Wahlaufgaben

W 1

Die Abbildung zeigt das Parallelogramm Formula: ABCD.

Schlichte geometrische Zeichnung: schiefes Viereck A-D mit E, F, Strecken 30 cm, 50 cm, Diagonale und Winkel 60°, 120°, 35°

Berechne die Größe des Winkels $Formula: \gamma.$ $Formula: \gamma.$

1 BE

Berechne die Länge der Seite $Formula: \overline{AD}.$ $Formula: \overline{AD}.$

3 BE

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms Formula: ABCD.

Runde dein Ergebnis auf ganze Quadratzentimeter.

4 BE

Berechne die Länge der Diagonalen $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ des Parallelogrammes Formula: ABCD.

Runde dein Ergebnis auf ganze Zentimeter.

3 BE

Wie kann man nachweisen, dass die Dreiecke Formula: AEF und Formula: CDF ähnlich zueinander sind?

Notiere den richtigen Lösungsbuchstaben.

Man überprüft, ob ...

A	jedes der beiden Dreiecke einen rechten Winkel besitzt.
B	die Summe der Innenwinkel bei beiden Dreiecken $Formula: 180^{\circ}$ $Formula: 180^{\circ}$ ergibt.
C	die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.
D	die Umfänge der beiden Dreiecke gleich groß sind.
E	die Flächeninhalte der beiden Dreiecke gleich groß sind.

1 BE

W 2

Die Varroamilbe lebt als Parasit an Honigbienen und gilt weltweit als bedeutsamster Bienenschädling. Ohne eine Gegenmaßnahme steigt die Anzahl dieser Milben ab Frühlingsbeginn exponentiell um wöchentlich $Formula: 26 \, \%$ $Formula: 26 \, \%$ an.

Das entspricht einer Verdopplung der Anzahl dieser Milben etwa alle Formula: 3 Wochen und kann für ein Bienenvolk tödlich sein, wenn die Anzahl der Milben auf über $Formula: 3\,000$ $Formula: 3\,000$ ansteigt.

Cartoon-Biene schwebt über einer Blume, Aquarellhintergrund mit kleinem Herz.

In einem Bienenvolk wurden zum Frühlingsbeginn Formula: 20 dieser Milben gezählt.

Berechne, wie viele Milben sich zwei Wochen später dort befinden, wenn man keine Gegenmaßnahme durchführt. Runde dein Ergebnis ganzzahlig.

3 BE

Nach wie vielen Wochen befinden sich ohne eine Gegenmaßnahme erstmals mehr als Formula: 500 Milben in diesem Bienenvolk? Notiere einen Antwortsatz.

3 BE

Ein Bienenvolk soll Formula: 18 Wochen nach Frühlingsbeginn mit weniger als $Formula: 3\,000$ $Formula: 3\,000$ dieser Milben befallen sein.

Berechne die Anzahl der Milben, die bei Frühlingsbeginn höchstens im Bienenvolk leben dürfen. Notiere einen Antwortsatz.

4 BE

Eine Überprüfung in einem anderen Bienenvolk ergab, dass dieses zu Frühlingsbeginn von $Formula: 2\,000$ $Formula: 2\,000$ Milben befallen war. Nun soll Formula: 14 Tage lang eine Gegenmaßnahme ergriffen werden. Ab Beginn dieser Gegenmaßnahme nimmt die Anzahl der Milben täglich um $Formula: 10 \, \%$ $Formula: 10 \, \%$ ab.

Notiere einen Term, mit dem man die Anzahl der Milben Formula: n Tage nach Beginn der Gegenmaßnahme bestimmen kann.

Stilisierte Zeichnung einer Milbe mit rundem Körper, mehreren kurzen Beinen und Krallen

2 BE

W 3

In das Koordinatensystem sind die Graphen zweier Funktionen eingezeichnet.

Die Gerade Formula: g wird durch die Funktionsgleichung Formula: y = 0{,}5x + 4 beschrieben.

Die Parabel Formula: f wird durch die Funktionsgleichung Formula: y = (x − 3)^2 + 4 beschrieben.

Koordinatensystem mit Gitter, grüne Gerade g, blaue Parabel f, Schnittpunkt Q, x- und y-Achse mit Skala.

Die Parabel schneidet die $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse im Punkt Formula: P.

Bestimme die Koordinaten des Punktes Formula: P.

2 BE

Zeige, dass die Funktionsgleichung Formula: y=(x-3)^2+4 in die Normalform Formula: y=x^2-6x+13 umgewandelt werden kann.

2 BE

Die Normalform der Funktionsgleichung der Parabel Formula: f lautet Formula: y=x^2-6x+13.

Die Gerade Formula: g und die Parabel Formula: f schneiden sich in den Punkten Formula: Q und Formula: R.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes Formula: R.

Tipp: Setze zum Lösen beide Funktionsgleichungen gleich.

6 BE

Notiere die Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Parabel, die keinen Schnittpunkt mit der Parabel Formula: f hat.

2 BE

W 4

Monika hat in einer Dose Formula: 30 gleich große Würfel in Formula: 5 verschiedenen Farben. Es gibt jeweils Formula: 6 Würfel in einer der Farben Rot, Blau, Grün, Orange und Weiß.

Auf jedem Würfel einer Farbe ist genau einer der Buchstaben $Formula: \text{M},$ $Formula: \text{M},$ $Formula: \text{O},$ $Formula: \text{O},$ $Formula: \text{N},$ $Formula: \text{N},$ $Formula: \text{I},$ $Formula: \text{I},$ $Formula: \text{K},$ $Formula: \text{K},$ und $Formula: \text{A},$ $Formula: \text{A},$ abgebildet.

Die Würfel können zu einer Kette aufgefädelt werden.

Runde Schale mit vielen kleinen Buchstabenwürfeln

Monika greift einmal in die volle Dose und zieht zufällig einen Würfel heraus.

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie den weißen Würfel mit dem Buchstaben $Formula: \text{A}$ $Formula: \text{A}$ zieht.

1 BE

Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht sie einen blauen oder grünen Würfel?

2 BE

Notiere ein Ereignis, das beim einmaligen Ziehen aus der vollen Dose die Wahrscheinlichkeit $Formula: P = \tfrac{1}{5}$ $Formula: P = \tfrac{1}{5}$ besitzt.

2 BE

Monika zieht aus der vollen Dose ohne Zurücklegen nacheinander zwei Würfel.

Sie möchte ihren Spitznamen $Formula: \text{MO}$ $Formula: \text{MO}$ auf ein Armband fädeln.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht sie zuerst ein rotes $Formula: \text{M}$ $Formula: \text{M}$ und dann ein weißes $Formula: \text{O}?$ $Formula: \text{O}?$

2 BE

Monikas Lieblingsfarben sind Rot, Weiß und Grün. Monika zieht nacheinander aus der vollen Dose drei Würfel ohne Zurücklegen.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie einen roten, einen weißen und einen grünen Würfel zieht. Die Reihenfolge beim Ziehen spielt keine Rolle.

4 BE

Monika behauptet: „Wenn ich nur noch die Hälfte der Würfel in der Dose habe, ist die Wahrscheinlichkeit einen grünen Würfel zu ziehen doppelt so groß wie vorher.“

Unter welcher Bedingung hat Monika recht? Notiere einen Antwortsatz.

1 BE

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W 1

Die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind gleich groß. Daher gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \gamma + 35^{\circ} &=& 60^{\circ} &\quad \mid - 35^{\circ} \\[5pt] \gamma &=& 25{^\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \gamma + 35^{\circ} &=& 60^{\circ} &\quad \mid - 35^{\circ} \\[5pt] \gamma &=& 25{^\circ} \end{array}$

Im rechtwinkligen Dreieck Formula: AED gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \cos (60^{\circ} ) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \cos(60^{\circ}) &=& \dfrac{30 \; \text{cm}}{\overline{AD}} &\quad \mid \cdot \overline{AD} \\[5pt] \cos (60^{\circ}) \cdot \overline{AD} &=& 30 \; \text{cm} &\quad \mid : \cos(60^{\circ}) \\[5pt] \overline{AD} &=& \dfrac{30 \; \text{cm}}{\cos (60^{\circ})} \\[5pt] \overline{AD} &=& 60 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \cos (60^{\circ} ) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \cos(60^{\circ}) &=& \dfrac{30 \; \text{cm}}{\overline{AD}} &\quad \mid \cdot \overline{AD} \\[5pt] \cos (60^{\circ}) \cdot \overline{AD} &=& 30 \; \text{cm} &\quad \mid : \cos(60^{\circ}) \\[5pt] \overline{AD} &=& \dfrac{30 \; \text{cm}}{\cos (60^{\circ})} \\[5pt] \overline{AD} &=& 60 \; \text{cm} \end{array}$

Berechnung der Höhe $Formula: \overline{ED}{:}$ $Formula: \overline{ED}{:}$

Im rechtwinkligen Dreieck Formula: AED gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \tan(60^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{ED}}{\overline{AE}} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{ED}}{30 \; \text{cm}} &\quad \mid \cdot 30 \; \text{cm} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) \cdot 30 \; \text{cm} &=& \overline{ED} \\[5pt] 51{,}96 &\approx& \overline{ED} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \tan(60^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{ED}}{\overline{AE}} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{ED}}{30 \; \text{cm}} &\quad \mid \cdot 30 \; \text{cm} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) \cdot 30 \; \text{cm} &=& \overline{ED} \\[5pt] 51{,}96 &\approx& \overline{ED} \end{array}$

Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms:

$Formula: \begin{array}{rcll} A &=& \overline{AB} \cdot \overline{ED} \\[5pt] &=& 80 \; \text{cm} \cdot 51{,}96 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 4\,156{,}8 \; \text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 4\,157 \; \text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A &=& \overline{AB} \cdot \overline{ED} \\[5pt] &=& 80 \; \text{cm} \cdot 51{,}96 \; \text{cm} \\[5pt] &=& 4\,156{,}8 \; \text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 4\,157 \; \text{cm}^2 \end{array}$

Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von ca. $Formula: 4\,157 \; \text{cm}^2.$ $Formula: 4\,157 \; \text{cm}^2.$

Mit dem Sinussatz gilt im Dreieck Formula: ABC{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{AC}}{\sin (120^{\circ})} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin (35^{\circ})} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{\sin (120^{\circ})} &=& \dfrac{80 \; \text{cm}}{\sin (35^{\circ})} &\quad \mid \cdot \sin (120^{\circ}) \\[5pt] \overline{AC} &=& \dfrac{80 \; \text{cm}}{\sin (35^{\circ})} \cdot \sin (120^{\circ}) \\[5pt] \overline{AC} &\approx& 120,79 \; \text{cm} \\[5pt] \overline{AC} &\approx& 121 \; \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \dfrac{\overline{AC}}{\sin (120^{\circ})} &=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin (35^{\circ})} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{\sin (120^{\circ})} &=& \dfrac{80 \; \text{cm}}{\sin (35^{\circ})} &\quad \mid \cdot \sin (120^{\circ}) \\[5pt] \overline{AC} &=& \dfrac{80 \; \text{cm}}{\sin (35^{\circ})} \cdot \sin (120^{\circ}) \\[5pt] \overline{AC} &\approx& 120,79 \; \text{cm} \\[5pt] \overline{AC} &\approx& 121 \; \text{cm} \end{array}$

Die Länge der Diagonalen $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ beträgt ca. $Formula: 121 \; \text{cm}.$ $Formula: 121 \; \text{cm}.$

Richtige Aussage: C

Man überprüft, ob die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind.

W 2

Bestimmung des Wachstumsfaktors:

$Formula: a = 1 + \dfrac{29}{100} = 1{,}26$ $Formula: a = 1 + \dfrac{29}{100} = 1{,}26$

Aufstellen der Funktionsgleichung:

$Formula: y = 20 \cdot 1{,}26^x$ $Formula: y = 20 \cdot 1{,}26^x$

Dabei gibt Formula: x die Anzahl der Wochen an.

Berechnung der Anzahl der Milben nach Formula: 2 Wochen:

$Formula: y = 20 \cdot 1{,}26^2 = 31{,}752$ $Formula: y = 20 \cdot 1{,}26^2 = 31{,}752$

Nach zwei Wochen sind es Formula: 31 Milben.

Ermittlung der Anzahl der Wochen durch Ausprobieren:

$Formula: \begin{array}{rcl} x = 13 &\Rightarrow& y = 20 \cdot 1{,}26^{13} \approx 403{,}5 \\[5pt] x = 14 &\Rightarrow& y = 20 \cdot 1{,}26^{14} \approx 508{,}41 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} x = 13 &\Rightarrow& y = 20 \cdot 1{,}26^{13} \approx 403{,}5 \\[5pt] x = 14 &\Rightarrow& y = 20 \cdot 1{,}26^{14} \approx 508{,}41 \end{array}$

Nach Formula: 14 Wochen sind erstmalig mehr als Formula: 500 Milben vorhanden.

Aufstellen der Funktionsgleichung:

$Formula: y = c \cdot 1{,}26^{x}$ $Formula: y = c \cdot 1{,}26^{x}$

Ermittlung des Anfangswertes Formula: c{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} y &<& 3\,000 \\[5pt] c \cdot 1{,}26^{18} &<& 3\,000 & \;|:1{,}26^{18} \\[5pt] c &<& \dfrac{3\,000}{1{,}26^{18}} & \\[5pt] c &<& 46{,}82 & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} y &<& 3\,000 \\[5pt] c \cdot 1{,}26^{18} &<& 3\,000 & \;|:1{,}26^{18} \\[5pt] c &<& \dfrac{3\,000}{1{,}26^{18}} & \\[5pt] c &<& 46{,}82 & \end{array}$

Es dürfen höchstens Formula: 46 Milben bei Frühlingsbeginn im Bienenvolk leben.

Bestimmen des Abnahmefaktors:

$Formula: a = 1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$ $Formula: a = 1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$

Aufstellen der Funktionsgleichung:

$Formula: y = 2\,000 \cdot 0{,}9^n$ $Formula: y = 2\,000 \cdot 0{,}9^n$

Dabei gibt Formula: n die Anzahl der Tage an.

W 3

Einsetzen von Formula: x=0 in die Funktionsgleichung der Parabel:

$Formula: \begin{array}{rcll} y &=& (0-3)^2 + 4 \\[5pt] &=& 9 + 4 \\[5pt] &=& 13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} y &=& (0-3)^2 + 4 \\[5pt] &=& 9 + 4 \\[5pt] &=& 13 \end{array}$

Die Koordinaten lauten $Formula: P(0 \mid 13).$ $Formula: P(0 \mid 13).$

Durch Auflösen der binomischen Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} y &=& (x-3)^2+4 \\[5pt] &=& x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 + 4 \\[5pt] &=& x^2 - 6x + 9 + 4 \\[5pt] &=& x^2 - 6x + 13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} y &=& (x-3)^2+4 \\[5pt] &=& x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 + 4 \\[5pt] &=& x^2 - 6x + 9 + 4 \\[5pt] &=& x^2 - 6x + 13 \end{array}$

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:

$Formula: \begin{array}{rcll} 0{,}5x + 4 &=& x^2 - 6x + 13 &\quad \mid - 4 \\[5pt] 0{,}5x &=& x^2 - 6x + 9 &\quad \mid -0{,}5x \\[5pt] 0 &=& x^2 - 6{,}5x + 9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 0{,}5x + 4 &=& x^2 - 6x + 13 &\quad \mid - 4 \\[5pt] 0{,}5x &=& x^2 - 6x + 9 &\quad \mid -0{,}5x \\[5pt] 0 &=& x^2 - 6{,}5x + 9 \end{array}$

Mit der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{(-6{,}5)}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{(-6{,}5)}{2} \right)^2 - 9} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm \sqrt{10{,}5625 - 9} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm \sqrt{1{,}5625} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm 1{,}25 \\[5pt] x_1 &=& 3{,}25 + 1{,}25 = 4{,}5 \\[5pt] x_2 &=& 3{,}25 - 1{,}25 = 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{(-6{,}5)}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{(-6{,}5)}{2} \right)^2 - 9} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm \sqrt{10{,}5625 - 9} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm \sqrt{1{,}5625} \\[5pt] &=& 3{,}25 \pm 1{,}25 \\[5pt] x_1 &=& 3{,}25 + 1{,}25 = 4{,}5 \\[5pt] x_2 &=& 3{,}25 - 1{,}25 = 2 \end{array}$

Der Schnittpunkt Formula: Q mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: x_2 = 2 ist bereits aus den Funktionsgraphen bekannt.

Einsetzen von $Formula: x_1=4{,}5$ $Formula: x_1=4{,}5$ in eine der Funktionsgleichungen:

$Formula: \begin{array}{rcll} y &=& 0{,}5 \cdot 4{,}5 + 4 \\[5pt] &=& 2{,}25 + 4 \\[5pt] &=& 6{,}25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} y &=& 0{,}5 \cdot 4{,}5 + 4 \\[5pt] &=& 2{,}25 + 4 \\[5pt] &=& 6{,}25 \end{array}$

Der Schnittpunkt Formula: R hat die Koordinaten $Formula: R(4{,}5 \mid 6{,}25).$ $Formula: R(4{,}5 \mid 6{,}25).$

Mögliche Funktionsgleichung:

Formula: y = -(x-3)^2+3

Begründung:

Die Parabel Formula: y=(x-3)^2+4 ist nach oben geöffnet und hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt $Formula: S_1(3 \mid 4).$ $Formula: S_1(3 \mid 4).$

Die Parabel Formula: y = -(x-3)^2 + 3 ist nach unten geöffnet und hat ihren höchsten Punkt im Scheitelpunkt $Formula: S_2 (3 \mid 3).$ $Formula: S_2 (3 \mid 3).$

Daher schneiden sich die Parabeln nicht.

W 4

$Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{weißer Würfel A}) &=& \dfrac{\text{Anzahl weißer Würfel mit Buchstabe A}}{\text{Anzahl aller Würfel}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{30} = 0{,}0 \overline{3} \approx 3{,}3 \, \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{weißer Würfel A}) &=& \dfrac{\text{Anzahl weißer Würfel mit Buchstabe A}}{\text{Anzahl aller Würfel}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{30} = 0{,}0 \overline{3} \approx 3{,}3 \, \% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen den weißen Würfel mit dem Buchstaben Formula: A zu ziehen, liegt bei ca. $Formula: 3{,}3 \, \%.$ $Formula: 3{,}3 \, \%.$

$Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{blau oder grün}) &=& \dfrac{\text{Anzahl blauer und grüner Würfel}}{\text{Anzahl aller Würfel}} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 = 40 \, \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{blau oder grün}) &=& \dfrac{\text{Anzahl blauer und grüner Würfel}}{\text{Anzahl aller Würfel}} \\[5pt] &=& \dfrac{12}{30} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 = 40 \, \% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen einen blauen oder grünen Würfel zu ziehen, beträgt $Formula: 40 \, \%.$ $Formula: 40 \, \%.$

$Formula: P = \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{30}$ $Formula: P = \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{30}$

Gesucht ist also ein Ereignis, bei dem beim einmaligen Ziehen aus der vollen Dose mit Formula: 30 Würfeln Formula: 6 günstige Ergebnisse zutreffen können. Dies könnte das Ziehen einer bestimmten Farbe sein, da es von jeder Farbe Würfel gibt.

Mögliches Ereignis:

Monika zieht einen grünen Würfel.

$Formula: P(\text{rotes M; weißes O}) = \dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{1}{29} = \dfrac{1}{870} \approx 0{,}001 = 0{,}1 \, \%$ $Formula: P(\text{rotes M; weißes O}) = \dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{1}{29} = \dfrac{1}{870} \approx 0{,}001 = 0{,}1 \, \%$

Die Wahrscheinlichkeit, zuerst ein rotes Formula: M und anschließend ein weißes Formula: O zu ziehen, liegt bei ca. $Formula: 0{,}1 \, \%.$ $Formula: 0{,}1 \, \%.$

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mithilfe der 1. und 2. Pfadregel:

$Formula: \left.\begin{array}{rcl} P(\mathrm{rwg})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{rgw})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{wgr})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{wrg})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{gwr})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{grw})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28} \end{array}\right\}\ 6\cdot\dfrac{216}{24\,360}$ $Formula: \left.\begin{array}{rcl} P(\mathrm{rwg})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{rgw})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{wgr})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{wrg})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{gwr})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28}\\[2pt] P(\mathrm{grw})&=&\dfrac{6}{30}\cdot\dfrac{6}{29}\cdot\dfrac{6}{28} \end{array}\right\}\ 6\cdot\dfrac{216}{24\,360}$

$Formula: \begin{aligned} &P(\mathrm{r},\mathrm{g},\mathrm{w}\ \text{in beliebiger Reihenfolge})\\[5pt] &= 6\cdot\dfrac{216}{24\,360}=\dfrac{1\,296}{24\,360}=\dfrac{54}{1\,015}\\[6pt] &= 0{,}053\ldots\approx 5{,}3\,\% \end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned} &P(\mathrm{r},\mathrm{g},\mathrm{w}\ \text{in beliebiger Reihenfolge})\\[5pt] &= 6\cdot\dfrac{216}{24\,360}=\dfrac{1\,296}{24\,360}=\dfrac{54}{1\,015}\\[6pt] &= 0{,}053\ldots\approx 5{,}3\,\% \end{aligned}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $Formula: 5{,}3 \, \%$ $Formula: 5{,}3 \, \%$ zieht Monika einen roten, einen weißen und einen grünen Würfel.

$Formula: P(\text{grüner Würfel}) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100} = 20 \, \%$ $Formula: P(\text{grüner Würfel}) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100} = 20 \, \%$

Der doppelten Wahrscheinlichkeit entspricht somit:

$Formula: 40 \, \% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$ $Formula: 40 \, \% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$

Bei einer halbierten Gesamtwürfelzahl von Formula: 15 müssen für eine doppelte Wahrscheinlichkeit also immer noch Formula: 6 grüne Würfel in der Dose vorhanden sein. Monika hat also nur recht, wenn unter den noch vorhandenen Würfel alle grünen Würfel noch enthalten sind.

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