Wahlteil A

Die Abbildung zeigt das Trapez $ABCD.$
Die Strecke $\overline{AE}$ teilt dieses Trapez in das rechtwinklige Dreieck $AED$ und in das Parallelogramm $ABCE.$

Wahlteil Realschulabschluss Hessen 2022 Winkel Strecke Vieleck

Abbildung nicht maßstabsgerecht und nicht winkeltreu

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AE}.$
Gib dein Ergebnis in ganzen Zentimetern an.

2 Pkt.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $ABCD.$
Gib dein Ergebnis in ganzen Quadratzentimetern an.

Tipp: Berechne zuerst die Höhe $\overline{AD}$ des Trapezes.

5 Pkt.

Berechne die Länge der Diagonalen $\overline{BE}$ des Parallelogramms $ABCE.$
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

4 Pkt.

Begründe, warum das Dreieck $BCE$ nicht gleichschenklig ist.

1 Pkt.

Die abgebildete Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion, die durch die Gleichung $y=x^2+4x$ beschrieben wird.

Hessen Realschulabschluss 2022 Wahlaufgaben Funktion Graph Koordinatensystem

Lies die Nullstellen dieser Funktion ab.

2 Pkt.

Bestimme die Scheitelpunktform dieser Funktion.

2 Pkt.

Die Gerade mit der Gleichung $y=2x+15$ schneidet diese Parabel in zwei Punkten.
Berechne die $x$ -Koordinaten der beiden Punkte.

5 Pkt.

Von einer anderen quadratischen Funktion sind folgende Informationen bekannt:

Der Graph der Funktion ist eine verschobene Normalparabel.
Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.
Die Funktion hat die Nullstellen $x_1=-5$ und $x_2=-3.$

Bestimme die Gleichung dieser Funktion und gib diese in der Scheitelpunktform an.

3 Pkt.

In einer vollen Lostrommel befinden sich 200 Lose.
Es gibt 20 Lose mit Gewinnen, alle anderen Lose sind Nieten.

Gewinne:
10 Kugelschreiber, 6 Tassen, 3 Fußballtrikots, 1 Eintrittskarte für ein Fußballspiel

Aus der vollen Lostrommel wird einmal gezogen. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, die Eintrittskarte für ein Fußballspiel zu gewinnen.

1 Pkt.

Die Lostrommel ist voll. Fabian zieht nacheinander zwei Lose.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er nur Nieten zieht.

2 Pkt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er genau ein Los mit einem Gewinn zieht.

3 Pkt.

Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, damit man mit Sicherheit einen Gewinn hat?

2 Pkt.

Formuliere ein Ereignis zu dieser vollen Lostrommel, dessen Wahrscheinlichkeit man mit dem Term $\frac{3}{200} \cdot \frac{180}{199}$ berechnen kann.

2 Pkt.

In die volle Lostrommel wird ein weiteres Gewinnlos dazugegeben.
Wie viele Lose mit Nieten müssten in die Lostrommel gegeben werden, damit sich die Wahrscheinlichkeit für ein Los mit Gewinn nicht ändert?

2 Pkt.

Im Labor wurde untersucht, wie das Volumen von Milchschaum nach jeweils einer bestimmten Zeit abnimmt.

Die Tabelle zeigt, wie das Volumen $V$ von Milchschaum (gerundet auf eine Stelle nach dem Komma) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ abnimmt.
Zu Beginn des Tests waren $V_0=60\,{\mathrm{cm}^3}$ Milchschaum vorhanden.

Zeit t in min	Volumen V in $\color{#ffffff}{\text{cm}^3}$
$0$	$60,0$
$1$	$48,0$
...	...
$3$	$\boldsymbol{a}$
...	...
$\boldsymbol{b}$	$19,7$

Zeige rechnerisch, dass das Volumen des Milchschaums nach einer Minute um $20\,\%$ abgenommen hat.

2 Pkt.

Gehe bei der Berechnung der nachfolgenden Aufgaben von einer Abnahme von jeweils $20\,\%$ pro Minute aus.

Bestimme die fehlenden Werte $a$ und $b$ in der Tabelle.

2 Pkt.

Das Milchschaumvolumen $V$ nach $t$ Minuten kann mit der Gleichung $V=V_0 \cdot q^t$ berechnet werden.

Bestimme die Werte für $V_0$ und $q$ in der Gleichung.

2 Pkt.

Berechne das Milchschaumvolumen nach 7 Minuten.
Runde dein Ergebnis auf eine Stelle nach dem Komma.

2 Pkt.

Bestimme, nach wie vielen Minuten erstmals weniger als $2\,\text{cm}^3$ Milchschaum vorhanden sind.

2 Pkt.

Welche der folgenden Abbildungen stellt diese Abnahme des Milchschaumvolumens am besten dar? Notiere den Lösungsbuchstaben.

Hessen Realschulabschluss 2022 Wahlaufgaben Volumen-Zeit-Diagramm

2 Pkt.

Die Abbildung zeigt die trapezförmige Grundfläche eines Prismas.
Dieses Prisma hat eine Körperhöhe von $10\,\text{cm}.$

Hessen Realschulabschluss 2022 Wahlaufgaben Vieleck, winkel, strecke

Abbildung nicht maßstabsgerecht

Berechne das Volumen des Prismas.

3 Pkt.

Gib die Anzahl der Ecken $e,$ der Kanten $k$ und der Flächen $f$ des Prismas an.

Schreibe in der Form:

$e=$

$k=$

$f=$

3 Pkt.

Die Mantelfläche besteht aus vier Rechtecken.

Berechne den Flächeninhalt des Mantels.

4 Pkt.

Nimm an, dass in diesem Prisma alle Seiten der Grundfläche und die Körperhöhe verdoppelt werden. Wievielmal größer ist nun die Mantelfläche?

2 Pkt.

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$\begin{array}[t]{rll} \cos(70^{\circ})&=& \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AE} \\[5pt] \cos(70^{\circ})\cdot \overline{AE}&=& \overline{DE} \quad\scriptsize \mid\;:\cos(70^{\circ}) \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{\overline{DE}}{\cos(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{24\,\text{cm}}{\cos(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{AE}&\approx& 70\,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $\overline{AE}$ ist ungefähr $70 \,\text{cm}$ lang.

Die Länge der Strecke $\overline{AD}$ kann beispielsweise mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2+\overline{DE}^2&=& \overline{AE}^2 \quad \scriptsize \mid\;-\overline{DE}^2 \\[5pt] \overline{AD}^2 &=& \overline{AE}^2-\overline{DE}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AD} &=& \sqrt{\overline{AE}^2-\overline{DE}^2} \\[5pt] \overline{AD} &=& \sqrt{(70\,\text{cm})^2-(24\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AD} &\approx& 65,757\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\overline{DE}+\overline{CE} \\[5pt] &=& 24\,\text{cm}+52\,\text{cm} \\[5pt] &=& 76\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Trapezes:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}\cdot \overline{AD} \\[5pt] &=& \dfrac{52\,\text{cm}+76\,\text{cm}}{2}\cdot 65,757\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 4\,208\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Trapez hat einen Flächeninhalt von $4\,208\,\text{cm}^2.$

Der $70^{\circ}$ -Winkel ist ein Wechselwinkel von $\alpha_2.$ Somit gilt: $\alpha_2=70^{\circ}$

Der $43°$ -Winkel ist ein Wechselwinkel von $\varepsilon_1.$ Somit gilt: $\varepsilon_1=43°$

Mit dem Sinussatz im Dreieck $ABE$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{\overline{BE}}}{\sin\alpha_2}&=& \dfrac{\overline{AB}}{\sin\varepsilon_1} \\[5pt] \dfrac{\overline{\overline{BE}}}{\sin 70°}&=& \dfrac{52\,\text{cm}}{\sin 43°} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 70° \\[5pt] \overline{\overline{BE}}&=& \dfrac{52\,\text{cm}}{\sin 43°}\cdot \sin 70° \\[5pt] \overline{BE}&\approx& 71,6\,\text{cm} \end{array}$

Die Diagonale $\overline{BE}$ ist ungefähr $71,6\,\text{cm}$ lang.

Für die Seitenlängen gilt:

$\overline{BC}=\overline{AE}\approx 70\,\text{cm}$
$\overline{BE} \approx 71,6\,\text{cm}$
$\overline{EC}=52\,\text{cm}$

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Daher kann das Dreieck $BCE$ nicht gleichschenklig sein.

$x_1=-4 \quad x_2= 0$

Der Scheitelpunkt kann abgelesen werden: $S(-2|-4)$

Damit kann die Scheitelpunktform aufgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-(-2))^2+(-4) \\[5pt] y&=& (x+2)^2-4 \end{array}$

Gleichsetzen der Funktionen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2+4x&=& 2x+15 \quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] x^2+2x&=& 15 \quad \scriptsize \mid\;-15 \\[5pt] x^2+2x-15&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-15)} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{16} \\[5pt] x_1&=& -1+4=3 \\[5pt] x_2&=& -1-4=-5 \\[5pt] \end{array}$

Die Funktionen schneiden sich bei $x_1=3$ und $x_2=-5.$

Anlegen der Normalparabel liefert den Scheitelpunkt $S(-4\mid 1).$ Damit lässt sich die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -(x-(-4))+1 \\[5pt] y&=& -(x+4)+1 \end{array}$

Anzahl Lose Eintrittskarte: $1$

Anzahl aller Lose: $200$

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Eintrittskarte}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl Lose Eintrittskarte}}{\text{Anzahl aller Lose}} \\[5pt] =& \dfrac{1}{200} \\[5pt] =& 0,005 \\[5pt] =& 0,5\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen das Gewinnlos mit Eintrittskarte zu ziehen, beträgt $0,5\,\%.$

Anzahl Nieten: $200-20=180$

Anzahl Lose insgesamt: $200$

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \text{P(zwei Nieten)}&=& \dfrac{180}{200}\cdot \dfrac{179}{199} & \\[5pt] &\approx& 0,81 \\[5pt] &=& 81\,\% \end{array}$

Anzahl Gewinnlose: $20$

Anzahl Nieten: $180$

Anzahl Lose insgesamt: $200$

Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Daher folgt:

$\begin{array}[t]{rll} &\text{P( genau ein Gewinn)} \\[5pt] =& P(\text{Gewinn, Niete})+ P(\text{Niete, Gewinn}) \\[5pt] =& \dfrac{20}{200}\cdot \dfrac{180}{199}+\dfrac{180}{200}\cdot \dfrac{20}{199} \\[5pt] \approx& 0,181 \\[5pt] =& 18,1\,\% \end{array}$

Um sicher gehen zu können, dass mindestens ein Gewinn dabei ist, muss man mindestens 181 Lose kaufen.

Ereignis: „Aus der vollen Lostrommeln wird zuerst ein Los für ein Fußballtrikot und anschließend eine Niete gezogen.“

Mit dem Dreisatz gilt:

$:20$

$\cdot 21$

$\begin{array}{rcl} 20 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 200 \,\text{Lose}\\[5pt] 1 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 10 \,\text{Lose}\\[5pt] 21 \,\text{Gewinne} & \mathrel{\widehat{=}}& 210 \,\text{Lose} \end{array}$

$:20$

$\cdot 21$

In der Lostrommel müssen sich insgesamt also 210 Lose befinden. Somit müssen $210-201=9$ Nieten hinzugefügt werden.

Lösung mit Dreisatz

$:60$

$\cdot 48$

$\begin{array}{rcl} 60\,\text{cm}^3 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,\text{cm}^3 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{60}\,\%\\[5pt] 48\,\text{cm}^3 & \mathrel{\widehat{=}}& 80\,\% \end{array}$

$:60$

$\cdot 48$

Lösung mit Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=60\,\text{cm}^3$

$\text{Prozentwert } P=48\,\text{cm}^3$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{P\cdot 100\,\%}{G} \\[5pt] &=& \dfrac{48\,\text{cm}^3\cdot 100\,\%}{60\,\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 80\,\% \end{array}$

Somit hat das Volumen des Milchschaums nach einer Minute um $100\,\%-80\,\%=20\,\%$ abgenommen.

$\boldsymbol{a}$ berechnen

Für $t=2$ gilt:

$:100$

$\cdot 80$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 48\,\text{cm}^3\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,48\,\text{cm}^3\\[5pt] 80\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 38,4\,\text{cm}^3 \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

Somit gilt für $t=3$ :

$:100$

$\cdot 80$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 38,4\,\text{cm}^3\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,384\,\text{cm}^3\\[5pt] 80\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 30,72\,\text{cm}^3 \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

Daraus folgt $a=30,72\,\text{cm}^3.$

$\boldsymbol{b}$ berechnen

Für $t=4$ gilt:

$:100$

$\cdot 80$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 30,72\,\text{cm}^3\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,3072\,\text{cm}^3\\[5pt] 80\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 24,576\,\text{cm}^3 \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

Für $t=5$ gilt:

$:100$

$\cdot 80$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 24,576\,\text{cm}^3\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 0,24576\,\text{cm}^3\\[5pt] 80\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 19,6608\,\text{cm}^3 \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

$V_5=19,6608\,\text{cm}^3\approx 19,7\,\text{cm}^3$

Somit gilt: $b=5$

Zeit $\color{#ffffff}{t}$ in $\color{#ffffff}{\text{min}}$	Volumen $\color{#ffffff}{V}$ in $\color{#ffffff}{\text{cm}^3}$
$0$	$60,0$
$1$	$48,0$
$2$	$38,4$
$3$	$30,7$
$4$	$24,6$
$5$	$19,7$

Startwert $V_0=60\,\text{cm}^3$

Abnahmewert $q=1-\dfrac{20\,\%}{100\,\%}=\dfrac{80\,\%}{100\,\%}=0,8$

$\begin{array}[t]{rll} V_7&=& V_0 \cdot q^t \\[5pt] &=& 60\,\text{cm}^3 \cdot 0,8^7 \\[5pt] &\approx& 12,6 \,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Milchschaums beträgt nach 7 Minuten $12,6\,\text{cm}^3.$

Nach 10 Minuten:
$V_{10}=60\,\text{cm}^3\cdot 0,8^{10}\approx 6,4\,\text{cm}^3$

Nach 12 Minuten:
$V_{12}=60\,\text{cm}^3\cdot 0,8^{12}\approx 4,1\,\text{cm}^3$

Nach 14 Minuten:
$V_{14}=60\,\text{cm}^3\cdot 0,8^{14}\approx 2,6\,\text{cm}^3$

Nach 15 Minuten:
$V_{15}=60\,\text{cm}^3\cdot 0,8^{15}\approx 2,1\,\text{cm}^3$

Nach 16 Minuten:
$V_{16}=60\,\text{cm}^3\cdot 0,8^{16}\approx 1,7\,\text{cm}^3$

Nach 16 Minuten ist erstmals weniger als $2 \,\text{cm}^3$ Milchschaum vorhanden.

Abbildung C, da es sich um eine exponentielle Abnahme handelt.

Länge der Grundseite $a$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& 5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+3,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 14,5\,\text{cm} \end{array}$

Damit kann das Volumen des Prismas berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G \cdot h_P \\[5pt] &=& \left(\dfrac{a+c}{2}\cdot h_T\right) \cdot h_P \\[5pt] &=& \dfrac{14,5\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1\,230\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt $1\,230\,\text{cm}^3.$

$e=8$

$k=12$

$f=6$

Fehlende Seitenlänge $c$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (12\,\text{cm})^2+(3,5\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] c&=& \sqrt{(12\,\text{cm})^2+(3,5\,\text{cm})^2} \\[5pt] c&=& 12,5\,\text{cm} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen:

Rechenweg anzeigen

$M=460\,\text{cm}^2$

Die Mantelfläche hat einen Flächeninhalt von $460\,\text{cm}^2.$

Mit den Grundseiten $g_1$ bis $g_4$ der Rechtecke lässt sich eine Formel zur Berechnung der Mantelfläche aufstellen:

$M_1=h\cdot (g_1 + g_2+ g_3+ g_4)$

Werden alle Seiten der Grundfläche und die Körperhöhe verdoppelt, lautet die Formel:

$\begin{array}[t]{rll} M_2&=& 2h\cdot 2(g_1 + g_2+ g_3+ g_4) \\[5pt] &=& 4\cdot h\cdot(g_1 + g_2+ g_3+ g_4) \\[5pt] &=& 4\cdot M_1 \\[5pt] \end{array}$

Die Fläche wird also viermal größer.

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