Wahlaufgaben

W 1

Die Abbildung zeigt das achsensymmetrische Viereck Formula: ABCD mit der Symmetrieachse $Formula: \overline{AC}.$ $Formula: \overline{AC}.$

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}.$ $Formula: \overline{BC}.$ Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

4 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: DBC. Runde dein Ergebnis auf ganze Quadratzentimeter.

4 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$ Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

3 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Auf wie viel Prozent vergrößert sich der Flächeninhalt eines beliebigen achsensymmetrischen Vierecks, wenn man die Länge jeder Diagonalen mit Formula: 1,5 multipliziert?

Schreibe den Buchstaben der richtigen Antwort auf dein Reinschriftpapier.

A	B	C	D	E
$Formula: 100\; \text{%}$ $Formula: 100\; \text{%}$	$Formula: 150\; \text{%}$ $Formula: 150\; \text{%}$	$Formula: 175\; \text{%}$ $Formula: 175\; \text{%}$	$Formula: 225\; \text{%}$ $Formula: 225\; \text{%}$	$Formula: 250\; \text{%}$ $Formula: 250\; \text{%}$

1 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Achsensymmetrisches Viereck mit Symmetrieachse und Winkeln

Abbildung nicht maßstabsgerecht

W 2

Die Abbildung zeigt einen Turm, der aus acht aufeinandergestapelten Zylindern besteht. Der größte Zylinder (Zylinder 0) hat eine Höhe von $Formula: 10\; \text{cm}$ $Formula: 10\; \text{cm}$ und einen Durchmesser von $Formula: 10\; \text{cm}.$ $Formula: 10\; \text{cm}.$ Nach oben nehmen sowohl der Durchmesser als auch die Höhe von Zylinder zu Zylinder jeweils um $Formula: 15\,\%$ $Formula: 15\,\%$ ab.

Berechne den Durchmesser des Zylinders 1.

2 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Notiere einen Term, mit dem man den Durchmesser eines beliebigen Zylinders Formula: n berechnen kann.

2 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Bei welchem der abgebildeten Zylinder ist der Durchmesser zum ersten Mal kleiner als $Formula: 4\; \text{cm}?$ $Formula: 4\; \text{cm}?$ Notiere die Nummer des Zylinders.

3 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Zum 10-jährigen Firmenjubiläum möchte der Hersteller den Turm unter Einhaltung der oben genannten Regel um einen weiteren Zylinder ergänzen. Dieser soll den Turm nach unten fortsetzen und die Bezeichnung (−1) erhalten. Berechne den Durchmesser dieses Zylinders. Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

2 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Um wie viel Prozent nimmt das Volumen von einem Zylinder zum nächstkleineren Zylinder ab? Runde dein Ergebnis auf ganze Prozent.

3 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Gestapelte bunte Zylinder von groß zu klein, nummeriert von 0 (unten) bis 7 (oben).

W 3

Fiona spielt gerne Golf. Sie ist eine erfahrene Spielerin.

Die Flugbahn ihres besten Schlages auf einem ebenen Golfplatz bei Windstille kann annähernd mit der Funktionsgleichung

$Formula: y=-0,0125 \cdot (x-60)^2+45$ $Formula: y=-0,0125 \cdot (x-60)^2+45$

beschrieben werden, wenn der Abschlag am Punkt $Formula: (0 \mid 0)$ $Formula: (0 \mid 0)$ erfolgt. Dabei gibt Formula: x die Entfernung vom Abschlagort in Metern und Formula: y die Höhe des Golfballs in Metern an.

Modellfunktion der Flugbahn eines Golfschlages vom Abschlagort zur Landung

Gib die maximale Höhe des Golfballs und die Entfernung vom Abschlagort an, bei welcher er diese Höhe erreicht.

2 P

Berechne, in welcher Entfernung vom Abschlagort der Golfball wieder auf dem Boden landet.

3 P

Fiona behauptet: „Bei meinem besten Schlag hat mein Ball bereits nach $Formula: 10\; \text{m}$ $Formula: 10\; \text{m}$ eine Flughöhe von mehr als $Formula: 13\; \text{m}$ $Formula: 13\; \text{m}$ erreicht.“

Hat Fiona recht? Begründe deine Antwort.

3 P

Bei einem anderen Schlag von Fiona flog der Golfball $Formula: 100\; \text{m}$ $Formula: 100\; \text{m}$ weit und erreichte am höchsten Punkt eine Höhe von $Formula: 35\; \text{m}.$ $Formula: 35\; \text{m}.$ Auch dieser Schlag kann mit einer Funktionsgleichung der Form $Formula: y=a \cdot (x-d)^2+e$ $Formula: y=a \cdot (x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $Formula: S(d \mid e)$ $Formula: S(d \mid e)$ beschrieben werden.

Bestimme den Wert für Formula: a in dieser Funktionsgleichung.

4 P

W 4

Bei der Eröffnung eines Geschäfts wird eine besondere Rabattaktion durchgeführt. Dazu werden zwei Glücksräder aufgestellt. Glücksrad 1 hat 12 gleich große Felder. Glücksrad 2 hat 6 gleich große Felder.

Der Rabatt ergibt sich aus der Multiplikation der beiden gedrehten Felder.

Im abgebildeten Beispiel wurden die Felder $Formula: 4\,\%$ $Formula: 4\,\%$ und 2 gedreht. Man erhält einen Rabatt von $Formula: 4\,\% \cdot 2 = 8\,\%.$ $Formula: 4\,\% \cdot 2 = 8\,\%.$

Zwei Glücksräder mit farbigen Feldern und Zahlen und Prozentangaben, mit Pfeilen markiert

Maik dreht jedes Glücksrad einmal.

Wie viel Prozent Rabatt kann Maik höchstens bekommen?

1 P

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Maik einen Rabatt von $Formula: 2\,\%$ $Formula: 2\,\%$ erhält.

2 P

Welche Felder hat Maik gedreht, wenn man die Wahrscheinlichkeit mit $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{24}$ $Formula: \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{24}$ berechnen kann?

2 P

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Maik einen Rabatt von $Formula: 4\,\%$ $Formula: 4\,\%$ erhält.

3 P

Das Ereignis „Man erhält mindestens $Formula: 4\,\%$ $Formula: 4\,\%$ Rabatt.“ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac{7}{24}$ $Formula: \tfrac{7}{24}$ erzielt.

Notiere das Gegenereignis.

1 P

Gib die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an.

1 P

Die Wahrscheinlichkeit, einen Rabatt zu erzielen, der größer als $Formula: 0\,\%$ $Formula: 0\,\%$ ist, soll bei genau $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ liegen.

Beschreibe, wie Glücksrad 1 verändert werden müsste, damit dies erfüllt ist.

2 P

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

W 1

Aufgrund der Symmetrie teilt die Höhe $Formula: h_{c}$ $Formula: h_{c}$ das Dreieck Formula: DBC in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke und es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rrl} \overline{EB} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{DB} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 54,6 \ \text{cm} \\[5pt] &=& 27,3 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rrl} \overline{EB} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{DB} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 54,6 \ \text{cm} \\[5pt] &=& 27,3 \ \text{cm} \end{array}$

Geometrische Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Punkten C, B und E. Die Grundseite EB ist 27,3 cm lang, am Punkt B ist ein Winkel von 46° eingezeichnet. Die senkrechte Seite CE stellt die Höhe h₍c₎ dar. Der rechte Winkel ist am Punkt E markiert.

Mit dem Kosinus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(46^{\circ}) &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{EB}}{\overline{BC}} \\[5pt] &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\overline{BC}} &\quad \mid\:\cdot\,\overline{BC} \quad \mid \div \cos(46^{\circ}) \\[5pt] \overline{BC} &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\cos(46^{\circ})} \\[5pt] &\approx& 39,3 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(46^{\circ}) &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{EB}}{\overline{BC}} \\[5pt] &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\overline{BC}} &\quad \mid\:\cdot\,\overline{BC} \quad \mid \div \cos(46^{\circ}) \\[5pt] \overline{BC} &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\cos(46^{\circ})} \\[5pt] &\approx& 39,3 \ \text{cm} \end{array}$

Die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ beträgt ca. $Formula: 39,3 \ \text{cm}.$ $Formula: 39,3 \ \text{cm}.$

Berechnung der Höhe $Formula: \boldsymbol{h_{c}}$ $Formula: \boldsymbol{h_{c}}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{EB}^2 + h_{c}^2 &=& \overline{BC}^2 &\quad \mid - \overline{EB}^2 \\[5pt] h_{c}^2 &=& \overline{BC}^2 - \overline{EB}^2 \\[5pt] &\approx& (39,3 \ \text{cm})^2 - (27,3 \ \text{cm})^2 \\[5pt] &=& 799,2 \ \text{cm}^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] h_{c} &\approx& 28,27 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{EB}^2 + h_{c}^2 &=& \overline{BC}^2 &\quad \mid - \overline{EB}^2 \\[5pt] h_{c}^2 &=& \overline{BC}^2 - \overline{EB}^2 \\[5pt] &\approx& (39,3 \ \text{cm})^2 - (27,3 \ \text{cm})^2 \\[5pt] &=& 799,2 \ \text{cm}^2 &\quad \mid \sqrt{\ } \\[5pt] h_{c} &\approx& 28,27 \ \text{cm} \end{array}$

Berechnung des Flächeninhalts $Formula: \boldsymbol{A}$ $Formula: \boldsymbol{A}$ des Dreiecks $Formula: \boldsymbol{DBC}\textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{DBC}\textbf{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{DB} \cdot h_{c} \\[0.5em] &\approx& \dfrac{1}{2} \cdot 54,6 \ \text{cm} \cdot 28,27 \ \text{cm} \\[0.5em] &\approx& 771,77 \ \text{cm}^2 \\ &\approx& 772 \ \text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{DB} \cdot h_{c} \\[0.5em] &\approx& \dfrac{1}{2} \cdot 54,6 \ \text{cm} \cdot 28,27 \ \text{cm} \\[0.5em] &\approx& 771,77 \ \text{cm}^2 \\ &\approx& 772 \ \text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: DBC beträgt ca. $Formula: 772 \ \text{cm}^2.$ $Formula: 772 \ \text{cm}^2.$

Aufgrund der Symmetrie teilt die Höhe $Formula: h_{a}$ $Formula: h_{a}$ das Dreieck Formula: ABD in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.

Für den Winkel des Dreiecks Formula: ABD bei Punkt Formula: B gilt daher $Formula: \beta = 75^{\circ}.$ $Formula: \beta = 75^{\circ}.$

Geometrische Zeichnung eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Spitze A unten und der Grundseite DB oben. Die Grundseite ist 54,6 cm lang, an den Punkten D und B sind jeweils Winkel von 75° eingezeichnet. Von der Mitte E der Grundseite führt eine gestrichelte Höhe hₐ senkrecht zur Spitze A. Der Spitzenwinkel α ist am Punkt A markiert.

Mit dem Kosinus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(75^{\circ}) &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{\overline{EB}}{\overline{AB}} \\[0.5em] &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\overline{AB}} &\quad \mid \cdot \overline{AB} \quad \mid \div \cos(75^{\circ}) \\[0.5em] \overline{AB} &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\cos(75^{\circ})} \\[0.5em] &\approx& 105,5 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(75^{\circ}) &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{\overline{EB}}{\overline{AB}} \\[0.5em] &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\overline{AB}} &\quad \mid \cdot \overline{AB} \quad \mid \div \cos(75^{\circ}) \\[0.5em] \overline{AB} &=& \dfrac{27,3 \ \text{cm}}{\cos(75^{\circ})} \\[0.5em] &\approx& 105,5 \ \text{cm} \end{array}$

Der Flächeninhalt eines achsensymmetrischen Vierecks (Drachenviereck) kann mit

$Formula: A = \dfrac{e \cdot f}{2}$ $Formula: A = \dfrac{e \cdot f}{2}$

berechnet werden, wobei Formula: e und Formula: f die beiden Diagonalen sind.

Werden beide Diagonalen mit dem Faktor Formula: 1,5 multipliziert, so ergibt sich der neue Flächeninhalt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A' &=& \dfrac{(1,5 \cdot e) \cdot (1,5 \cdot f)}{2} \\[0.5em] &=& 2,25 \cdot \dfrac{e \cdot f}{2} \\[0.5em] &=& 2,25 \cdot A \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A' &=& \dfrac{(1,5 \cdot e) \cdot (1,5 \cdot f)}{2} \\[0.5em] &=& 2,25 \cdot \dfrac{e \cdot f}{2} \\[0.5em] &=& 2,25 \cdot A \end{array}$

Der neue Flächeninhalt ist also Formula: 2,25 -mal so groß wie der des vorherigen Vierecks und somit vergrößert sich der Flächeninhalt auf $Formula: 225 \, \% .$ $Formula: 225 \, \% .$ Buchstabe Formula: D ist korrekt.

W 2

Von Zylinder zu Zylinder nimmt der Durchmesser um $Formula: 15 \, \%$ $Formula: 15 \, \%$ ab. Also entspricht der Durchmesser eines Zylinders $Formula: 100 \, \% - 15\, \% = 85 \, \%$ $Formula: 100 \, \% - 15\, \% = 85 \, \%$ des Durchmessers des vorherigen Zylinders.

Für den Durchmesser Formula: d_1 des Zylinders Formula: 1 gilt daher:

$Formula: d_1 = 0,85 \cdot 10 \ \text{cm} = 8,5 \ \text{cm}$ $Formula: d_1 = 0,85 \cdot 10 \ \text{cm} = 8,5 \ \text{cm}$

Für den Durchmesser Formula: d_n des Zylinders Formula: n gilt:

$Formula: d_n = 0,85^n \cdot 10 \ \text{cm}$ $Formula: d_n = 0,85^n \cdot 10 \ \text{cm}$

Berechne den Durchmesser der Zylinder mithilfe des Terms aus Teilaufgabe b) schrittweise, bis ein Durchmesser kleiner als $Formula: 4 \ \text{cm}$ $Formula: 4 \ \text{cm}$ erreicht ist.

Durchmesser Zylinder $Formula: 5\text{:}$ $Formula: 5\text{:}$

$Formula: d_5 = 0,85^5 \cdot 10 \ \text{cm} \approx 4,4 \ \text{cm}$ $Formula: d_5 = 0,85^5 \cdot 10 \ \text{cm} \approx 4,4 \ \text{cm}$

Durchmesser Zylinder $Formula: 6\text{:}$ $Formula: 6\text{:}$

$Formula: d_6 = 0,85^6 \cdot 10 \ \text{cm} \approx 3,77 \ \text{cm}$ $Formula: d_6 = 0,85^6 \cdot 10 \ \text{cm} \approx 3,77 \ \text{cm}$

Setze alternativ den Term gleich $Formula: 4\text{:}$ $Formula: 4\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 4 &=& 0,85^n \cdot 10 \ \text{cm} &\quad \mid \div 10 \\ 0,4 &=& 0,85^n \\ \log_{0,85}(0,4) &=& n \\ 5,64 &\approx& n \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 4 &=& 0,85^n \cdot 10 \ \text{cm} &\quad \mid \div 10 \\ 0,4 &=& 0,85^n \\ \log_{0,85}(0,4) &=& n \\ 5,64 &\approx& n \end{array}$

Bei Zylinder Formula: 6 ist der Durchmesser zum ersten Mal kleiner als $Formula: 4 \ \text{cm}.$ $Formula: 4 \ \text{cm}.$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{0} = 10 \ \text{cm} &=& 0,85 \cdot d_{-1} &\quad \mid \div \, 0,85 \\ 11,8 \ \text{cm} &\approx& d_{-1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} d_{0} = 10 \ \text{cm} &=& 0,85 \cdot d_{-1} &\quad \mid \div \, 0,85 \\ 11,8 \ \text{cm} &\approx& d_{-1} \end{array}$

Der Durchmesser des Zylinders −1 beträgt ca. $Formula: 11,8 \ \text{cm}.$ $Formula: 11,8 \ \text{cm}.$

Betrachte die Zylinder Formula: 0 und $Formula: 1\text{:}$ $Formula: 1\text{:}$

Berechnung des Volumens von Zylinder $Formula: \mathbf{0}\textbf{:}$ $Formula: \mathbf{0}\textbf{:}$

$Formula: r_{0} = \dfrac{1}{2} \cdot d_{0} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \ \text{cm} = 5 \ \text{cm}$ $Formula: r_{0} = \dfrac{1}{2} \cdot d_{0} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \ \text{cm} = 5 \ \text{cm}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{0} &=& \pi \cdot r_{0}^2 \cdot h_{0} \\ &=& \pi \cdot (5 \ \text{cm})^2 \cdot 10 \text{cm} \\ &\approx& 785,40 \ \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{0} &=& \pi \cdot r_{0}^2 \cdot h_{0} \\ &=& \pi \cdot (5 \ \text{cm})^2 \cdot 10 \text{cm} \\ &\approx& 785,40 \ \text{cm}^3 \end{array}$

Berechnung des Volumens von Zylinder $Formula: \mathbf{1}\textbf{:}$ $Formula: \mathbf{1}\textbf{:}$

Nach Teilaufgabe a) gilt $Formula: d_{1} = h_{1} = 8,5 \ \text{cm}$ $Formula: d_{1} = h_{1} = 8,5 \ \text{cm}$ und damit:

$Formula: r_{1} = \dfrac{1}{2} \cdot d_{1} = \dfrac{1}{2} \cdot 8,5 \ \text{cm} = 4,25 \ \text{cm}$ $Formula: r_{1} = \dfrac{1}{2} \cdot d_{1} = \dfrac{1}{2} \cdot 8,5 \ \text{cm} = 4,25 \ \text{cm}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{1} &=& \pi \cdot r_{1}^2 \cdot h_{1} \\ &=& \pi \cdot (4,25 \ \text{cm})^2 \cdot 8,5 \ \text{cm} \\ &\approx& 482,33 \ \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V_{1} &=& \pi \cdot r_{1}^2 \cdot h_{1} \\ &=& \pi \cdot (4,25 \ \text{cm})^2 \cdot 8,5 \ \text{cm} \\ &\approx& 482,33 \ \text{cm}^3 \end{array}$

Berechnung der prozentualen Abnahme des Zylindervolumens:

Grundwert $Formula: G = V_{0} \approx 785,40 \ \text{cm}^3$ $Formula: G = V_{0} \approx 785,40 \ \text{cm}^3$

Prozentwert $Formula: P = V_{1} \approx 482,33 \ \text{cm}^3$ $Formula: P = V_{1} \approx 482,33 \ \text{cm}^3$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p \, \% &=& \dfrac{P}{G} \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &\approx& \dfrac{482,33 \ \text{cm}^3}{785,4 \ \text{cm}^3} \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &=& 0,6141 \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &=& 61,41 \, \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p \, \% &=& \dfrac{P}{G} \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &\approx& \dfrac{482,33 \ \text{cm}^3}{785,4 \ \text{cm}^3} \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &=& 0,6141 \cdot 100 \, \% \\[0.5em] &=& 61,41 \, \% \end{array}$

$Formula: 100 \, \% - 61,41 \, \% \approx 39 \, \%$ $Formula: 100 \, \% - 61,41 \, \% \approx 39 \, \%$

Das Volumen eines Zylinders nimmt zum nächstkleineren um ca. $Formula: 39 \, \%$ $Formula: 39 \, \%$ ab.

W 3

Gesucht sind die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. Da die Funktionsgleichung

$Formula: y = - 0,0125 \cdot (x - 60)^2 + 45$ $Formula: y = - 0,0125 \cdot (x - 60)^2 + 45$

bereits in der Scheitelpunktform

$Formula: y = a \cdot (x-d)^2 + e$ $Formula: y = a \cdot (x-d)^2 + e$

vorliegt, lässt sich der Scheitelpunkt direkt ablesen: $Formula: S(d \mid e) = S (60 \mid 45).$ $Formula: S(d \mid e) = S (60 \mid 45).$

Damit beträgt die maximale Höhe des Golfballs $Formula: 45 \ \text{m}.$ $Formula: 45 \ \text{m}.$ Diese wird in einer Entfernung von $Formula: 60 \ \text{m}$ $Formula: 60 \ \text{m}$ vom Abschlag erreicht.

Berechne die Nullstellen der Parabel, indem du den Funktionsterm gleich Formula: 0 setzt und nach Formula: x auflöst:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& -0,0125 \cdot (x-60)^2 + 45 &\quad \mid \div (-0,0125) \\ 0 &=& (x-60)^2 - 3600 &\quad \mid \text{2. binomische Formel} \\ 0 &=& x^2- 2 \cdot 60 x + 3600 - 3600 \\ 0 &=& x^2 - 120 x &\quad \mid \text{ausklammern} \\ 0 &=& x \cdot (x - 120) \\ x_{1} &=& 0 \\ x_{2} &=& 120 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& -0,0125 \cdot (x-60)^2 + 45 &\quad \mid \div (-0,0125) \\ 0 &=& (x-60)^2 - 3600 &\quad \mid \text{2. binomische Formel} \\ 0 &=& x^2- 2 \cdot 60 x + 3600 - 3600 \\ 0 &=& x^2 - 120 x &\quad \mid \text{ausklammern} \\ 0 &=& x \cdot (x - 120) \\ x_{1} &=& 0 \\ x_{2} &=& 120 \end{array}$

Die Lösung $Formula: x_{1} = 0$ $Formula: x_{1} = 0$ ist der Abschlagsort. Der Golfball landet nach $Formula: 120 \ \text{m}$ $Formula: 120 \ \text{m}$ Entfernung vom Abschlagsort wieder auf dem Boden.

Setze Formula: x = 10 in die Funktionsgleichung ein:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& -0,0125 \cdot (10 - 60)^2 + 45 \\ &=& -0,0125 \cdot (-50)^2 + 45 \\ &=& -0,0125 \cdot 2500 + 45 \\ &=& - 31,25 + 45 \\ &=& 13,75 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& -0,0125 \cdot (10 - 60)^2 + 45 \\ &=& -0,0125 \cdot (-50)^2 + 45 \\ &=& -0,0125 \cdot 2500 + 45 \\ &=& - 31,25 + 45 \\ &=& 13,75 \end{array}$

Ja, Fiona hat recht. Der Golfball hat nach $Formula: 10 \ \text{m}$ $Formula: 10 \ \text{m}$ bereits eine Flughöhe von mehr als $Formula: 13 \ \text{m}$ $Formula: 13 \ \text{m}$ erreicht.

Die Flugweite beträgt insgesamt $Formula: 100 \ \text{m}.$ $Formula: 100 \ \text{m}.$ Damit sind die Nullstellen der Parabel bei $Formula: x_{1} = 0$ $Formula: x_{1} = 0$ und $Formula: x_{2} = 100.$ $Formula: x_{2} = 100.$ Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei

$Formula: x = 0 + \dfrac{100 - 0}{2} = 50$ $Formula: x = 0 + \dfrac{100 - 0}{2} = 50$

Am Scheitelpunkt erreicht der Golfball seine maximale Höhe. Diese ist mit $Formula: 35 \ \text{m}$ $Formula: 35 \ \text{m}$ angegeben. Damit lautet der Scheitelpunkt $Formula: S ( d \mid e) = S ( 50 \mid 35).$ $Formula: S ( d \mid e) = S ( 50 \mid 35).$

Setze diesen in die Scheitelpunktform ein:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& a \cdot (x - d)^2 + e \\&=& a \cdot (x - 50)^2 + 35 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& a \cdot (x - d)^2 + e \\&=& a \cdot (x - 50)^2 + 35 \end{array}$

Mit der Nullstelle bei $Formula: x_{1} = 0$ $Formula: x_{1} = 0$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& a \cdot (0 - 50)^2 + 35 \\ 0 &=& 2500 \cdot a + 35 &\quad \mid -35 \\ - 35 &=& 2500 \cdot a &\quad \mid \div 2500 \\ - 0,014 &=& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& a \cdot (0 - 50)^2 + 35 \\ 0 &=& 2500 \cdot a + 35 &\quad \mid -35 \\ - 35 &=& 2500 \cdot a &\quad \mid \div 2500 \\ - 0,014 &=& a \end{array}$

Damit lautet die Funktionsgleichung:

$Formula: y = -0,014 \cdot (x - 50)^2 + 35$ $Formula: y = -0,014 \cdot (x - 50)^2 + 35$

W 4

Höchster Wert bei Glücksrad 1: $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$

Höchster Wert bei Glücksrad 2: Formula: 3

$Formula: 4 \, \% \cdot 3 = 12 \, \%$ $Formula: 4 \, \% \cdot 3 = 12 \, \%$

Maik kann höchstens $Formula: 12 \, \%$ $Formula: 12 \, \%$ Rabatt bekommen.

Maik erhält nur dann einen $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ -Rabatt, wenn er bei Glücksrad 1 ein Feld mit $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ und bei Glücksrad 2 ein Feld mit Formula: 1 dreht.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Feldes " $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ " bei Glücksrad 1:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(2 \, \% \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{3}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(2 \, \% \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{3}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Feldes " $Formula: \mathbf{1}$ $Formula: \mathbf{1}$ " bei Glücksrad 2:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(1 \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{3}{6} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(1 \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{3}{6} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ -Rabatts:

Aus der 1. Pfadregel für zweistufige Zufallsexperimente folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left( 2 \, \% \ \text{Rabatt} \right) &=& P \left( 2 \, \% \right) \cdot P(1) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}=12,5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left( 2 \, \% \ \text{Rabatt} \right) &=& P \left( 2 \, \% \right) \cdot P(1) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}=12,5\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Maik einen Rabatt von $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ bekommt, beträgt $Formula: 12,5\,\%.$ $Formula: 12,5\,\%.$

Für Glücksrad 1 mit insgesamt Formula: 12 möglichen Ergebnissen gilt:

$Formula: \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ $Formula: \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$

Das Ergebnis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac{1}{4}$ $Formula: \tfrac{1}{4}$ gedreht wird, muss auf drei Feldern des Glücksrades vorkommen. Das trifft nur auf das Ergebnis " $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ " zu.

Bei Glücksrad 2 muss das Ergebnis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac{1}{6}$ $Formula: \tfrac{1}{6}$ gedreht wird, auf genau einem Feld des Glücksrads vorkommen. Das trifft nur auf das Ergebnis " Formula: 3 " zu.

Maik hat also die Felder " $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ " und " Formula: 3 " gedreht.

Maik erhält genau dann einen Rabatt von $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$ , wenn er entweder bei Glücksrad 1 das Ergebnis " $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ " und bei Glücksrad 2 das Ergebnis "" dreht (1. Möglichkeit) oder bei Glücksrad 1 das Ergebnis " $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$ " und bei Glücksrad 2 das Ergebnis " Formula: 1 " dreht (2. Möglichkeit).

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Möglichkeit 1:

Laut Teilaufgabe a) 2 gilt für Glücksrad 1:

$Formula: P (2 \, \%) = \dfrac{1}{4}$ $Formula: P (2 \, \%) = \dfrac{1}{4}$

Für Glücksrad 2 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(2 \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{6} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(2 \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{6} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Aus der 1. Pfadregel für zweistufige Zufallsexperimente folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(2 \, \% ;\,2 ) &=& P(2 \, \%) \cdot P(2) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(2 \, \% ;\,2 ) &=& P(2 \, \%) \cdot P(2) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Möglichkeit 2:

Für Glücksrad 1 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(4 \, \% \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{6} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P \left(4 \, \% \right) &=& \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ereignisse}}{\text{Anzahl möglicher Ereignisse}} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{6} \end{array}$

Laut Teilaufgabe a) 2 gilt für Glücksrad 2:

$Formula: P(1) = \dfrac{1}{2}$ $Formula: P(1) = \dfrac{1}{2}$

Aus der 1. Pfadregel für zweistufige Zufallsexperimente folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(4 \, \% ;\,1 ) &=& P(4 \, \%) \cdot P(1) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(4 \, \% ;\,1 ) &=& P(4 \, \%) \cdot P(1) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines $Formula: \mathbf{4 \, \%}$ $Formula: \mathbf{4 \, \%}$ -Rabatts:

Aus der 2. Pfadregel für zweistufige Zufallsexperimente folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P (4 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(2 \, \% ; 2) + P(4 \, \% ; 1) \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{6}\\[5pt] &\approx&16,7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P (4 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(2 \, \% ; 2) + P(4 \, \% ; 1) \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{2}{12} \\[0.5em] &=& \dfrac{1}{6}\\[5pt] &\approx&16,7\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Maik einen Rabatt von $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$ erhält, beträgt $Formula: 16,7\,\%.$ $Formula: 16,7\,\%.$

Gegenereignis: „Man erhält weniger als $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$ Rabatt.“

Weniger als $Formula: 4 \, \%$ $Formula: 4 \, \%$ Rabatt sind entweder $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ oder $Formula: 2 \, \%$ $Formula: 2 \, \%$ Rabatt.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für $Formula: \mathbf{0 \, \%}$ $Formula: \mathbf{0 \, \%}$ Rabatt:

Einen $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ -Rabatt erhält man, indem beim ersten Glücksrad $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ gedreht werden.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(0 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(0 \, \%) \\[5pt] &=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(0 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(0 \, \%) \\[5pt] &=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12}\end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ $Formula: \mathbf{2 \, \%}$ Rabatt:

Aus Teilaufgabe a) folgt:

$Formula: P(2 \, \% \ \text{Rabatt}) = \dfrac{1}{8}$ $Formula: P(2 \, \% \ \text{Rabatt}) = \dfrac{1}{8}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für weniger als $Formula: \mathbf{4 \, \%}$ $Formula: \mathbf{4 \, \%}$ Rabatt:

Aus der 2. Pfadregel für mehrstufige Zufallsexperimente folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P( \text{weniger als} \ 4 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(0 \, \% \ \text{Rabatt}) + P(2 \, \% \ \text{Rabatt}) \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{24} + \dfrac{3}{24} \\[5pt] &=& \dfrac{17}{24}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P( \text{weniger als} \ 4 \, \% \ \text{Rabatt}) &=& P(0 \, \% \ \text{Rabatt}) + P(2 \, \% \ \text{Rabatt}) \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{14}{24} + \dfrac{3}{24} \\[5pt] &=& \dfrac{17}{24}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis beträgt $Formula: \tfrac{17}{24}.$ $Formula: \tfrac{17}{24}.$

Damit die Wahrscheinlichkeit für einen Rabatt größer als $Formula: 0 \ \%$ $Formula: 0 \ \%$ genau $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ beträgt, müssen genau Formula: 6 der Formula: 12 Felder des Glücksrad mit einem Rabatt größer als $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ beschriftet sein, denn es gilt:

$Formula: 50 \, \% = \dfrac{50}{100}= \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$ $Formula: 50 \, \% = \dfrac{50}{100}= \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$

Die übrigen Formula: 6 Felder müssen entsprechend mit $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ beschriftet sein.

Da aktuell Formula: 7 der Formula: 12 Felder mit $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ beschriftet sind, muss eines dieser Felder durch eine Prozentangabe ungleich $Formula: 0 \, \%$ $Formula: 0 \, \%$ ersetzt werden, beispielsweise $Formula: 2 \, \%.$ $Formula: 2 \, \%.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?