Wahlaufgaben

Die Zeichnung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit der Basis $\overline{AB}.$

Zeichnung nicht maßstabsgerecht

Wie groß ist der Winkel $\gamma$ ?

1 Pkt.

Berechne die Höhe $h.$
Runde auf Millimeter.

3 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $x.$
Runde auf Millimeter.

Zeichnung nicht maßstabsgerecht

8 Pkt.

Zur Herstellung einer rechteckigen Tischplatte werden zwei verschiedene Holzsorten verwendet. Die innere rechteckige Platte (graue Fläche) besteht aus Nussholz. Sie hat eine Umrandung (weiße Fläche) aus Ahornholz (siehe Zeichnung).

Zeichnung nicht maßstabsgerecht

Der Flächeninhalt $A$ der Umrandung aus Ahornholz kann durch die Gleichung

$A=4 \cdot x^2+560 \mathrm{~cm} \cdot x$

berechnet werden $(x$ in $\text{cm}).$

Berechne den Flächeninhalt $A$ für $x=12.$
Gib dein Ergebnis in Quadratzentimeter an.

2 Pkt.

Beschreibe anhand der Zeichnung, welche Teilflächen durch den Term $4 \cdot x^2$ berechnet werden.

1 Pkt.

Zeige durch eine Rechnung, dass für $x=28,5$ die Fläche aus Nussholz etwa genau so groß ist wie die Fläche aus Ahornholz.

2 Pkt.

Der Flächeninhalt der gesamten Tischplatte $A_{\text {Gesamtfläche}}$ kann durch die quadratische Gleichung

$A_{\text{Gesamtfläche}}=4 \cdot x^2+560 \cdot x+19\,200$

berechnet werden $(x$ in $\text{cm}).$
Berechne die Länge $x$ für einen Tisch mit einer Gesamtfläche von $A_{\text{Gesamtfläche}}=32\,000\,(\text{cm}^2).$
Schreibe einen Antwortsatz.

5 Pkt.

Bei einem zweiten Tisch soll die innere Fläche aus Nussholz quadratisch mit einer Seitenlänge von $160\,\text{cm}$ sein. Verändere die Gleichung $A=4 \cdot x^2+560\,\text{cm} \cdot x$ so, dass man den Flächeninhalt der Umrandung aus Ahornholz für diesen Tisch berechnen kann.

2 Pkt.

Eine Software erfasst in einer Statistik die Seitenaufrufe einer Homepage.

Die Tabelle zeigt, wie oft die Homepage im Zeitraum von Montag bis Samstag aufgerufen wurde.

Wochentag	Anzahl der Seitenaufrufe
Mo	$152$
Di	$102$
Mi	$207$
Do	$186$
Fr	$221$
Sa	$164$

Berechne die Spannweite der Anzahl der Seitenaufrufe in diesem Zeitraum.

1 Pkt.

Erstelle für die Anzahl der Seitenaufrufe in diesem Zeitraum eine Rangliste und bestimme den Zentralwert $\tilde{x}$ (Median).

3 Pkt.

Berechne, wie oft die Seite im Durchschnitt $\overline{x}$ (arithmetisches Mittel) in diesem Zeitraum aufgerufen wurde.

2 Pkt.

Berechne, wie viele Seitenaufrufe es am Sonntag geben müsste, damit sich für die sieben Tage dieser Woche ein Durchschnitt von 200 Seitenaufrufen ergibt.

2 Pkt.

In einem Boxplot wird die Anzahl der täglichen Seitenaufrufe dieser Homepage im gesamten letzten Jahr dargestellt.

Entnimm dem Boxplot das untere und das obere Quartil und notiere diese beiden Werte.

2 Pkt.

Tom behauptet: „An der Hälfte der Tage des Jahres wurde die Homepage häufiger als 250-mal aufgerufen.“
Hat Tom recht? Begründe deine Antwort mithilfe des Medians.

2 Pkt.

Ein $66\,\text{m}$ langes und $5\,\text{cm}$ breites Klebeband ist auf einer Papprolle aufgewickelt (siehe Abbildung). Mit diesem Klebeband werden Pakete mit den gleichen Maßen wie in der Zeichnung verschlossen.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Berechne, wie viele dieser Pakete man höchstens mit einer Rolle Klebeband verschließen kann. Notiere einen Antwortsatz.

4 Pkt.

Beim Aufbringen des Klebebands wird immer eine bestimmte Fläche beklebt.
Reicht eine volle Rolle dieses Klebebands aus, um eine $4\,\text{m}^2$ große Fläche vollständig zu bekleben?
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

3 Pkt.

Die Abbildung zeigt die Rolle eines anderen Klebebands.

Das Klebeband ist in vielen Lagen um eine Papprolle gewickelt.
Die Dicke einer Lage beträgt $0,04\,\text{mm}.$

Berechne die Länge dieses Klebebands. Runde auf Meter.

Tipp: Du kannst für deine Berechnung den ungefähren mittleren Durchmesser des Klebebands verwenden.

5 Pkt.

In einer Lostrommel befinden sich 10 gleichartige Kugeln. Jede Kugel ist mit einem der Buchstaben A, M, O oder T beschriftet.

Betätigt man einen Starter, so setzt sich die Lostrommel in Bewegung.

Nachdem die Lostrommel zum Stehen kommt, fällt zufällig eine Kugel heraus.

Tom betätigt den Starter und setzt die volle Lostrommel in Bewegung.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel mit dem Buchstaben T herausfällt.

1 Pkt.

Tom betätigt den Starter und setzt die volle Lostrommel in Bewegung.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kugel, auf der nicht der Buchstabe A steht, herausfällt.

1 Pkt.

Tom lässt die volle Lostrommel drehen. Die herausgefallene Kugel legt er nicht wieder zurück. Er lässt die Lostrommel noch einmal drehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass auf beiden Kugeln der gleiche Buchstabe steht.

4 Pkt.

Tom lässt aus der vollen Lostrommel nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen herausfallen. Er hofft, damit seinen Namen legen zu können.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die passenden Kugeln in genau der richtigen Reihenfolge herausfallen.

3 Pkt.

Begründe, warum die Wahrscheinlichkeit, dass die passenden Kugeln herausfallen, größer ist, wenn die Reihenfolge beliebig ist.

1 Pkt.

Es sind vier Kugeln mit den unterschiedlichen Buchstaben T, M, A und O herausgefallen.
Daraus kann man zum Beispiel die abgebildeten drei Kombinationen legen.

Bestimme die Anzahl aller möglichen Kombinationen aus diesen vier Buchstaben.

2 Pkt.

Das Dreieck ist gleichschenklig. Daher gilt mit dem Innenwinkelsatz:

$\gamma=180^{\circ}-2 \cdot\,70^{\circ}= 40^{\circ}$

Der Winkel $\gamma$ ist $40°$ groß.

Es gilt $\overline{AM}=\dfrac{18,7\,\text{cm}}{2}=9,35\,\text{cm}.$

Mit dem Hilfsdreieck $AMC$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan (70^{\circ})&=& \dfrac{h}{\overline{AM}} \\[5pt] \tan (70^{\circ})&=& \dfrac{h}{9,35\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,35\,\text{cm} \\[5pt] \tan (70^{\circ})\cdot 9,35\,\text{cm}&=& h \\[5pt] 25,69\,\text{cm}&\approx& h \\[5pt] 257\,\text{mm}&\approx& h \end{array}$

Skizze nicht maßstabsgerecht

Berechnung von $\beta$ über den Nebenwinkel:

$\beta=180°-30,3°=149,7°$

Berechnung von $\delta$ über den Innenwinkelsatz:

$\delta=180°-149,7°-17,9°=12,4°$

Zur Berechnung der Länge der Seite $a$ kann der Sinussatz verwendet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin \alpha}&=& \dfrac{d}{\sin \delta} \\[5pt] \dfrac{a}{\sin 17,9°}&=& \dfrac{11\,\text{cm}}{\sin 12,4°} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 17,9° \\[5pt] a&=& \dfrac{11\,\text{cm}}{\sin 12,4°}\cdot \sin 17,9° \\[5pt] a&\approx& 15,74\,\text{cm} \end{array}$

Die Länge der Seite $y$ des rechtwinkligen Dreiecks lässt sich mit dem Sinus berechnen.

Rechenweg anzeigen

$7,94\,\text{cm} \approx y$

Damit folgt für die Länge der Seite $x:$

$\begin{array}[t]{rll} x&\approx& 1,7\,\text{cm}+7,94\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 9,6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 96\,\text{mm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4\cdot (12\,\text{cm})^2+560\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7\,296\,\text{cm}^2 \end{array}$

Mit $x^2$ wird der Flächeninhalt eines Quadrates an einer Ecke berechnet. Da es vier Quadrate an den Ecken der Tischplatte sind, ergibt sich der Term $4x^2$ für die Fläche aller Eckstücke.

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Nussholz}}&=& 160\,\text{cm}\cdot 120\,\text{cm}\\[5pt] &=& 19\,200\,\text{cm}^2 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$A_{\text{Ahornholz}}= 19\,209\,\text{cm}^2$

Damit ist gezeigt, dass die Flächeninhalte ungefähr gleich groß sind.

Einsetzen des Flächeninhalts der Gesamtfläche in die Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 32\,000&=& 4x^2+560x+19\,200 \quad \scriptsize \mid\; -32\,000\\[5pt] 0&=& 4x^2+560x-12\,800 \quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt] 0&=& x^2+140x-3\,200 \\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{140}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{140}{2}\right)^2-(-3\,200)} \\[5pt] x_{1/2}&=& -70 \pm \sqrt{8\,100} \\[5pt] x_{1/2}&=& -70 \pm 90 \\[5pt] x_1&=& 20 \\[5pt] x_2&=& -160 \end{array}$

Im Sachzusammenhang entfällt die Lösung $x_2.$ Die gesuchte Länge beträgt $x=20\,\text{cm}.$

Die Zahl $560$ in der gegebenen Gleichung ergibt sich aus dem Umfang des Rechtecks. Ist die Fläche quadratisch mit einer Seitenlänge von $160\,\text{cm}$ , so ergibt sich stellvertretend dafür der Wert $4\cdot 160=640.$

$A=4\cdot x^2+640\,\text{cm}\cdot x$ .

$R=221-102=119$

Die Spannweite beträgt $119.$

Rangliste erstellen

$102\quad$ $152\quad$ $\boldsymbol{164}\quad$ $\boldsymbol{186}\quad$ $207\quad$ $221$

Median bestimmen

$\tilde{x}=\dfrac{164+186}{2} =175$

Der Median beträgt $175.$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{\text{x}}&=& \dfrac{102+152+164+186+207+221}{6} \\[5pt] &=& 172 \end{array}$

Die Seite wurde im Durschnitt $172$ mal am Tag aufgerufen.

Aufrufe pro Woche: $7\cdot 200=1\,400$

Aufrufe Montag bis Samstag: $102+152+164+186+207+221=1\,032$

Aufrufe am Sonntag: $1\,400-1\,032=368$

Am Sonntag müsste es $368$ Seitenaufrufe geben.

Eine Kästchenbreite entspricht $25$ Aufrufen. Damit folgt:

Unteres Quartil: 150
Oberes Quartil: 275

Tom hat unrecht, da der Median bei 200 Aufrufen und nicht bei mindestens 250 Aufrufen liegt.

Benötigte Länge für ein Paket:

$2\cdot 40\,\text{cm}+4\cdot 30\,\text{cm}+2\cdot 25\,\text{cm}=250\,\text{cm}$

Anzahl der Pakete berechnen:

$66 \,\text{m}: 250 \,\text{cm}=6\,600 \,\text{cm}: 250 \,\text{cm}=26,4$

Es können höchstens 26 Pakete mit dem Paketband verschlossen werden.

Fläche, die eine Rolle bekleben kann:

$66\,\text{m}\cdot 5\,\text{cm}=66\,\text{m}\cdot0,05\,\text{m}=3,3\,\text{m}^2\lt 4\,\text{m}^2$

Nein, eine vollständige Rolle Klebeband reicht nicht aus, um eine Fläche von $4\,\text{m}^2$ zu bekleben.

Die Dicke des Kreisrings des Klebebands beträgt ungefähr $10\,\text{mm}.$ Damit lässt sich die Anzahl aller Klebebandlagen berechnen:

$10\,\text{mm} : 0,04\,\text{mm}=250$

Der ungefähre mittlere Durchmesser beträgt $9\,\text{cm}.$ Mit $r=\dfrac{9\,\text{cm}}{2}=4,5\,\text{cm}$ lässt sich der mittlere Umfang der Rolle berechnen:

$\pi\cdot2\cdot4,5\,\text{cm}=28,274\,\text{cm}$

Für die ungefähre Länge des Klebebands folgt:

$250\cdot28,274\,\text{cm}=7068,583\,\text{cm}\approx71\,\text{m}$

Das Klebeband ist ungefähr 71 Meter lang.

Anzahl aller Kugeln: $10$

Anzahl der Kugeln mit „T“: $1$

$P(T)=\dfrac{1}{10}= 0,1 =10\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel mit „T“ herausfällt, beträgt 10 %.

Anzahl aller Kugeln: $10$

Anzahl der Kugeln ohne „A“: $6$

$P(\text{kein „A“})=\dfrac{6}{10}=0,6 =60\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel ohne „A“ herausfällt, beträgt 60 %.

Anzahl der Kugeln: $O: 2\times \quad$ $A: 4\times \quad$ $M: 3\times$

Mit den Pfadregeln gilt:

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{zwei gleiche Buchstaben}) \\[5pt] =& P(OO)+P(AA)+P(MM) \\[5pt] =& \dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} \\[5pt] =& \dfrac{20}{90} \\[5pt] =& \dfrac{2}{9} \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{9}\approx 22\,\%$ steht auf beiden Kugeln der gleiche Buchstabe.

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(„TOM“)&=& \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{3}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{720}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{120}\\[5pt] &=& 0,0083\\[5pt] &=& 0,83\,\% \end{array}$

Es gibt insgesamt 6 Möglichkeiten, die Buchstaben für den Namen „TOM“ in beliebiger Reihenfolge zu ziehen. Es gibt jedoch nur eine Möglichkeit, ihn in der richtigen Reihenfolge zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit ist daher größer, wenn die Reihenfolge beliebig ist.

Für die erste Stelle gibt es 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle gibt es noch 3 Möglichkeiten, da ein Buchstabe bereits für die erste Stelle verbraucht wurde. Für die dritte Stelle gibt es analog noch zwei und für die vierte Stelle noch eine Möglichkeit.

$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$

Es gibt insgesamt 24 mögliche Kombinationen.