Wahlteil B
W1
Vom Punkt P auf der Aussichtsplattform eines Funkturms werden die Punkte 
und 
angepeilt. Die 
voneinander entfernten Punkte und und der Fußpunkt 
bilden eine horizontale Gerade, die parallel zur gestrichelt dargestellten Geraden 
verläuft (siehe Abbildung).
und angepeilt. Die voneinander entfernten Punkte und und der Fußpunkt bilden eine horizontale Gerade, die parallel zur gestrichelt dargestellten Geraden verläuft (siehe Abbildung).
Abbildung nicht maßstabsgerecht
a.
Zeige, dass der Winkel 
eine Größe von 
hat.
eine Größe von hat.
2 Pkt.
b.
Berechne die Länge der Strecke 
Runde auf ganze Meter. Tipp: Berechne zunächst die Länge der Strecke
Runde auf ganze Meter. Tipp: Berechne zunächst die Länge der Strecke
5 Pkt.
c.
Der Punkt soll bei der nächsten Peilung so verschoben werden, dass er genau in der Mitte zwischen den Punkten und liegt.
Berechne, wie lang in diesem Fall die Strecke
ist.
Gib dein Ergebnis in Meter an.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.
soll bei der nächsten Peilung so verschoben werden, dass er genau in der Mitte zwischen den Punkten und liegt.
Berechne, wie lang in diesem Fall die Strecke
ist.
Gib dein Ergebnis in Meter an.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.
5 Pkt.
W2
Aus einem Holzwürfel wird eine größtmögliche, quadratische Pyramide hergestellt. Jede Kante des Holzwürfels ist 12 cm lang.
Holz wiegt 
Holz wiegt
a.
Berechne die Masse dieser Pyramide.
3 Pkt.
b.
Berechne die Oberfläche der Pyramide. Runde auf ganze Quadratzentimeter.
5 Pkt.
c.
Begründe mithilfe der Volumenformeln des Würfels und der Pyramide, warum man bei der Herstellung dieser Pyramide 
des Würfelvolumens als Verschnitt erhält.
des Würfelvolumens als Verschnitt erhält.
3 Pkt.
d.
Stelle dir Folgendes vor:
Die abgebildete Pyramide steht immer noch auf der quadratischen Seitenfläche, ist aber nur noch halb so hoch.
Gib an, wie viele solcher Pyramiden sich dann aus diesem Würfel herstellen lassen.
Die abgebildete Pyramide steht immer noch auf der quadratischen Seitenfläche, ist aber nur noch halb so hoch.
Gib an, wie viele solcher Pyramiden sich dann aus diesem Würfel herstellen lassen.
1 Pkt.
W3
Beim Bau von Brücken haben sich parabelförmige Bögen als besonders stabil erwiesen.
Der Parabelbogen einer Brücke lässt sich mit der Gleichung 
beschreiben. Die Werte für 
und 
werden dabei in Metern angegeben.
beschreiben. Die Werte für und werden dabei in Metern angegeben.
a.
Bestimme die Höhe h des Parabelbogens.
1 Pkt.
b.
Berechne, wie viel Meter die Spannweite s dieses Parabelbogens beträgt.
4 Pkt.
c.
Ein LKW ist 2,60 m breit und 4,00 m hoch. Überprüfe mit einer Rechnung, ob dieser LKW mittig unter dem Parabelbogen hindurchfahren kann, ohne dabei anzustoßen.
Schreibe einen Antwortsatz.
Schreibe einen Antwortsatz.
3 Pkt.
d.
Das Koordinatensystem wird so verschoben, dass sich der Scheitelpunkt der Parabel nun im Punkt 
befindet.
Schreibe die Gleichung auf, mit der sich diese Parabel beschreiben lässt.
befindet.
Schreibe die Gleichung auf, mit der sich diese Parabel beschreiben lässt.
2 Pkt.
e.
Schreibe die Gleichung eines Parabelbogens einer anderen Brücke auf, die im Vergleich zum Parabelbogen mit der Gleichung einen höheren Scheitelpunkt hat und gestauchter (flacher) verläuft.
einen höheren Scheitelpunkt hat und gestauchter (flacher) verläuft.
2 Pkt.
W4
Die abgebildete Skulptur wurde aus zwei Quadern und einer Kugel zusammengesetzt, die übereinander angeordnet sind.
Beide Quader besitzen eine quadratische Grundfläche.
Aus Stabilitätsgründen wurde ein Teil des unteren Quaders im Erdboden versenkt.
Die Skulptur besteht aus Granit, von dem ein Kubikmeter etwa 2500 kg wiegt.
a.
Berechne die Masse der Kugel. Runde dein Ergebnis auf ganze Kilogramm.
Schätze die dazu notwendige Länge.
Schätze die dazu notwendige Länge.
4 Pkt.
b.
Der untere Quader ist 6,5 Tonnen schwer.
Berechne, wie tief dieser Quader im Erdboden versenkt wurde.
Schätze die dazu notwendigen Längen.
Berechne, wie tief dieser Quader im Erdboden versenkt wurde.
Schätze die dazu notwendigen Längen.
5 Pkt.
c.
Damit die Kugel nicht wegrollt, wurde sie oben und unten so abgeflacht, dass sie eine Auflagefläche von je 
hat.
Berechne den Durchmesser einer Auflagefläche.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zentimeter.
hat.
Berechne den Durchmesser einer Auflagefläche.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zentimeter.
3 Pkt.
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W1
a.
Da ein Wechselwinkel zu dem 
-Winkel ist, gilt 
b.
Da 
ein Wechselwinkel zu dem 
-Winkel ist, gilt 
Mit dem Sinussatz folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{AP}}{\sin \beta}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin 14^{\circ}} \\[5pt]
\dfrac{\overline{AP}}{\sin 26^{\circ}}&=& \dfrac{105 \mathrm{~m}}{\sin 14^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 26^{\circ} \\[5pt]
\overline{AP}&=& \dfrac{105 \mathrm{~m}}{\sin 14^{\circ}}\cdot \sin 26^{\circ} \\[5pt]
\overline{AP}&\approx& 190,3\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb92ac532b5251a9121a3f5a5c21c5bf87846cdee22582f139f93671601c5c06_light.svg)
Für die Länge der Strecke 
gilt folglich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \alpha_1 &=& \dfrac{\overline{FP}}{\overline{AP}}\\[5pt]
\sin 40^{\circ} &=& \dfrac{\overline{FP}}{190,3\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 190,3\,\text{m} \\[5pt]
125\,\text{m}&\approx& \overline{FP}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ac4a66add995f5bf81ac61a4c7ae22794064215a070864185d6697e234bd2ca1_light.svg)
ein Wechselwinkel zu dem -Winkel ist, gilt Mit dem Sinussatz folgt:
Für die Länge der Strecke gilt folglich:
c.
Der Winkel 
hat eine Größe von 
Mit dem Sinussatz folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{PB}}{\sin \alpha_2}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin 14^{\circ}} \\[5pt]
\dfrac{\overline{PB}}{\sin 140^{\circ}}&=& \dfrac{105\,\text{m}}{\sin 14^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 140^{\circ} \\[5pt]
\overline{PB}&=& \dfrac{105\,\text{m}}{\sin 14^{\circ}}\cdot \sin 140^{\circ} \\[5pt]
\overline{PB}&\approx& 278,99\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/773d686fa5eb802f16d71d8be113191b0a9295a66d16e2d7f55091157d20867b_light.svg)
Für die Länge der Strecke 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \beta&=& \dfrac{\overline{FB}}{\overline{PB}} \\[5pt]
\cos 26^{\circ}&=& \dfrac{\overline{FB}}{278,99\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 278,99\,\text{m}\\[5pt]
250,75 \,\text{m}&\approx& \overline{FB}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e7b10e3bb0a0dd9d4183d10f559dfd7bbfdb82a421ff2fc9c6dc22034eba1ad5_light.svg)
Die Länge der Strecke 
soll der Hälfte der Länge der Strecke entsprechen.
hat eine Größe von Mit dem Sinussatz folgt:
Für die Länge der Strecke folgt:
Die Länge der Strecke soll der Hälfte der Länge der Strecke entsprechen.
W2
a.
Mit der Formel für das Volumen einer quadratischen Pyramide folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \dfrac{1}{3}\cdot (12\,\text{cm})^2\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 576\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ad7246e4d12d6d73207f6b01419660f1928f792f6b9aba64f1777aa7a754e827_light.svg)
Die Masse der Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=& 576\,\text{cm}^3\cdot 0,5\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt]
&=& 288\,\text{g}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8632afd54080289e67f54ca04390b1c1a989d5c9a46e027ce239073839df26ed_light.svg)
Die Masse der Pyramide lässt sich damit wie folgt berechnen:
b.
Die Höhe eines Dreiecks der Seitenflächen lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_a^2&=& \left(\dfrac{12}{2}\,\text{cm}\right)^2+(12 \,\text{cm})^2 \\[5pt]
h_a^2&=& 180 \,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
h_a&\approx& 13,42\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/058fca535681b432e1ce420b80bde2a93ccab1023e452503b0269729ee732c95_light.svg)
Skizze
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=& a^2+4 \cdot \dfrac{a \cdot h_{a}}{2} \\[5pt]
&=& (12\,\text{cm})^2+4 \cdot \dfrac{12\,\text{cm} \cdot 13,42\,\text{cm}}{2}\\[5pt]
&\approx& 466\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c2b5ee40d0c181cea4fc663ea46ac28727434ce1105b771f7853ed84712b005e_light.svg)
c.
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\text {Verschnitt }}&=& V_{\text {Würfel }}-V_{\text {Pyramide }} \\[5pt]
&=& a^3-\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a \\[5pt]
&=& \dfrac{2}{3}\cdot a^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bbfb33f1a67bd3e00245cacc2c4f6d9f22b1a054a6c563164c26406ab52a82a1_light.svg)
Der Verschnitt entspricht des Würfelvolumens.
d.
6 Pyramiden
W3
a.
Die Höhe des Parabelbogens ist durch den Wert von an der Stelle 
gegeben:
Der Parabelbogen ist 4,8 Meter hoch.
an der Stelle gegeben:
Der Parabelbogen ist 4,8 Meter hoch.
b.
Nullstellen von berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-0,3x^2+4,8&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -4,8 \\[5pt]
-0,3x^2&=& -4,8 \quad \scriptsize \mid\; :(-0,3) \\[5pt]
x^2&=& 16 \\[5pt]
x_1&=& 4 \\[5pt]
x_2&=& -4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b49743d6371d24d664ad36a0e6f3cdefe5d3f0987aea2d8ffca1f2443326d8f0_light.svg)
Spannweite berechnen:
Die Spannweite beträgt 8 Meter.
berechnen:
Spannweite berechnen:
Die Spannweite beträgt 8 Meter.
c.
Die Außenseiten des LKW befinden sich an den Stellen 
Höhe des Parabelbogens an diesen Stellen:
Der LKW ist nur 4 Meter hoch.
Der LKW kann durch den Parabelbogen fahren.
Höhe des Parabelbogens an diesen Stellen:
Der LKW ist nur 4 Meter hoch.
Der LKW kann durch den Parabelbogen fahren.
d.
e.
Möglich ist jede Gleichung der Form 
mit 
und 
Eine Möglichkeit ist zum Beispiel 
mit und
Eine Möglichkeit ist zum Beispiel
W4
a.
Radius der Kugel schätzen: 
Volumen der Kugel berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_K&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r_K^3 \\[5pt]
&\approx& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (0,5\,\text{m})^3 \\[5pt]
&=& 0,524 \,\text{m}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/05662909509a12118483868736efef2f8f68b307c106a89f0d98a7d07970cd34_light.svg)
Masse der Kugel berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_K&\approx& 0,524 \,\text{m}^3\cdot 2\,500\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \\[5pt]
&\approx& 1\,310\,\text{kg}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/03549856a191f27ba954866002f45f1ec5e3c6d9481a34be2104663fa768d3dd_light.svg)
Die Kugel hat ungefähr eine Masse von 1310 Kilogramm.
Volumen der Kugel berechnen:
Masse der Kugel berechnen:
Die Kugel hat ungefähr eine Masse von 1310 Kilogramm.
b.
Volumen des Quaders berechnen: 
Breite und Tiefe des Quaders schätzen: 
Die Höhe 
des Quaders lässt sich damit wie folgt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h&=& \dfrac{2,6 \mathrm{~m}^3}{a \cdot b} \\[5pt]
&\approx& \dfrac{2,6 \mathrm{~m}^3}{1,00\,\text{m}^2}\\[5pt]
&=& 2,6\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4419ba92e565c5aff7907e1ce7751799bcbeafa9d533ea46097aed0525d41e29_light.svg)
Die sichtbare Höhe des Quaders beträgt schätzungsweise ungefähr 1,80 Meter.
Der Quader wurde also ungefähr 
im Boden versenkt.
Breite und Tiefe des Quaders schätzen:
Die Höhe des Quaders lässt sich damit wie folgt berechnen:
Die sichtbare Höhe des Quaders beträgt schätzungsweise ungefähr 1,80 Meter.
Der Quader wurde also ungefähr im Boden versenkt.
c.
Die Kugel hat eine kreisförmige Auflagefläche von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pi\cdot r^2&=& 80\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt]
r^2&\approx& 25,46\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
r&\approx& 5 \,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/07cdedb9cdab60569c5bb3912471ac4920b4907836ff1fa9581f269fe5441994_light.svg)
Der Durchmesser einer Auflagefläche beträgt 
Der Durchmesser einer Auflagefläche beträgt