Aufgabe 3A
Von einer Pyramide sind folgende Eckpunkte gegeben:
und 
Alle Seitenkanten haben die gleiche Länge.
und
Alle Seitenkanten haben die gleiche Länge.
a)
Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte
und 
liegen in einer Ebene 
Zeige, dass der Vektor
mit 
ein Normalenvektor der Ebene 
ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der 
-Ebene einschließt.
Die Punkte
und liegen in einer Ebene
Zeige, dass der Vektor
mit ein Normalenvektor der Ebene ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene
in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der -Ebene einschließt.
(9 BE)
b)
Vier Seitenkanten der Pyramide werden von der Ebene mit der Gleichung 
geschnitten. Die Punkte 
und 
sind zwei der sich ergebenden Schnittpunkte.
Zeichne die weiteren Schnittpunkte in die obige Abbildung ein. Untersuche, ob die Schnittpunkte Eckpunkte eines Quadrates sind.
Bildnachweise [nach oben]
geschnitten. Die Punkte und sind zwei der sich ergebenden Schnittpunkte.
Zeichne die weiteren Schnittpunkte in die obige Abbildung ein. Untersuche, ob die Schnittpunkte Eckpunkte eines Quadrates sind.
(8 BE)
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a)
Eckpunkte beschriften
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von 
wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
Der Vektor ![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/63432085428c11ae9435c6f88ba7435e89b601953f229f2d71fc72c28a5539a2_light.svg)
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt]
&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0d4f4edfc5ea28c651af4698ddf7e4b5125799c10e46f5172c72163a965a7490_light.svg)
steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von
Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
Eine Gleichung der Ebene 
![\(\begin{array}[t]{rll}
n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt]
1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt]
3&=& d
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f5162b14ed2205c20ee34607a8abd35bdce875dff9c6c3003a3a226cd989ed99_light.svg)
in Koordinatenform lautet 
Winkel berechnen
Der Winkel 
, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise 
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt]
\cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha &\approx& 54,74^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/60d9daec078e1e54009dc5b4ab29bbb5ae2267bf4fdf7705dcfceb72b1a65866_light.svg)
schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe 
ein.
b)
Eckpunkte einzeichnen
Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
Quadratische Form untersuchen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt 
liegt auf der Geraden 
und hat die 
-Koordinate 
Gleichsetzen liefert:
Aus der dritten Zeile ergibt sich 
![\(\begin{array}[t]{rll}
BC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB}+t\cdot \overrightarrow{BC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5b734aead4cf0b8437e119ba556387c606543dfaa5ccfdf2c03eb4f5114d3744_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{x\\y\\1,5}&=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d36389a60cbacb352b8aecaecd91886296ad86394cca81cd7d93e38e0ac9eba_light.svg)
Das liefert wiederum:
Der Punkt 
liegt auf der Geraden 
und hat ebenfalls die -Koordinate 
Mit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
AC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\-3\\0} +s\cdot \pmatrix{0\\3\\3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/94230aa5eb99163e55bf53ff8f9a9dcd21e0ac421ec57877d8385da6fc9fd008_light.svg)
folgt auch hier 
2. Schritt: Seitenlängen berechnen
Alle Seiten sind also gleich lang.
3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen
Bei 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{EF}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{FG}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d1a358c4df679674f7b4ef58afe77b3f2d7dc4cd02a8895704643a2ab8d0d882_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{EF}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{1,5^2+1,5^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{FG}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{(-1,5)^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{1,5^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{4,5} \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4afffde3cf6f6dbde14533633e9c62e166814ef3fbade6319e32a394fa0b57de_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG} &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\0}\circ \pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \\[5pt]
&=& 1,5\cdot (-1,5) + 1,5\cdot 1,5 +0\cdot 0 \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c0b8f101f4d869c8b09191cfdd6ed615aed3bbd10f6b2c962225eed10968d3e3_light.svg)
besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.
© - SchulLV.
a)
Eckpunkte beschriften
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von
Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet
Winkel berechnen
Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene
schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.
b)
Eckpunkte einzeichnen
Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
Quadratische Form untersuchen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt liegt auf der Geraden und hat die -Koordinate
Gleichsetzen liefert:
Aus der dritten Zeile ergibt sich Das liefert wiederum:
Der Punkt liegt auf der Geraden und hat ebenfalls die -Koordinate
Mit folgt auch hier
2. Schritt: Seitenlängen berechnen
Alle Seiten sind also gleich lang.
3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen
Bei besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.
© 2017 - SchulLV.