Pflichtteil 2

P 8

Die Monatsmieten in einem Studierendenwohnheim ändern sich jeweils zu Beginn eines Jahres. Im Jahr 2022 betrug die Monatsmiete dort für eine Wohnung $Formula: 350\,\text{€}.$ $Formula: 350\,\text{€}.$ Im Jahr 2023 mussten $Formula: 371\,\text{€}$ $Formula: 371\,\text{€}$ als Monatsmiete bezahlt werden. Im Jahr 2024 stiegen die Monatsmieten um $Formula: 7\,\text{%}$ $Formula: 7\,\text{%}$ im Vergleich zum Jahr 2023 an.

Holzhausmodell auf Dokumenten mit Schlüsselbund

Berechne, um wie viel Prozent sich die Monatsmiete im Jahr 2023 im Vergleich zum Jahr 2022 erhöht hat.

3 P

Berechne die Monatsmiete im Jahr 2024.

3 P

P 9

Ein Tierpfleger wiegt fünf verschiedene Hamster und notiert die Messwerte:

Willi	$Formula: 160\; \text{g}$ $Formula: 160\; \text{g}$
Luzi	$Formula: 130\; \text{g}$ $Formula: 130\; \text{g}$
Susi	$Formula: 100\; \text{g}$ $Formula: 100\; \text{g}$
Fritzi	$Formula: 175\; \text{g}$ $Formula: 175\; \text{g}$
Mimi	$Formula: 115\; \text{g}$ $Formula: 115\; \text{g}$

Erstelle eine Rangliste der Messwerte.

1 P

Bestimme die Spannweite der Messwerte.

1 P

Bestimme den Zentralwert (Median) der Messwerte.

1 P

Wenig später wird ein sechster Hamster (Karli) vom Tierpfleger gewogen. Der Zentralwert (Median) der sechs Messwerte ändert sich dabei nicht.

Wie schwer ist Karli?

1 P

P 10

Die im Koordinatensystem eingezeichnete Gerade Formula: f ist der Graph der linearen Funktion $Formula: y=\dfrac{1}{2} x + 3.$ $Formula: y=\dfrac{1}{2} x + 3.$

Der Punkt $Formula: P(13 \mid y)$ $Formula: P(13 \mid y)$ liegt auf der Geraden Formula: f.

Berechne die Formula: y -Koordinate des Punktes Formula: P.

1 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion.

2 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Die Gerade Formula: g verläuft senkrecht zur Geraden Formula: f und geht durch den Punkt Formula: Q.

Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden Formula: g gehört.

Tipp: Zeichne die Gerade Formula: g ein.

2 P $Formula: \quad$ $Formula: \quad$

Koordinatensystem mit linearer Funktion f als ansteigende Gerade; markierter Punkt Q liegt auf der Geraden bei etwa x = 1 und y = 3,5.

P 11

Schreibe den Text als Gleichung. Du brauchst diese Gleichung nicht zu lösen.

Subtrahiert man vom Dreifachen einer Zahl die Zahl Formula: 5,

so erhält man die Summe aus und der Hälfte der Zahl Formula: x.

2 P

Löse das Gleichungssystem. Notiere deine Lösungsschritte

Formula: 5x+3y=24

Formula: 3x-3y = -72

4 P

Die Gleichung Formula: 8x-6y=2 besitzt unendlich viele Lösungen. Elias sagt: „Das bedeutet, ich kann für Formula: x und Formula: y jede beliebige Zahl einsetzen.“

Hat Elias recht? Begründe deine Antwort.

2 P

P 12

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung. Notiere deine Lösungsschritte.

Formula: x^2+10x-11=0

3 P

P 13

In ein graues Rechteck wird ein weißes Viereck so eingezeichnet, dass sich jeder Eckpunkt des weißen Vierecks genau in der Mitte einer Rechteckseite befindet.

Berechne den Umfang des weißen Vierecks.

Geometrische Zeichnung eines grauen Rechtecks mit den Maßen 24 cm Breite und 32 cm Höhe. In der Mitte ist ein weißes, rautenförmiges Viereck eingezeichnet, dessen Symmetrieachsen gestrichelt dargestellt sind.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

4 P

P 14

Zeichne das Dreieck Formula: ABC mit den Maßen $Formula: c = 8,8 \ \text{cm},$ $Formula: c = 8,8 \ \text{cm},$ $Formula: \alpha = 36^{\circ}$ $Formula: \alpha = 36^{\circ}$ und $Formula: \gamma = 82^{\circ}.$ $Formula: \gamma = 82^{\circ}.$ Beschrifte die Eckpunkte des Dreiecks.

4 P

Gibt es ein Dreieck mit einem spitzen, einem rechten und einem stumpfen Winkel? Begründe deine Antwort.

1 P

P 15

Das Bild zeigt eine Kugel, die am Eingang einer Ausstellung aufgebaut wurde. Die Kugel besteht vollständig aus Granit. Ein Kubikmeter Granit wiegt Formula: 3,2 Tonnen.

Berechne die Masse dieser Kugel. Schätze das zur Berechnung benötigte Längenmaß mithilfe des Bildes. Gib dein Ergebnis in Tonnen an. Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

Person neben Kugel aus Granit bei einer Ausstellung

5 P

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P 8

Berechnung des Prozentwertes $Formula: \boldsymbol{P}\textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{P}\textbf{:}$

$Formula: 371 \, € - 350 \, € = 21 \, €$ $Formula: 371 \, € - 350 \, € = 21 \, €$

Berechnung des Prozentsatzes $Formula: \boldsymbol{p \, \%}$ $Formula: \boldsymbol{p \, \%}$ mit der Lösungsformel:

Grundwert $Formula: G = 350 \, €$ $Formula: G = 350 \, €$

Prozentwert $Formula: P = 21 \, €$ $Formula: P = 21 \, €$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p \, \% &=& \dfrac{P}{G} \cdot 100 \, \% \\ &=& \dfrac{21 \, €}{350 \, €} \cdot 100 \, \% \\ &=& 6 \, \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p \, \% &=& \dfrac{P}{G} \cdot 100 \, \% \\ &=& \dfrac{21 \, €}{350 \, €} \cdot 100 \, \% \\ &=& 6 \, \% \end{array}$

Die Monatsmiete hat sich im Jahr 2023 im Vergleich zum Jahr 2022 um $Formula: 6 \, \%$ $Formula: 6 \, \%$ erhöht.

Berechnung des Prozentwertes $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ mit der Lösungsformel:

Grundwert $Formula: G = 371 \, €$ $Formula: G = 371 \, €$

Prozentsatz $Formula: p \, \% = 7 \, \%$ $Formula: p \, \% = 7 \, \%$

$Formula: P = G \cdot p \, \% = 371 \, € \cdot 7 \, \% = 371 \cdot 0,07 = 25,97 \ €$ $Formula: P = G \cdot p \, \% = 371 \, € \cdot 7 \, \% = 371 \cdot 0,07 = 25,97 \ €$

Berechnung der erhöhten Monatsmiete:

$Formula: 371 \, € + 25,97 \, € = 396,97 \, €$ $Formula: 371 \, € + 25,97 \, € = 396,97 \, €$

Die Monatsmiete im Jahr 2024 beträgt $Formula: 396,97 \, €.$ $Formula: 396,97 \, €.$

P 9

$Formula: 100 \ \text{g}$ $Formula: 100 \ \text{g}$	$Formula: 115 \ \text{g}$ $Formula: 115 \ \text{g}$	$Formula: 130 \ \text{g}$ $Formula: 130 \ \text{g}$	$Formula: 160 \ \text{g}$ $Formula: 160 \ \text{g}$	$Formula: 175 \ \text{g}$ $Formula: 175 \ \text{g}$

Für die Spannweite Formula: R gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} R &=& \text{Maximum} - \text{Minimum} \\&=& 175 \ \text{g} - 100 \ \text{g} \\ &=& 75 \ \text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} R &=& \text{Maximum} - \text{Minimum} \\&=& 175 \ \text{g} - 100 \ \text{g} \\ &=& 75 \ \text{g} \end{array}$

Der Zentralwert steht bei einer ungeraden Anzahl an Werten genau in der Mitte der Rangliste. Er beträgt somit $Formula: 130 \ \text{g.}$ $Formula: 130 \ \text{g.}$

Da ein weiterer Wert zur Rangliste hinzukommt, liegt nun eine gerade Zahl an Werten vor. Der neue Zentralwert bildet sich aus dem Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Damit gilt für das Gewicht Formula: x von Karli:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{130 \ \text{g} + x}{2} &=& 130 \ \text{g} &\quad \mid\;\cdot \ 2 \\[1em] 130 \ \text{g} + x &=& 260 \ \text{g} &\quad \mid - 130 \ \text{g} \\[1em] x &=& 130 \ \text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{130 \ \text{g} + x}{2} &=& 130 \ \text{g} &\quad \mid\;\cdot \ 2 \\[1em] 130 \ \text{g} + x &=& 260 \ \text{g} &\quad \mid - 130 \ \text{g} \\[1em] x &=& 130 \ \text{g} \end{array}$

Karli muss auch $Formula: 130 \ \text{g}$ $Formula: 130 \ \text{g}$ wiegen, damit der Zentralwert unverändert bleibt.

P 10

Einsetzen von Formula: x=13 in die Funktionsgleichung $Formula: y = \tfrac{1}{2} \cdot x + 3$ $Formula: y = \tfrac{1}{2} \cdot x + 3$ ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& \dfrac{1}{2} \cdot 13 + 3 \\[0.5em] y &=& 6,5 + 3 \\[0.5em] y &=& 9,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y &=& \dfrac{1}{2} \cdot 13 + 3 \\[0.5em] y &=& 6,5 + 3 \\[0.5em] y &=& 9,5 \end{array}$

Setze die Funktionsgleichung gleich Formula: 0 und löse nach Formula: x auf:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{1}{2} \cdot x + 3 &\quad \mid -3 \\[0.5em] - 3 &=& \dfrac{1}{2} \cdot x &\quad \mid\;\cdot\,2 \\[0.5em] x &=& - 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{1}{2} \cdot x + 3 &\quad \mid -3 \\[0.5em] - 3 &=& \dfrac{1}{2} \cdot x &\quad \mid\;\cdot\,2 \\[0.5em] x &=& - 6 \end{array}$

Die lineare Funktion $Formula: y = \tfrac{1}{2} \cdot x + 3$ $Formula: y = \tfrac{1}{2} \cdot x + 3$ hat die Nullstelle Formula: x = -6.

Grafisches Lösen durch Ablesen:

$Formula: y = m \cdot x + b$ $Formula: y = m \cdot x + b$

Steigung $Formula: m = - \dfrac{2}{1} = - 2$ $Formula: m = - \dfrac{2}{1} = - 2$

Formula: y -Achsenabschnitt Formula: b = 5,5

Funktionsgleichung der Geraden $Formula: g\text{:}$ $Formula: g\text{:}$

$Formula: y = -2 \cdot x + 5,5$ $Formula: y = -2 \cdot x + 5,5$

Koordinatensystem mit zwei Geraden: der schwarzen Geraden f mit positiver Steigung und der grünen Geraden g mit negativer Steigung. Beide schneiden sich im Punkt Q (1 | 3,5). An g ist ein weiterer Punkt bei etwa (2 | 1,5) markiert. Ein gestricheltes Steigungsdreieck zeigt eine Änderung von +1 in x-Richtung und −2 in y-Richtung.

P 11

$Formula: 3x - 5 = 44 + \dfrac{1}{2} \cdot x$ $Formula: 3x - 5 = 44 + \dfrac{1}{2} \cdot x$

Da in der ersten Gleichung der Ausdruck Formula: 3y und in der zweiten Gleichung Formula: -3y vorkommt, bietet sich das Additionsverfahren zur Lösung an:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \text{I}\:+\text{II} = (5x + 3y) + (3x - 3y) &=& 24 + (-72) \\ 8x &=& -48 &\quad \mid \div \ 8 \\ x &=& - 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \text{I}\:+\text{II} = (5x + 3y) + (3x - 3y) &=& 24 + (-72) \\ 8x &=& -48 &\quad \mid \div \ 8 \\ x &=& - 6 \end{array}$

Einsetzen von Formula: x = -6 in $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 5 \cdot (-6) + 3y &=& 24 \\ -30+3y &=& 24 &\quad \mid +30 \\ 3y &=& 54 &\quad \mid \div \ 3 \\ y &=& 18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 5 \cdot (-6) + 3y &=& 24 \\ -30+3y &=& 24 &\quad \mid +30 \\ 3y &=& 54 &\quad \mid \div \ 3 \\ y &=& 18 \end{array}$

Lösungsmenge $Formula: L = \{ (-6 \mid 18 ) \}$ $Formula: L = \{ (-6 \mid 18 ) \}$

Die Gleichung Formula: 8x - 6y = 2 hat unendlich viele Lösungen, da sie eine Gerade beschreibt. Man kann jedoch nicht beide Werte frei wählen, sondern immer nur einen: Für einen frei gewählten Wert von Formula: x ergibt sich genau ein passender Wert für Formula: y, damit die Gleichung erfüllt ist. Elias hat also nicht recht.

P 12

Lösen der Gleichung mithilfe der pq-Formel:

Formula: p = 10 und Formula: q = -11

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q} \\[5pt] &=& - \dfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{10}{2} \right)^2 - (-11)} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{5^2 + 11} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{25 + 11} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{36} \\[5pt] &=& - 5 \pm 6 \\[8pt] x_{1} &=& - 5 + 6 = 1 \\[1pt] x_{2} &=& - 5 - 6 = - 11 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{p}{2} \right)^2 - q} \\[5pt] &=& - \dfrac{10}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{10}{2} \right)^2 - (-11)} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{5^2 + 11} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{25 + 11} \\[5pt] &=& - 5 \pm \sqrt{36} \\[5pt] &=& - 5 \pm 6 \\[8pt] x_{1} &=& - 5 + 6 = 1 \\[1pt] x_{2} &=& - 5 - 6 = - 11 \end{array}$

Die quadratische Gleichung hat die Lösungen Formula: x_1=1 und Formula: x_2=-11.

P 13

Berechnung der Länge einer Diagonalen mithilfe des Satzes des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2 &=& (16 \ \text{cm})^2 + (12 \ \text{cm})^2 \\ a^2 &=& 256 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \\ a^2 &=& 400 \ \text{cm}^2 &\quad \mid \ \sqrt{\ } \\ a &=& 20 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2 &=& (16 \ \text{cm})^2 + (12 \ \text{cm})^2 \\ a^2 &=& 256 \ \text{cm}^2 + 144 \ \text{cm}^2 \\ a^2 &=& 400 \ \text{cm}^2 &\quad \mid \ \sqrt{\ } \\ a &=& 20 \ \text{cm} \end{array}$

Berechnung des Umfangs des Vierecks:

$Formula: U = 4 \cdot a = 4 \cdot 20 \ \text{cm} = 80 \ \text{cm}$ $Formula: U = 4 \cdot a = 4 \cdot 20 \ \text{cm} = 80 \ \text{cm}$

Der Umfang des weißen Vierecks beträgt $Formula: 80 \ \text{cm}.$ $Formula: 80 \ \text{cm}.$

Geometrische Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer senkrechten Kathete von 16 cm und einer waagerechten Kathete von 12 cm. Die schräge Seite ist als Hypotenuse a bezeichnet. Der rechte Winkel ist unten links durch einen Kreisbogen markiert.

P 14

Berechnung des Winkels $Formula: \boldsymbol{\beta}$ $Formula: \boldsymbol{\beta}$ mithilfe des Innenwinkelsummensatzes:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta &=& 180^{\circ} - \alpha - \gamma \\ &=& 180^{\circ} - 36^{\circ} - 82^{\circ} \\ &=& 62^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta &=& 180^{\circ} - \alpha - \gamma \\ &=& 180^{\circ} - 36^{\circ} - 82^{\circ} \\ &=& 62^{\circ} \end{array}$

Erläuterung zur Konstruktion:

Zeichne zunächst die Seite $Formula: c = 8,8 \ \text{cm}$ $Formula: c = 8,8 \ \text{cm}$ mit den Endpunkten Formula: A und Formula: B. Zeichne nun im Punkt einen Schenkel mit dem Winkel $Formula: \alpha = 36^{\circ}$ $Formula: \alpha = 36^{\circ}$ und im Punkt einen Schenkel mit dem Winkel $Formula: \beta = 62^{\circ}$ $Formula: \beta = 62^{\circ}$ ein. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ergibt den Punkt Formula: C.

Geometrische Zeichnung eines schiefwinkligen Dreiecks ABC mit beschrifteten Seiten a, b und c = 8,8 cm sowie den Winkeln α, β und γ. Die Grundseite AB ist horizontal dargestellt, Punkt C liegt oberhalb. Am Punkt C sind gestrichelte Verlängerungen der Seiten eingezeichnet, der Winkel γ ist markiert. Mathematik-Skizze zur Dreiecksgeometrie und Winkelberechnung.

Ein rechter Winkel hat $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ und ein stumpfer Winkel zwischen $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ und $Formula: 180^{\circ}.$ $Formula: 180^{\circ}.$ Damit ergeben sie addiert bereits mehr als $Formula: 180^{\circ}.$ $Formula: 180^{\circ}.$ Jedes Dreieck hat jedoch eine Innenwinkelsumme von genau $Formula: 180^{\circ}.$ $Formula: 180^{\circ}.$ Demnach gibt es kein Dreieck, das aus einem spitzen, einem rechten und einem stumpfen Winkel besteht.

P 15

Die abgebildete Person ist geschätzt ca. $Formula: 1,70 \ \text{m}$ $Formula: 1,70 \ \text{m}$ groß. Der Durchmesser Formula: d der Kugel beträgt ca. $Formula: \tfrac{3}{4}$ $Formula: \tfrac{3}{4}$ der Größe der abgebildeten Person:

$Formula: d = \dfrac{3}{4} \cdot 1,70 \ \text{m} = 1,275 \ \text{m} \approx 1,30 \ \text{m}$ $Formula: d = \dfrac{3}{4} \cdot 1,70 \ \text{m} = 1,275 \ \text{m} \approx 1,30 \ \text{m}$

$Formula: r = \dfrac{1}{2} \cdot d = \dfrac{1}{2} \cdot 1,30 \ \text{m} = 0,65 \ \text{m}$ $Formula: r = \dfrac{1}{2} \cdot d = \dfrac{1}{2} \cdot 1,30 \ \text{m} = 0,65 \ \text{m}$

Berechnung des Kugelvolumens $Formula: \boldsymbol{V}\textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{V}\textbf{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V &=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left( 0,65 \ \text{m} \right)^3 \\[5pt] &\approx& 1,15 \ \text{m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V &=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot \left( 0,65 \ \text{m} \right)^3 \\[5pt] &\approx& 1,15 \ \text{m}^3 \end{array}$

Berechnung der Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ der Kugel:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m &=& V \cdot 3,2 \ \dfrac{\text{t}}{\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 1,15 \ \text{m}^3 \cdot 3,2 \ \dfrac{t}{\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 3,68 \ \text{t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m &=& V \cdot 3,2 \ \dfrac{\text{t}}{\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 1,15 \ \text{m}^3 \cdot 3,2 \ \dfrac{t}{\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 3,68 \ \text{t} \end{array}$

Die Masse der Kugel beträgt ca. $Formula: 3,68 \ \text{t.}$ $Formula: 3,68 \ \text{t.}$

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