Wahlteil B

Die Abbildung zeigt das Trapez $ABCD.$
Die Strecke $\overline{AE}$ teilt dieses Trapez in das rechtwinklige Dreieck $AED$ und in das Parallelogramm $ABCE.$

Wahlteil Realschulabschluss Hessen 2022 Winkel Strecke Vieleck

Abbildung nicht maßstabsgerecht und nicht winkeltreu

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AE}.$
Gib dein Ergebnis in ganzen Zentimetern an.

2 Pkt.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $ABCD.$
Gib dein Ergebnis in ganzen Quadratzentimetern an.

Tipp: Berechne zuerst die Höhe $\overline{AD}$ des Trapezes.

5 Pkt.

Berechne die Länge der Diagonalen $\overline{BE}$ des Parallelogramms $ABCE.$
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

4 Pkt.

Begründe, warum das Dreieck $BCE$ nicht gleichschenklig ist.

1 Pkt.

Die abgebildete Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion, die durch die Gleichung $y=x^2+4x$ beschrieben wird.

Hessen Realschulabschluss 2022 Wahlaufgaben Funktion Graph Koordinatensystem

Lies die Nullstellen dieser Funktion ab.

2 Pkt.

Bestimme die Scheitelpunktform dieser Funktion.

2 Pkt.

Die Gerade mit der Gleichung $y=2x+15$ schneidet diese Parabel in zwei Punkten.
Berechne die $x$ -Koordinaten der beiden Punkte.

5 Pkt.

Von einer anderen quadratischen Funktion sind folgende Informationen bekannt:

Der Graph der Funktion ist eine verschobene Normalparabel.
Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.
Die Funktion hat die Nullstellen $x_1=-5$ und $x_2=-3.$

Bestimme die Gleichung dieser Funktion und gib diese in der Scheitelpunktform an.

3 Pkt.

In einer vollen Lostrommel befinden sich 200 Lose.
Es gibt 20 Lose mit Gewinnen, alle anderen Lose sind Nieten.

Gewinne:
10 Kugelschreiber, 6 Tassen, 3 Fußballtrikots, 1 Eintrittskarte für ein Fußballspiel

Aus der vollen Lostrommel wird einmal gezogen. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, die Eintrittskarte für ein Fußballspiel zu gewinnen.

1 Pkt.

Die Lostrommel ist voll. Fabian zieht nacheinander zwei Lose.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er nur Nieten zieht.

2 Pkt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er genau ein Los mit einem Gewinn zieht.

3 Pkt.

Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, damit man mit Sicherheit einen Gewinn hat?

2 Pkt.

Formuliere ein Ereignis zu dieser vollen Lostrommel, dessen Wahrscheinlichkeit man mit dem Term $\frac{3}{200} \cdot \frac{180}{199}$ berechnen kann.

2 Pkt.

In die volle Lostrommel wird ein weiteres Gewinnlos dazugegeben.
Wie viele Lose mit Nieten müssten in die Lostrommel gegeben werden, damit sich die Wahrscheinlichkeit für ein Los mit Gewinn nicht ändert?

2 Pkt.

Bestimme die Werte für $a,\,b$ und $c$ in den folgenden drei Gleichungen.

$11^{-8} \cdot 11^{12}=11^a$

1 Pkt.

$\left(7,5^4\right)^b=7,5^8$

1 Pkt.

$x^c: x^9=x^{-6}$

1 Pkt.

Schreibe die Zahl $8$ als Potenz.

1 Pkt.

Schreibe $\dfrac{1}{25}$ als Potenz mit negativem Exponenten.

1 Pkt.

Es soll gelten: $x^2>x^3\,\,\,(x>0)$
Gib eine Zahl für $x$ an, damit die Aussage wahr ist.

1 Pkt.

Bei der wissenschaftlichen Schreibweise werden die Zahlen als Produkt einer Dezimalzahl mit genau einer Ziffer (ungleich Null) vor dem Komma und einer Zehnerpotenz geschrieben.

Berechne und gib dein Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an.

$7,5 \cdot 10^{25} \cdot 1,2 \cdot 10^{-17}$

1 Pkt.

Schreibe die Zahl in der wissenschaftlichen Schreibweise.

$14,3 \,\text{Milliarden}$

1 Pkt.

Nimm an, die Sonne ist eine Kugel mit einem Radius von $7 \cdot 10^8\,\text{m}.$
$1\,\text{m}^3$ der Sonne wiegt $1\,408\,\text{kg}.$ Berechne die Masse der Sonne.
Gib dein Ergebnis in der wissenschaftlichen Schreibweise an.
Runde die Dezimalzahl vor der Zehnerpotenz auf zwei Stellen nach dem Komma.

4 Pkt.

Bei einer Kerze aus Paraffin verbrennen in jeder Stunde etwa $7,5\,\text{g}.$
Ein Kubikzentimeter Paraffin wiegt $0,9\,\text{g}.$

Steffi hat sich die abgebildete Kerze aus Paraffin gekauft. Berechne die ungefähre Brenndauer dieser Kerze.
Runde dein Ergebnis auf ganze Stunden.

Schätze geeignete Längen in der Abbildung und rechne damit.

5 Pkt.

Um welchen Faktor erhöht sich die Brenndauer einer zylinderförmigen Kerze aus Paraffin, wenn der Radius verdoppelt wird?

2 Pkt.

Steffi möchte selbst eine kugelförmige Kerze aus Paraffin herstellen. Diese Kerze soll eine Brenndauer von 100 Stunden haben. Berechne den Radius dieser Kerze. Runde dein Ergebnis auf ganze Zentimeter.

5 Pkt.

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$\begin{array}[t]{rll} \cos(70^{\circ})&=& \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AE} \\[5pt] \cos(70^{\circ})\cdot \overline{AE}&=& \overline{DE} \quad\scriptsize \mid\;:\cos(70^{\circ}) \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{\overline{DE}}{\cos(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{24\,\text{cm}}{\cos(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{AE}&\approx& 70\,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $\overline{AE}$ ist ungefähr $70 \,\text{cm}$ lang.

Die Länge der Strecke $\overline{AD}$ kann beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2+\overline{DE}^2&=& \overline{AE}^2 \quad \scriptsize \mid\;-\overline{DE}^2 \\[5pt] \overline{AD}^2 &=& \overline{AE}^2-\overline{DE}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AD} &=& \sqrt{\overline{AE}^2-\overline{DE}^2} \\[5pt] \overline{AD} &=& \sqrt{(70\,\text{cm})^2-(24\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AD} &\approx& 65,757\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\overline{DE}+\overline{CE} \\[5pt] &=& 24\,\text{cm}+52\,\text{cm} \\[5pt] &=& 76\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Trapezes:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}\cdot \overline{AD} \\[5pt] &=& \dfrac{52\,\text{cm}+76\,\text{cm}}{2}\cdot 65,757\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 4\,208\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Trapez hat einen Flächeninhalt von $4\,208\,\text{cm}^2.$

Der $70^{\circ}$ -Winkel ist ein Wechselwinkel von $\alpha_2.$ Somit gilt: $\alpha_2=70^{\circ}$

Der $43°$ -Winkel ist ein Wechselwinkel von $\varepsilon_1.$ Somit gilt: $\varepsilon_1=43°$

Mit dem Sinussatz im Dreieck $ABE$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{\overline{BE}}}{\sin\alpha_2}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin\varepsilon_1} \\[5pt] \dfrac{\overline{\overline{BE}}}{\sin 70°}&=& \dfrac{52\,\text{cm}}{\sin 43°} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 70° \\[5pt] \overline{\overline{BE}}&=& \dfrac{52\,\text{cm}}{\sin 43°}\cdot \sin 70° \\[5pt] \overline{BE}&\approx& 71,6\,\text{cm} \end{array}$

Die Diagonale $\overline{BE}$ ist ungefähr $71,6\,\text{cm}$ lang.

Für die Seitenlängen gilt:

$\overline{BC}=\overline{AE}\approx 70\,\text{cm}$
$\overline{BE} \approx 71,6\,\text{cm}$
$\overline{EC}=52\,\text{cm}$

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Daher kann das Dreieck $BCE$ nicht gleichschenklig sein.

$x_1=-4 \quad x_2= 0$

Der Scheitelpunkt kann abgelesen werden: $S(-2|-4)$

Damit kann die Scheitelpunktform aufgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-(-2))^2+(-4) \\[5pt] y&=& (x+2)^2-4 \end{array}$

Gleichsetzen der Funktionen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2+4x&=& 2x+15 \quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] x^2+2x&=& 15 \quad \scriptsize \mid\;-15 \\[5pt] x^2+2x-15&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-15)} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{16} \\[5pt] x_1&=& -1+4=3 \\[5pt] x_2&=& -1-4=-5 \\[5pt] \end{array}$

Die Funktionen schneiden sich bei $x_1=3$ und $x_2=-5.$

Anlegen der Normalparabel liefert den Scheitelpunkt $S(-4\mid 1).$ Damit lässt sich die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-(-4))+1 \\[5pt] y&=& -(x+4)+1 \end{array}$

Anzahl Lose Eintrittskarte: $1$

Anzahl aller Lose: $200$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Eintrittskarte}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl Lose Eintrittskarte}}{\text{Anzahl aller Lose}} \\[5pt] =& \dfrac{1}{200} \\[5pt] =& 0,005 \\[5pt] =& 0,5\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen das Gewinnlos mit Eintrittskarte zu ziehen, beträgt $0,5\,\%.$

Anzahl Nieten: $200-20=180$

Anzahl Lose insgesamt: $200$

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \text{P(zwei Nieten)}&=& \dfrac{180}{200}\cdot \dfrac{179}{199} & \\[5pt] &\approx& 0,81 \\[5pt] &=& 81\,\% \end{array}$

Anzahl Gewinnlose: $20$

Anzahl Nieten: $180$

Anzahl Lose insgesamt: $200$

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &\text{P( genau ein Gewinn)} \\[5pt] =& P(\text{Gewinn, Niete})+ P(\text{Niete, Gewinn}) \\[5pt] =& \dfrac{20}{200}\cdot \dfrac{180}{199}+\dfrac{180}{200}\cdot \dfrac{20}{199} \\[5pt] \approx& 0,181 \\[5pt] =& 18,1\,\% \end{array}$

Um sicher gehen zu können, dass mindestens ein Gewinn dabei ist, muss man mindestens 181 Lose kaufen.

Ereignis: „Aus der vollen Lostrommeln wird zuerst ein Los für ein Fußballtrikot und anschließend eine Niete gezogen.“

Mit dem Dreisatz gilt:

$:20$

$\cdot 21$

$\begin{array}{rcl} 20 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 200 \,\text{Lose}\\[5pt] 1 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 10 \,\text{Lose}\\[5pt] 21 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 210 \,\text{Lose} \end{array}$

$:20$

$\cdot 21$

In der Lostrommel müssen sich insgesamt also 210 Lose befinden. Somit müssen $210-201=9$ Nieten hinzugefügt werden.

$\begin{array}[t]{rll} 11^{-8}\cdot 11^{12}&=& 11^a \\[5pt] 11^{-8+12}&=& 11^a \\[5pt] 11^4&=& 11^a \\[5pt] 4&=& a \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \left(7,5^4\right)^b&=& 7,5^8 \\[5pt] 7,5^{4\cdot b}&=& 7,5^8 \\[5pt] 4\cdot b&=& 8 \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] b&=& 2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^c:x^9&=& x^{-6} \\[5pt] x^{c-9}&=& x^{-6} \\[5pt] c-9&=& -6 \quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] c&=& 3 \end{array}$

$8 = 2\cdot 2\cdot 2=2^3$

oder

$8=8^1$

$\dfrac{1}{25}= \dfrac{1}{5^2}=5^{-2}$

oder

$\dfrac{1}{25}=25^{-1}$

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&\gt& x^3 \quad \scriptsize \mid\; :x^2 \\[5pt] 1&\gt& x \end{array}$

Wegen $x\gt 0$ gilt die Ungleichung also für alle $x$ mit $0\lt x \lt 1.$

Ein möglicher Wert für $x$ ist daher beispielsweise $x=\dfrac{1}{2}.$

$\quad 7,5 \cdot 10^{25}\cdot 1,2\cdot 10^{-17}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& 7,5 \cdot 1,2\cdot 10^{25}\cdot 10^{-17} \\[5pt] &=& 9 \cdot 10^{25-17} \\[5pt] &=& 9 \cdot 10^8 \end{array}$

$\quad 14,3 \,\text{Milliarden}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& 14\,300\,000\,000 \\[5pt] &=& 1,43\cdot 10^{10} \end{array}$

Volumen der Sonne:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (7\cdot 10^8\,\text{m})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot 7^3\cdot 10^{8\cdot 3}\,\text{m}^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx & 1436 \cdot 10^{24} \,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 1,436 \cdot 10^{27}\,\text{m}^3 \end{array}$

Masse der Sonne:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 1,436 \cdot 10^{27}\,\text{m}^3 \cdot 1\,408\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,436 \cdot 10^{27} \cdot 1,408\,\cdot 10^3\,\text{kg}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 2,02 \cdot 10^{30}\,\text{kg} \end{array}$

Die Masse der Sonne beträgt rund $2,02\cdot 10^{30} \,\text{kg}.$

Geschätzter Durchmesser: $7\,\text{cm}$

Geschätzte Höhe: $20 \,\text{cm}$

Volumen der Kerze berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{7\,\text{cm}}{2}\right)^2\cdot 20\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 769,69 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Masse der Kerze berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 769,69 \,\text{cm}^3 \cdot 0,9\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 692,72 \,\text{g} \end{array}$

Brenndauer berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} t&=& 692,72\,\text{g}:7,5\,\dfrac{\text{g}}{\text{h}} \\[5pt] &\approx& 92 \,\text{h} \end{array}$

Die Kerze hat also eine Brenndauer von ungefähr 92 h.

Volumen der Kerze: $V_1=\pi\cdot r^2\cdot h$

Volumen nach Verdopplung des Radius:

$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \pi\cdot (2r)^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot 4r^2\cdot h \\[5pt] &=& 4\cdot \pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=& 4\cdot V_1 \end{array}$

Das Volumen der Kerze vervierfacht sich. Damit vervierfacht sich auch die Brenndauer der Kerze.

Masse einer Kerze mit 100 Stunden Brenndauer:

$m=100\,\text{h}\cdot 7,5\,\dfrac{\text{g}}{\text{h}}=750\,\text{g}$

Volumen einer kugelförmigen Kerze aus Paraffin, die $750\,\text{g}$ wiegt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& V\cdot \rho \quad \scriptsize \mid\;:\rho \\[5pt] \dfrac{m}{\rho}&=& V \\[5pt] \dfrac{750\,\text{g}}{0,9\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}&=& V \\[5pt] 833,33\,\text{cm}^3&\approx& V \end{array}$

Mit der Formel für das Volumen einer Kugel lässt sich der Radius der Kerze berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3&=& 833,33\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \mid\; :\left(\dfrac{4}{3}\cdot \pi\right) \\[5pt] r^3&=& 833,33\,\text{cm}^3\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{\pi} \\[5pt] r^3&\approx& 198,943 \,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,} \\[5pt] r&\approx& 6\,\text{cm} \end{array}$

Die Kerze hat ungefähr einen Durchmesser von $6\,\text{cm}.$

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