Wahlteil A

Vom Punkt P auf der Aussichtsplattform eines Funkturms werden die Punkte $A$ und $B$ angepeilt. Die $105\,\text{m}$ voneinander entfernten Punkte $A$ und $B$ und der Fußpunkt $F$ bilden eine horizontale Gerade, die parallel zur gestrichelt dargestellten Geraden $g$ verläuft (siehe Abbildung).

hessen realschulabschluss wahlteil 1 2023

Abbildung nicht maßstabsgerecht

Zeige, dass der Winkel $\alpha_1$ eine Größe von $40^{\circ}$ hat.

2 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{FP}}.$
Runde auf ganze Meter.

Tipp: Berechne zunächst die Länge der Strecke $\overline{\mathrm{AP}}.$

5 Pkt.

Der Punkt $A$ soll bei der nächsten Peilung so verschoben werden, dass er genau in der Mitte zwischen den Punkten $F$ und $B$ liegt.
Berechne, wie lang in diesem Fall die Strecke $\overline{F A}$ ist.
Gib dein Ergebnis in Meter an.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

5 Pkt.

Aus einem Holzwürfel wird eine größtmögliche, quadratische Pyramide hergestellt. Jede Kante des Holzwürfels ist 12 cm lang.

$1 \,\text{cm}^3$ Holz wiegt $0,5 \,\text{g}.$

Berechne die Masse dieser Pyramide.

3 Pkt.

Berechne die Oberfläche der Pyramide. Runde auf ganze Quadratzentimeter.

5 Pkt.

Begründe mithilfe der Volumenformeln des Würfels und der Pyramide, warum man bei der Herstellung dieser Pyramide $\dfrac{2}{3}$ des Würfelvolumens als Verschnitt erhält.

3 Pkt.

Stelle dir Folgendes vor:
Die abgebildete Pyramide steht immer noch auf der quadratischen Seitenfläche, ist aber nur noch halb so hoch.
Gib an, wie viele solcher Pyramiden sich dann aus diesem Würfel herstellen lassen.

1 Pkt.

Auf einem Markt wird heißer Kakao verkauft. Dazu wird der Kakao in einen geschlossenen Behälter gefüllt. Der Behälter wird nicht beheizt. Der Kakao ist zu Beginn 70°C heiß. Die Temperatur des Kakaos nimmt stündlich um 10 % ab.

Welcher der Graphen passt am besten zu diesem Abkühlvorgang?
Schreibe den richtigen Buchstaben auf dein Reinschriftpapier.

1 Pkt.

Bestimme die Temperatur des Kakaos nach einer Stunde.

1 Pkt.

Um 19 Uhr hat der Kakao eine Temperatur von etwa 37,2°C.
Wie heiß war der Kakao um 17 Uhr?
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

2 Pkt.

Die Temperaturen $y$ lassen sich mit einer Gleichung für jede Stunde $x$ berechnen.

Gib eine Gleichung an, mit der sich die Temperatur $y$ des Kakaos nach $x$ Stunden berechnen lässt.

2 Pkt.

Berechne die Temperatur des Kakaos nach 45 min.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

2 Pkt.

Max behauptet: „Wenn die Temperatur des 70°C heißen Kakaos stündlich um 10 % abnimmt, dann hat die Temperatur nach fünf Stunden um die Hälfte abgenommen."
Zeige durch eine Rechnung, dass Max nicht recht hat.

2 Pkt.

In einem zweiten Behälter befindet sich ebenfalls Kakao. Dieser Kakao ist zu Beginn 70°C heiß. Der Behälter wird nicht beheizt.
In diesem Behälter kühlt der Kakao schneller ab als der Kakao im ersten Behälter.
Schreibe eine Gleichung in der Form $y=a \cdot b^{x}$ auf dein Reinschriftpapier, die diesen Vorgang der Abkühlung beschreiben könnte.

2 Pkt.

In der Abbildung siehst du alle 32 Karten eines Kartenspiels. Die Karten 7, 8, 9, 10 sowie die Bildkarten B (Bube), D (Dame), K (König) und A (Ass) gibt es in den Farben Karo, Herz, Pik und Kreuz.

Die Karten werden vor jedem Austeilen gut gemischt und in einem Stapel auf den Tisch gelegt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste ausgeteilte Karte das Karo-Ass?

1 Pkt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste ausgeteilte Karte keine Pik-Karte?

1 Pkt.

Luana bekommt zwei Karten vom Stapel. Ihre erste aufgenommene Karte ist die Pik 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihre zweite Karte eine Bildkarte (B, D, K) ist?

1 Pkt.

Amin bekommt vier Karten vom Stapel. Bei seinen drei schon aufgenommenen Karten sind zwei Buben dabei.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine vierte Karte auch ein Bube?

2 Pkt.

Marie teilt so lange Karten aus dem vollen Stapel aus und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis eine Herzkarte erscheint.
Wie viele Karten muss sie höchstens aufdecken, damit mit Sicherheit eine Herzkarte aufgedeckt ist?

2 Pkt.

Angelo zieht zufällig zwei Karten aus dem vollen Stapel und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein König auf dem Tisch liegt.

2 Pkt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl ein Bube als auch eine Dame auf dem Tisch liegen.

3 Pkt.

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$26^°+14^°=40^°$

Da $\alpha_1$ ein Wechselwinkel zu dem $40^°$ -Winkel ist, gilt $\alpha_1=40^°.$

Da $\beta$ ein Wechselwinkel zu dem $26^°$ -Winkel ist, gilt $\beta=26^°.$ Mit dem Sinussatz folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AP}}{\sin \beta}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin 14^{\circ}} \\[5pt] \dfrac{\overline{AP}}{\sin 26^{\circ}}&=& \dfrac{105 \mathrm{~m}}{\sin 14^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 26^{\circ} \\[5pt] \overline{AP}&=& \dfrac{105 \mathrm{~m}}{\sin 14^{\circ}}\cdot \sin 26^{\circ} \\[5pt] \overline{AP}&\approx& 190,3\,\text{m} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $\overline{FP}$ gilt folglich:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha_1 &=& \dfrac{\overline{FP}}{\overline{AP}}\\[5pt] \sin 40^{\circ} &=& \dfrac{\overline{FP}}{190,3\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 190,3\,\text{m} \\[5pt] 125\,\text{m}&\approx& \overline{FP} \end{array}$

Der Winkel $\alpha_2$ hat eine Größe von $180^°-\alpha_1=140^°.$ Mit dem Sinussatz folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{PB}}{\sin \alpha_2}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin 14^{\circ}} \\[5pt] \dfrac{\overline{PB}}{\sin 140^{\circ}}&=& \dfrac{105\,\text{m}}{\sin 14^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 140^{\circ} \\[5pt] \overline{PB}&=& \dfrac{105\,\text{m}}{\sin 14^{\circ}}\cdot \sin 140^{\circ} \\[5pt] \overline{PB}&\approx& 278,99\,\text{m} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $\overline{FB}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos \beta&=& \dfrac{\overline{FB}}{\overline{PB}} \\[5pt] \cos 26^{\circ}&=& \dfrac{\overline{FB}}{278,99\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 278,99\,\text{m}\\[5pt] 250,75 \,\text{m}&\approx& \overline{FB} \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{FA}$ soll der Hälfte der Länge der Strecke $\overline{FB}$ entsprechen.

$\overline{FA}=\dfrac{1}{2}\cdot 250,75 \,\text{m}\approx125,4\,\text{m}$

Mit der Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot (12\,\text{cm})^2\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 576\,\text{cm}^3 \end{array}$

Die Masse der Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 576\,\text{cm}^3\cdot 0,5\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 288\,\text{g} \end{array}$

Die Höhe eines Dreiecks der Seitenflächen lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} h_a^2&=& \left(\dfrac{12}{2}\,\text{cm}\right)^2+(12 \,\text{cm})^2 \\[5pt] h_a^2&=& 180 \,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] h_a&\approx& 13,42\,\text{cm} \end{array}$

Skizze

Der Oberflächeninhalt der Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} O&=& a^2+4 \cdot \dfrac{a \cdot h_{a}}{2} \\[5pt] &=& (12\,\text{cm})^2+4 \cdot \dfrac{12\,\text{cm} \cdot 13,42\,\text{cm}}{2}\\[5pt] &\approx& 466\,\text{cm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text {Verschnitt }}&=& V_{\text {Würfel }}-V_{\text {Pyramide }} \\[5pt] &=& a^3-\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot a^3 \end{array}$

Der Verschnitt entspricht $\dfrac{2}{3}$ des Würfelvolumens.

6 Pyramiden

Die Temperatur nimmt in einer Stunde um $10\,\%$ ab. Nach einer Stunde hat der Kakao also noch $100\,\%-10\,\%=90\,\%$ seiner ursprünglichen Temperatur.

Lösung mit Dreisatz

$:100$

$\cdot 90$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 70°C\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,7°C\\[5pt] 90\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 63°C \end{array}$

$:100$

$\cdot 90$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=70°C$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=90\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& \dfrac{70°C\cdot 90\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 63°C \end{array}$

Die Temperatur nach einer Stunde beträgt $63\,^°C.$

$37,2\,^°C:(0,9)^2\approx45,9\,^°C$

Der Kakao war um 17 Uhr, also zwei Stunden früher, ungefähr 45,9°C heiß.

Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme mit einer Funktionsgleichung der Form $y=c\cdot a^x.$

Abnahmefaktor: $a=0,9$
Startwert: $c=70°C$

$y=70\cdot 0,9^x$

Dabei gibt $x$ die Anzahl der Stunden an.

45 Minuten entsprechen 0,75 Stunden.

$70\cdot 0,9^{0,75}\approx 64,7\,^°C$

Die Temperatur des Kakaos nach 45 Minuten beträgt ungefähr $64,7°C.$

Temperatur nach 5 Stunden:

$y=70\,^°C\cdot 0,9^5\approx 41,33\,^°C$

Die Hälfte der Temperatur entspricht jedoch $35\,^°C,$ Max hat also nicht recht.

Möglich ist jede Gleichung der Form $y=70\cdot b^x$ mit $0\lt b \lt 0,9.$

Eine mögliche Gleichung wäre $y=70\cdot 0,8^x.$

Anzahl Karo-Asse: $1$
Anzahl aller Karten: $32$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Karo-Ass})\\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl Karo-Asse}}{\text{Anzahl aller Karten}} \\[5pt] =& \dfrac{1}{32}\\[5pt] =& 3,125\,\% \end{array}$

Anzahl Karten, die kein Pik sind: $32-8=24$
Anzahl aller Karten: $32$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{kein Pik})\\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl Karten, die kein Pik sind}}{\text{Anzahl aller Karten}} \\[5pt] =& \dfrac{24}{32}\\[5pt] =& \dfrac{3}{4}\\[5pt] =& 75\,\% \end{array}$

Anzahl Bildkarten: $12$
Anzahl Karten im 2. Zug: $32-1=31$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{2. Karte ist Bildkarte})\\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl Bildkarten}}{\text{Anzahl Karten im 2. Zug}} \\[5pt] =& \dfrac{12}{31}\\[5pt] \approx& 38,7\,\% \end{array}$

Anzahl noch vorhandener Buben: $4-2=2$
Anzahl Karten im 4. Zug: $32-3=29$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{4. Karte ist Bube})\\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl noch vorhandener Buben}}{\text{Anzahl Karten im 4. Zug}} \\[5pt] =& \dfrac{2}{29}\\[5pt] \approx& 6,9\,\% \end{array}$

Spätestens bei der 25. Karte deckt Marie mit Sicherheit eine Herzkarte auf.

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$P(\text{kein Bube})=\dfrac{28}{32}\cdot \dfrac{27}{31}=\dfrac{189}{248}\approx 76,2\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} & P(B \text{ und } D)\\[5pt] =& P(B;D)+P(D;B)\\[5pt] =& \dfrac{4}{32} \cdot \dfrac{4}{31}+\dfrac{4}{32} \cdot \dfrac{4}{31}\\[5pt] =& \dfrac{32}{992}\\[5pt] \approx& 3,2\,\% \end{array}$

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