Vieleck

Vielecke begegnen jedem von uns regelmäßig im Alltag: Verkehrsschilder, die Seite eines Spielwürfels oder sogar ein Blatt Papier sind Vielecke. Aber was ist ein Vieleck genau? Welche verschiedenen Vielecke gibt es und in welchen Eigenschaften unterscheiden sie sich? Unter anderem diese Fragen werden hier im Folgenden beantwortet.

Was ist ein Vieleck?

Ein Vieleck, auch Polygon genannt, ist eine Form, die mindestens 3 Eckpunkte besitzt. Die Eckpunkte werden durch Strecken miteinander verbunden. Vielecke können nach der Anzahl der Eckpunkte unterteilt werden.
dreieck, polygon
Dreieck
viereck, polygon
Viereck
fünfeck, polygon
Fünfeck
sechseck, polygon
Sechseck
  • Ein Dreieck besitzt drei Ecken und Seiten.
  • Ein Viereck besitzt vier Ecken und Seiten.
  • ...
Vielecke benennen ist also selbsterklärend. Zur Frage "Was sind Vielecke?" ist nun zwar eine intuitive Vorstellung vorhanden, die genaue Vieleck-Definition fehlt aber noch:

Vieleck Definition (Polygon Definition)

Ein Vieleck bzw. Polygon hat, wie bereits erwähnt, mindestens drei Ecken. Diese sind durch Strecken miteinander verbunden, die nicht gekrümmt sein dürfen. Außerdem muss ein Vieleck geschlossen und eben sein.
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Ein Halbkreis ist kein Vieleck
Ebenso ist beispielsweise ein Würfel kein Polygon. Dieser hat zwar mehr als drei Ecken, nur gerade Kanten und ist geschlossen. Jedoch ist ein Würfel ein Körper, also dreidimensional und daher nicht eben.

Unregelmäßige und regelmäßige Vielecke

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Aufgrund dieser Eigenschaften ist es einfacher, verschiedene Größen wie Umfang oder Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks zu berechnen. Ein unregelmäßiges Vieleck muss oft in viele unterschiedliche regelmäßige Vielecke unterteilt werden, um bestimmte Größen berechnen zu können.

Verschiedene Größen eines Vielecks berechnen

Es können viele verschiedene Größen bei Vielecken berechnet werden. Dazu zählen beispielsweise der Flächeninhalt, die Innenwinkelsumme oder der Umfang. Wie schon erwähnt muss hier zwischen regelmäßigen und unregelmäßigen Vielecken unterschieden werden, da bei regelmäßigen Vielecken oft allgemeinere Formeln gelten.

Umfang Vieleck berechnen

Da bei einem regelmäßigen Vieleck alle Seiten gleich lang sind, ist der Umfang gegeben durch \(U=n\cdot l,\) wobei \(n\) die Anzahl der Seiten und \(l\) die Länge einer einzelnen Seite beschreibt.
Bei einem unregelmäßigen Vieleck sind die Seiten unterschiedlich lang. Daher gilt für den Umfang \(U=l_1+l_2+...+l_n.\) Die Längen aller Seiten werden also addiert.

Flächeninhalt Vieleck berechnen

Für den Flächeninhalt von Dreiecken gibt es eine feste Formel, unabhängig davon, ob diese regelmäßig oder unregelmäßig sind. Wenn \(g\) die Länge der Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks ist, gilt:
  • Flächeninhalt Dreieck: \(A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h\)
Bei einem Viereck muss dagegen unterschieden werden, ob es sich um ein regelmäßiges oder ein unregelmäßiges Viereck handelt. Da bei einem regelmäßigen Viereck alle Seiten die gleiche Länge \(a\) haben, handelt es sich um ein Quadrat. Der Flächeninhalt ist wie folgt gegeben:
  • Flächeninhalt Quadrat: \(A=a^2\)
Ein Rechteck ist zwar ein unregelmäßiges Viereck, aber hier kann der Flächeninhalt auch einfach berechnet werden. Für zwei senkrecht zueinander stehende Seiten \(a\) und \(b\) gilt dann:
  • Flächeninhalt Rechteck: \(A=a\cdot b\)
Für andere unregelmäßige Vierecke, ebenso für unregelmäßige aber auch regelmäßige Vielecke mit mehr als vier Ecken, kann der Flächeninhalt nicht so einfach berechnet werden. In diesem Fall wird die Figur in andere Vielecke unterteilt, deren Flächeninhalt berechnet werden kann. Die Summe aller dieser Flächeninhalte ist dann der Flächeninhalt des Polygons.
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Unregelmäßiges Vieleck Flächeninhalt

Innenwinkelsumme Vielecke berechnen

Die Innenwinkelsumme ist für Vielecke mit einer gleichen Anzahl an Ecken immer gleich. Der Innenwinkelsatz besagt:
In einem Vieleck mit \(n\) Ecken beträgt die Winkelsumme \((n-2)\cdot 180^{\circ}.\)
Es gilt also:
  • Winkelsumme Dreieck: \(180^{\circ}\)
  • Winkelsumme Viereck: \(360 ^{\circ}\)
  • ...
Da in einem gleichmäßigen Vieleck alle Innenwinkel (und damit auch alle Außenwinkel) gleich groß sind, hat ein einzelner Innenwinkel in einem regelmäßigen Vieleck mit \(n\) Ecken die Größe \(\dfrac{n-2}{n}\dfrac{}{}180^{\circ}.\) Damit gilt für regelmäßige Vielecke:
  • Innenwinkel Dreieck: \(60^{\circ}\)
  • Innenwinkel Viereck: \(90 ^{\circ}\)
  • ...

Vielecke konstruieren

Möchte man gleichmäßige Vielecke zeichnen, so hat man zum einen die Möglichkeit, zuvor die Winkelgröße mit obiger Formel zu berechnen und damit das Polygon zu zeichnen. Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, verschiedene gleichmäßige Vielecke zu konstruieren.
dreieck konstruieren
Konstruktion eines gleichmäßigen Dreiecks
Warum entsteht so ein gleichmäßiges Dreieck? In einem gleichmäßigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge \(a.\) Dass das für die Strecke \(s\) gilt, ist klar. Außerdem liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(a\) immer alle Punkte, die von \(M\) den Abstand \(a\) haben. Werden nun die Endpunkte von \(s\) als Mittelpunkte von zwei Kreisen mit Radius \(a\) gewählt, so haben alle Punkte auf diesen Kreisen jeweils Abstand \(a\) von den Endpunkten von \(s.\) An dem Punkt, an dem sich die Kreise schneiden, haben dann also beide Endpunkte von \(s\) den Abstand \(a\) zum Schnittpunkt. Damit haben alle Seiten die Länge \(a\) und das konstruierte Dreieck ist regelmäßig.
Es kann jedoch nicht jedes Vieleck konstruiert werden. Es gibt aber eine Eigenschaft, die für jedes gleichmäßige Vieleck gilt und das Zeichnen vereinfachen kann: Alle Ecken eines regelmäßigen Vielecks liegen jeweils auf dem gleichen Kreis. Von allen Vielecken mit \(n\) Ecken, die in einen Kreis eingezeichnet werden können, ist das jeweilige regelmäßige Vieleck das mit dem größten Flächeninhalt. Das sieht dann wie folgt aus:
regelmäßiges vieleck
Mit Hilfe dieser Eigenschaft kann ein regelmäßiges Vieleck mit \(n\) Ecken und Seitenlänge \(a\) wie folgt gezeichnet werden: Zunächst wird wieder eine Strecke \(s\) der Länge \(a\) gezeichnet. Diese wird die Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Spitze der Mittelpunkt des Kreises wird, auf dem die Eckpunkte des Polygons liegen. Der Winkel an der Spitze muss \(\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}\) betragen, die Basiswinkel dementsprechend \(\beta=\dfrac{(180^{\circ}-\alpha)}{2}.\) Das Dreieck kann jetzt mit dem Geodreieck gezeichnet werden.
regelmäßiges vieleck zeichnen
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