Pflichtaufgaben

Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden in der Mitte von $-4$ und $2$ ?

1 Pkt.

Finde für jede Ungleichung jeweils eine passende Zahl für $x$ bzw. $y.$
Notiere dein Ergebnis in der Form $x=...$ und $y=...$ .

$3,14\lt x \lt3,15$

1 Pkt.

$\dfrac{1}{10}\lt y \lt \dfrac{2}{5}$

1 Pkt.

Wandle $1\dfrac{1}{4}$ Minuten in Sekunden um.

1 Pkt.

Wandle $\dfrac{1}{8} \ell$ in Milliliter um.

1 Pkt.

Wandle $65\,\text{g}$ in Kilogramm um.

1 Pkt.

Joghurt kann unterschiedlich viel Zucker enthalten.

Ein Becher enthält $400\,\text{g}$ Joghurt. Davon sind $\dfrac{7}{50}$ Zucker.
Wie viel Gramm Zucker enthält dieser Joghurt?

1 Pkt.

Ein anderer Becher enthält $500\,\text{g}$ Joghurt.
$100\,\text{g}$ dieses Joghurts enthalten $15\,\text{g}$ Zucker.
Ein Stück Würfelzucker wiegt $3\,\text{g}.$

Wie viele Stücke Würfelzucker entsprechen der Masse an Zucker in diesem Becher Joghurt?
Schreibe einen Antwortsatz.

3 Pkt.

Ein $250$ - $\text{g}$ -Becher mit Kirsch-Joghurt enthält $30\,\text{g}$ Zucker.
Ein $200$ - $\text{g}$ -Becher mit Erdbeer-Joghurt enthält $28 \,\text{g}$ Zucker.
Berechne, welche der beiden Sorten einen geringeren Anteil an Zucker hat.
Schreibe einen Antwortsatz.

3 Pkt.

Das Diagramm stellt die Anzahl der Autos mit Hybridantrieb (kurz: Hybridautos) in Deutschland für die Jahre 2015 bis 2017 dar.

Im Jahr 2016 erhöhte sich die Anzahl der Hybridautos um $21\,\%$ im Vergleich zum Jahr davor.
Berechne die Anzahl der Hybridautos im Jahr 2016.

2 Pkt.

Berechne, um wie viel Prozent die Anzahl der Hybridautos von 2015 bis 2017 gestiegen ist. Runde auf ganze Prozent.

3 Pkt.

In einem vollen Beutel befinden sich 15 Chips, die sich nur durch ihre Beschriftung unterscheiden. Fünf dieser Chips sind mit der Ziffer 1 beschriftet, die restlichen Chips mit der Ziffer 2.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollen Beutel zufällig einen Chip mit der Ziffer 2 zu ziehen?

1 Pkt.

Es werden zufällig zwei Chips aus dem vollen Beutel gezogen und daraus eine zweistellige Zahl gebildet. Die Ziffer des zuerst gezogenen Chips ist der Zehner und die Ziffer des zweiten Chips ist der Einer.

Die zwei Chips werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zahl 12 ergibt.

2 Pkt.

Die zwei Chips werden nun nacheinander mit Zurücklegen gezogen.
Ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Zahl 12 ergibt, größer, kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit des Ziehens ohne Zurücklegen?
Schreibe eine Antwort auf und begründe sie.

3 Pkt.

Im abgebildeten Koordinatensystem sind die Graphen zweier linearer Funktionen eingezeichnet. Die Gerade $f$ ist der Graph der linearen Funktion $y=0,5x+3.$

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $y=0,5x+3.$

2 Pkt.

Liegt der Punkt $P(-12,4 \mid-2,8)$ auf der Geraden $f?$
Schreibe eine Antwort und begründe sie durch eine Rechnung.

2 Pkt.

Die Geraden $f$ und $g$ schneiden sich. Schreibe die Koordinaten ihres Schnittpunktes auf.

1 Pkt.

Schreibe die Gleichung auf, die zur Geraden $g$ gehört.

2 Pkt.

Beschreibe, wie sich der Verlauf der Geraden einer beliebigen linearen Funktion $y=mx+b$ mit $m\neq 0$ verhält, wenn man die Gerade an der $x$ -Achse spiegelt.

2 Pkt.

Löse das Gleichungssystem.
Notiere deine Lösungsschritte.

$\begin{vmatrix}2x-4y&=& -32&\\ x&=& y-4\end{vmatrix}$

4 Pkt.

Bäcker Schmidt verkauft in seiner Bäckerei drei Apfeltaschen und sechs Brezeln für $10,80\,€.$
Kauft man dort zwei Apfeltaschen und drei Brezeln, muss man $5,95\,€$ bezahlen.

Schreibe zu diesen Angaben ein passendes Gleichungssystem auf. Verwende dazu die folgenden Variablen:
Variable a: Preis für eine Apfeltasche
Variable b: Preis für eine Brezel

Du brauchst das Gleichungssystem nicht zu lösen.

2 Pkt.

Gib eine Gleichung mit den Variablen $x$ und $y$ an, die als eine Lösung $x=10$ und $y=15$ besitzt.

1 Pkt.

Die Abbildung zeigt das gleichschenklige Dreieck $ABC$ mit seinem Umkreis.

Die Strecke $\overline{AB}$ verläuft durch den Mittelpunkt $M$ und beträgt $32\,\text{cm}.$

Berechne den Flächeninhalt der grau gefärbten Fläche.
Runde auf ganze Quadratzentimeter.

4 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AC}.$ Runde auf Millimeter.

2 Pkt.

Begründe, ohne zu messen, warum der Winkel $\alpha=45^{\circ}$ sein muss.

2 Pkt.

Die Abbildung zeigt sechs gleich große Würfel aus Kupfer.
Jede Kante dieser Würfel ist $1,5\,\text{cm}$ lang.

Ein Kubikzentimeter Kupfer wiegt $8,96\,\text{g}.$
Berechne die Masse eines Würfels.

4 Pkt.

Alle sechs Würfel werden eingeschmolzen.
Aus dem gesamten eingeschmolzenen Kupfer wird eine Kugel gegossen.
Berechne den Radius dieser Kugel. Runde auf Millimeter.

4 Pkt.

Rechnerische Lösung

$x=\dfrac{-4+2}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1$

Lösung mit Zahlenstrahl

Die Zahl in der Mitte von $-4$ und $2$ ist $-1.$

Eine mögliche Lösung ist $x=3,145.$

Gesucht ist eine Zahl $y$ mit:

$\dfrac{1}{10}\lt y\lt\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}$

Eine mögliche Lösung ist $y=\dfrac{3}{10}.$

$1 \dfrac{1}{4} \,\min =1 \dfrac{1}{4} \cdot 60 \,\text{s}=\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{60}{1} \,\text{s}=\dfrac{300}{4} \,\text{s}=75 \,\text{s}$

$\dfrac{1}{8} \,\ell=\dfrac{1}{8} \cdot 1\,000 \,\text{m} \ell=125\,\text{m} \ell$

$65 \,\text{g}=65 \cdot 0,001\,\text{kg}=0,065\,\text{kg}$

$400\,\text{g}\cdot \dfrac{7}{50}=8\,\text{g}\cdot 7=56\,\text{g}$

Dieser Joghurt enthält $56\,\text{g}$ Zucker.

Masse an Zucker im Joghurtbecher mit dem Dreisatz berechnen:

$\cdot 5$

$\begin{array}{rcl} 100\,\text{g} & \mathrel{\widehat{=}}& 15\,\text{g}\\[5pt] 500\,\text{g} & \mathrel{\widehat{=}}& 75\,\text{g} \end{array}$

$\cdot 5$

In einem 500 g-Becher sind 75 g Zucker. Entsprechende Anzahl der Würfelzucker in einem Joghurtbecher berechnen:

$75\,\text{g}: 3\,\text{g}=25$

25 Stück Würfelzucker entsprechen der Masse an Zucker im 500 g-Joghurtbecher.

Lösung mit Lösungsformel

Kirsch-Joghurt

$\text{Grundwert }G=250\,\text{g}$
$\text{Prozentwert }P=30\,\text{g}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P \cdot 100 \%}{G} \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{30\,\text{g} \cdot 100 \%}{250\,\text{g}} \\[5pt] p\,\%&=& 12\,\% \end{array}$

Erdbeer-Joghurt

$\text{Grundwert }G=200\,\text{g}$
$\text{Prozentwert }P=28\,\text{g}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P \cdot 100 \%}{G} \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{28\,\text{g} \cdot 100 \%}{200\,\text{g}} \\[5pt] p\,\%&=& 14\,\% \end{array}$

Lösung mit Bruchrechnung

Zuckeranteil Kirsch-Joghurt: $\dfrac{30\,\text{g}}{250\,\text{g}}=\dfrac{6}{50}=\dfrac{12}{100}=0,12=12\,\%$

Zuckeranteil Erdbeer-Joghurt: $\dfrac{28\,\text{g}}{200\,\text{g}}=\dfrac{7}{50}=\dfrac{14}{100}=0,14=14\,\%$

Der Kirsch-Joghurt hat einen geringeren Zuckeranteil.

Lösung mit Bruch

$\begin{array}[t]{rll} 107\,700 \cdot 121 \,\%&=& 107\,700 \cdot \dfrac{121}{100} \\[5pt] &=& 107\,700 \cdot 1,21 \\[5pt] &=& 130\,317 \end{array}$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert }G=107\,700$
$\text{Prozentsatz }p\,\%=121\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%}\\[5pt] P&=& \dfrac{107\,700\cdot 121\,\%}{100\,\%}\\[5pt] P&=& 130\,317 \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen

$121\,\% \mathrel{\widehat{=}} 130\,317$

Die Anzahl der Hybridautos im Jahr 2016 beträgt $130\,317.$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert }G=107\,700$
$\text{Prozentwert }P=165\,400-107\,700=57\,700$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P \cdot 100 \%}{G} \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{57\,700 \cdot 100 \%}{107\,700} \\[5pt] p\,\%&\approx& 54\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

Rechenweg anzeigen

$165\,400 \mathrel{\widehat{\approx}} 154\,\%$

Steigerung berechnen: $154\,\%-100\,\%=54\,\%$

Die Anzahl der Hybridautos ist von 2015 bis 2017 um $54 \,\%$ gestiegen.

Anzahl der Chips mit Ziffer 2: $10$
Anzahl aller Chips: $15$

$\begin{array}[t]{rll} &P(\text{Ziffer }2) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl der Chips mit Ziffer 2}}{\text{Anzahl aller Chips}} \\[5pt] =& \dfrac{10}{15} \\[5pt] =& \dfrac{2}{3} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, einen Chip mit der Ziffer 2 zu ziehen, liegt bei $\dfrac{2}{3} \approx 66,7\,\%.$

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher gilt:

Wahrscheinlichkeit, beim 1. Ziehen eine „1“ zu ziehen: $\dfrac{5}{15}$

Wahrscheinlichkeit, beim 2. Ziehen eine „2“ zu ziehen: $\dfrac{10}{14}$

Damit folgt mit der Produktregel für die Wahrscheinlichkeit, eine „12“ zu ziehen:

$P(12)=\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{21} \approx 0,238= 23,8\,\%$

Mit Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit kleiner. Durch das Zurücklegen der „1“ sinkt die Wahrscheinlichkeit für die Ziffer „2“ im zweiten Zug.

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von „12“

mit Zurücklegen: $23,8\,\%$
ohne Zurücklegen: $\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{10}{15}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} \approx 0,222=22,2 \%$

$\begin{array}[t]{rll} 0,5x+3&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 0,5x&=& -3 \quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& -6 \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstelle $x=-6.$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die Geradengleichung $y=0,5\cdot x+3:$

$\begin{array}[t]{rll} - 2,8&=& 0,5 \cdot (-12,4) + 3 \\[5pt] - 2,8&=& - 3,2 \end{array}$

Die Aussage ist falsch. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

Der Schnittpunkt kann aus dem Koordinatensystem abgelesen werden. Die Geraden schneiden sich im Punkt $(1 \mid 3,5).$

Die Steigung $m$ kann mit dem Steigungsdreieck berechnet werden:

$m=\dfrac{-1}{1}=-1$

Der $y$ -Achsenabschnitt $c$ kann direkt abgelesen werden:

$c=4,5$

Insgesamt ergibt sich für die Gerade $g$ die Gleichung $y=-x+4,5.$

Durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse verändern sich die Vorzeichen des $y$ -Achsenabschnittes und der Steigung. Eine steigende Gerade fällt dann also und andersherum.

Das Gleichungssystem kann mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 2x - 4y&=& - 32 \\ \text{II}\quad& x&=& y - 4 \\ \end{array}$

Einsetzen von $\text{II}$ in $\text{I}:$

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot (y - 4) - 4y&=& - 32 \\[5pt] 2y - 8 - 4y&=& - 32\\[5pt] - 2y - 8 &=& - 32 &\quad\scriptsize\mid\;+ 8\\[5pt] - 2y &=& -24 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2)\\[5pt] y &=& 12 \end{array}$

Einsetzen von $y=12$ in $\text{II}$ liefert:

$x=12-4=8$

Lösungsmenge $\mathbb L =\{(8\mid 12)\}$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 3a + 6b & =& 10,80\,€ \\ \text{II}\quad& 2a + 3b& =& 5,95\,€ \end{array}$

Zum Beispiel:

$x+y=25$

oder

$y-x=5$

oder

$2x-y=5$ etc.

Für den Radius des Kreises gilt $r=\dfrac{1}{2} \overline{AB}=16\,\text{cm}.$ Da das Dreieck gleichschenklig ist, beträgt seine Höhe ebenfalls $h=16\,\text{cm}.$

$A_{\text{Kreis}}= \pi\cdot r^2=\pi \cdot (16\,\text{cm})^2 \approx 804\,\text{cm}^2$

$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{g\cdot h}{2}= \dfrac{32\,\text{cm} \cdot 16\,\text{cm}}{2} = 256\,\text{cm}^2$

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{graue Fläche}}&=& A_{\text{Kreis}}-A_{\text{Dreieck}} \\[5pt] &\approx& 804\,\text{cm}^2 - 256\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 548\,\text{cm}^2 \end{array}$

Lösung mit Hilfsdreieck

Mit dem Hilfsdreieck $AMC$ ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=& (16\,\text{cm})^2 + (16\,\text{cm})^2\\[5pt] \overline{AC}^2&=& 512\,\text{cm}^2 \quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AC}&\approx& 22,6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 226\,\text{mm} \end{array}$

Lösung mit dem Satz des Thales

Nach dem Satz des Thales handelt es sich bei dem Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck. Da das Dreieck außerdem gleichschenklig ist, gilt $\overline{AC}=\overline{BC}$ und es folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2+\overline{BC}^2&=& (32\,\text{cm})^2 \\[5pt] 2\cdot \overline{AC}^2&=& 1\,024\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=& 512\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 22,6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 226\,\text{mm} \end{array}$

Nach dem Satz des Thales gilt $\gamma=90°.$ Da das Dreieck außerdem gleichschenklig ist, folgt mit dem Innenwinkelsatz:

$\alpha=\dfrac{180°-90°}{2}=45°$

Volumen eines Würfels berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}}&=& (1,5\,\text{cm})^3 \\[5pt] &=& 3,375\,\text{cm}^3 \end{array}$

Masse eines Würfels berechnen:

$m= 8,96\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 3,375\,\text{cm}^3 = 30,24\,\text{g}$

Ein Würfel hat eine Masse von $30,24\,\text{g}.$

Volumen der Kugel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kugel}}&=& 6\cdot V_{\text{Würfel}} \\[5pt] &=& 6 \cdot 3,375\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 20,25\,\text{cm}^3 \end{array}$

Mit der Formel für das Volumen einer Kugel lässt sich der Radius berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 20,25\,\text{cm}^3&=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{4}{3} \pi\\[5pt] 4,834\,\text{cm}^3&=& r^3 \quad\scriptsize\mid\ \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 1,69\,\text{cm}&\approx& r\\[5pt] 17\,\text{mm}&\approx& r \end{array}$

Die Kugel hat einen Radius von ungefähr $17\,\text{mm}.$

$:100$	$\begin{array}{rrcll} & 100\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 107\,700\\[5pt] & 1\,\%& \mathrel{\widehat{=}}& 1\,077 \\[5pt] & 121\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 130\,317& \end{array}$	$:100$
$\cdot 121$		$\cdot 121$