Flächeninhalt und Umfang
Der Umfang U beschreibt die Länge der Begrenzungslinie einer Fläche.
Der Umfang eines Vielecks berechnet sich als Summe aller Seitenlängen. Der Flächeninhalt A beschreibt die Größe einer Fläche.
Je nach Form der Fläche wird er unterschiedlich berechnet.
Wichtig: Flächen können den selben Flächeninhalt, aber einen unterschiedlichen Umfang besitzen.
Bildnachweise [nach oben]
Der Umfang eines Vielecks berechnet sich als Summe aller Seitenlängen. Der Flächeninhalt A beschreibt die Größe einer Fläche.
Je nach Form der Fläche wird er unterschiedlich berechnet.
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Einführungsaufgabe
Vergleiche die Formenpaare. Haben sie den selben Flächeninhalt?
a)
Abb. 1: Formenpaar 1
b)
Abb. 2: Formenpaar 2
c)
Abb. 3 : Formenpaar 3
Aufgabe 1
Paul hat einen Teich im Garten. Um das Einfrieren zu verhindern, muss dieser im Winter mit einer Abdeckplane geschützt werden.
Leider ist diese Abdeckplane letztes Jahr kaputt gegangen und Paul musste eine neue Abdeckplane im Baumarkt kaufen. Jedoch entsprechen die Maße nicht genau den Maßen des Teiches.
Wie kann Paul dieses Problem lösen?
Abb. 4: Skizze Abdeckplane und Teich
Aufgabe 2
Marie will in ihrem Bad neue Kacheln anbringen. Dafür möchte sie gerne besonders große Kacheln verwenden.
Welche der folgenden drei Kacheln hat den größten Flächeninhalt?
Abb. 5 : die verschiedenen Kacheln
Aufgabe 3
Leonie und Nico haben die Aufgabe, den Schulgarten einzuzäunen.Leonie ist für das Gemüsebeet und Nico für den Kräutergarten zuständig.
Abb. 6: Skizze der beiden Beete
„Es reicht, wenn wir den Umfang von einem der beiden Beete abmessen. Da beide den gleichen Flächeninhalt besitzen, haben sie auch den gleichen Umfang. “ Hat Leonie recht?
Aufgabe 4
Max möchte sein Zimmer neu streichen. Um das ganze etwas abwechslungsreicher zu gestalten, möchte er ein Rechteck sowie ein Dreieck an die Wand malen.
Abb. 7: Skizze der Formen
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a)
Formenpaar 
vergleichen
Schneidet man von der zweiten Form das obere Dreieck ab, passt es genau in die untere Lücke. So ergibt es genau den gleichen Flächeninhalt wie bei dem ersten Rechteck.
b)
Formenpaar 
vergleichen
Die erste Form hat einen viel größeren Flächeninhalt, denn zusätzlich zur rechteckigen Grundform hat es noch oben ein Dreieck. Dieses Dreieck fehlt der zweiten Form zusätzlich zur Grundform.
Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.
c)
Formenpaar 
vergleichen
Um diese beiden Flächeninhalte zu vergleichen, kannst du die Kästchen zählen, die sich innerhalb der Form befinden.
Die erste Form umschließt
Kästchen und die zweite Form 
Kästchen.
Die erste Form hat somit den größeren Flächeninhalt. Die beiden Formen haben nicht den selben Flächeninhalt.
Aufgabe 1
Teich abdecken
Die Abdeckplane ist leider nicht lang genug, um den kompletten Teich abzudecken.
Jedoch ist sie doppelt so breit. Daher hat Paul die Möglichkeit, die Plane in der Mitte durchzuschneiden. Nun hat er
Teile, die jeweils 
breit und 
hoch sind. Legt er diese übereinander, hat er insgesamt eine Höhe von 
und eine Breite von .
Nun kann der ganze Teich mit dieser Plane abgedeckt werden, da die Maße übereinstimmen.
Anmerkung :
Jedoch ist sie doppelt so breit. Daher hat Paul die Möglichkeit, die Plane in der Mitte durchzuschneiden. Nun hat er
Teile, die jeweils breit und hoch sind. Legt er diese übereinander, hat er insgesamt eine Höhe von und eine Breite von .
Nun kann der ganze Teich mit dieser Plane abgedeckt werden, da die Maße übereinstimmen.
Bei dieser Aufgabe wird auch noch einmal deutlich:
Flächen, die den selben Flächeninhalt haben, haben nicht immer den gleichen Umfang. Zu Beginn hat die Plane den Umfang
Nach dem Zerschneiden besitzt sie den Umfang 
Aufgabe 2
Größte Kachel bewerten
Kachel Nummer 
Vollständige Rechnung anzeigen
besteht aus 
besitzt mit 
den größten Flächeninhalt. Somit wird sich Marie für diese Kacheln entscheiden.
Aufgabe 3
Leonies Aussage überprüfen
Um die Aussage von Leonie zu überprüfen, nimmst du die Skizze zu Hilfe.
Um den Umfang zu berechnen, addierst du alle Seitenlängen. Das Gemüsebeet hat somit den Umfang : Der Kräutergarten hat durch seine zusätzliche Ecke mehr als
Seitenlägen. An der Vorgehensweise ändert das jedoch nichts.
Der Kräutergarten hat somit den Umfang: Obwohl beide Beete den gleichen Flächeninhalt besitzen, hat der Kräutergarten einen größeren Umfang.
Leonies Behauptung ist somit falsch und die beiden können sich keine Arbeit sparen, indem sie nur den Umfang eines Beetes berechnen.
Aufgabe 4
Beide Formen vergleichen
Beide Formen lassen sich jeweils zu einem Quadrat ergänzen, indem du die gleiche Form nocheinmal hinzufügst.
Abb. 3: Formen zum Quadrat ergänzt
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