Flächeninhalt und Umfang eines Rechtecks

Ein Rechteck ist ein ebenes Viereck mit $4$ rechtwinkligen Innenwinkeln.

Den Umfang berechnest du über die Summe aller Seitenlängen.

Da ein Rechteck immer $2$ gleichlange Seiten besitzt, kannst du ganz einfach folgende Formel verwenden:

U = 2a + 2b

Diagramm eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b, farblich hervorgehoben.

Abb. 1: Rechteck

Den Flächeninhalt berechnest du über folgende Formel:

A = a $\cdot$ b

Sind der Flächeninhalt und eine Seitenlänge a gegeben, so berechnest du die fehlende Seitenlänge b über folgende Formel:

b = A $:$ a

Sonderfall Quadrat:

Das Quadrat ist ein besonderes Rechteck, denn es besitzt nicht nur jeweils $2$ gleichlange Seiten, sondern alle $4$ Seiten haben die gleiche Länge.

Daher lassen sich Umfang und Flächeninhalt vereinfacht wie folgt berechnen:

U = 4a

A = a $^2$

Grafik mit einem Quadrat und dem Buchstaben

Abb. 2: Quadrat

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

„Je größer der Umfang eines Rechteckes, desto größer der Flächeninhalt.“

Nimm Stellung zu Hannahs Aussage.

Aufgabe 1

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der folgenden Rechtecke.

Nimm an, dass eine Kästchenlänge $1\text{ cm}$ entspricht.

Gittermuster mit grauen Linien auf schwarzem Hintergrund.

Abb. 1: Rechteck 1

Grafische Darstellung eines Gitters auf schwarzem Hintergrund.

Abb. 2: Rechteck 2

Schwarze Fläche mit einem Gittermuster aus weißen Linien.

Abb. 3: Rechteck 3

Ein Raster aus schwarzen Kästchen auf weißem Hintergrund.

Abb. 4: Rechteck 4

Aufgabe 2

Gib den Umfang und den Flächeninhalt der Rechtecke mit folgenden Seitenlängen an:

$\text{a}= 8\text{ cm}$
$\text{b}= 3\text{ cm}$

$\text{a}= 5\text{ m}$
$\text{b}= 10\text{ m}$

$\text{a}= 20\text{ mm}$
$\text{b}= 4\text{ cm}$

$\text{a}= 800\text{ dm}$
$\text{b}= 2\text{ m}$

$\text{a}= 5\text{ mm}$
$\text{b}= 3\text{ cm}$

$\text{a}= 6\text{ dm}$
$\text{b}= 8\text{ dm}$

Aufgabe 3

Gegeben sind der Flächeninhalt und eine Seitenlänge des Rechtecks.

Berechne die fehlende Seitenlänge und den Umfang.

$\text{A}= 20\text{ cm}^2$

$\text{a}= 4\text{ cm}$

$\text{A}= 28\text{ dm}^2$

$\text{a}= 7\text{ dm}$

$\text{A}= 55\text{ mm}^2$

$\text{a}= 11\text{ mm}$

$\text{A}= 18\text{ cm}^2$

$\text{a}= 30\text{ mm}$

$\text{A}= 6.000\text{ mm}^2$

$\text{a}= 3\text{ cm}$

$\text{A}= 50\text{ m}^2$

$\text{a}= 250\text{ dm}$

Aufgabe 4

Gegeben ist der Umfang der Quadrate.

Gib sowohl ihren Flächeninhalt also auch ihre Seitenlänge in der selben Maßeinheit an.

$\text{U}=36\text{ m}$

$\text{U}=48\text{ mm}$

$\text{U}=20\text{ dm}$

$\text{U}=64\text{ cm}$

Aufgabe 5

Vervollständige die folgende Tabelle.

Tabelle anzeigen

Seitenlänge a	Seitenlänge b	Umfang U	Flächeninhalt A
$5\text{ cm}$	$12\text{ cm}$
	$10\text{ mm}$	$40\text{ mm}$
$20\text{ dm}$			$18\text{ m}^2$
$3\text{ km}$	$15\text{ km}$
$40\text{ mm}$			$36\text{ cm}^2$
	$13\text{ mm}$	$4\text{ cm}$

Aufgabe 6

Finn möchte sein Gartengrundstück verpachten.

Der Garten hat eine rechteckige Form mit einer Länge von $23\text{ m}$ und einer Breite von $14\text{ m}$ .

Grünes Rechteck mit den Maßen 23 m x 14 m.

Abb. 5: Skizze Garten

Wie groß ist das Gartengrundstück in $\text{ m}^2$ [ $\text{a}$ ].

Anna schlägt vor, das Gartengrundstück für $0,50\,€$ pro Quadratmeter im Monat zu verpachten.

Wie hoch wäre die monatliche Pacht?

Aufgabe 7

Luise möchte ihr Zimmer neu streichen.
Dafür benötigt sie eine Plastikplane, die den Boden bedeckt. Die Plane wird mit Klebeband an der Fußleiste befestigt.

Ihr Zimmer hat die Maße $6,5\text{ m}\text{ x } 4\text{ m}$ und ihre Tür hat eine Breite von $1,15\text{ m}$

Wie viele Quadratmeter Plastikplane und wie viele Meter Klebeband muss Luise kaufen, damit sie alles abdecken und befestigen kann?

Bildnachweise [nach oben]

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Stellungnahme

Vom Umfang eines Rechteckes kann man nicht immer sofort auf den Flächeninhalt schließen.

Ein Gegenbeispiel für Hannahs Aussage ist zum Beispiel:

Rechteck A:

$\text{Seitenlänge a} = 3 \text{ cm}$

$\text{Seitenlänge b} = 15\text{ cm}$

$\text{U} = 2\cdot 3 \text{ cm} + 2\cdot 15 \text{ cm}=36\text{ cm}$

$\text{A} = 3 \text{ cm} \cdot 15 \text{ cm} =45\text{ cm}^2$

Rechteck B:

$\text{Seitenlänge a} = 5 \text{ cm}$

$\text{Seitenlänge b} = 12\text{ cm}$

$\text{U} = 2\cdot 5 \text{ cm} + 2\cdot 5 \text{ cm}= 22\text{ cm}$

$\text{A} = 5 \text{ cm} \cdot 12\text{ cm} = 60\text{ cm}^2$

Der Umfang von $\text{Rechteck A}$ ist größer als der von $\text{Rechteck B}$ .
Nach Hannahs Aussage müsste somit auch der Flächeninhalt von $\text{Rechteck A}$ größer sein als der von $\text{Rechteck B}.$

Durch nachrechnen stellt sich jedoch heraus, dass der Flächeninhalt von $\text{Rechteck B}$ mit $60\text{ cm}^2$ deutlich größer ist als der von $\text{Rechteck A}$ mit $45\text{ cm}^2$ .

Hannahs Aussage ist somit falsch.

Aufgabe 1

Durch abzählen erhältst du jeweils die Länge der Seiten $\text{a}$ und $\text{b}$ .
Da beides in Zentimetern gegeben ist, kannst du die Werte direkt in die Formeln einsetzen:

$\text{U }= 2\text{ a }+ 2\text{ b}$

$\text{A }= \text{ a} \cdot \text{ b}$

$\text{a }= 5\text{ cm}$
$\text{b }= 10\text{ cm}$

$\text{U }= 30 \text{ cm}$

Seitenlänge a	Seitenlänge b	Umfang U	Flächeninhalt A
$5\text{ cm}$	$12\text{ cm}$	$34\text{ cm}$	$60\text{ cm}^2$
$10\text{ mm}$	$10\text{ mm}$	$40\text{ mm}$	$100\text{ mm}^2$
$20\text{ dm}$ $= 2\text{ m}$	$9\text{ m}$	$22\text{ m}$	$18\text{ m}^2$
$3\text{ km}$	$15\text{ km}$	$36\text{ km}$	$45\text{ km}^2$
$40\text{ mm }$ $= 4\text{ cm}$	$9\text{ cm}$	$26\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$
$7\text{ mm}$	$13\text{ mm}$	$4\text{ cm }$ $= 40\text{ mm}$	$91\text{ mm}^2$