Wahlaufgaben

Die Abbildung zeigt das Viereck Formula: ABCD mit den beiden Höhen $Formula: \overline{DE}$ $Formula: \overline{DE}$ und $Formula: \overline{CF}$ $Formula: \overline{CF}$ sowie der Diagonalen $Formula: \overline{AC}.$ $Formula: \overline{AC}.$

Geometrische Zeichnung eines Vierecks ABCD mit Hilfslinien, Winkelangaben und Seitenlängen.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

Berechne die Größe des Winkels $Formula: \beta.$ $Formula: \beta.$

2 Pkt.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: AFC.

Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

5 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{CD}.$ $Formula: \overline{CD}.$

Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

3 Pkt.

Felix behauptet, dass die Dreiecke Formula: AFC und Formula: AED zueinander ähnlich sind.

Hat Felix recht? Begründe deine Antwort.

2 Pkt.

Die linke Abbildung zeigt eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, die sich auf dem Marktplatz in Karlsruhe befindet.

Die Kantenlänge Formula: a der Grundfläche ist $Formula: 6{,}0\;\mathrm{m}$ $Formula: 6{,}0\;\mathrm{m}$ lang. Die Seitenkante Formula: s ist $Formula: 8{,}1\;\mathrm{m}$ $Formula: 8{,}1\;\mathrm{m}$ lang.

Eine große steinerne Pyramide auf einem Platz vor historischen Gebäuden und einem Uhrturm.

Skizze einer regelmäßigen Pyramide mit Grundkante a = 6,0 m, Seitenkante s = 8,1 m sowie Körperhöhe hₖ und Seitenhöhe hₐ.

Berechne die Summe aller Kantenlängen.

2 Pkt.

Die Pyramide soll von außen einen Schutzanstrich erhalten.

Berechne die zu streichende Fläche dieser Pyramide.

6 Pkt.

Um die Körperhöhe Formula: h_k dieser Pyramide aus den Maßen Formula: a und Formula: s zu berechnen, musst du zweimal nacheinander den Satz des Pythagoras anwenden.

Welche Arbeitsschritte sind korrekt? Notiere den passenden Lösungsbuchstaben.

A	Berechne zuerst die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}a$ $Formula: \tfrac{1}{2}a$ und und dann die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}a$ $Formula: \tfrac{1}{2}a$ und
B	Berechne zuerst die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}s$ $Formula: \tfrac{1}{2}s$ und und dann die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}s$ $Formula: \tfrac{1}{2}s$ und
C	Berechne zuerst die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}s$ $Formula: \tfrac{1}{2}s$ und und dann die Länge mit den Maßen $Formula: \tfrac{1}{2}s$ $Formula: \tfrac{1}{2}s$ und $Formula: \tfrac{1}{2}a.$ $Formula: \tfrac{1}{2}a.$

2 Pkt.

Bei einer anderen Pyramide ist die Kantenlänge Formula: a nur ein Drittel so lang wie die Kantenlänge des Originals. Die Länge der Körperhöhe bleibt gleich.

Wievielmal ist das Volumen der anderen Pyramide kleiner als das Volumen des Originals? Notiere den passenden Lösungsbuchstaben.

A	B	C	D	E
-mal	-mal	-mal	-mal	-mal

2 Pkt.

Gegeben ist eine Parabel Formula: g mit der Funktionsgleichung $Formula: y = (x - 1{,}5)^2 - 2{,}25.$ $Formula: y = (x - 1{,}5)^2 - 2{,}25.$

Koordinatensystem mit einer nach oben geöffneten Parabel, die die x-Achse bei 0 und 3 schneidet.

Gib die Koordinaten $Formula: (x \mid y)$ $Formula: (x \mid y)$ des Scheitelpunktes Formula: S der Parabel Formula: g an.

2 Pkt.

Beschreibe, wie die Parabel Formula: g aus der Normalparabel Formula: y = x^2 entstanden ist.

2 Pkt.

Forme die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung in die Normalform um.

2 Pkt.

Die Parabel Formula: g verläuft durch die Punkte $Formula: P(x_1 \mid 46{,}75)$ $Formula: P(x_1 \mid 46{,}75)$ und $Formula: Q(x_2 \mid 46{,}75).$ $Formula: Q(x_2 \mid 46{,}75).$

Berechne die jeweilige Formula: x -Koordinate des Punktes Formula: P und des Punktes Formula: Q.

4 Pkt.

Gib die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Parabel Formula: f an, die durch den Punkt $Formula: R(-1 \mid 4)$ $Formula: R(-1 \mid 4)$ verläuft.

2 Pkt.

Ein Glücksrad hat vier unterschiedlich große Farbfelder. Die einzelnen Farben dieses Glücksrades werden mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten gedreht:

Farbfeld	Blau	Grün	Rot	Gelb
Wahrscheinlichkeit

Das Glücksrad wird einmal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Glücksrad auf dem blauen Feld stehen?

2 Pkt.

Das Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Glücksrad in beliebiger Reihenfolge auf einem grünen und einem roten Feld stehen bleibt.

3 Pkt.

Das Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Glücksrad beim ersten Drehen auf einem grünen oder roten Feld und beim zweiten Drehen nicht auf einem gelben Feld stehen bleibt.

3 Pkt.

Das Glücksrad wird zweimal hintereinander gedreht.

Beschreibe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1 - 0{,}25 \cdot 0{,}25$ $Formula: 1 - 0{,}25 \cdot 0{,}25$ berechnet werden kann.

2 Pkt.

Max behauptet: „Wenn ich das Glücksrad zweimal hintereinander drehe, ist die Wahrscheinlichkeit, zwei grüne Farbfelder zu drehen, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Drehen ein gelbes Farbfeld zu erreichen.“

Hat Max recht? Begründe deine Antwort.

2 Pkt.

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Über die Innenwinkelsumme des Dreiecks Formula: CFB ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 25^\circ+90^\circ+\beta&=&180^\circ &\quad\scriptsize\mid\;-115^\circ \\[5pt] \beta&=&65^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 25^\circ+90^\circ+\beta&=&180^\circ &\quad\scriptsize\mid\;-115^\circ \\[5pt] \beta&=&65^\circ \end{array}$

Das Dreieck Formula: CFB ist rechtwinklig. Für die Länge Formula: h der Strecke $Formula: \overline{FC}$ $Formula: \overline{FC}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin(\beta)&=&\dfrac{h}{8,6} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 8,6 \\[5pt] \sin(65^\circ)\cdot8,6&=&h \\[5pt] 7,79&\approx&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin(\beta)&=&\dfrac{h}{8,6} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 8,6 \\[5pt] \sin(65^\circ)\cdot8,6&=&h \\[5pt] 7,79&\approx&h \end{array}$

Mit der Höhe Formula: h des Dreiecks Formula: AFC ergibt sich nun für den gesuchten Flächeninhalt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(5,5+8)\cdot 7,79 \\[5pt] &\approx&52,6\;[\text{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot(5,5+8)\cdot 7,79 \\[5pt] &\approx&52,6\;[\text{cm}^2] \end{array}$

Für $Formula: \left\vert\overline{DE}\right\vert$ $Formula: \left\vert\overline{DE}\right\vert$ folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{DE}\right\vert^2+5,5^2&=&11^2 &\quad\scriptsize\mid\;-30,25 \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&90,75 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert&\approx&9,53\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \left\vert\overline{DE}\right\vert^2+5,5^2&=&11^2 &\quad\scriptsize\mid\;-30,25 \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert^2&=&90,75 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \left\vert\overline{DE}\right\vert&\approx&9,53\;[\text{cm}] \end{array}$

Die Differenz der beiden gestrichelten senkrechten Strecken ergibt somit ca. Formula: 9,53-7,79=1,74. Die in Formula: C angesetzte horizontale Verbindungslinie dieser beiden Strecken bildet mit Formula: D und ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe Formula: 1,74. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1,74^2+8^2&=&\left\vert\overline{DC}\right\vert^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{67,0276}&=&\left\vert\overline{DC}\right\vert \\[5pt] 8,2\;[\text{cm}]&\approx&\left\vert\overline{DC}\right\vert \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1,74^2+8^2&=&\left\vert\overline{DC}\right\vert^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{67,0276}&=&\left\vert\overline{DC}\right\vert \\[5pt] 8,2\;[\text{cm}]&\approx&\left\vert\overline{DC}\right\vert \end{array}$

Über die Innenwinkelsumme von Dreiecken ergibt sich, dass der dritte Winkel des Dreiecks Formula: AFC genau $Formula: 30^\circ$ $Formula: 30^\circ$ beträgt. Somit besitzen beide Dreiecke exakt die gleichen Winkel. Damit sind sie zueinander ähnlich.

$Formula: 4\cdot6+4\cdot8,1=56,4$ $Formula: 4\cdot6+4\cdot8,1=56,4$

Die Summe aller Kantenlängen beträgt somit $Formula: 56,4\;\text{m}.$ $Formula: 56,4\;\text{m}.$

Für Formula: h_a folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}{rlll} h_a^2+3^2&=&8,1^2 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] h_a^2&=&56,61 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_a&\approx&7,52\;[\text{m}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} h_a^2+3^2&=&8,1^2 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] h_a^2&=&56,61 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_a&\approx&7,52\;[\text{m}] \end{array}$

Ein Dreieck hat somit den folgenden Flächeninhalt:

$Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot7,52=22,56\;[\text{m}^2]$ $Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot7,52=22,56\;[\text{m}^2]$

Die zu streichende Fläche der Pyramide beträgt somit $Formula: 4\cdot22,56=90,24\;[\text{m}^2].$ $Formula: 4\cdot22,56=90,24\;[\text{m}^2].$

Die Grundfläche der Pyramide ergibt sich aus dem Quadrat des Werts von Formula: a. Aus der Formel für das Volumen einer Pyramide ergibt sich somit C als richtiger Lösungsbuchstabe.

$Formula: S(1,5\mid-2,25)$ $Formula: S(1,5\mid-2,25)$

Die Parabel Formula: g ist aus der Normalparabel Formula: y = x^2 durch Verschiebung um Formula: 1,5 in Formula: x -Richtung und Formula: 2,25 entgegen der -Richtung entstanden.

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-1,5)^2-2,25 \\[5pt] &=&x^2-3x+2,25-2,25 \\[5pt] &=&x^2-3x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-1,5)^2-2,25 \\[5pt] &=&x^2-3x+2,25-2,25 \\[5pt] &=&x^2-3x \end{array}$

Die Normalform ist durch Formula: y=x^2-3x gegeben.

Einsetzen der Formula: y -Koordinate liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 46,75&=&x^2-3x &\quad\scriptsize\mid\;-46,75 \\[5pt] 0&=&x^2-3x-46,75 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 46,75&=&x^2-3x &\quad\scriptsize\mid\;-46,75 \\[5pt] 0&=&x^2-3x-46,75 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel ergibt sich für die gesuchten Formula: x -Koordinaten:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+46,75} \\[5pt] x_{1;2}&=&1,5\pm\sqrt{49} \\[5pt] x_1&=&1,5+7 \\[5pt] &=&8,5 \\[5pt] x_2&=&1,5-7 \\[5pt] &=&-5,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+46,75} \\[5pt] x_{1;2}&=&1,5\pm\sqrt{49} \\[5pt] x_1&=&1,5+7 \\[5pt] &=&8,5 \\[5pt] x_2&=&1,5-7 \\[5pt] &=&-5,5 \end{array}$

Formula: y=-(x+1)^2+4

Formula: 1-0,2-0,25-0,4=0,15

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten die beiden Farben hintereinander zu erzielen. Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: 2\cdot0,2\cdot0,25=0,1$ $Formula: 2\cdot0,2\cdot0,25=0,1$

$Formula: (0,2+0,25)\cdot(1-0,4)=0,27$ $Formula: (0,2+0,25)\cdot(1-0,4)=0,27$

„Das Glücksrad bleibt nicht beide Male auf dem roten Feld stehen.“

Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Drehungen das grüne Farbfeld zu drehen, beträgt $Formula: 0,2\cdot0,2=0,04.$ $Formula: 0,2\cdot0,2=0,04.$ Da das nicht der Wahrscheinlichkeit von Formula: 0,4 des gelben Farbfelds bei einer Drehung entspricht, hat Max nicht Recht.

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