Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NI, Kooperative Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-...
Hauptschulabschluss 10 G-...
Hauptschulabschluss 9 E-K...
Hauptschulabschluss 9 G-K...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur gA (GT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-Kurs
Hauptschulabschluss 10 G-Kurs
Hauptschulabschluss 9 E-Kurs
Hauptschulabschluss 9 G-Kurs
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 1A

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.
a) In Phase B soll der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert werden.
Bestimmen Sie die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B.
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Ihr Graph soll durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Funktionsgleichung für $h_A$.
(11P)
b) Abbildung 1 der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Geben Sie die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise an, indem Sie diese in der Abbildung 1 markieren und die Abschnitte beschriften.
In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der Sinkgeschwindigkeit $h'$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phase C dargestellt.
Beschreiben Sie die Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C anhand des Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h'$.
Skizzieren Sie in diesem Koordinatensystem den Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h'$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B.
(9P)
c) Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase soll durch $h_{C}$ mit $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert werden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, und dessen Landegeschwindigkeit.
Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an. Die zweite Ableitung von $h_C$ ist gegeben durch $h_{C}\;''(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}$.
Weisen Sie nach, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen.
Erläutern Sie, wie sich diese fehlende Übereinstimmung im Graphen für die Sinkgeschwindigkeit bemerkbar macht.
Betrachtet wird jetzt noch einmal der Übergang zwischen den Phasen A und B.
Untersuchen Sie, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt.
(14P)

(34P)

Material

Anlage: Graphen zur Modellierung eines Fallschirmsprungs zu Teilaufgabe b)
Abbildung 1 (nicht maßstabsgetreu)
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Abbildung 2 (nicht maßstabsgetreu)
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.
a) $\blacktriangleright$ Sinkgeschwindigkeit bestimmen
In Phase B wird der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert.
Du sollst die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B bestimmen. Diese kannst du mithilfe der ersten Ableitung bestimmen.
$\blacktriangleright$ Quadratische Funktion für Höhe des Fallschirmspringers in Phase A bestimmen
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Das bedeutet, dass die beiden Funktionen für $t_1 = 8$ den gleichen Funktionswert haben.
Der Übergang soll stetig und differenzierbar sein, das bedeutet, dass die Funktionen die gleiche Steigung für $t_1$ haben müssen.
Der Graph soll außerdem durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Du hast nun 3 Bedingungen um den Funktionsterm für $h_A$ bestimmen zu können. Stelle daslineare Gleichungssystem auf und berechne so die Parameter $a$, $b$ und $c$.
b) $\blacktriangleright$ Grenzen der Phasen einzeichnen
Du sollst in Abbildung 1 die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise einzeichnen. Diese Abbildung der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Du kennst die Funktionen der Phase A und der Phase B. Phase A wird durch eine quadratische Funktion beschrieben und Phase B durch eine Gerade, dementsprechend prüfe den Graphen in Abbildung 1 auf Übergänge von einer quadratischen Funktion in eine Gerade und den Übergang von der Geraden in eine andere Funktion.
$\blacktriangleright$ Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C
Zu Beginn von Phase C steigt der Graph von $h'$ schnell, überlege dir, was das für die Sinkgeschwindigkeit bedeutet.
Skizziere jetzt in das Koordinatensystem von Abbildung 2 den Graphen der Sinkgeschwindigkeit h′ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B ein. Für Phase A ist die Sinkgeschwindigkeit durch die Ableitung von $h_A$ gegeben. Für Phase B ist die Sinkgeschwindigkeit konstant.
c) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Landung berechnen
Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase wird durch $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert.
Du sollst den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, berechnen. Gib die Funktion in deinen Graphiktaschenrechner ein und zeichne den Graphen von $h_C$. Mithilfe der passenden Funktion deines Taschenrechners kannst du die Nullstelle berechnen, die dir den Zeitpunkt der Landung angibt.
$\blacktriangleright$ Landegeschwindigkeit berechnen
Außerdem sollst du dessen Landegeschwindigkeit berechnen. Da du jetzt den Zeitpunkt der Landung kennst, kannst du erneut deinen Graphiktaschenrechner zur Hand nehmen, um die Steigung im Landepunkt zu berechnen.
Alternativ
Du kannst auch von Hand die Ableitung von $h_C$ bestimmen und so die gesuchte Steigung berechnen.
$\blacktriangleright$ Übereinstimmen der 2. Ableitungen
Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an. Du sollst nun nachweisen, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen. Berechne dafür die 2. Ableitung von $h_B$. Setze jetzt in beide Ableitungen $t_2 = 16$ ein.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen Phasen A und B
Du sollst untersuchen, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt. Leite dafür die allgemeine Form von $h_A$ aus Aufgabenteil a) zweimal ab.
Setze nun $h_B''(t) = h_A''(t)$
Wenn du das Ergebnis berechnet hast, überlege dir ob eine quadratische Funktion vorliegt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.
a) $\blacktriangleright$ Sinkgeschwindigkeit bestimmen
In Phase B wird der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert.
Du sollst die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B bestimmen. Diese kannst du mithilfe der ersten Ableitung bestimmen:
$h_{B}'(t) = -50$
Die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B beträgt also $50 m/s $.
$\blacktriangleright$ Quadratische Funktion für Höhe des Fallschirmspringers in Phase A bestimmen
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Das bedeutet, dass die beiden Funktionen für $t_1 = 8$ den gleichen Funktionswert haben, es gilt also $h_{A}(8) = h_{B}(8)$:
$h_{A}(8) = h_{B}(8)= 1500 - 50 \cdot 8 = 1500 - 400 = 1100$
Der Graph von $h_A$ verläuft also durch den Punkt $(8\mid1.100)$. Der Übergang soll stetig und differenzierbar sein, das bedeutet, dass die Funktionen die gleiche Steigung für $t_1$ haben müssen, es gilt also $h_{A}'(8) = h_{B}'(8)$:
$h_{A}'(8) = h_{B}'(8) = -50$ mit $h_A'(t) = 2\cdot a\cdot t + b$
Für die Ableitung von $h_A$ gilt also $h_A'(8)=-50$. Der Graph soll außerdem durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Du hast nun 3 Bedingungen um den Funktionsterm für $h_A$ bestimmen zu können.
1. Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.100&=&h_A(8)&\\ 1.100&=&a\cdot 8^2 + b\cdot 8 + c&\\ 1.100&=&64\cdot a + 8\cdot b +c& \end{array}$
2. Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.250&=&h_A(4)&\\ 1.250&=&a\cdot 4^2 + b\cdot 4 +c&\\ 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c& \end{array}$
3. Bedingung:
$\begin{array}{rll} -50&=&h_A'(8)& \\ -50&=&16 \cdot a +b&\scriptsize \mid\; -16\cdot a\\ b &=& -50 -16\cdot a& \end{array}$
Subtrahiere nun die zweite von der ersten Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.100 - 1.250&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -(16\cdot a + 4\cdot b +c)&\\ - 150&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -16\cdot a - 4\cdot b -c&\\ - 150&=&48\cdot a + 4\cdot b & \end{array}$
In diese Gleichung kannst du nun die dritte Bedingung einsetzen:
$\begin{array}{rll} - 150&=&48\cdot a + 4\cdot (-50 -16\cdot a) &\\ - 150&=&48\cdot a -200 -64\cdot a &\\ - 150&=&-16\cdot a -200&\scriptsize \mid\;+200 \\ 50&=&-16\cdot a &\scriptsize \mid\;: (-16)\\ a&=&-\frac{50}{16} = -\frac{25}{8}& \end{array}$
Für den Parameter $a$ gilt also $a = -\frac{25}{8}$.
Setze dieses Ergebnis jetzt in die 3. Bedingung ein, um den Parameter $b$ zu berechnen.
$b = -50 -16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) = -50 + 50 = 0$
Für den Parameter $b$ gilt also $b = 0$.
Setze dieses Ergebnis jetzt in die 1. oder 2. Bedingung ein, um den Parameter $c$ zu berechnen.
$\begin{array}{rll} 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c &\\ 1.250&=&16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) + 4\cdot 0 +c &\\ 1.250&=&-50 +c &\scriptsize\mid\;+50\\ c &=& 1.300& \end{array}$
Für den Parameter $c$ gilt also $c =1.300$.
Die Funktionsgleichung für $h_A$ ist gegeben durch $h_A(t) = -\frac{25}{8}\cdot t^2 + 1.300$.
b) $\blacktriangleright$ Grenzen der Phasen einzeichnen
Du sollst in Abbildung 1 die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise einzeichnen. Diese Abbildung der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Du kennst die Funktionen der Phase A und der Phase B. Phase A wird durch eine quadratische Funktion beschrieben und Phase B durch eine Gerade, dementsprechend prüfe den Graphen in Abbildung 1 auf Übergänge von einer quadratischen Funktion in eine Gerade und den Übergang von der Geraden in eine andere Funktion. Du erhältst dann folgende Abbildung:
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
$\blacktriangleright$ Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C
Betrachte hierzu die Abbildung 2. Zu Beginn von Phase C steigt der Graph von $h'$ schnell, das bedeutet, dass der Fallschirmspringer stark abgebremst wird. Der Betrag der Sinkgeschwindigkeit nimmt stark ab. Dann wird der Graph wesentlich flacher und bleibt nahezu konstant, das bedeutet, dass die Sinkgeschwindigkeit dann nahezu konstant bleibt.
Skizziere jetzt in das Koordinatensystem von Abbildung 2 den Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h'$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B ein. Für Phase A ist die Sinkgeschwindigkeit durch die Ableitung von $h_A$ gegeben, $h_A'(t) = -\frac{25}{4}t$. Das ist also eine Gerade, deren Graph durch den Ursprung verläuft und eine negative Steigung besitzt. Für Phase B ist die Sinkgeschwindigkeit konstant $-50$ (vergleiche Aufgabenteil a). Der Graph der Sinkgeschwindigkeit ist dann gegeben durch:
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
c) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Landung berechnen
Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase wird durch $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert.
Du sollst den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, berechnen. Gib die Funktion in deinen Graphiktaschenrechner ein und zeichne den Graphen von $h_C$. Mithilfe der zero-Funktion aus dem CALC-Menü kannst du die Nullstelle berechnen, die dir den Zeitpunkt der Landung angibt.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Nullstelle ist gegeben durch $t_{NS} = 151,5$, somit ist der Zeitpunkt der Landung nach $151,5$ Sekunden.
$\blacktriangleright$ Landegeschwindigkeit berechnen
Außerdem sollst du dessen Landegeschwindigkeit berechnen. Da du jetzt den Zeitpunkt der Landung kennst, kannst du erneut deinen Graphiktaschenrechner zur Hand nehmen und die $dy/dx$-Funktion aus dem CALC-Menü verwenden, um die Steigung im Landepunkt zu berechnen.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Alternativ
Du kannst auch von Hand die Ableitung von $h_C$ bestimmen und so die Steigung für $t = 151,5$ berechnen.
$h_c'(t) = -45\cdot \mathrm e^{-2t + 32} -5 $
$h_c'(151,5) = -45\cdot \mathrm e^{-170} -5 \approx -5$
Die Landegeschwindigkeit beträgt $5 m/s$.
$\blacktriangleright$ Übereinstimmen der 2. Ableitungen
Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an. Die zweite Ableitung von $h_C$ ist gegeben durch $h_{C}\;''(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}$.
Du sollst nun nachweisen, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen. Berechne dafür die 2. Ableitung von $h_B$:
$h_B' (t) = -50$ $\quad$ $h_B'' (t) = 0$
Setze jetzt in beide Ableitungen $t_2 = 16$ ein:
$\begin{array}{rll} h_B'' (16)&=&0&\\ h_C'' (16)&=&90& \end{array}$
Die zweiten Ableitungen von $h_B$ und $h_C$ stimmen nicht überein, die fehlende Übereinstimmung hat einen Knick im Graphen der Sinkgeschwindigkeit zur Folge.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen Phasen A und B
Du sollst untersuchen, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt. Leite dafür die allgemeine Form von $h_A$ aus Aufgabenteil a) zweimal ab:
$\begin{array}{rll} h_A(t)&=&a\cdot t^2 + b\cdot t +c&\\ h_A'(t)&=&2\cdot a\cdot t + b&\\ h_A''(t)&=&2\cdot a& \end{array}$
Die zweite Ableitung von $h_B$ ist gegeben durch $h_B''(t) = 0$. Setze nun $h_B''(t) = h_A''(t)$:
$\begin{array}{rll} h_B''(t)&=&h_A''(t)&\\ 0&=&2\cdot a&\scriptsize \scriptsize\mid\; : 2\\ 0&=&a& \end{array}$
Für $a=0$ stimmen die zweiten Ableitung überein, doch dann ist $h_A$ keine quadratische Funktion mehr (der Teil mit $x^2$ wird eliminiert). Somit existiert keine solche quadratische Funktion.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$, wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.
a) $\blacktriangleright$ Sinkgeschwindigkeit bestimmen
In Phase B wird der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert.
Du sollst die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B bestimmen. Diese kannst du mithilfe der ersten Ableitung bestimmen:
$h_{B}'(t) = -50$
Die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B beträgt also $50 m/s $.
$\blacktriangleright$ Quadratische Funktion für Höhe des Fallschirmspringers in Phase A bestimmen
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Das bedeutet, dass die beiden Funktionen für $t_1 = 8$ den gleichen Funktionswert haben, es gilt also $h_{A}(8) = h_{B}(8)$:
$h_{A}(8) = h_{B}(8)= 1500 - 50 \cdot 8 = 1500 - 400 = 1100$
Der Graph von $h_A$ verläuft also durch den Punkt $(8\mid1.100)$. Der Übergang soll stetig und differenzierbar sein, das bedeutet, dass die Funktionen die gleiche Steigung für $t_1$ haben müssen, es gilt also $h_{A}'(8) = h_{B}'(8)$:
$h_{A}'(8) = h_{B}'(8) = -50$ mit $h_A'(t) = 2\cdot a\cdot t + b$
Für die Ableitung von $h_A$ gilt also $h_A'(8)=-50$. Der Graph soll außerdem durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Du hast nun 3 Bedingungen um den Funktionsterm für $h_A$ bestimmen zu können.
1. Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.100&=&h_A(8)&\\ 1.100&=&a\cdot 8^2 + b\cdot 8 + c&\\ 1.100&=&64\cdot a + 8\cdot b +c& \end{array}$
2. Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.250&=&h_A(4)&\\ 1.250&=&a\cdot 4^2 + b\cdot 4 +c&\\ 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c& \end{array}$
3. Bedingung:
$\begin{array}{rll} -50&=&h_A'(8)& \\ -50&=&16 \cdot a +b&\scriptsize \mid\; -16\cdot a\\ b &=& -50 -16\cdot a& \end{array}$
Subtrahiere nun die zweite von der ersten Bedingung:
$\begin{array}{rll} 1.100 - 1.250&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -(16\cdot a + 4\cdot b +c)&\\ - 150&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -16\cdot a - 4\cdot b -c&\\ - 150&=&48\cdot a + 4\cdot b & \end{array}$
In diese Gleichung kannst du nun die dritte Bedingung einsetzen:
$\begin{array}{rll} - 150&=&48\cdot a + 4\cdot (-50 -16\cdot a) &\\ - 150&=&48\cdot a -200 -64\cdot a &\\ - 150&=&-16\cdot a -200&\scriptsize \mid\;+200 \\ 50&=&-16\cdot a &\scriptsize \mid\;: (-16)\\ a&=&-\frac{50}{16} = -\frac{25}{8}& \end{array}$
Für den Parameter $a$ gilt also $a = -\frac{25}{8}$.
Setze dieses Ergebnis jetzt in die 3. Bedingung ein, um den Parameter $b$ zu berechnen.
$b = -50 -16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) = -50 + 50 = 0$
Für den Parameter $b$ gilt also $b = 0$.
Setze dieses Ergebnis jetzt in die 1. oder 2. Bedingung ein, um den Parameter $c$ zu berechnen.
$\begin{array}{rll} 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c &\\ 1.250&=&16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) + 4\cdot 0 +c &\\ 1.250&=&-50 +c &\scriptsize\mid\;+50\\ c &=& 1.300& \end{array}$
Für den Parameter $c$ gilt also $c =1.300$.
Die Funktionsgleichung für $h_A$ ist gegeben durch $h_A(t) = -\frac{25}{8}\cdot t^2 + 1.300$.
b) $\blacktriangleright$ Grenzen der Phasen einzeichnen
Du sollst in Abbildung 1 die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise einzeichnen. Diese Abbildung der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Du kennst die Funktionen der Phase A und der Phase B. Phase A wird durch eine quadratische Funktion beschrieben und Phase B durch eine Gerade, dementsprechend prüfe den Graphen in Abbildung 1 auf Übergänge von einer quadratischen Funktion in eine Gerade und den Übergang von der Geraden in eine andere Funktion. Du erhältst dann folgende Abbildung:
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
$\blacktriangleright$ Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C
Betrachte hierzu die Abbildung 2. Zu Beginn von Phase C steigt der Graph von $h'$ schnell, das bedeutet, dass der Fallschirmspringer stark abgebremst wird. Der Betrag der Sinkgeschwindigkeit nimmt stark ab. Dann wird der Graph wesentlich flacher und bleibt nahezu konstant, das bedeutet, dass die Sinkgeschwindigkeit dann nahezu konstant bleibt.
Skizziere jetzt in das Koordinatensystem von Abbildung 2 den Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h'$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B ein. Für Phase A ist die Sinkgeschwindigkeit durch die Ableitung von $h_A$ gegeben, $h_A'(t) = -\frac{25}{4}t$. Das ist also eine Gerade, deren Graph durch den Ursprung verläuft und eine negative Steigung besitzt. Für Phase B ist die Sinkgeschwindigkeit konstant $-50$ (vergleiche Aufgabenteil a). Der Graph der Sinkgeschwindigkeit ist dann gegeben durch:
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
c) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Landung berechnen
Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase wird durch $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert.
Du sollst den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, berechnen. Gib die Funktion in deinen Graphiktaschenrechner ein und zeichne den Graphen von $h_C$. Mithilfe der Root-Funktion aus dem G-Solv-Menü-Menü kannst du die Nullstelle berechnen, die dir den Zeitpunkt der Landung angibt.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Nullstelle ist gegeben durch $t_{NS} = 151,5$, somit ist der Zeitpunkt der Landung nach $151,5$ Sekunden.
$\blacktriangleright$ Landegeschwindigkeit berechnen
Außerdem sollst du dessen Landegeschwindigkeit berechnen. Da du jetzt den Zeitpunkt der Landung kennst, kannst du erneut deinen Graphiktaschenrechner zur Hand nehmen und im Graph-Menü
optn $\to$ CALC $\to$ d/dx
die erste Ableitungsfunkion von $h$ bilden. Lässt du dir den zugehörigen Graphen anzeigen, so kannst du unter
G-Solv $\to$ F6 $\to$ Y-CAL
$x = 151, 5$ eingeben und mit EXE bestätigen. Du erhältst dann das Ergebnis: $ h′_{c}(151, 5) = −5$
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Alternativ
Du kannst auch von Hand die Ableitung von $h_C$ bestimmen und so die Steigung für $t = 151,5$ berechnen.
$h_c'(t) = -45\cdot \mathrm e^{-2t + 32} -5$
$h_c'(151,5) = -45\cdot \mathrm e^{-170} -5 \approx -5$
Die Landegeschwindigkeit beträgt $5 m/s$.
$\blacktriangleright$ Übereinstimmen der 2. Ableitungen
Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an. Die zweite Ableitung von $h_C$ ist gegeben durch $h_{C}\;''(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}$.
Du sollst nun nachweisen, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen. Berechne dafür die 2. Ableitung von $h_B$:
$h_B' (t) = -50$ $\quad$ $h_B'' (t) = 0$
Setze jetzt in beide Ableitungen $t_2 = 16$ ein:
$\begin{array}{rll} h_B'' (16)&=&0&\\ h_C'' (16)&=&90& \end{array}$
Die zweiten Ableitungen von $h_B$ und $h_C$ stimmen nicht überein, die fehlende Übereinstimmung hat einen Knick im Graphen der Sinkgeschwindigkeit zur Folge.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen Phasen A und B
Du sollst untersuchen, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt. Leite dafür die allgemeine Form von $h_A$ aus Aufgabenteil a) zweimal ab:
$\begin{array}{rll} h_A(t)&=&a\cdot t^2 + b\cdot t +c&\\ h_A'(t)&=&2\cdot a\cdot t + b&\\ h_A''(t)&=&2\cdot a& \end{array}$
Die zweite Ableitung von $h_B$ ist gegeben durch $h_B''(t) = 0$. Setze nun $h_B''(t) = h_A''(t)$:
$\begin{array}{rll} h_B''(t)&=&h_A''(t)&\\ 0&=&2\cdot a&\scriptsize \scriptsize\mid\; : 2\\ 0&=&a& \end{array}$
Für $a=0$ stimmen die zweiten Ableitung überein, doch dann ist $h_A$ keine quadratische Funktion mehr (der Teil mit $x^2$ wird eliminiert). Somit existiert keine solche quadratische Funktion.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App