Pflichtteil 2

P 7

Ein Neuwagen verliert im ersten Jahr $Formula: 24 \, \%$ $Formula: 24 \, \%$ seines Neupreises an Wert.

Der Neupreis eines Autos beträgt $Formula: 44\,200 \, \text{€}.$ $Formula: 44\,200 \, \text{€}.$

Berechne den Wert dieses Autos nach einem Jahr.

3 BE

Nach einem Jahr hatte ein anderes Auto noch einen Wert von $Formula: 27\, 740 \, €.$ $Formula: 27\, 740 \, €.$

Berechne den Neupreis dieses Autos.

3 BE

Graues Coupé seitlich auf Landstraße, Gras im Vordergrund und blauer Himmel.

P 8

Die Klasse 10 a hat für das Schulfest ein Glücksrad gebaut.

Das Glücksrad ist in acht gleich große Felder eingeteilt.

Alle Felder, die einen Gewinn anzeigen sollen, werden mit einem Stern gekennzeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn soll ein Viertel betragen.

Kreis in acht gleiche Sektoren unterteilt, Pfeil zeigt auf oberen rechten Sektor

Wie viele Felder des Glücksrades müssen mit einem Stern gekennzeichnet werden?

1 BE

Jede Person soll genau zweimal am Glücksrad drehen.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit man dabei genau einmal gewinnt.

3 BE

P 9

Gegeben ist die folgende Gleichung:

Formula: 5x-3y=5

Berechneden Wert für Formula: x, wenn Formula: y=5 ist.

2 BE

Löse das folgende Gleichungssystem. Notiere alle Lösungsschritte.

$Formula: \left|\begin{array}{rcl}6x-12y&=&24\\4x+12y&=&76\end{array}\right|$ $Formula: \left|\begin{array}{rcl}6x-12y&=&24\\4x+12y&=&76\end{array}\right|$

4 BE

Begründe, warum das folgende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

$Formula: \left|\begin{array}{rcl}2y&=&4x\\4y&=&8x\end{array}\right|$ $Formula: \left|\begin{array}{rcl}2y&=&4x\\4y&=&8x\end{array}\right|$

2 BE

P 10

Löse die Klammer im folgenden Term auf.

$Formula: 5x \cdot (0{,}5x-2)$ $Formula: 5x \cdot (0{,}5x-2)$

2 BE

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung.

Notiere deine Lösungsschritte.

Formula: x^2+3x-180=0

3 BE

P 11

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt Formula: M hat den Radius $Formula: r = 30 \; \text{cm}.$ $Formula: r = 30 \; \text{cm}.$ Die Punkte Formula: A, Formula: B und Formula: D liegen auf dem Kreis.

Die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ ist $Formula: 48 \; \text{cm}$ $Formula: 48 \; \text{cm}$ lang.

Formula: C ist der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$

Berechne die Länge der Strecke $Formula: \overline{CD}.$ $Formula: \overline{CD}.$

Kreisskizze: Durchmesser AB, Mittelpunkt C, Radius r von A zu M, vertikale Achse mit M oben und D unten.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

4 BE

P 12

Konstruiere das Dreieck Formula: ABC mit $Formula: c = 7{,}2 \; \text{cm},$ $Formula: c = 7{,}2 \; \text{cm},$ $Formula: h_c = 4{,}5 \; \text{cm}$ $Formula: h_c = 4{,}5 \; \text{cm}$ und $Formula: \alpha = 52^{\circ}.$ $Formula: \alpha = 52^{\circ}.$

Beschrifte die Eckpunkte.

Geometrische Skizze eines Dreiecks mit Basis 7,2 cm, Höhe 4,5 cm und linkem Winkel 52°.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

3 BE

P 13

Die Geraden Formula: m und Formula: n sind parallel. Die Seiten Formula: a sind gleich lang.

Begründe, dass das Parallelogramm und das Rechteck den gleichen Flächeninhalt haben.

Diagramm mit zwei parallelen Linien m und n, zwei Abschnitte a und senkrechte Höhe b, parallele Trapeze und Rechteck

2 BE

P 14

Das Bild zeigt ein überdimensionales historisches Fahrrad.

Berechne, wie oft sich das große Rad dieses Fahrrades auf einer Strecke von $Formula: 1 \,000 \; \text{m}$ $Formula: 1 \,000 \; \text{m}$ drehen würde.

Schätze die zur Berechnung benötigte Größe mithilfe des Bildes.

Große Metallskulptur eines Hochrads im Park, eine Person steht davor, Bäume und ein Kirchengebäude im Hintergrund.

4 BE

P 15

Die abgebildete Kerze hat die Form eines Kegels.

Sie ist $Formula: 8{,}5 \; \text{cm}$ $Formula: 8{,}5 \; \text{cm}$ hoch. Ihre Grundfläche hat einen Durchmesser von $Formula: 4{,}8 \; \text{cm}.$ $Formula: 4{,}8 \; \text{cm}.$

Ein Kubikzentimeter Wachs wiegt $Formula: 0{,}96 \; \text{g}.$ $Formula: 0{,}96 \; \text{g}.$

Berechne die Masse dieser Kerze.

Gib das Ergebnis in Gramm an.

Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

Schwarze kegelförmige Kerze mit brennender Flamme vor hellem Hintergrund

4 BE

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P 7

Gegeben: Grundwert $Formula: G=44\,200 \, €,$ $Formula: G=44\,200 \, €,$ Prozentsatz $Formula: p \, \% = 24 \, \%$ $Formula: p \, \% = 24 \, \%$
Gesucht: Prozentwert Formula: W

$Formula: \begin{array}{rcll} W &=& \dfrac{G \cdot p}{100} \\[5pt] &=& \dfrac{44\,200 \,€ \cdot 24}{100} = 10\,608 \, € \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} W &=& \dfrac{G \cdot p}{100} \\[5pt] &=& \dfrac{44\,200 \,€ \cdot 24}{100} = 10\,608 \, € \end{array}$

Wert nach dem Wertverlust:

$Formula: 44\,200\, € - 10\,608 \,€ = 33\,592\, €$ $Formula: 44\,200\, € - 10\,608 \,€ = 33\,592\, €$

Das Auto hat nach einem Jahr noch einen Wert von $Formula: 33\,592\, €.$ $Formula: 33\,592\, €.$

Gegeben: Prozentwert $Formula: W = 27\,740 \, €,$ $Formula: W = 27\,740 \, €,$ Prozentsatz $Formula: p \, \% = 76 \, \%$ $Formula: p \, \% = 76 \, \%$

Gesucht: Grundwert Formula: G

$Formula: \begin{array}{rcll} G &=& \dfrac{W \cdot 100}{p} \\[5pt] &=& \dfrac{27\,740 \, € \cdot 100}{76} \\[5pt] &=& 36\,500 \, € \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} G &=& \dfrac{W \cdot 100}{p} \\[5pt] &=& \dfrac{27\,740 \, € \cdot 100}{76} \\[5pt] &=& 36\,500 \, € \end{array}$

Der Neupreis des Autos beträgt $Formula: 36\,500 \, €.$ $Formula: 36\,500 \, €.$

P 8

Gewinnwahrscheinlichkeit:

$Formula: P = \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$ $Formula: P = \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$

Um eine Gewinnwahrscheinlichkeit von $Formula: P = \tfrac{1}{4}$ $Formula: P = \tfrac{1}{4}$ zu erreichen, muss es bei Formula: 8 möglichen Ergebnissen Formula: 2 günstige Ergebnisse geben.

Folglich müssen Formula: 2 Felder des Glücksrades mit einem Stern markiert werden.

Wahrscheinlichkeit, beim Drehen einen Gewinn zu erzielen:

$Formula: \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ $Formula: \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$

Wahrscheinlichkeit, beim Drehen keinen Gewinn zu erzielen:

$Formula: \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ $Formula: \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

Anwenden der 1. und 2. Pfadregel:

$Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{genau ein Gewinn}) &=& P(\text{Gewinn; Niete}) + P(\text{Niete; Gewinn}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{16} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P(\text{genau ein Gewinn}) &=& P(\text{Gewinn; Niete}) + P(\text{Niete; Gewinn}) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{16} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Drehen genau einen Gewinn zu erzielen, beträgt $Formula: \tfrac{3}{8}$ $Formula: \tfrac{3}{8}$ bzw. $Formula: 37{,}5 \, \%.$ $Formula: 37{,}5 \, \%.$

P 9

Einsetzen von Formula: y=5 in die Gleichung:

$Formula: \begin{array}{rcll} 5x - 3 \cdot 5 &=& 5 \\[5pt] 5x-15 &=& 5 &\quad \mid + 15 \\[5pt] 5x &=& 20 &\quad \mid : 5 \\[5pt] x &=& 4 \end{array}$

Lösung des LGS mithilfe des Additionsverfahrens:

$Formula: \begin{array}{rcll} \text{I} + \text{II} {:} \quad 6x-12y + 4x + 12y &=& 24 + 76 \\[5pt] 10x &=& 100 &\quad \mid :10 \\[5pt] x &=& 10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \text{I} + \text{II} {:} \quad 6x-12y + 4x + 12y &=& 24 + 76 \\[5pt] 10x &=& 100 &\quad \mid :10 \\[5pt] x &=& 10 \end{array}$

Einsetzen von Formula: x=10 in die erste Gleichung:

$Formula: \begin{array}{rcll} 6 \cdot 10 - 12 \cdot y &=& 24 \\[5pt] 60 - 12y &=& 24 &\quad \mid -60 \\[5pt] -12y &=& -36 &\quad \mid : (-12) \\[5pt] y &=& 3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 6 \cdot 10 - 12 \cdot y &=& 24 \\[5pt] 60 - 12y &=& 24 &\quad \mid -60 \\[5pt] -12y &=& -36 &\quad \mid : (-12) \\[5pt] y &=& 3 \end{array}$

Lösungsmenge $Formula: L = \{(10 \mid 3) \}$ $Formula: L = \{(10 \mid 3) \}$

Durch Multiplikation der Gleichung Formula: 2y=4x mit bzw. durch Division der Gleichung Formula: 4y=8x durch ergibt sich die jeweils andere Gleichung.

Die beiden Gleichungen sind somit Vielfache voneinander und beschreiben dieselbe Gerade. Damit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

P 10

$Formula: \begin{array}{rcll} 5x \cdot (0{,}5x-2) &=& 5x \cdot 0{,}5x - 5x \cdot 2 \\[5pt] &=& 2{,}5x^2 - 10x \end{array}$

Lösung mithilfe der $Formula: pq\text{-}$ $Formula: pq\text{-}$ Formel:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 - (-180) } \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{9}{4} + 180} \\[5pt] &=& -1{,}5 \pm 13{,}5 \\[5pt] x_1 &=& -1{,}5 + 13{,}5 = 12 \\[5pt] x_2 &=& -1{,}5 - 13{,}5 = -15 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 - (-180) } \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{9}{4} + 180} \\[5pt] &=& -1{,}5 \pm 13{,}5 \\[5pt] x_1 &=& -1{,}5 + 13{,}5 = 12 \\[5pt] x_2 &=& -1{,}5 - 13{,}5 = -15 \end{array}$

P 11

Gegeben: $Formula: \begin{array}{l} \left.\begin{array}{rcl} \overline{MA} & = & 30\,\text{cm} \\ \overline{MD} & = & 30\,\text{cm} \end{array}\right\}\ \text{entspricht dem Radius des Kreises} \\ \begin{array}{rcl} \overline{AB} & = & 48\,\text{cm} \end{array} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{l} \left.\begin{array}{rcl} \overline{MA} & = & 30\,\text{cm} \\ \overline{MD} & = & 30\,\text{cm} \end{array}\right\}\ \text{entspricht dem Radius des Kreises} \\ \begin{array}{rcl} \overline{AB} & = & 48\,\text{cm} \end{array} \end{array}$

Gesucht: $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$

Weil Formula: C der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ ist, folgt:

$Formula: \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} = \dfrac{1}{2} \cdot 48 \; \text{cm} = 24 \; \text{cm}$ $Formula: \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} = \dfrac{1}{2} \cdot 48 \; \text{cm} = 24 \; \text{cm}$

Mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck Formula: ACM gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overline{AC}^2+\overline{MC}^2&=&\overline{MA}^2 & \\ (24\,\text{cm})^2+\overline{MC}^2&=&(30\,\text{cm})^2 & |-(24\,\text{cm})^2 \\ \overline{MC}^2&=&900\,\text{cm}^2-576\,\text{cm}^2 & \\ \overline{MC}^2&=&324\,\text{cm}^2 & |\sqrt{\phantom{x}} \\ \overline{MC}&=&18\,\text{cm} & \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overline{AC}^2+\overline{MC}^2&=&\overline{MA}^2 & \\ (24\,\text{cm})^2+\overline{MC}^2&=&(30\,\text{cm})^2 & |-(24\,\text{cm})^2 \\ \overline{MC}^2&=&900\,\text{cm}^2-576\,\text{cm}^2 & \\ \overline{MC}^2&=&324\,\text{cm}^2 & |\sqrt{\phantom{x}} \\ \overline{MC}&=&18\,\text{cm} & \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: \overline{CD} = \overline{MD} - \overline{MC} = 30 \; \text{cm} - 18 \; \text{cm} = 12 \; \text{cm}$ $Formula: \overline{CD} = \overline{MD} - \overline{MC} = 30 \; \text{cm} - 18 \; \text{cm} = 12 \; \text{cm}$

Die Strecke $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ ist $Formula: 12 \; \text{cm}$ $Formula: 12 \; \text{cm}$ lang.

P 12

Dreieck ABC mit Basis c = 7,2 cm, Lot von C zur Basis 4,5 cm, Winkel α bei A und vier markierte Bereiche (1–4)

Erläuterung zum Vorgehen:

Zunächst wird die Seite $Formula: c=7{,}2 \; \text{cm}$ $Formula: c=7{,}2 \; \text{cm}$ mit den Eckpunkten und gezeichnet.
Dann wird im Punkt der Winkel $Formula: \alpha = 52^{\circ}$ $Formula: \alpha = 52^{\circ}$ mit der Seite abgetragen. (Die Länge der Seite ist noch unbekannt.)
Nun wird zur Seite eine Parallele mit dem Abstand $Formula: h_c = 4{,}5 \; \text{cm}$ $Formula: h_c = 4{,}5 \; \text{cm}$ gezeichnet. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Schenkel ergibt den Eckpunkt
Das Dreieck wird vervollständigt, indem die Seite $Formula: \overline{CB} = a$ $Formula: \overline{CB} = a$ abgetragen wird.

P 13

Diagramm: Grundlinie mit zwei Abschnitten a, vertikale Trennlinien, ein Rechteck und zwei schattierte schiefe Dreiecke, Beschriftungen b = h_a und h_a

Jedes Parallelogramm lässt sich durch Zerlegung in ein flächengleiches Rechteck umwandeln. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist das Produkt aus Seitenlänge Formula: a und Länge der zugehörigen Höhe $Formula: h_a{:}$ $Formula: h_a{:}$

$Formula: A_{\text{Parallelogramm}} = a \cdot h_a$ $Formula: A_{\text{Parallelogramm}} = a \cdot h_a$

Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich aus dem Produkt der beiden Seiten berechnen:

$Formula: A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b$ $Formula: A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b$

Aufgrund der Parallelität der Geraden Formula: m und Formula: n entspricht die Länge der Seite Formula: b des Rechtecks der Höhe Formula: h_a des Parallelogramms, sodass die Flächeninhalte beider Vierecke folglich gleich sind.

P 14

Geschätzte Größe der Person: $Formula: 1{,}80 \; \text{m}$ $Formula: 1{,}80 \; \text{m}$

Geschätzter Durchmesser des Rades: $Formula: 5{,}40 \; \text{m}$ $Formula: 5{,}40 \; \text{m}$ (ca. $Formula: 3\text{-}$ $Formula: 3\text{-}$ mal die Größe der Person)

Berechnung des Umfangs des Rades:

$Formula: \begin{array}{rcll} U &=& \pi \cdot d \\[5pt] &=& \pi \cdot 5{,}40 \; \text{m} \\[5pt] &\approx& 16{,}96 \; \text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} U &=& \pi \cdot d \\[5pt] &=& \pi \cdot 5{,}40 \; \text{m} \\[5pt] &\approx& 16{,}96 \; \text{m} \end{array}$

Division der Strecke durch den Umfang des Rades:

$Formula: \dfrac{1\,000 \; \text{m}}{16{,}96 \; \text{m}} \approx 58{,}96 \approx 59$ $Formula: \dfrac{1\,000 \; \text{m}}{16{,}96 \; \text{m}} \approx 58{,}96 \approx 59$

Das große Rad würde sich auf einer Strecke von $Formula: 1\,000 \; \text{m}$ $Formula: 1\,000 \; \text{m}$ ungefähr $Formula: 59\text{-}$ $Formula: 59\text{-}$ mal drehen.

Hinweis:

Es handelt sich hier um eine Schätzaufgabe, bei der folgende Abschätzungen für den Durchmesser des großen Rades als zulässig angenommen werden: $Formula: 4{,}4 \; \text{m} \leq d \leq 7 \; \text{m}.$ $Formula: 4{,}4 \; \text{m} \leq d \leq 7 \; \text{m}.$

Für die Anzahl der Umdrehungen des Rades ergeben sich somit zulässige Werte zwischen Formula: 45 und Formula: 72 .

P 15

Berechnung des Volumens der Kerze (Kegel):

$Formula: \begin{array}{rcll} V_{\text{Kerze}} &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{K} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( \dfrac{4{,}8 \; \text{cm}}{2} \right)^2 \cdot 8{,}5 \; \text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}4 \; \text{cm} \right)^2 \cdot 8{,}5 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 51{,}27 \; \text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} V_{\text{Kerze}} &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{K} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( \dfrac{4{,}8 \; \text{cm}}{2} \right)^2 \cdot 8{,}5 \; \text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( 2{,}4 \; \text{cm} \right)^2 \cdot 8{,}5 \; \text{cm} \\[5pt] &\approx& 51{,}27 \; \text{cm}^3 \end{array}$

Berechnung der Masse:

$Formula: m_{\text{Kerze}} = 51{,}27 \; \text{cm}^3 \cdot 0{,}96 \; \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \approx 49{,}22 \; \text{g}$ $Formula: m_{\text{Kerze}} = 51{,}27 \; \text{cm}^3 \cdot 0{,}96 \; \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \approx 49{,}22 \; \text{g}$

Die Masse der Kerze beträgt ca. $Formula: 49{,}22 \; \text{g}.$ $Formula: 49{,}22 \; \text{g}.$

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