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Aufgabe 3A

Aufgaben
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#pyramide
a)
Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte $A,$ $B$ und $C$ liegen in einer Ebene $T.$
Zeige, dass der Vektor $\overrightarrow{n}$ mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ ein Normalenvektor der Ebene $T$ ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene $T$ in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene $T$ mit der $xy$-Ebene einschließt.
(9 BE)
#schnittwinkel#ebenengleichung#normalenvektor
b)
Vier Seitenkanten der Pyramide werden von der Ebene mit der Gleichung $z = 1,5$ geschnitten. Die Punkte $E( 1,5 \mid - 3 \mid 1,5 )$ und $F( 3\mid - 1,5\mid 1,5 )$ sind zwei der sich ergebenden Schnittpunkte.
Zeichne die weiteren Schnittpunkte in die obige Abbildung ein. Untersuche, ob die Schnittpunkte Eckpunkte eines Quadrates sind.
(8 BE)
#schnittpunkt#ebenengleichung
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte beschriften
Aufgabe 3A
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
Aufgabe 3A
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
$\blacktriangleright$  Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von $T,$ wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht zur Ebene $T$ und ist damit ein Normalenvektor von $T.$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von $T$ ist mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt] 1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt] 3&=& d \end{array}$
$ 3=d $
Eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform lautet $T: \, x-y+z = 3.$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 54,74^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 54,74^{\circ} $
Die Ebene $T$ schließt mit der $xy$-Ebene einen Winkel der Größe $\alpha\approx 54,74^{\circ}$ ein.
#skalarprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte einzeichnen
Aufgabe 3A
Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
Aufgabe 3A
Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
$\blacktriangleright$  Quadratische Form untersuchen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt $G$ liegt auf der Geraden $BC$ und hat die $z$-Koordinate $z=1,5.$
$\begin{array}[t]{rll} BC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB}+t\cdot \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \end{array}$
$ BC:\quad \overrightarrow{x}= … $
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\y\\1,5}&=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x\\y\\1,5} = …$
Aus der dritten Zeile ergibt sich $t=0,5.$ Das liefert wiederum:
$\overrightarrow{OG} = \pmatrix{3\\0\\0} +0,5\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} = \pmatrix{1,5\\0\\1,5}$
$ \overrightarrow{OG} = \pmatrix{1,5\\0\\1,5} $
Der Punkt $H$ liegt auf der Geraden $AC$ und hat ebenfalls die $z$-Koordinate $1,5:$
$\begin{array}[t]{rll} AC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3\\0} +s\cdot \pmatrix{0\\3\\3} \end{array}$
$ AC:\quad \overrightarrow{x}= … $
Mit $z=1,5$ folgt auch hier $s=0,5.$
$\overrightarrow{OH} = \pmatrix{0\\-3\\0} +0,5\cdot \pmatrix{0\\3\\3} = \pmatrix{0\\-1,5\\1,5}$
$\overrightarrow{OH} = \pmatrix{0\\-1,5\\1,5}$
2. Schritt: Seitenlängen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EF}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1,5^2+1,5^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{FG}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1,5)^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1,5^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EF}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{FG}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \end{array}$
Alle Seiten sind also gleich lang.
3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG} &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\0}\circ \pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \\[5pt] &=& 1,5\cdot (-1,5) + 1,5\cdot 1,5 +0\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG} =0 $
Bei $F$ besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.
#vektorbetrag#skalarprodukt
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a)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte beschriften
Aufgabe 3A
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
Aufgabe 3A
Abb. 1: Einzeichnen der Eckpunkte
$\blacktriangleright$  Normalenvektor nachweisen
Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von $T,$ wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{3\\3\\0}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{-3\\0\\3}\circ \pmatrix{1\\-1\\1} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{n}&=& 0 \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht zur Ebene $T$ und ist damit ein Normalenvektor von $T.$
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Ein Normalenvektor von $T$ ist mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-1\\1}$ bereits bekannt.
Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x+n_2y+n_3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n},\,A(0\mid -3\mid 0) \\[5pt] 1\cdot 0 -1\cdot (-3) + 1\cdot 0&=&d\\[5pt] 3&=& d \end{array}$
$ 3=d $
Eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform lautet $T: \, x-y+z = 3.$
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{n}_{xy} \right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{xy} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1\\-1\\1}\circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\-1\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2 +1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 54,74^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 54,74^{\circ} $
Die Ebene $T$ schließt mit der $xy$-Ebene einen Winkel der Größe $\alpha\approx 54,74^{\circ}$ ein.
#skalarprodukt
b)
$\blacktriangleright$  Eckpunkte einzeichnen
Aufgabe 3A
Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
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Abb. 2: Einzeichnen der Schnittpunkte
$\blacktriangleright$  Quadratische Form untersuchen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt $G$ liegt auf der Geraden $BC$ und hat die $z$-Koordinate $z=1,5.$
$\begin{array}[t]{rll} BC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OB}+t\cdot \overrightarrow{BC} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \end{array}$
$ BC:\quad \overrightarrow{x}= … $
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\y\\1,5}&=& \pmatrix{3\\0\\0} +t\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{x\\y\\1,5} = …$
Aus der dritten Zeile ergibt sich $t=0,5.$ Das liefert wiederum:
$\overrightarrow{OG} = \pmatrix{3\\0\\0} +0,5\cdot \pmatrix{-3\\0\\3} = \pmatrix{1,5\\0\\1,5}$
$ \overrightarrow{OG} = \pmatrix{1,5\\0\\1,5} $
Der Punkt $H$ liegt auf der Geraden $AC$ und hat ebenfalls die $z$-Koordinate $1,5:$
$\begin{array}[t]{rll} AC:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3\\0} +s\cdot \pmatrix{0\\3\\3} \end{array}$
$ AC:\quad \overrightarrow{x}= … $
Mit $z=1,5$ folgt auch hier $s=0,5.$
$\overrightarrow{OH} = \pmatrix{0\\-3\\0} +0,5\cdot \pmatrix{0\\3\\3} = \pmatrix{0\\-1,5\\1,5}$
$\overrightarrow{OH} = \pmatrix{0\\-1,5\\1,5}$
2. Schritt: Seitenlängen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EF}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1,5^2+1,5^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{FG}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \left|\pmatrix{-1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1,5)^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \left|\pmatrix{1,5\\-1,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1,5^2+(-1,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{EF}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{FG}\right|&=&\sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{GH}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \left|\overrightarrow{HE}\right|&=& \sqrt{4,5} \\[10pt] \end{array}$
Alle Seiten sind also gleich lang.
3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG} &=& \pmatrix{1,5\\1,5\\0}\circ \pmatrix{-1,5\\1,5\\0} \\[5pt] &=& 1,5\cdot (-1,5) + 1,5\cdot 1,5 +0\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{FG} =0 $
Bei $F$ besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.
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