Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem (=LGS) besteht z.B. aus zwei linearen Gleichungen.
Sollen sich z.B. zwei Geraden schneiden, so kann der Schnittpunkt mit einem LGS bestimmt werden. Es gibt verschiedene Arten, wie man ein LGS mit zwei Variablen lösen kann:
Addieren von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x+3x+5y-5y&=&9+6\\[5pt]
5x&=&15&\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt]
x&=&3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0908d1c000652edc8e65e9a1148c6b951dd99adc2b570e484b2150ba85785847_light.svg)
Einsetzen von 
in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
2\cdot 3+5y&=&9&\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt]
5y&=&3&\quad \scriptsize \mid\;:5\\[5pt]
y&=&\dfrac{3}{5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/77cbdf08971f402ec5f8112f2c537517b388547fe2d0735939dba4522c15c61e_light.svg)
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
Sollen sich z.B. zwei Geraden schneiden, so kann der Schnittpunkt mit einem LGS bestimmt werden. Es gibt verschiedene Arten, wie man ein LGS mit zwei Variablen lösen kann:
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
Beispiele
Gleichsetzungsverfahren
Gleichsetzen von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
4x+7&=& 2x+1&\quad \scriptsize \mid\;-2x-7\\[5pt]
2x&=& -6&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt]
x&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3bc0f6264c32a30ec404f0e54790e1e903b9251d21144e424ded4987d5ab7717_light.svg)
Einsetzen von 
in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 4\cdot (-3)+7\\[5pt]
y&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/12f588ced3b46d79d7cb26b26ae8766ab235fa9399c80877bbf33496a8e1633c_light.svg)
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
Gleichsetzen von (1) und (2):
Einsetzen von in (1):
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
Einsetzungsverfahren
Einsetzen von (2) in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x+(x-10)&=&5\\[5pt]
3x-10&=&5&\quad \scriptsize \mid\;+10\\[5pt]
3x&=&15&\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt]
x&=&5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d694bc7d47540d04aa94819701e45d2d6a70a80beb5092b7758b36246983f341_light.svg)
Einsetzen von 
in (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&5-10\\[5pt]
y&=&-5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e3eab86f65b8d0c2409f48237c610e3cd03fe222d3c5a4e48316d64f15cd7d9_light.svg)
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
Additionsverfahren
Einsetzen von (2) in (1):
Einsetzen von in (2):
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
Addieren von (1) und (2):
Einsetzen von in (1):
Die Lösung wird als Lösungsmenge geschrieben:
1
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
a)
b)
2
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
a)
b)
3
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
a)
b)
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1
a)
Gleichsetzen von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
3x+2&=& 2x-4&\quad \scriptsize \mid\;-2x-2\\[5pt]
x&=& -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8b27d4aaa2247b330054081705549ccb7271ac9c3fdc4848ce910d9a3366d049_light.svg)
Einsetzen von 
in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 3\cdot (-6)+2\\[5pt]
y&=& -16
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e199841ac6720695ebc5e623df9b70d356682a02d3b2f62cb00ff3e2f7d04e9c_light.svg)
b)
Gleichsetzen von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
5x+11&=& -2x-3&\quad \scriptsize \mid\;+2x-11\\[5pt]
7x&=& -14&\quad \scriptsize \mid\;:7\\[5pt]
x&=& -2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/21b7ad0fcd09a90db2c6c8a7877ffd58b3a13e42fd8cae9324f1c4e5c2ba3a8e_light.svg)
Einsetzen von 
in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&5\cdot (-2)+11\\[5pt]
y&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ada61d360924f41961adb1266b5898cc3991dd2984c163518129dceefa7fa2f3_light.svg)
2
a)
Einsetzen von (2) in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
4x+2x&=&12\\[5pt]
6x&=&12&\quad \scriptsize \mid\;:6\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/493ec642bd111916e2ab9699f5ae7b2b74cd3fa37dc8f46aeb71111407557dae_light.svg)
Einsetzen von 
in (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&2\cdot 2\\[5pt]
y&=&4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8b9876106d4c21e64b38351532afecad4e40ed261c22afb26d5e7c676bfb7be9_light.svg)
b)
Einsetzen von (2') in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
7x+2(2x+3)&=&-5\\[5pt]
7x+4x+6&=&-5\\[5pt]
11x+6&=&-5&\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt]
11x&=&-11&\quad \scriptsize \mid\;:11\\[5pt]
x&=&-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0ef9a49d57ffe599a0bcc1e3f6f268d2f99e55abbee2d20d38a45291afa38d8f_light.svg)
Einsetzen von 
in (2'):
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&2\cdot (-1)+3\\[5pt]
y&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0083daad83cb55e104c329d911dd25153c6eaad38977c32d6a2eac0bc2a466c7_light.svg)
3
a)
Addieren von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
5x+3x+2y-2y&=&12+4\\[5pt]
8x&=&16\quad \scriptsize \mid\;:8\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8a005878f52fdda6133c69ea07055aca4bd35f4e0c948cdf7084238a87ade467_light.svg)
Einsetzen von in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
5\cdot 2+2y&=&12&\quad \scriptsize \mid\;-10\\[5pt]
2y&=&2&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt]
y&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7f74e6b2d99beac0bacc8a434c2f6c973cba426e2987b5b78bd65cb46368cf5b_light.svg)
b)
Addieren von (1) und (2):
![\(\begin{array}[t]{rll}
4x-4x+10y+2y&=&18+6\\[5pt]
12y&=&24\quad \scriptsize \mid\;:12\\[5pt]
y&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9a9e631e51b31f33ac5ba4326de7a75253f4973bbc158416e3222dec6a2bf9e4_light.svg)
Einsetzen von 
in (1):
![\(\begin{array}[t]{rll}
4x+10\cdot 2&=&18&\quad \scriptsize \mid\;-20\\[5pt]
4x&=&-2&\quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt]
x&=&-\dfrac{1}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/572bb93b6a601c3c9be41d4c567d3a899ebbc99170ec185ef79ec0cb870292e4_light.svg)
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