Pflichtaufgaben

Berechne.

$3,50\,€+78\,\text{ct}$

1 Pkt.

$1\dfrac{1}{4}\,\text{kg}-750\,\text{g}$

1 Pkt.

$\dfrac{3}{4}\,\text{h}+30\,\text{min}$

1 Pkt.

$\dfrac{3}{5}$ von $17\,\text{km}$

1 Pkt.

Löse die Gleichung.

$6\cdot (x+5)=2x+18$

4 Pkt.

Bestimme $x.$

$\sqrt{x}+0,4=2,4$

1 Pkt.

Löse das Gleichungssystem.
Notiere deine Lösungsschritte.

$\begin{vmatrix} 2x-8y&=&-89\\ 4x+8y&=&110 \end{vmatrix}$

4 Pkt.

Schreibe zur Gleichung $y=2 x+1$ eine zweite Gleichung auf, sodass ein lineares Gleichungssystem entsteht, das unendlich viele Lösungen besitzt.

2 Pkt.

In der Klasse 10a sind 25 Jugendliche.

$56\,\%$ aller Jugendlichen der Klasse 10a sind Mädchen.

Berechne, wie viele Mädchen es in dieser Klasse gibt.

2 Pkt.

In der Klasse 10b sind nur $28\,\%$ aller Jugendlichen Mädchen.
Lara behauptet: „In der Klasse 10a gibt es doppelt so viele Mädchen wie in der Klasse 10b."
Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit ihre Behauptung stimmt?

1 Pkt.

In der Klasse 10a sind $5\,\%$ aller Schülerinnen und Schüler der gesamten Schule.
Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler die Schule hat.

2 Pkt.

Die Jugendlichen in der Klasse 10a wurden nach der Anzahl ihrer Geschwister befragt. Die Tabelle stellt das Ergebnis dieser Befragung dar.

Anzahl der Geschwister	Anzahl der Schülerinnen und Schüler
null	$7$
eins	$8$
zwei	$4$
drei und mehr	$6$

Berechne, wie viel Prozent der Jugendlichen der Klasse 10a genau zwei Geschwister haben.

2 Pkt.

Das Ergebnis der Befragung wurde in einem Kreisdiagramm dargestellt.
Für das Feld (Kreissektor) „,null Geschwister“ wurde ein $7^\circ$ großer Winkel gewählt.
Ist diese Winkelgröße korrekt? Begründe deine Antwort.

2 Pkt.

Die folgende Tabelle zeigt die Urliste einer Datenmenge.

$40$
$39$
$35$
$37$
$41$
$41$
$38$
$47$
$37$
$37$

Gib den Modalwert an.

1 Pkt.

Erstelle eine Rangliste und berechne den Zentralwert (Median).

3 Pkt.

Berechne das arithmetische Mittel (Durchschnitt).

2 Pkt.

Im Koordinatensystem ist die Gerade $f$ eingezeichnet.
Die Gerade $f$ ist der Graph der linearen Funktion $y=-0,5x+2,5.$

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $y=-0,5x+2,5$ .

2 Pkt.

Liegt der Punkt $Q(79\mid -36)$ auf der Geraden $f$ ?
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

2 Pkt.

Die Gerade $g$ ist der Graph der linearen Funktion $y=5x-2,5.$
Schneiden sich die Geraden $f$ und $g$ ?
Begründe deine Aussage ohne zu rechnen.

2 Pkt.

Zeichne das Viereck $ABCD.$
Verwende dazu folgende Konstruktionsbeschreibung:

(1)

Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit der Länge $a=7,5\,\text{cm}.$
Beschrifte die Endpunkte dieser Strecke.

(2)

Trage den Winkel $\alpha=80^\circ$ an die Strecke $\overline{AB}$ im Punkt $A$ an.

(3)

Zeichne auf dem Schenkel die Strecke $\overline{AD}$ mit der Länge $d=5\,\text{cm}.$
Beschrifte den Endpunkt dieser Strecke mit $D.$

(4)

Trage den Winkel $\beta=100^\circ$ an die Strecke $\overline{AB}$ im Punkt $B$ an.

(5)

Zeichne durch den Punkt $D$ eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}.$
Diese Parallele schneidet den freien Schenkel des Winkels $\beta.$
Beschrifte diesen Schnittpunkt mit $C.$

5 Pkt.

Die Zeichnung zeigt ein Trapez.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Berechne die Größe des Winkels $\alpha.$

1 Pkt.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

2 Pkt.

Berechne den Umfang des Trapezes.

4 Pkt.

Das abgebildete Werkstück entstand aus einem Quader, aus dem ein Dreiecksprisma herausgeschnitten wurde.

Gib die Anzahl der Flächen $f,$ der Ecken $e$ und der Kanten $k$ des Prismas an.
Schreibe in der Form:

$f=$

$e=$

$k=$

3 Pkt.

Berechne das Volumen des Werkstücks.

5 Pkt.

$\begin{array}[t]{rll} &3,50 \;€ + 78 \,\text{ct} \\[5pt] =& 350\,\text{ct} + 78 \,\text{ct} \\[5pt] =& 428\,\text{ct} = 4,28 \;€ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & 1\frac{1}{4} \,\text{kg} - 750 \,\text{g} \\[5pt] =& 1,25\,\text{kg} - 750 \,\text{g} \\[5pt] =& 1250 \,\text{g} - 750\,\text{g} \\[5pt] =& 500\,\text{g}=\dfrac{1}{2}\,\text{kg} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & \dfrac{3}{4}\,\text{h} + 30\,\text{min} \\[5pt] =& 45\,\text{min} + 30 \,\text{min} \\[5pt] =& 75 \,\text{min}= 1 \frac{1}{4}\,\text{h} \end{array}$

Lösung mit Bruch

$17\,\text{km}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{17 \,\text{km} \cdot 3}{5}=\dfrac{51}{5}\,\text{km}= 10,2\,\text{km}$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=17\,\text{km}$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=60\, \%$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& \dfrac{17\,\text{km}\cdot 60\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &\approx& 10,2\,\text{km} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:5$

$\cdot 3$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{5}{5} & \mathrel{\widehat{=}}& 17\,\text{km}\\[5pt] \dfrac{1}{5}& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{17}{5}\,\text{km}\\[5pt] \dfrac{3}{5} & \mathrel{\widehat{\approx}}& 10,2\,\text{km} \end{array}$

$:5$

$\cdot 3$

$\begin{array}[t]{rll} 6\cdot (x+5)&=& 2x+18 \\[5pt] 6x+30&=&2x+18\quad \scriptsize \mid\; -30 \\[5pt] 6x&=& 2x-12\quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] 4x&=& -12\quad \scriptsize \quad \mid\; :4 \\[5pt] x&=& -3\quad \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}+0,4&=& 2,4\quad \scriptsize \mid\; -0,4 \\[5pt] \sqrt{x}&=&2\quad \scriptsize \mid\; (\,)^2 \\[5pt] x&=& 4\quad \end{array}$

Mit dem Additionsverfahren gilt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad &2x-8y&=& -89 &\\ \text{II}\quad&4x+8y&=& 110 &\quad \\ \hline \scriptsize\text{I}+\text{II}&6x&=& 21 &\quad \scriptsize\mid\;:6\\ &x&=& 3,5 \\ \end{array}$

Einsetzen von $x=3,5$ in $\text{II}:$

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot 3,5+8y&=& 110&\quad \scriptsize \\[5pt] 14+8y&=& 110&\quad \scriptsize \mid\; -14 \\[5pt] 8y&=& 96&\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] y&=& 12\quad \end{array}$

Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(3,5\mid 12)\}$

Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden, identisch sind. Das ist der Fall, wenn die Gleichungen Vielfache voneinander sind. Ein mögliches Gleichungssystem ist also das folgende:

$\begin{vmatrix}y=2x+1\\2y=4x+2\end{vmatrix}$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=25$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=56\, \%$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& \dfrac{25\cdot 56\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 14 \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:100$

$\cdot 56$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 25\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,25\\[5pt] 56\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 14 \end{array}$

$:100$

$\cdot 56$

Es gibt 14 Mädchen in der Klasse 10a.

$28\,\%$ ist die Hälfte von $56\,\%.$ Damit dem halben Prozentsatz auch die halbe Anzahl an Mädchen entspricht, müssen in beiden Klassen gleich viele Schüler*innen sein.

Voraussetzung: Beide Klassen müssen die gleiche Anzahl an Schüler*innen haben.

Lösung mit Dreisatz

$:5$

$\cdot 100$

$\begin{array}{rcl} 5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 25\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 5\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 500 \end{array}$

$:5$

$\cdot 100$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentwert } P=25$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=5\, \%$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{P\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] &=& \dfrac{25\cdot 100\,\%}{5\,\%} \\[5pt] &=& 500 \end{array}$

Die Schule hat 500 Schüler*innen.

Lösung mit Dreisatz

$:25$

$\cdot 4$

$\begin{array}{rcl} 25 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1 & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,\%\\[5pt] 4 & \mathrel{\widehat{=}}& 16\,\% \end{array}$

$:25$

$\cdot 4$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=25$

$\text{Prozentwert } P=4$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P\cdot 100\,\%}{G} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 100\,\%}{25} \\[5pt] &\approx& 16\,\% \end{array}$

$16\,\%$ der Jugendlichen der Klasse 10a haben 2 Geschwister.

Lösung mit Bruch

7 von 25 Schülern haben keine Geschwister.

$\dfrac{7}{25}\cdot 360°=100,8°$

Lösung mit Dreisatz

$:25$

$\cdot 7$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{25}{25} & \mathrel{\widehat{=}}& 360°\\[5pt] \dfrac{1}{25} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{360°}{25}\\[5pt] \dfrac{7}{25} & \mathrel{\widehat{=}}& 100,8° \end{array}$

$:25$

$\cdot 7$

Die Winkelgröße für „null Geschwister“ müsste $100,8°$ betragen. Der Winkel von $7°$ ist also nicht korrekt.

Die Zahl 37 kommt dreimal vor und ist damit der häufigste Wert.

Modalwert: 37

Rangliste erstellen

$35 \quad$ $37 \quad$ $37 \quad$ $37 \quad$ $\boldsymbol{38} \quad$ $\boldsymbol{39} \quad$ $40 \quad$ $41 \quad$ $41 \quad$ $47$

Median berechnen

$\tilde{x}=\dfrac{38+39}{2}=38,5$

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}=39,2$

$\begin{array}[t]{rll} -0,5x+2,5&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +0,5x \\[5pt] 2,5 &=& 0,5x \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 5 &=& x \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstelle bei $x=5.$

Die Koordinaten des Punktes $Q(79\mid -36)$ werden in die lineare Funktionsgleichung eingesetzt.

$\begin{array}[t]{rll} -36&=& -0,5\cdot 79+2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] -36&= & -37 \end{array}$

Die Aussage ist falsch. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden $f.$

Ja, die Geraden schneiden sich, da die Steigung verschieden ist.

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Die Innenwinkelsumme in einem Viereck beträgt $360°.$

$\alpha=360°-133,6°-90°-90°=46,4°$

Flächeninhalt Trapez:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{(a+c)}{2}\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{(17,0\,\text{cm}+67,0\,\text{cm})}{2}\cdot 52,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 2\,205\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $2\,205 \,\text{cm}^2.$

Für die Seitenlängen gilt:

$\(b=b$

$\(a$

Die Seitenlänge $d$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\(\begin{array}[t]{rll} d^2&=& (a$

Damit lässt sich der Umfang berechnen:

Rechenweg anzeigen

$U=209\,\text{cm}$

$f= 7$

$e= 10$

$k= 15$

Volumen des Quaders:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Quader}}&=& a\cdot b\cdot c \\[5pt] &=& 60\,\text{cm}\cdot 120\,\text{cm}\cdot 45\,\text{cm} \\[5pt] &=& 324\,000\,\text{cm}^3 \end{array}$

Grundfläche des Dreiecksprismas:

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 60\,\text{cm} \cdot 23\,\text{cm} \\[5pt] &=& 690\,\text{cm}^2 \end{array}$

Volumen des Dreiecksprismas:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Prisma}}&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 690\,\text{cm}^2\cdot 120\,\text{cm} \\[5pt] &=& 82\,800\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des gesamten Körpers:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{gesamt}}&=& V_{\,\text{Quader}}-V_{\,\text{Prisma}} \\[5pt] &=& 324\,000\,\text{cm}^3-82\,800\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 241\,200\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das gesamte Volumen beträgt $241\,200\,\text{cm}^3.$