Wahlaufgaben

Die Zeichnung zeigt das Dreieck $ABC.$
Auf der Strecke $\overline{BC}$ befinden sich die Punkte $E$ und $M.$
Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BE}.$

Zeichnung nicht maßstabgetreu und nicht winkelgetreu

Berechne die Länge der Strecke $\overline{BM}.$
Gib dein Ergebnis in Zentimeter an. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

3 Pkt.

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CE}.$
Gib dein Ergebnis in Zentimeter an. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

6 Pkt.

Auf der Strecke $\overline{BC}$ soll der Punkt $E$ so verschoben werden, dass das Dreieck $ABE$ gleichschenklig ist.

Wie groß ist in diesem Dreieck der Winkel im Punkt $A,$ wenn das Dreieck die Basis $\overline{AB}$ besitzt?

1 Pkt.

Wie groß ist in diesem Dreieck der Winkel im Punkt $A,$ wenn das Dreieck die Basis $\overline{AE}$ besitzt?

2 Pkt.

Im Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion eingezeichnet.
Die Parabel wird durch die Gleichung $y=x^2+3x-6,75$ beschrieben.

Lies aus der Zeichnung die Koordinaten des Scheitelpunktes ab und schreibe die Gleichung der Parabel in der Scheitelpunktform auf.

2 Pkt.

Der Punkt $P(-7 \mid y)$ liegt auf der Parabel.
Berechne den fehlenden $y$ -Wert.

1 Pkt.

Die Punkte $A(0,5 \mid-5)$ und $B(x\mid-5)$ sind verschiedene Punkte dieser Parabel.
Bestimme den fehlenden $x$ -Wert.
Du kannst die Symmetrieeigenschaften der Parabel nutzen.

1 Pkt.

Berechne die Nullstellen dieser Funktion.

4 Pkt.

Eine andere Parabel wird durch die Gleichung $y=-(x+2)^2-3$ beschrieben.

Paul meint: „Ich erkenne an der Gleichung, dass die Funktion keine Nullstellen hat."
Erkläre, woran Paul das erkennen kann.

2 Pkt.

Diese Parabel wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Schreibe die Gleichung der gespiegelten Parabel auf.

2 Pkt.

Bakterienkulturen vermehren sich unterschiedlich stark.
Oft kann man die Vermehrung der Bakterien innerhalb der ersten Stunden mithilfe einer Exponentialfunktion modellieren.

In der Tabelle wird das Wachstum der Anzahl der Bakterien in den ersten drei Stunden nach Beginn der Beobachtung beschrieben.

$\color{#ffffff}{x}$ (Zeit in Stunden)	$\color{#ffffff}{y}$ (Anzahl der Bakterien)
$0$	$200$
$1$	$300$
$2$	$450$
$3$	$675$

Um wie viel Prozent wächst stündlich die Anzahl der Bakterien?

2 Pkt.

Bestimme die Anzahl der Bakterien nach 5 Stunden.

2 Pkt.

Notiere einen Term, mit dem man das Wachstum der Anzahl der Bakterien für jede Stunde berechnen kann.

2 Pkt.

Nach wie vielen ganzen Stunden sind erstmalig mehr als $10\,000$ Bakterien vorhanden?
Notiere einen Antwortsatz.

2 Pkt.

Welcher Graph beschreibt das Wachstum der Anzahl der Bakterien am besten?
Schreibe den entsprechenden Buchstaben.

1 Pkt.

Bei einer anderen Bakterienkultur werden um 9:00 Uhr $60$ Bakterien gezählt.
Eine Stunde später sind es $120$ Bakterien.
Mit diesen Angaben allein kann nicht entschieden werden, ob das Wachstum der Bakterien linear oder exponentiell ist.

Bestimme dazu die Anzahl der Bakterien bei linearem Wachstum um 12:00 Uhr des gleichen Tages.

1 Pkt.

Bestimme dazu die Anzahl der Bakterien bei exponentiellem Wachstum um 12:00 Uhr des gleichen Tages.

2 Pkt.

Ein Golfball hat einen Durchmesser von $43\,\text{mm}.$

Die Oberfläche eines Golfballs ist mit kreisrunden Dimples (Dellen) versehen. Sie bewirken, dass der Ball weiter und genauer geschlagen werden kann.
In einem Prospekt wird behauptet, dass der dort abgebildete Golfball $380$ Dimples hat. Jedes Dimple hat einen Durchmesser von $4,5\,\text{mm}.$

Überprüfe mit einer Rechnung, ob die Behauptung stimmt, dass $380$ Dimples auf die Oberfläche des Golfballs passen. Schreibe einen Antwortsatz.

5 Pkt.

Im Golfpark Rankweil wurde eine massive Marmorkugel in der Form eines überdimensionalen Golfballs aufgestellt.

Ein Kubikzentimeter dieser Marmorkugel wiegt $2,8\,\text{Gramm}.$
Berechne, wie schwer die Marmorkugel ist.
Schätze für deine Berechnung eine geeignete Größe.
Gib dein Ergebnis in ganzen Kilogramm an.

4 Pkt.

Stell dir vor, ein $1,80\,\text{m}$ großer Golfspieler würde im gleichen Maßstab vergrößert wie dieser Golfball.
Wie groß wäre der Golfspieler dann ungefähr?
Begründe deine Antwort.

3 Pkt.

Zur Neueröffnung des Eiscafés „San Remo“ wird ein Glücksrad aufgestellt.
Einmal Drehen kostet $1,00\,€.$ Bleibt ein Feld mit einer „Eistüte“ am Pfeil stehen, gewinnt man einen Eisgutschein im Wert von $2,50\,€.$
Bei allen anderen Feldern gewinnt man nichts.

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man bei einmaligem Drehen einen Eisgutschein gewinnt.

1 Pkt.

Antonia dreht dreimal. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie dabei keinen Eisgutschein gewinnt.

2 Pkt.

Gino dreht zweimal. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit er mindestens einen Eisgutschein gewinnt.

3 Pkt.

Für das Schulfest leiht sich eine Klasse das Glücksrad für den Eisstand aus. Die Klasse ersetzt zwei Felder ohne Gewinn durch ein Feld mit „Eisbecher" und ein Feld mit „,noch 1x“" (siehe Abbildung). Zusätzlich ändert sie den Gewinnplan.

Gewinnplan bei einem Einsatz von $1,00\,€$ :

	Eisgutschein im Wert von $3,00 \,\text{€}$
	Eisgutschein im Wert von $1,50 \,\text{€}$
	Kein Gewinn
noch 1x	Es darf noch einmal gedreht werden.

Alex behauptet: „Ich habe mehrmals am Glücksrad gedreht. Dabei habe ich Eisgutscheine im Wert des Vierfachen meines Einsatzes gewonnen“.
Ist das möglich? Begründe.

2 Pkt.

Lea zahlt $1,00\,€.$ Notiere das Ereignis, bei dem sie mit einer Wahrscheinlichkeit von $P=\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{4}{10}=\dfrac{1}{25}$ etwas gewinnt.

2 Pkt.

Herr Lorum behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, einen beliebigen Eisgutschein zu gewinnen, beträgt beim Einsatz von $1,00\,€$ genau $50\,\%“.$
Frau Diener widerspricht: „Nein, sie ist sogar größer als $50 \,\%“.$
Erkläre, warum Frau Diener recht hat.

2 Pkt.

Zunächst wird im rechtwinkligen Dreieck $ABE$ die Länge der Strecke $\overline{BE}$ mit dem Kosinus berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\[5pt] \cos(33^{\circ})&=&\dfrac{16,9\,\text{cm}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE}\\[5pt] \cos(33^{\circ})\cdot \overline{BE}&=& 16,9\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(33^{\circ})\\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{16,9\,\text{cm}}{\cos(33^{\circ} )} \\[5pt] \overline{BE}&\approx & 20,2\,\text{cm} \end{array}$

Damit kann die Länge der Strecke $\overline{BM}$ berechnet werden:

$\overline{BM}=\dfrac{\overline{BE}}{2}=\dfrac{20,2\,\text{cm}}{2}= 10,1\,\text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{BE}$ beträgt $10,1\,\text{cm}.$

Länge der Strecke $\overline{AE}$ im rechtwinkligen Dreieck $ABE$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(33^{\circ})&=& \dfrac{\,\text{Gegenkathete}}{\,\text{Ankathete}} \;\\[5pt] \tan(33^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AE}}{16,9\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 16,9\,\text{cm} \\[5pt] \tan(33^{\circ})\cdot 16,9\,\text{cm}&=&\overline{AE} \\[5pt] 10,97\,\text{cm}&\approx & \overline{AE} \end{array}$

Größe von $\gamma$ mit der Innenwinkelsumme im Dreieck $ABC$ berechnen:

$\gamma=180°-(30°+90°)-33°=27°$

Die Länge der Strecke $\overline{CE}$ lässt sich nun mit dem Sinussatz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{CE}}{\sin 30°}&=& \dfrac{\overline{AE}}{\sin \gamma} \\[5pt] \dfrac{\overline{CE}}{\sin 30°}&=& \dfrac{10,97\,\text{cm}}{\sin 27°} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin 30° \\[5pt] \overline{CE}&=& \dfrac{10,97\,\text{cm}}{\sin 27°}\cdot \sin 30° \\[5pt] \overline{CE}&\approx& 12,1\,\text{cm} \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{CE}$ beträgt $12,1\,\text{cm}.$

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Deshalb beträgt der Winkel $\alpha= 33^{\circ}.$

Mit dem Innenwinkelsatz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha+\varepsilon+33°&=& 180° \quad \scriptsize \mid\; -33° \\[5pt] \alpha+\varepsilon&=& 147° \end{array}$

Da im gleichschenkligen Dreieck $\alpha=\varepsilon$ gilt, folgt:

$\alpha=\varepsilon=\dfrac{147^{\circ}}{2}= 73,5^{\circ}$

Der Winkel im Punkt $A$ beträgt $73,5^{\circ}.$

Koordinaten des Scheitelpunktes: $S(-1,5\mid -9)$

Gleichung der Parabel in der Scheitelpunktform:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-(-1,5))^2-9 \\[5pt] y&=& (x+1,5)^2-9 \end{array}$

Einsetzen von $x=- 7$ in die Parabelgleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (-7)^2+3\cdot (-7)-6,75 \\[5pt] y&=& 49+(-21)-6,75 \\[5pt] y&=& 21,25 \end{array}$

Der fehlende $y$ -Wert ist $y=21,25.$

Lösung mit Symmetrieeigenschaften

Da die Parabel symmetrisch ist haben die beiden Punkte darauf den gleichen $y$ -Wert, die in $x$ -Richtung den gleichen Abstand zum Scheitelpunkt haben.

Der Punkt $A$ ist in positive $x$ -Richtung $2\,\text {LE}$ von $S$ entfernt, daher gilt für die $x$ -Koordinate von $B:$

$x=-1,5-2=-3,5$

Der Punkt $B$ hat folglich die Koordianten $B(-3,5\mid -5).$

Rechnerische Lösung

Den Wert $y=-5$ in die Parabelgleichung einsetzen, um $x$ zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} x^2+3x-6,75 &=& -5 \quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] x^2+3x-1,75 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-1,75)} \\[5pt] &=& -1,5\pm\sqrt{2,25+ 1,75} \\[5pt] &=& -1,5\pm \sqrt{4} \\[5pt] x_1 &=& -1,5 + 2 =0,5 \\[5pt] x_2 &=& -1,5 - 2 = -3,5 \end{array}$

Die fehlende $x$ -Koordinate von $B$ entspricht $x_2=-3,5.$ Der Punkt $B$ hat folglich die Koordianten $B(-3,5\mid -5).$

Lösung mit der $pq$ -Formel

$x^2+3x-6,75 =0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+ 6,75} \\[5pt] &=& -1,5\pm\sqrt{2,25+ 6,75} \\[5pt] &=& -1,5\pm \sqrt{9} \\[5pt] x_1 &=& -1,5 + 3 =1,5 \\[5pt] x_2 &=& -1,5 - 3 = -4,5 \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstellen $x_1=1,5$ und $x_2=-4,5.$

Lösung mit der Scheitelpunktform

$\begin{array}[t]{rll} (x+1,5)^2-9&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] (x+1,5)^2&=& 9 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x+1,5&=& \pm 3 \quad \scriptsize \mid\; -1,5 \\[5pt] x_1&=& 3-1,5=1,5 \\[5pt] x_2&=& -3-1,5=-4,5 \end{array}$

Die Funktion hat die Nullstellen $x_1=1,5$ und $x_2=-4,5.$

Wegen des negativen Vorzeichens ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist $S(-2\mid -3)$ und liegt somit unterhalb der $x$ -Achse. Die Funktion wird die $x$ -Achse also zu keinem Zeitpunkt berühren.

Die Gleichung einer an der $x$ -Achse gespiegelten Parabel ergibt sich durch die Multiplikation mit $-1.$

$y=(x+2)^2+3$

Lösung mit Dreisatz

$:200$

$\cdot 300$

$\begin{array}{rcl} 200 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1& \mathrel{\widehat{=}}& 0,5\,\%\\[5pt] 300 & \mathrel{\widehat{=}}& 150\,\% \end{array}$

$:200$

$\cdot 300$

Wachstum berechnen: $150\,\%-100\,\%=50\,\%$

Lösung mit Wachstumsfaktor

Wachstum $a$ in der ersten Stunde:

$\begin{array}[t]{rll} 200\cdot a&=& 300 \quad \scriptsize \mid\; :200 \\[5pt] a&=& 1,5 \end{array}$

Mit dem Wachstumsfaktor gilt:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] 1,5&=& 1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 0,5&=& \dfrac{p\,\%}{100\,\%} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 100\,\% \\[5pt] 50\,\%&=& p\,\% \end{array}$

Die Bakterienkultur wächst stündlich um $50\,\%.$

Die Anzahl der Bakterien wächst stündlich um $50\,\%,$ also mit dem Wachstumsfaktor $1,5.$

Nach 4 Stunden: $675\cdot 1,5= 1\,012,5$

Nach 5 Stunden: $1\,012,5 \cdot 1,5 \approx 1\,519$

Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit Wachstumsfaktor $a=1,5$ und Anfangswert $c=200.$

$f(x)=200\cdot 1,5^x$

Dabei entspricht $x$ der Zeit in Stunden.

Lösung mit Logarithmus

$\begin{array}[t]{rll} 200\cdot 1,5^x&=& 10\,000 \quad \scriptsize \mid\;:200 \\[5pt] 1,5^x&=& 50 \quad \scriptsize \mid\; \log_{1,5}\\[5pt] x&\approx& 9,628 \end{array}$

Aufrunden von $9,628\,\text{h}$ auf $10\,\text{h}.$

Nach 10 ganzen Stunden sind erstmals über $10\,000$ Bakterien vorhanden.

Lösung mit der Funktionsgleichung

$\begin{array}[t]{rll} x=6&:& y=200 \cdot 1,5^6 \approx 2\,278,13 \\[5pt] x=7&:& y=200 \cdot 1,5^7 \approx 3\,417,19 \\[5pt] x=8&:& y=200 \cdot 1,5^8 \approx 5\,125,78 \\[5pt] x=9&:& y=200 \cdot 1,5^9 \approx 7\,688,67 \\[5pt] x=10&:& y=200 \cdot 1,5^{10} \approx 11\,533,01 \\[5pt] \end{array}$

Nach 10 ganzen Stunden sind erstmals über $10\,000$ Bakterien vorhanden.

C ist die richtige Lösung, da der Bestand exponentiell wächst und der Anfangsbestand bei 200 (also nicht bei 0) liegt.

In einer Stunde sind 60 Bakterien hinzugekommen. Bei linearem Wachstum wird pro Stunde immer die gleiche Anzahl an Bakterien, in diesem Fall 60, addiert.

Uhrzeit	Anzahl Bakterien
9	60
10	120
11	180
12	240

Bei linearem Wachstum sind es um 12:00 Uhr 240 Bakterien.

In einer Stunde hat sich die Anzahl an Bakterien verdoppelt. Bei exponentiellem Wachstum wird der Wert pro Stunde immer um den gleichen Faktor vervielfacht, in diesem Fall mit dem Faktor 2.

Uhrzeit	Anzahl Bakterien
9	60
10	120
11	240
12	480

Bei exponentiellem Wachstum sind es um 12:00 Uhr 480 Bakterien.

Oberfläche des gesamten Golfballs berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \pi \cdot \,\text{r}^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot\left(\dfrac{43\,\text{mm}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx& 5\,808,8\,\text{mm}^2 \end{array}$

Kreisoberfläche eines Dimples berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dimple}}&=& \pi \cdot \,\text{r}^2 \\[5pt] &=& \pi\cdot\left(\dfrac{4,5\,\text{mm}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx& 15,9\,\text{mm}^2 \end{array}$

Gesamtoberfläche berechnen, die durch die 380 Dimples benötigt wird:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 380\cdot A_{\text{Dimple}} \\[5pt] &=& 380\cdot 15,9\,\text{mm}^2\\[5pt] &=& 6\,042\,\text{mm}^2 \end{array}$

Werte vergleichen:

$A=6\,042\,\text{mm}^2\gt 5\,808,8\,\text{mm}^2=O$

380 Dimples passen nicht auf den Ball, daher ist die Behauptung falsch.

Geschätzte Größe des kleineren Mannes: $1,80\,\text{m}$
Gemessene Größe des Mannes im Bild: $3 \,\text{cm}$

Gemessener Durchmesser der Mamorkugel im Bild: $2\,\text{cm}$

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Der ungefähre Durchmesser der Kugel kann mit dem Dreisatz berechnet werden:

$:3$

$\cdot 2$

$\begin{array}{rcl} 3\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 180\,\text{cm}\\[5pt] 1\,\text{cm}& \mathrel{\widehat{=}}& 60\,\text{cm}\\[5pt] 2\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 120\,\text{cm} \end{array}$

$:3$

$\cdot 2$

Der Durchmesser der Mamorkugel beträgt also ungefähr $120\,\text{cm}.$ Mit diesem Wert kann das Kugelvolumen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\pi\cdot \,\text{r}^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\pi\cdot \left(\dfrac{120\,\text{cm}}{2}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 904\,778,68\,\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Gewicht der Mamorkugel ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$m=2\,533\,\text{kg}$

Die Marmorkugel wiegt ca. $2\,533\,\text{kg}.$

Durchmesser kleiner Golfball: $43\,\text{mm}=4,3\,\text{cm}$
Durchmesser Mamorkugel: $120\,\text{cm}$ (siehe 1.)

Berechnung des Maßstabs mit dem Streckfaktor:

$\begin{array}[t]{rll} 4,3\,\text{cm}\cdot x&=& 120\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\;:4,3\,\text{cm} \\[5pt] x&\approx& 28 \end{array}$

Der Durchmesser der Mamorkugel ist ungefähr 28 mal größer als der des kleinen Golfballs.

Der Maßstab beträgt also 1:28. Angewendet auf den Golfspieler ergibt sich:

$180\,\text{cm}\cdot 28=5\,040\,\text{cm}=50,4\,\text{m}$

Der Golfspieler wäre im gleichen Maßstab ungefähr $50,4\,\text{m}$ groß.

Anzahl aller Felder: $10$
Anzahl der Felder mit Eistüte: $4$

Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Drehen einen Eisgutschein zu gewinnen:

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Eisgutschein}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl der Felder mit Eistüte}}{\text{Anzahl aller Felder}} \\[5pt] =& \dfrac{4}{10} \\[5pt] =& 0,4 \\[5pt] {\widehat{=}}& 40\,\% \end{array}$

Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Drehen keinen Eisgutschein zu gewinnen:

$P(N)=1-\dfrac{4}{10}=\dfrac{6}{10}$

Mit der Produktregel folgt für die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Drehen keinen Eisgutschein zu gewinnen:

$\begin{array}[t]{rll} & P(NNN) \\[5pt] =& \dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{6}{10} \\[5pt] =&\dfrac{216}{1\,000} \\[5pt] \approx& 0,216 \\[5pt] \mathrel{\widehat{=}}& 21,6\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit kann über das Gegenereignis berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{mind. ein Eisgutschein}) \\[5pt] =& 1- P(NN) \\[5pt] =& 1- \dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{6}{10} \\[5pt] =&\dfrac{64}{100} \\[5pt] =& 0,64 \\[5pt] {\widehat{=}}& 64\,\% \end{array}$

Seine Behauptung ist falsch.

Einsatz: 1 €
Höchster Gewinn: 3 €

Bei jedem Dreh kann er höchstens das Dreifache seines Einsatzes gewinnen.

Das Zufallsexperiment kann bei einem Einsatz von 1,00 € nur dann zweistufig sein, wenn beim ersten mal Drehen das Feld „noch 1x“ gedreht wird.
Beim zweiten Dreh wird ein Feld mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{4}{10}$ erdreht, das trifft nur auf das Feld mit dem Eisgutschein zu.

Das Ereignis mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit lautet:

Lea dreht beim ersten Dreh „noch $1$ x“, beim zweiten Dreh dreht sie einen Eisgutschein im Wert von $1,50\,€.$

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Drehen direkt einen Eisgutschein zu gewinnen, beträgt $50\,\%.$ Es gibt jedoch zusätzlich die Möglichkeit, beim ersten Drehen das Feld „noch 1x“ zu erdrehen und beim zweiten Drehen einen Eisgutschein zu gewinnen.

Daher hat Frau Diener recht.