Vieleck
Vielecke begegnen jedem von uns regelmäßig im Alltag: Verkehrsschilder, die Seite eines Spielwürfels oder sogar ein Blatt Papier sind Vielecke. Aber was ist ein Vieleck genau? Welche verschiedenen Vielecke gibt es und in welchen Eigenschaften unterscheiden sie sich? Unter anderem diese Fragen werden hier im Folgenden beantwortet.
Ebenso ist beispielsweise ein Würfel kein Polygon. Dieser hat zwar mehr als drei Ecken, nur gerade Kanten und ist geschlossen. Jedoch ist ein Würfel ein Körper, also dreidimensional und daher nicht eben.
Aufgrund dieser Eigenschaften ist es einfacher, verschiedene Größen wie Umfang oder Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks zu berechnen. Ein unregelmäßiges Vieleck muss oft in viele unterschiedliche regelmäßige Vielecke unterteilt werden, um bestimmte Größen berechnen zu können.
wobei
die Anzahl der Seiten und
die Länge einer einzelnen Seite beschreibt.
Bei einem unregelmäßigen Vieleck sind die Seiten unterschiedlich lang. Daher gilt für den Umfang
Die Längen aller Seiten werden also addiert.
die Länge der Grundseite und
die Höhe des Dreiecks ist, gilt:
haben, handelt es sich um ein Quadrat. Der Flächeninhalt ist wie folgt gegeben:
und
gilt dann:
Ecken beträgt die Winkelsumme
Es gilt also:
Ecken die Größe
Damit gilt für regelmäßige Vielecke:
Warum entsteht so ein gleichmäßiges Dreieck? In einem gleichmäßigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge
Dass das für die Strecke
gilt, ist klar. Außerdem liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt
und Radius
immer alle Punkte, die von
den Abstand
haben. Werden nun die Endpunkte von
als Mittelpunkte von zwei Kreisen mit Radius
gewählt, so haben alle Punkte auf diesen Kreisen jeweils Abstand
von den Endpunkten von
An dem Punkt, an dem sich die Kreise schneiden, haben dann also beide Endpunkte von
den Abstand
zum Schnittpunkt. Damit haben alle Seiten die Länge
und das konstruierte Dreieck ist regelmäßig.
Es kann jedoch nicht jedes Vieleck konstruiert werden. Es gibt aber eine Eigenschaft, die für jedes gleichmäßige Vieleck gilt und das Zeichnen vereinfachen kann: Alle Ecken eines regelmäßigen Vielecks liegen jeweils auf dem gleichen Kreis. Von allen Vielecken mit
Ecken, die in einen Kreis eingezeichnet werden können, ist das jeweilige regelmäßige Vieleck das mit dem größten Flächeninhalt. Das sieht dann wie folgt aus:
Mit Hilfe dieser Eigenschaft kann ein regelmäßiges Vieleck mit
Ecken und Seitenlänge
wie folgt gezeichnet werden: Zunächst wird wieder eine Strecke
der Länge
gezeichnet. Diese wird die Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Spitze der Mittelpunkt des Kreises wird, auf dem die Eckpunkte des Polygons liegen. Der Winkel an der Spitze muss
betragen, die Basiswinkel dementsprechend
Das Dreieck kann jetzt mit dem Geodreieck gezeichnet werden.
Bildnachweise [nach oben]
Was ist ein Vieleck?
Ein Vieleck, auch Polygon genannt, ist eine Form, die mindestens 3 Eckpunkte besitzt. Die Eckpunkte werden durch Strecken miteinander verbunden. Vielecke können nach der Anzahl der Eckpunkte unterteilt werden.
Dreieck

Viereck

Fünfeck

Sechseck
- Ein Dreieck besitzt drei Ecken und Seiten.
- Ein Viereck besitzt vier Ecken und Seiten.
- ...
Vieleck Definition (Polygon Definition)
Ein Vieleck bzw. Polygon hat, wie bereits erwähnt, mindestens drei Ecken. Diese sind durch Strecken miteinander verbunden, die nicht gekrümmt sein dürfen. Außerdem muss ein Vieleck geschlossen und eben sein.
Nach dieser Vieleck-Definition ist also beispielsweise ein Halbkreis kein Vieleck. Das kann sogar unterschiedlich begründet werden: Zum einen hat der Halbkreis nur zwei "Ecken", zum anderen sind diese aber außerdem durch eine gekrümmte Strecke verbunden. Beide Eigenschaften widersprechen der Definition eines Vielecks.

Ein Halbkreis ist kein Vieleck
Unregelmäßige und regelmäßige Vielecke
Ein Vieleck kann entweder ein regelmäßiges Vieleck oder ein unregelmäßiges Vieleck sein. Für ein regelmäßiges Vieleck gilt:
- alle Außenseiten sind gleich lang
- alle Innenwinkel (und damit auch alle Außenwinkel) sind gleich groß

Ein unregelmäßiges Vieleck hat dagegen andere Eigenschaften als ein regelmäßiges Vieleck. Es gilt:
- Außenseiten sind unterschiedlich lang
- Innenwinkel sind unterschiedlich groß

Verschiedene Größen eines Vielecks berechnen
Es können viele verschiedene Größen bei Vielecken berechnet werden. Dazu zählen beispielsweise der Flächeninhalt, die Innenwinkelsumme oder der Umfang. Wie schon erwähnt muss hier zwischen regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecken unterschieden werden, da bei regelmäßigen Vielecken oft allgemeinere Formeln gelten.Umfang Vieleck berechnen
Da bei einem regelmäßigen Vieleck alle Seiten gleich lang sind, ist der Umfang gegeben durchFlächeninhalt Vieleck berechnen
Für den Flächeninhalt von Dreiecken gibt es eine feste Formel, unabhängig davon, ob diese regelmäßig oder unregelmäßig sind. Wenn- Flächeninhalt Dreieck:
- Flächeninhalt Quadrat:
- Flächeninhalt Rechteck:
In dem Beispiel rechts ist ein unregelmäßiges Fünfeck abgebildet. Dieses kann in zwei Dreiecke und ein Rechteck unterteilt werden. Der Flächeninhalt dieser Vielecke kann mit Hilfe der Formeln von oben berechnet werden.

Unregelmäßiges Vieleck Flächeninhalt
Innenwinkelsumme Vielecke berechnen
Die Innenwinkelsumme ist für Vielecke mit einer gleichen Anzahl an Ecken immer gleich. Der Innenwinkelsatz besagt: In einem Vieleck mit- Winkelsumme Dreieck:
- Winkelsumme Viereck:
- ...
- Innenwinkel Dreieck:
- Innenwinkel Viereck:
- ...
Vielecke konstruieren
Möchte man gleichmäßige Vielecke zeichnen, so hat man zum einen die Möglichkeit, zuvor die Winkelgröße mit obiger Formel zu berechnen und damit das Polygon zu zeichnen. Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, verschiedene gleichmäßige Vielecke zu konstruieren.
Beispielsweise das Dreieck kann mit einem Lineal und einem Zirkel konstruiert werden. Das funktioniert wie folgt:
Das Dreieck soll Seitenlänge
haben. Dann wird mit dem Lineal zunächst eine Strecke
der Länge
gezeichnet. Nun wird der Zirkel so eingestellt, dass er einen Kreis mit Radius
zeichnet. Anschließend wird der Zirkel in den beiden Enden der Strecke
angesetzt und jeweils ein Teil des Kreises gezeichnet. Dieser muss ungefähr dort gezeichnet werden, wo sich die Spitze des Dreiecks befinden soll. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreislinien ist dann die Spitze des Dreiecks. Diese muss nun noch mit den beiden Endpunkten der Strecke
verbunden werden.
Das Dreieck soll Seitenlänge

Konstruktion eines gleichmäßigen Dreiecks

Nun wird ein Kreis um das Dreieck gezeichnet, dessen Mittelpunkt die Spitze des Dreiecks ist und auf dem die beiden anderen Eckpunkte des Dreiecks liegen. Am besten mit dem Zirkel kann nun
mal die Länge
auf dem Kreis eingezeichnet werden. Diese auf dem Kreis liegenden Punkte müssen nun verbunden werden, dann ergibt sich ein gleichmäßiges Vieleck mit
Ecken.

© - SchulLV.