Pflichtaufgaben

Berechne.

$55\,\text{cm}+7\,\text {mm}$

1 Pkt.

$7,8\,\text{kg}+225\,\text{g}$

1 Pkt.

$1\dfrac{1}{2}\,\text{h}+3\,\text{min}$

1 Pkt.

$\dfrac{3}{7}$ von $42\,\ell$

1 Pkt.

$\dfrac{2}{3}$ einer Strecke sind $600 \,\text{m}.$ Gib die Länge der gesamten Strecke an.

1 Pkt.

Waldstadt hatte im Jahr 2021 die höchsten Geburtszahlen seit dem Jahr 1965. Im Jahr 2021 wurden 4220 Mädchen und Jungen geboren. Davon waren 45 % Mädchen.
Von den im Jahr 2021 geborenen Mädchen und Jungen haben 2276 nur einen einzigen Vornamen erhalten.
Im Jahr 2021 wurden 5,5 % mehr Mädchen und Jungen als im Jahr 2020 geboren.

Berechne die Anzahl der Jungen, die 2021 in Waldstadt geboren wurden.

3 Pkt.

Berechne, wie viel Prozent der im Jahr 2021 geborenen Mädchen und Jungen in Waldstadt nur einen einzigen Vornamen erhalten haben.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

2 Pkt.

Berechne, wie viele Mädchen und Jungen im Jahr 2020 in Waldstadt geboren wurden.

3 Pkt.

Löse die Klammer des untenstehenden Terms auf und fasse soweit wie möglich zusammen.

$3 \cdot (x+5)-8x$

2 Pkt.

„Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat einem Umfang von $20 \,\text{cm}.$ Die Seite $a$ ist $4 \,\text{cm}$ kürzer als die Seite $b."$

Zwei der folgenden Gleichungen treffen auf dieses Rechteck zu.
Schreibe diese beiden Gleichungen auf.

$a+b=20$

$2 (a+b)=20$

$a \cdot b=20$

$a=b-4$

$a-b=4$

$b=a-4$

2 Pkt.

Löse das folgende Gleichungssystem.

$\left|\begin{array}{lrll} y&=& 4x + 6 \\ y&=& 3x - 2 \\ \end{array}\right|$

4 Pkt.

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem. Wähle $m$ und $n$ so, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Notiere $m$ und $n.$

$\left|\begin{array}{lrll} y&=& 4x + 6 \\ y&=& mx + n \\ \end{array}\right|$

2 Pkt.

In einer Lerngruppe wurden alle Schultaschen der Kinder gewogen. Die Ergebnisse sind in der Tabelle festgehalten. Alle Werte sind in Kilogramm angegeben.

$3,9$
$4,0$
$2,9$
$3,3$
$4,3$
$2,7$
$3,9$
$2,8$
$4,2$
$3,4$

Erstelle eine Rangliste.

1 Pkt.

Bestimme die Spannweite.

1 Pkt.

Berechne das arithmetische Mittel (Durchschnitt).

2 Pkt.

Berechne den Zentralwert (Median).

2 Pkt.

Zwei Kinder kamen zu spät zum Unterricht. Ihre Schultaschen wogen $2,7\,\text{kg}$ und $6,5\,\text{kg}.$
Welchen Einfluss haben diese Werte auf den Zentralwert?
Notiere den Lösungsbuchstaben.

A $\quad$ Der Zentralwert wird größer.
B $\quad$ Der Zentralwert wird kleiner.
C $\quad$ Der Zentralwert bleibt gleich.

1 Pkt.

Die Gerade $g$ ist der Graph der linearen Funktion mit der Gleichung $y=-0,5 x+3.$

Berechne die Nullstelle dieser Funktion.

2 Pkt.

Der Punkt $P (12 \mid y )$ liegt auf der Geraden $g.$ Bestimme die $y$ -Koordinate dieses Punktes.

1 Pkt.

Gib die Gleichung der Geraden $h$ an, die durch den Punkt $R (0 \mid-1,5)$ und parallel zur Geraden $g$ verläuft.

2 Pkt.

Zeichne das Dreieck $ABC$ nach folgender Konstruktionsbeschreibung.

(1)

Zeichne die Strecke $\overline{AB}=8 \,\text{cm}.$

(2)

Zeichne die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}.$

(3)

Die Strecke $\overline{AB}$ ist der Durchmesser eines Halbkreises.
Zeichne diesen Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ ein.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Halbkreis ist der Punkt $C.$

(4)

Vervollständige deine Zeichnung zum Dreieck $ABC.$ Beschrifte die Eckpunkte.

4 Pkt.

Im abgebildeten Dreieck $ABC$ ist parallel zu $\overline{AB}$ eine Strecke eingezeichnet.
Bestimme $\beta,\,\gamma$ und $\delta.$

Abbildung nicht maßstabsgerecht

3 Pkt.

Die Abbildung zeigt ein Drachenviereck mit seinen Diagonalen.

Abbildung nicht maßstabsgerecht

Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks.

2 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $x.$

4 Pkt.

Welche zwei Aussagen gelten für das abgebildete Drachenviereck?
Notiere die passenden Buchstaben.

A $\,$ Die Diagonalen sind senkrecht zueinander.
B $\,$ Das Drachenviereck hat genau zwei Symmetrieachsen.
C $\,$ Die längere Diagonale halbiert die kürzere Diagonale.
D $\,$ Das Drachenviereck ist punktsymmetrisch.
E $\,$ Die Innenwinkel sind gleich groß.

2 Pkt.

Ein Würfel aus Kupfer mit der Kantenlänge $8\,\text{cm}$ wurde eingeschmolzen.
Das eingeschmolzene Kupfer wurde vollständig zu einem Zylinder und einem kleineren Würfel verarbeitet (siehe Abbildungen). Der Zylinder ist $8\,\text{cm}$ hoch und hat einen Durchmesser von ebenfalls $8\,\text{cm}.$

Berechne die Kantenlänge $a$ des kleinen Würfels.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

6 Pkt.

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$\begin{array}[t]{rll} & 55\,\text{cm} + 7\,\text{mm} \\[5pt] =& 550 \,\text{mm}+7 \,\text{mm} \\[5pt] =& 557 \,\text{mm}=55,7\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & 7,8 \,\text{kg}+225\,\text{g} \\[5pt] =& 7\,800 \,\text{g}+225\,\text{g} \\[5pt] =& 8025 \,\text{g}=8,025\,\text{kg} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} & 1\dfrac{1}{2}\,\text{h}+3\,\text{min} \\[5pt] =& 90\,\text{min} + 3\,\text{min} \\[5pt] =& 93\,\text{min} \end{array}$

Lösung mit Bruch

$42\,\ell\cdot \dfrac{3}{7}=\dfrac{42\,\ell\cdot 3}{7}=\dfrac{126\,\ell}{7}=18\,\ell$

Lösung mit Dreisatz

$:7$

$\cdot\, 3$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{7}{7} & \mathrel{\widehat{=}}& 42\,\ell\\[5pt] \dfrac{1}{7} & \mathrel{\widehat{=}}& 6\,\ell\\[5pt] \dfrac{3}{7}& \mathrel{\widehat{=}}& 18\,\ell \end{array}$

$:7$

$\cdot \,3$

Lösung mit Bruch

$600\,\text{m}:\dfrac{2}{3}=600\,\text{m}\cdot \dfrac{3}{2}=900\,\text{m}$

Lösung mit Dreisatz

$:2$

$\cdot \,3$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{3}& \mathrel{\widehat{=}}& 600\,\text{m}\\[5pt] \dfrac{1}{3} & \mathrel{\widehat{=}}& 300\,\text{m}\\[5pt] \dfrac{3}{3} & \mathrel{\widehat{=}}& 900\,\text{m} \end{array}$

$:2$

$\cdot\, 3$

Im Jahr 2021 waren $100\,\%-45\,\%=55\,\%$ der Neugeborenen Jungen.

Lösung mit Dreisatz

$:100$

$\cdot \, 55$

$\begin{array}{rcl} 100 \,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,220\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 42,2\\[5pt] 55\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 2\,321 \end{array}$

$:100$

$\cdot \, 55$

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=4\,220$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=55\, \%$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{G\cdot p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& \dfrac{4\,220\cdot 55\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 2\,321 \end{array}$

Im Jahr 2021 wurden in Waldstadt $2\,321$ Jungen geboren.

Lösung mit Dreisatz

$: 4\,220$

$\cdot 2\,276$

$\begin{array}{rcl} 4\,220 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{4\,220}\,\% \\[5pt] 2\,276 & \mathrel{\widehat{=}}& 53,9\,\% \end{array}$

$:4\,220$

$\cdot 2\,276$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert }G=4\,220$

$\text{Prozentwert }P=2\,276$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P \cdot 100 \%}{G} \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{2\,276 \cdot 100 \%}{4\,220} \\[5pt] p\,\%&=& 53,9\,\% \end{array}$

$53,9 \,\%$ der im Jahr 2021 geborenen Mädchen und Jungen haben nur einen einzigen Vornamen erhalten.

Lösung mit Bruch

$\dfrac{4\,220}{1,055}=4\,000$

Lösung mit Dreisatz

$:105,5$

$\cdot 100$

$\begin{array}{rcl} 105,5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,220\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 40\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,000 \end{array}$

$:105,5$

$\cdot 100$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Prozentsatz }p\,\%=105,5\,\%$

$\text{Prozentwert }P=4\,220$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{P \cdot 100 \%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{4\,220 \cdot 100 \%}{105,5\,\%} \\[5pt] G&=& 4\,000 \end{array}$

Im Jahr 2020 wurden in Waldstadt $4\,000$ Mädchen und Jungen geboren.

$\begin{array}[t]{rll} & 3\cdot (x+5)-8x \\[5pt] =& 3x +3\cdot 5-8x \\[5pt] =& 3x+15-8x&\quad \scriptsize \\[5pt] =& -5x+15 \end{array}$

„Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat einen Umfang von $20\,\text{cm}.$ “: $\quad2(a+b)=20$

„Die Seite $a$ ist $4\,\text{cm}$ kürzer als die Seite $b.$ “: $\quad a=b-4$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& 4x + 6 \\ \text{II}\quad&y&=& 3x-2 \\ \hline \text{I}-\text{II}\quad&0&=& x + 8 &\quad \scriptsize\mid\;-8\\ \quad& x&=&-8 \end{array}$

$x=-8$ in $\,\text{II}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3\cdot (-8)-2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -24-2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -26 \end{array}$

$\mathbb{L}=\{(-8 \mid -26)\}$

Damit das Gleichungssystem keine Lösung hat, müssen die zu den Gleichungen gehörenden Geraden parallel, aber nicht identisch sein.

Zwei Geraden sind dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben.
Somit gilt: $m=4$

Damit die Geraden nicht identisch sind, müssen sie sich im $y$ -Achsenabschnitt unterscheiden. Für $n$ ist also jeder Wert ungleich $6$ möglich.
Eine Möglichkeit ist zum Beispiel $n=2.$

$2,7 \quad$ $2,8 \quad$ $2,9 \quad$ $3,3 \quad$ $3,4 \quad$ $3,9 \quad$ $3,9 \quad$ $4,0 \quad$ $4,2 \quad$ $4,3$

$\begin{array}[t]{rll} R&=& x_{\text{max}}-x_{\text{min}} \\[5pt] &=& 4,3-2,7 \\[5pt] &=& 1,6 \end{array}$

Die Spannweite beträgt $1,6\,\text{kg}.$

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}=3,54$

Das arithmetische Mittel beträgt $3,54\,\text{kg}.$

Rangliste:

$2,7 \quad$ $2,8 \quad$ $2,9 \quad$ $3,3 \quad$ $\boldsymbol{3,4} \quad$ $\boldsymbol{3,9} \quad$ $3,9 \quad$ $4,0 \quad$ $4,2 \quad$ $4,3$

Median berechnen:

$\tilde{x}=\dfrac{3,4+3,9}{2}=3,65$

Der Median beträgt $3,65\,\text{kg}.$

Ergänzte Rangliste:

$2,7 \quad$ $2,7 \quad$ $2,8 \quad$ $2,9 \quad$ $3,3 \quad$ $\boldsymbol{3,4} \quad$ $\boldsymbol{3,9} \quad$ $3,9 \quad$ $4,0 \quad$ $4,2 \quad$ $4,3 \quad$ $6,5$

C $\quad$ Der Zentralwert bleibt gleich.

$y=0$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -0,5x+3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] -0,5x&=& -3&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] x&=& 6 \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstelle bei $x=6.$

$x=12$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,5\cdot 12+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -6+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -3 \end{array}$

Die zugehörige $y$ -Koordinate ist $y=-3.$

Allgemeine Geradengleichung: $y=mx+b$

Da die Gerade $h$ parallel zur Geraden $g$ verläuft, hat sie die gleiche Steigung: $m=-0,5$

Um den Wert $b$ zu berechnen, werden die Koordinaten von $R (0 \mid-1,5)$ und $m=-0,5$ in die allgemeine Geradengleichung eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} -1,5&=&-0,5\cdot 0+b \\[5pt] -1,5&=& b \end{array}$

Somit gilt für die Funktionsgleichung der Geraden $h:$

$y=-0,5x-1,5$

$\beta$ ist ein Stufenwinkel zum $35^{\circ}$ -Winkel. Deswegen gilt: $\beta=35^{\circ}$

Für den Winkel $\gamma$ gilt mit der Innenwinkelsumme im Dreieck $ABC:$

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& 180^{\circ}-60^{\circ}-\beta \\[5pt] &=& 180^{\circ}-60^{\circ}-35^{\circ}\\[5pt] &=& 85^{\circ} \end{array}$

Der Winkel $\delta$ ist ein Nebenwinkel zum $35°$ -Winkel. Daher gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \delta&=& 180^{\circ}-35^{\circ}\\[5pt] &=& 145^{\circ} \end{array}$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks gilt mit den Diagonalen $e$ und $f:$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{e\cdot f}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{40\,\text{cm}\cdot 60\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{2\,400\,\text{cm}^2}{2} \\[5pt] &=& 1\,200\,\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Seitenlängen gilt:

$a=60\,\text{cm}-12\,\text{cm}=48\,\text{cm}$

$b=\dfrac{40\,\text{cm}}{2}=20\,\text{cm}$

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& a^2 + b^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2&=& (48\,\text{cm})^2 + (20\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x&=& \sqrt{(48\,\text{cm})^2 + (20\,\text{cm})^2} \\[5pt] x&=& 52 \,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $x$ ist $52 \,\text{cm}$ lang.

A $\quad$ Die Diagonalen sind senkrecht zueinander.
C $\quad$ Die längere Diagonale halbiert die kürzere Diagonale.

Volumen des großen Würfels:

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& 8\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 512 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des Zylinders:

$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \pi \cdot r^2\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{8\,\text{cm}}{2}\right)^2\cdot 8\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi \cdot (4\,\text{cm})^2\cdot 8\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx & 402,12 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des kleinen Würfels:

$\begin{array}[t]{rll} V_3&=& 512\,\text{cm}^3-402,12\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 109,88\,\text{cm}^3 \end{array}$

Seitenlänge $a$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_3&=&a^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] \sqrt[3]{V_3}&=& a &\\[5pt] \sqrt[3]{109,88\,\text{cm}^3}&=& a \\[5pt] 4,8 \,\text{cm}&\approx& a \end{array}$

Der kleine Würfel hat eine Kantenlänge von $4,8\,\text{cm}.$

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