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Aufgabe 1A

Aufgaben
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In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion $N$ mit $N(t) = N_0 \cdot e^{- k \cdot t}$ modelliert werden. Hierbei bezeichnet $N(t)$ die Anzahl der noch lebenden Erreger, $N_0$ die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, $t$ die Zeit in Minuten $\text{(min)}$ nach Beginn des Sterilisationsprozesses und $k$ eine positive Konstante in $\frac{1}{\text{min}}.$
a)
Auf einem Operationsbesteck befinden sich $1.000.000$ lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit $k = 0,25$ abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der $30$ Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als $100$ lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
Der Wert für die Konstante $k$ soll nun verändert werden.
Berechne den Wert für $k$ so, dass auf dem Operationsbesteck nach $15$ Minuten noch $25\,\%$ der Erreger leben.
(12 BE)
b)
Zeige, dass eine Verdopplung von $N_0$ eine Verdopplung der Änderungsrate von $N$ zur Folge hat.
Als Maß für die Widersstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet.
Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt: $D = -\frac{1}{k}\cdot \ln\left(\frac{1}{10} \right). $
Vergleiche die Bedeutung von $N(30)$ und $\displaystyle\int_{0}^{30}N'(t)\;\mathrm dt$ im Sachzusammenhang.
(12 BE)
#integral#änderungsrate
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-2\cdot x}},$ $x\in\mathbb{R},$ betrachtet. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist.
Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von $f$ mit der Wendestelle $x_W.$
Gegeben ist folgende Gleichung:
$\displaystyle\int_{x_W-a}^{x_W}f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{x_W}^{x_W+a}f(x)\;\mathrm dx = 10\cdot a $ für $a>0.$
Zeichne die zu den beiden Integralen gehörigen Flächenstücke in die Abbildung der Anlage ein.
Erläutere ausgehend davon die Richtigkeit der obigen Gleichung.
(10 BE)
#integral#punktsymmetrie
Material
Anlage - Graph zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graph von $f$
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graph von $f$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
$N_0= 1.000.000$ und $k=0,25$
Die Anzahl der nach $t$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
$N(t)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t}$
Gesucht ist also $N(30):$
$\begin{array}[t]{rll} N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt] &\approx& 553 \end{array}$
$ N(30)\approx 553 $
$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.
Aufgabe 1A
Abb. 1: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Aufgabe 1A
Abb. 1: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect
Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.
$\blacktriangleright$  Eignung des Modells beurteilen
Bei $N$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form $N(t)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot t}.$ Diese kann für $a\neq 0$ keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für $t,$ für den $N(t)=0$ oder $N(t)< 0$ gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt $t$ mit $N(t)< 1,$ oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ berechnen
Es soll gelten $N(15)= 0,25\cdot 1.000.000:$
$\begin{array}[t]{rll} 0,25\cdot 1.000.000 &=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-k\cdot 15} &\quad \scriptsize \mid\; :1.000.000\\[5pt] 0,25&=& \mathrm e^{-k\cdot 15}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln(0,25)&=& -k\cdot 15 &\quad \scriptsize \mid\;:(-15) \\[5pt] 0,092 &\approx& k \\[5pt] \end{array}$
$ 0,092\approx k $
Für $k\approx 0,092$ leben nach $15$ Minuten noch ca. $25\,\%$ der Erreger.
#exponentialfunktion
b)
$\blacktriangleright$  Auswirkung der Verdopplung nachweisen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} N'(t)&=& N_0\cdot (-k)\cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=&-k\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \end{array}$
$ N'(x)=… $
Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} N'(t)&=& -k\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=& 2\cdot (-k)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=& 2\cdot N'(t) \end{array}$
$ N'(t)= 2\cdot N'(t) $
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $t.$
$\blacktriangleright$  Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert $t=D,$ für den zum ersten mal $N(D) < \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt] \mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -k\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-k) \\[5pt] D&=& -\frac{1}{k}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] … \end{array}$
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da $N$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $N(30)$ die Anzahl der Erreger $30$ Minuten nach Sterilisationsbeginn.
Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{30}N'(t)\;\mathrm dt$ beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten $30$ Minuten, also wie viele Erreger in den ersten $30$ Minuten abgetötet wurden.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.
c)
$\blacktriangleright$  Flächenstücke einzeichnen
Aufgabe 1A
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
Aufgabe 1A
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
$\blacktriangleright$  Richtigkeit der Gleichung erläutern
Der Graph von $f$ besitzt zwei waagerechte Asymptoten, die $x$-Achse und die Gerade zu $y = 10.$
Zudem ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.
Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ergibt die Differenz des Rechtecks, das von der Gerade $y=10,$ der $x$-Achse und den Geraden zu $x=x_W$ und $x = x_W-a$ eingeschlossen wird, und der Fläche $A_1$ eine Fläche der Größe $A_2.$
Die Flächen $A_1$ und $A_2$ können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen $10$ und $a$ und demnach den Flächeninhalt $10\cdot a$ besitzt.
Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach $10\cdot a.$
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$\blacktriangleright$  Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
$N_0= 1.000.000$ und $k=0,25$
Die Anzahl der nach $t$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
$N(t)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t}$
Gesucht ist also $N(30):$
$\begin{array}[t]{rll} N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt] &\approx& 553 \end{array}$
$ N(30)\approx 553 $
$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.
Aufgabe 1A
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Aufgabe 1A
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F2: X-CAL
Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.
$\blacktriangleright$  Eignung des Modells beurteilen
Bei $N$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form $N(t)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot t}.$ Diese kann für $a\neq 0$ keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für $t,$ für den $N(t)=0$ oder $N(t)< 0$ gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt $t$ mit $N(t)< 1,$ oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{k}$ berechnen
Es soll gelten $N(15)= 0,25\cdot 1.000.000:$
$\begin{array}[t]{rll} 0,25\cdot 1.000.000 &=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-k\cdot 15} &\quad \scriptsize \mid\; :1.000.000\\[5pt] 0,25&=& \mathrm e^{-k\cdot 15}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] \ln(0,25)&=& -k\cdot 15 &\quad \scriptsize \mid\;:(-15) \\[5pt] 0,092 &\approx& k \\[5pt] \end{array}$
$ 0,092\approx k $
Für $k\approx 0,092$ leben nach $15$ Minuten noch ca. $25\,\%$ der Erreger.
#exponentialfunktion
b)
$\blacktriangleright$  Auswirkung der Verdopplung nachweisen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} N'(t)&=& N_0\cdot (-k)\cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=&-k\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \end{array}$
$ N'(x)=… $
Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} N'(t)&=& -k\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=& 2\cdot (-k)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt] &=& 2\cdot N'(t) \end{array}$
$ N'(t)= 2\cdot N'(t) $
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $t.$
$\blacktriangleright$  Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert $t=D,$ für den zum ersten mal $N(D) < \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt] \mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -k\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-k) \\[5pt] D&=& -\frac{1}{k}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] … \end{array}$
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da $N$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $N(30)$ die Anzahl der Erreger $30$ Minuten nach Sterilisationsbeginn.
Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{30}N'(t)\;\mathrm dt$ beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten $30$ Minuten, also wie viele Erreger in den ersten $30$ Minuten abgetötet wurden.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.
c)
$\blacktriangleright$  Flächenstücke einzeichnen
Aufgabe 1A
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
Aufgabe 1A
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
$\blacktriangleright$  Richtigkeit der Gleichung erläutern
Der Graph von $f$ besitzt zwei waagerechte Asymptoten, die $x$-Achse und die Gerade zu $y = 10.$
Zudem ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.
Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ergibt die Differenz des Rechtecks, das von der Gerade $y=10,$ der $x$-Achse und den Geraden zu $x=x_W$ und $x = x_W-a$ eingeschlossen wird, und der Fläche $A_1$ eine Fläche der Größe $A_2.$
Die Flächen $A_1$ und $A_2$ können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen $10$ und $a$ und demnach den Flächeninhalt $10\cdot a$ besitzt.
Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach $10\cdot a.$
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