkel:

$\begin{array}[t]{rlll} \alpha&=&1,2\cdot6^\circ \\[5pt] &=&7,2^\circ \end{array}$

Der Sachverhalt kann nun in einem rechtwinkligen Dreieck aufgetragen werden. Hierbei wird die Höhe von $100$ Metern orthogonal zur Grundseite aufgetragen. Die gesuchte Länge $\ell$ der Strecke, die Mia zurücklegt, ist somit durch die Länge der Hypothenuse gegeben. Da die Höhe die Länge der Gegenkatheten des Steigungswinkels $\alpha$ angibt, muss der Sinus angewendet werden:

$\begin{array}[t]{rlll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{100\,\text{m}}{\ell} &\mid\;\cdot\ell \\[5pt] \sin(7,2^\circ)\cdot\ell&=&100\,\text{m} &\mid\;:\sin(7,2^\circ) \\[5pt] \ell&=&\dfrac{100\,\text{m}}{\sin(7,2^\circ)} \\[5pt] \ell&=&800\,\text{m} \end{array}$

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